О влиянии начальной скорости частиц на неустановившиеся осесимметричные движения газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том VIII 1977 № 3

УДК 533,6.011.72

О ВЛИЯНИИ НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТИ ЧАСТИЦ НА НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА

В. П. Пархоменко, С. П. Попов, О. С. Рыжов

Приводятся результаты численного анализа потоков, которые возникают, если в начальный момент в цилиндрическом объеме внезапно повышается давление, а частицы приобретают конечную скорость. В таких течениях образуется вторичный разрыв, движущийся от оси симметрии вслед за головной ударной волной. Существует весьма длительный период, во время которого распределение параметров газа в области между двумя ударными фронтами приближенно дается автомодельным решением уравнений Эйлера, соответствующим стоку переменной интенсивности.

1. При изучении неустановившихся плоских движений газа было обнаружено, что в них могут иметь место два асимптотических режима, один из которых постепенно сменяет другой. Оба режима описываются точными автомодельными решениями системы уравнений Эйлера. На конечном интервале времени течение в некоторой области пространства, прилегающей к фронту головной ударной волны, чрезвычайно близко к возникающему под действием так называемого короткого удара [1—3]. При неограниченном возрастании времени параметры газа стремятся к тем, которые получаются при сильном сосредоточенном взрыве [4, 5].

Описанная картина развития неустановившихся течений была зафиксирована при решении задачи, в которой выделение энергии происходит в объеме, заключенном между двумя плоскостями, причем одна из них служит одновременно границей раздела двух существенно различных по плотности сред [6]. Смена асимптотических режимов в течении наблюдается также, если первоначально однородному газу сообщается не только энергия, но и импульс [7]. Быстрое затухание ударного фронта по законам короткого удара обусловлено тем, что за ним на промежуточной стадии образуется мощная волна разрежения. Условие о доминирующей роли полной энергии в формировании течения на поздней стадии обеспечивает его постепенный выход на асимптотику сильного взрыва.

Естественно ожидать, что подобный переход одного режима в другой присущ не только плоским движениям. В частности, в

течениях с цилиндрической и центральной симметрией на конечных временах вслед за головным ударным фронтом должна распространяться интенсивная волна разрежения, если частицам газа в начальный момент сообщить достаточно большую радиальную скорость. Затухание ударного фронта вследствие волны разрежения будет происходить быстрее, чем по законам сильного взрыва. Однако указать подходящее автомодельное решение системы уравнений Эйлера, которое задавало бы параметры газа на промежуточной стадии, далеко не просто. Дело в том, что автомодельные течения с цилиндрической и центральной симметрией не допускают продолжения вплоть до начала координат при условии, требующем падения давления и скорости на ударном фронте быстрее, чем при сильном взрыве. В таких течениях появляются предельные поверхности, являющиеся огибающими характеристик [8, 9]. Как правило, считается, что течения с предельными поверхностями невозможно осуществить практически, поэтому они не обладают реальным смыслом [10].

Чтобы разрешить указанное противоречие, можно попытаться использовать одно из автомодельных решений в области, которая не содержит огибающую характеристик. Это тем более вероятно, что при решении плоских задач область существования течения в режиме короткого удара уменьшается со временем и замыкается идущей за ней волной сжатия с параметрами, которые постепенно приближаются к реализующимся при сильном взрыве [6, 7]. Отбирать нужное автомодельное решение следует при помощи численных методов интегрирования дифференциальных уравнений, так как нельзя построить прямых цилиндрического и сферического аналогов движения газа под действием короткого удара [8, 9].

2. Для проверки выдвинутого предположения рассмотрим не-установившееся осесимметричное движение совершенного газа без учета его вязкости и теплопроводности. Пусть t означает время, г — расстояние от оси симметрии, V ~ скорость, р — плотность, р — давление. Сформулируем задачу Коши со следующими начальными данными:

при t — 0

® = 0, р = р0, Р = 0, Г0<г<оо,

V = S'o/o {г/Го), Р — Ро, Р — Ро. 0 < г ^ г0.

Постоянные v0, Ро и р0 принимают здесь положительные значения. Будем считать, что в начальный момент скорость каждой частицы внутри цилиндра с повышенным давлением направлена по радиусу от его оси, в связи с чем функция /0 (г/г0)>-0.

Основной интерес в сформулированной задаче представляет поведение решения при достаточно больших временах, когда структура потока внутри возмущенной области перестает зависеть от детального вида данных Коши. Характер этого режима и скорость выхода решения на него в значительной степени определяются соотношением между величинами кинетической /С0 и внутренней Ей энергий, которые задаются в начальный момент на единицу длины цилиндра с повышенным давлением. Для совершенного газа с отношением х удельных теплоемкостей

Ко — ъг% Ро V% f fi (a) a de, Е0 = --- г%р0.

о xi

и

3 — Ученые записки № 3

за

Чтобы решить поставленную задачу Коши для уравнений Эйлера, был использован метод сквозного счета, предложенный в работе [11]. Конечно-разностная схема этого метода позволяет вычислять параметры газа во всей области возмущенного движения, не выделяя ударных волн и контактных разрывов, которые размазываются на несколько ячеек.

Во всех расчетах полагалось, что отношение удельных теплоемкостей •/. = 7/5, а начальная плотность р0= 1. Что касается начальных величин давления и скорости, то они варьировались с целью выяснить, каково их влияние на структуру возмущенного течения при больших временах.

Наиболее простой характер имеет решение задачи Коши, в которой в начальный момент скорость частиц во всем пространстве равняется нулю. В этом случае отношение К^Е0 = 0. Движение газа выходит непосредственно на асимптотику сильного взрыва, минуя промежуточные стадии. В проведенных расчетах выход на асимптотику совершался при г3/г0—10, если под г3 подразумевать координату фронта ударной волны. Переход к пределу при г0 0 дает сингулярную задачу Коши, описывающую взрыв шнурового заряда [4, 5].

Картина течения существенно не меняется, пока отношение К0/Е0 остается малым. Однако при конечной величине Ко/^о движение газа получается совершенно иным. В качестве примера рассмотрим решение задачи Коши со следующими начальными данными: г0=Ю, и0 = 10, /70 = 3,1 и /о(з) = о. Как показывает простой подсчет, К01Е0 = 3,‘226. Найденная в результате численного интегрирования системы уравнений Эйлера зависимость безразмерной скорости от расстояния до оси симметрии приведена на фиг. 1, где через V3 обозначена скорость частиц за головным ударным