Решение однородной задачи теории упругости в зоне выреза границы плоской области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

Л.Ю. Фриштер, В.А. Ватанский

ФГБОУВПО «МГСУ»

РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ЗОНЕ ВЫРЕЗА ГРАНИЦЫ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ

Приведен вывод коэффициентов интенсивности и собственных решений однородной краевой задачи теории упругости в зоне выреза границы плоской области. Полученное решение сопоставляется с решением упругой задачи в области математического выреза.

Ключевые слова: однородная задача теории упругости, напряженно-деформированное состояние, коэффициенты интенсивности.

Напряженно-деформированное состояние (НДС) конструкций и сооружений с геометрически нелинейной формой границ: вырезы, разрезы характеризуется возникновением зон концентраций напряжений, деформаций со значительными градиентами и величинами в зоне выреза.

В вершине идеального разреза или углового выреза границы области решение физически линейной задачи теории упругости определяются бесконечными напряжениями и градиентами напряжений. Понятие концентрации напряжений в нерегулярной точке границы области теряет смысл [1].

Решения уравнений Лапласа, Пуассона и эллиптических уравнений для областей с негладкими границами рассматриваются в работах В.А. Кондратьева [2], M L. Williams [3], Д.Б. Боджи, В.В. Фуфаева, Я.С. Уфлянда, Г.П. Черепанова, А.И. Каландии, А.Я. Александрова, О.К. Аксентян [4], К.С. Чобаняна, И.Т. Денисюка [5], В.Д. Кулиева [6] и др. В [7] приведен подробный анализ методов исследования локального напряженно-деформированного состояния конструкций в зонах концентрации напряжений.

Исследование НДС конструкций и сооружений в зоне нерегулярной точки границы характеризуется решением однородной краевой задачи теории упругости [8]. Особенность НДС, обусловленная формой границы области: вырезом, разрезом, определяется сингулярностью решения, порядок которой зависит от собственных значений однородной задачи теории упругости. Собственные значения однородной краевой задачи зависят от формы границы, типа однородных граничных условий, механических характеристик материала области и имеют множество значений. Собственные (сингулярные) решения однородной краевой задачи определяются с точностью до неизвестных произвольных постоянных.

Исключая саму нерегулярную точку и малую ее окрестность, возможно охарактеризовать НДС в малой области вершины разреза, как асимптотическое решение упругой однородной задачи, зависящее от неизвестных постоянных — коэффициентов интенсивности.

Задача исследования коэффициентов интенсивности напряжений актуальна для исследования НДС сооружений и конструкций с геометрической нелинейностью формы границ.

ВЕСТНИК 8/2013

8/2013

Рассматривается плоская задача теории упругости для области с угловой точкой: клинья раствором 2а, а > — в перемещениях в полярной системе координат. Сосредоточенные усилия в вершине разреза не рассматриваются. Решение уравнений Ляме ищем в виде [9]

ur(r,9) = rXf (9), uQ(r,9) = rX g(9). (1)

Подставив перемещения (1) в уравнения Ляме, получим f (9) = A cos[(1 + X)9] + B sin[(1 + X )9] + C cos[(1 - X)9] + D sin[(1 - X)9];

g(9) = Bcos[(1 + X)9] - A sin[(1 + X)9] + v2 Dcos[(1 - X)9] - v2 C sin[(1 - X)9],

где v 2 = 3 + X—v — коэффициент Пуассона.

Компоненты напряжений и перемещений запишутся в виде r = A cos[(1 + X )9] + B sin[(1 + X)9] + C cos[(1 - X )9] + D sin[(1 - X)9]; V~Xae = -2X ¿cos[(l + X)9] - 2X 5sin[(l + X)9] -

- (1 + X)(l - v2) Ccos[(l - X)9] - (1 + X)(l - v2 )¿>sin[(l - X)9];

= -2X A cos[(l + X)9] + 2X 5sin[(l + X)9] -

- (1 - X) (1 - v2) С cos[(l - X)9] + (1 - X) (1 - v2 )Dsm[(í - X)9],

где A, B, C, D — произвольные постоянные, подлежащие определению из нулевых граничных условий при 9 = ±а; X — собственное значение однородной краевой задачи, в общем случае комплексное число.

Удовлетворив однородным граничным условиям: а9 = Tr9 = 0 при 9 = ±а, получим две однородные системы уравнений:

J-2 XA cos[(1 + X) а] - (1 + X)(1 - v2) C cos[(1 - X) а] = 0;

{ 2XA sin[(1 + X)а] + (1 -X)(1 -v2)C sin[(1 -X)а] = 0; (3)

Г 2 XB sin[(1 + X) а] + (1 + X)(1 - v2) D sin[(1 - X) а] = 0;

[2XB cos[(1 + Xfa] + (1 - X)(1 - v2 )D cos[(1 - X)а] = 0. (4)

Приравнивая к нулю определитель каждой из однородных систем (3), (4), находим, что нетривиальные решения однородной задачи для клина определяются трансцендентным выражением X sin 2а = ± sin 2аX,

где X — собственные значения однородной краевой задачи. Среди множества собственных значений X выбирается согласно физическому смыслу задачи [10, 11] минимальное значение действительной части комплексного корня minRE Xe (0,1).

Найдем коэффициенты A, B, C, D, удовлетворяя граничным условиям (3), (4) и вводя в рассмотрение коэффициенты интенсивности. Из (3) определяем

C =--2X-A, ks = sin(1 -X)(X, (5)

(1 -X)(1 -v2) ks s sin(1 + X)a

где а — угол полураствора клина. Используя (2), рассмотрим предел вида

г -Ii-* I (~2Ц[(1-(! + *■)], „

11шц г ае|0=о=--А,г^О, (6)

тогда коэффициенты A, C равны:

A =--г (1 -Я)ks-т-limг1-Х(2n)1-Xae|e0, г ^ 0;

2Х[(1 -X)ks-(1+ Х) ]ц(2п)1-Х e'e=0

C = -.....limг1-^(2n)1-^ae|e=0, г ^ 0.

(k -X)ks__L U-X

2X[(1 -X)ks -(1+ X)] ц(2я)

Обозначим коэффициент интенсивности Ki как предел вида (6):

Кi = lim r1-X (2n)1-X cq|q=0 , г ^ 0, (7)

тогда коэффициенты A, C запишутся:

A = - (1 -X) ks 1 K

2X[(1 -X)ks -(1+ X)] Ц(2п)1-Х Ь

C = - (k -Х)кя__1_ K

2X[(1 -X)ks -(1+ X)]^(2n)1-X Ь Из(4)определяем D = - 2X B (1 + X)(1 -V2) ks '

где а — угол полураствора клина. Используя (2), рассмотрим предел вида -11-X I „ in 2 XB[(1 + X) ks-(1 -X)]

lim ^ V ^ le=o = 2XB + (1-X)('-V2)D = % +)XSks ■ (8)

г ^ 0,

тогда коэффициенты B, D равны:

B =--0 + X)^--1 limr1-X(2n)1-Xxr6L0, г ^ 0;

2X[(1 + X)ks -(1 -X)] ^(2n)1-X röl6=0

D =--(k-X)--^-limr1-X (2n)1-Xxr9L0, г ^ 0;

2X[(1 + X)ks -(1+ X)] ц(2л) 'ö=0

1 k-X , „ „ 3 + x-4v

где -=--, k = 3 - 4v, v2 =-.

1 -v2 2X 2 3 - X - 4v

Обозначим коэффициент интенсивности Кд как предел вида (8): Кп = lim r1-X (2n)1-X xr610=0, г ^ 0, (9)

тогда коэффициенты B, D запишутся:

B = (1+ X) ks__1 К .

2X[(1 + X)ks -(1 -X)] ^(2n)1-X 11'

D = - (k -X)__1_ К

2X[(1 + X)ks -(1 -X)] ^(2n)1-X ^

ВЕСТНИК

МГСУ-

8/2013

С учетом коэффициентов интенсивности К, Кд, коэффициентов А, В, С, Б, напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины выреза границы плоской области запишется

иг =

+

1-Х

(1-А,)^ cos(l + А,)0 (k-X)ks cos(l-A,)0

2А.[(1-Л)*, -(1 + Л.)] 2X[(l-X)£s -(1 + Х)]

(1 + X)ks sin(l + А,)9 (k-X)ks sin(l-3i)0

+ -(!->.)] 2X[(l+ >,)*, -(1-Х)]

К,

Uñ=-

ц(2я)

1-Х

(1 -X)ks sin(l + Х)0 +v2(k-X)ks sin(l-X)0

Кл +

+

c9 =

2X [(1 - X)ks - (1 + X)] 2A.[(1- Ws - 0 + *.)]

ки

(1 + X)ks cos(l + X)0 v2 (k - X)ks cos(l - X)0

2X[(1 + X)ks -(1 -X)] 2X [(1 + X)ks -(1 -X)]

(1 - X)ks cos(1 + X)9 (1 + X)ks cos(1 - X)9

(r 2п)

1-X

2X[(1 - X)ks - (1 + X)] 2X[(1 - X)ks - (1 + X)]

К

(1 + X)ks sin(1 + X)9 (1 + X)ks sin(1 - X)9

2X[(1 + X)ks - (1 - X)] 2X[(1 + X)ks - (1 - X)]

(10)

К

II

-(r X-1);

Tr0

(r 2n)

1-Х

(1 - X)ks sin(1 + X)0 _ (1 - X)ks sin(1 - X)0 [(1 -X)ks -(1+ X)] " [(1 -X)ks -(1+ X)]

К +

+

(1 + X)ks cos(1 + X)0 - (1 -X)ks cos(1 -X)0 [(1 + X)ks -(1 -X)] " [(1 + X)ks -(1 -X)]

KT1

+ oír

,X-1

-1

(r 2n)

1-Х

(1 -X)ks cos(1 + X)0 (3 -X)ks cos(1 -Х)8 [(1 -X)ks - (1+ X)] [(1 -X)ks - (1+ X)]

К +

(1 + X)ks sin(1 + X)0 (3 - X)ks sin(1 - X)0 [(1 + X)ks -(1 -X)] - [(1 + X)ks -(1 -X)]

K

II

+ oír

X-1

где коэффициенты интенсивности определены в виде (7), (9).

Подобным образом получаются соотношения для определения НДС в зоне вершины выреза при продольном сдвиге (задача антиплоской деформации)

w = -

ц(2п)

—sin(1 -X) Кш + o (r1-X), u = v = 0; ^ sin(1 -X)Km + o (rX-1);

TrA V /

(r 2п)

T9z =-Ц-у cos(1 -X)Km +o ( rX-1),

(r 2п) V '

где коэффициент интенсивности Кщ имеет вид

(11)

1

1

X

r

Кттт = lim г1-Х (2п)1-Хх

ie=o:

г

0.

(12)

Рассмотрим частный случай: угол раствора клина равен 2п, что соот-

, 1

ветствует рассмотрению математического разреза плоскости, тогда ^ = ^, к8 = -1, ——3 = +1, к = 3 - 4v, НДС вида (10) запишется:

-2А,

Uг =

4~г

4,\/2гс

з e

-cos—e + (2k - 1)cos— 2 2

+

3 e

3 sin—e - (2k -1) sin — 2 2

Л

К

);

Ue =

^ Г

4,W2n

3 e

sin—e - (2k + 1) sin — 2 2

Kt

+

3e 3cos— e-(2k + 1) cos—

Л

Kt

ce = Tre =

1

442кг 1

4у[2кг 1

3Q ^ e

cos—e + 3cos — 2 2.

3Q • e

sin—e + sin— _ 2 2

< e 3 e 5cos—cos—e 2 2

Kt -

3e 3sin—e + 3sin— 2 2

K

■a 3. e

3cos— e + cos— 2 2

K

K-

Г 442Ш

где коэффициенты интенсивности записываются: Кт = lim г1-х (2л)1-Х ce|e=0 = lim>/2 пг ae|e=o:

* • 1a -г • 3e"

5 sin—e-3sin — 2 2

Ктт ° [j;)

Tr); Tr,

(13)

К

0;

KTT = lim rl~X (2п)1-Х tJ = limV2j

0.

= lim г (2П) т yQ |Q=0 = lim v 2пг Xr0 |Q=0 , г ■

Полученный вид НДС (13) в области математического выреза плоскости совпадает с видом НДС, рассматриваемым в механике разрушения [1].

Принимая последующие собственные значения однородной упругой задачи с нулевыми граничными условиями, например, напряжениями gq = xrQ = 0 при Q = ±а, возможно привести НДС соответствующее заданному собственному значению.

1 k - X 2k + 1

Пусть X = —, ks = -1, -=-, k = 3 - 4v, НДС вида (10) запишется:

2 -2X 2

U г =

1

4,V г(2п)

3cos1 e + (2k+1) cos3 e 2 2

Kt

+

-sin1 e+(2k +1) sin 3 e 2 2

Л

Kti

\[r

ВЕСТНИК

МГСУ-

8/2013

U0 =

r 2п

0 3

-3 sin--(2k -1) sin—0

2 2

K +

+

03 - cos — (2k - 1)cos—0 2 2

Л

Ki

+ o

4T

C0 =

T r0 =

^(2nr) 1

1 I 1 3

3cos —0 + cos—0 2 2

К -

1 3 sin—0 + 3 sin—0

2 2

1

. 3. . 0 sin—0 + sin— 2 2

K +

30 3cos— 0 + cos— 2 2

К

il

Kii

f

1

Vr

+ o

л/Т3

(14)

4

■V(2nr )3

0 „ 3Л -3cos— + 7cos— 0 2 2

Ki

■ ^^ • 30 sin—0 - 7sin — 2 2

] f 1 1

Kii + o

IVrJ

где коэффициенты интенсивности К, Кд определяются в виде (7), (9).

НДС вида (14), полученное из общего вида НДС (10) в области вершины

выреза границы плоской области для частного случая Х = - 1, совпадает с

НДС, приведенным в [1] для случая математического разреза плоскости.

Вывод. Рассматривая различные варианты однородных граничных условий в зоне выреза границы плоской области, определяя неизвестные коэффициенты А, В, С, В, X, получаем асимптотику НДС в окрестности вершины произвольного выреза границы плоской области, обусловленную коэффициентами интенсивности:

^ 0;

Ki = lim r1-X (2n)1-Xa0|0=i

9=0 :

Kn = lim r1-X (2п)1-^^ , r ^ 0; Кш = lim r1-X (2n)1-Xirz |9=0, r ^ 0.

Определение коэффициентов интенсивности является самостоятельной задачей исследования НДС в зоне вершины выреза области.

Библиографический список

1. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М. : Наука, 1981. 688 с.

2. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды Московского математического общества. М. : МГУ, 1967. Т. 16. С. 209—292.

3. Williams M.L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extension. J. Appl. Mech., 1952, v. 19, № 4, p. 526.

4. Аксентян О.К. Особенности напряженно-деформированного состояния плиты в окрестности ребра // Прикладная механика и математика. 1967. Т. 31. Вып. 1. С. 178—186.

5. Денисюк И.Т. Одна задача сопряжения аналитических функций в аффинно-пре-образованных областях с кусочно-гладкими границами // Известия вузов. Математика. 2000. № 6. С. 70—74.

6. Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи. М. : Наука, 2005. 719 с.

7. Фриштер Л.Ю. Анализ методов исследования локального напряженно-деформированного состояния конструкций в зонах концентрации напряжений // Вестник МГСУ 2008. № 3. С. 38—44.

8. Фриштер Л.Ю. Исследование НДС в окрестности нерегулярной точки границы плоской области при действии вынужденных деформаций методом фотоупругости // International journal for computational civil and structural engineering. Volume 3, Issue 2, 2007, pp. 101—106.

9. Тимошенко П.С., Гудиер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.

10. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М. : Наука, 1974. 640 с.

11. О собственных значениях в решении задач для областей, содержащих нерегулярные точки / Г.С. Варданян, М.Л. Мозгалева, В.Н. Савостьянов, Л.Ю. Фриштер // Известия вузов. Строительство. 2003. № 10. С. 28—31.

Поступила в редакцию в июне 2013 г.

Об авторах: Фриштер Людмила Юрьевна — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499)183-30-38, [email protected];

Ватанский Владимир Александрович — студент Института фундаментального образования, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499)183-30-38, [email protected].

Для цитирования: Фриштер Л.Ю., Ватанский В.А. Решение однородной задачи теории упругости в зоне выреза границы плоской области // Вестник МГСУ 2013. № 8. С. 51—58.

L.Yu. Frishter, V.A. Vatanskiy

SOLUTION TO THE HOMOGENEOUS PROBLEM OF THE THEORY OF ELASTICITY IN THE AREA OF THE CUT BOUNDARY IN THE PLANE DOMAIN

The authors present their solution to the homogeneous boundary value problem of the theory of elasticity in the area of the cut boundary in the plane domain. The authors have derived the type of the stress-strain state in the small area of the peak of the cut area. The authors offer an asymptotic solution to the elastic homogeneous problem depending on intensity ratios as unknown constant values. The problem of research into the ratios of intensity is also relevant for the research into the stress-strain state of structures characterized by geometrical non-linearity of boundaries.

In the article, the authors consider a plain problem of the theory of elasticity for a domain having an angular point (the case of concentrated forces in the vertex of an angle are not considered by the authors in this article).

The authors consider a special case where the vertex angle is equal to 2n. The type of the stress-strain state derived for this case study coincides with the type of the stress-strain state considered in fracture mechanics. Identification of intensity ratios represents an independent problem of the stress-strain state in the area of the domain of the cut peak.

Key words: homogeneous problem of the theory of elasticity, stress-strain state, plane domain, boundary value.

References

1. Parton V.Z., Perlin P.I. Metody matematicheskoy teorii uprugosti [Methods of Mathematical Theory of Elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1981, 688 p.

2. Kondrat'ev V.A. Kraevye zadachi dlya ellipticheskikh uravneniy v oblastyakh s konicheskimi ili uglovymi tochkami [Boundary Problems for Elliptical Equations in Domains

ВЕСТНИК 8/2013

8/2013

Having Conical or Angular Points]. Trudy Moskovskogo matematicheskogo obshchestva [Works of Moscow Mathematical Society]. Moscow, MGU Publ., 1967, vol. 16, pp. 209—292.

3. Williams M.L. Stress Singularities Resulting from Various Boundary Conditions in Angular Corners of Plates in Extension. J. Appl. Mech. 1952, vol. 19, no. 4, p. 526.

4. Aksentyan O.K. Osobennosti napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya plity v okrestnosti rebra [Features of the Stress-strain State of a Slab in the Proximity to the Edge]. Prikladnaya mekhanika i matematika [Applied Mechanics and Mathematics]. 1967, vol. 31, no. 1, pp. 178—186.

5. Denisyuk I.T. Odna zadacha sopryazheniya analiticheskikh funktsiy v affinno-preo-brazovannykh oblastyakh s kusochno-gladkimi granitsami [One Problem of Integration of Analytical Functions in Affine-transformed Domains Having Piecewise Smooth Boundaries]. Izvestiya vuzov. Matematika. [News of Institutions of Higher Education. Mathematics.] 2000, no. 6, pp. 70—74.

6. Kuliev V.D. Singulyarnye kraevye zadachi [Singular Boundary Problems]. Moscow, Nauka Publ., 2005, 719 p.

7. Frishter L.Yu. Analiz metodov issledovaniya lokal'nogo napryazhenno-deformirovan-nogo sostoyaniya konstruktsiy v zonakh kontsentratsii napryazheniy [Analysis of Methods of Research into the Stress-strain State of Structures in Areas of Concentrated Stresses]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2008, no. 3, pp. 38—44.

8. Frishter L.Yu. Issledovanie NDS v okrestnosti neregulyarnoy tochki granitsy ploskoy oblasti pri deystvii vynuzhdennykh deformatsiy metodom fotouprugosti [Research into the Stress-strain State in Proximity to the Irregular Point of the Boundary of the Plane Domain Exposed to Induced Deformations Using Method of Photo-elasticity]. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2007, vol. 3, no. 2, pp. 101—106.

9. Timoshenko P.S., Gudier Dzh. Teoriya uprugosti [Theory of Elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1975, 576 p.

10. Cherepanov G.P. Mekhanika khrupkogo razrusheniya [Brittle Fracture Mechanics]. Moscow, Nauka Publ., 1974, 640 p.

11. Vardanyan G.S., Mozgaleva M.L., Savost'yanov V.N., Frishter L.Yu. O sobstven-nykh znacheniyakh v reshenii zadach dlya oblastey, soderzhashchikh neregulyarnye tochki [On Eigenvalues in Solutions to Problems of Domains Having Irregular Points]. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo [News of Institutions of Higher Education. Construction] 2003, no. 10, pp. 28—31.

About the authors: Frishter Lyudmila Yur'evna — Doctor of Technical Sciences, Professor, Chair, Department of Higher Mathematic, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; lfrishter@mail. ru; +7 (499) 183-30-38;

Vatanskiy Vladimir Aleksandrovich — student, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; i.like. [email protected]; +7 (499) 183-30-38.

For citation: Frishter L.Yu., Vatanskiy V.A. Reshenie odnorodnoy zadachi teorii uprugosti v zone vyreza granitsy ploskoy oblasti [Solution to the Homogeneous Problem of the Theory of Elasticity in the Area of the Cut Boundary in the Plane Domain]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 8, pp. 51—58.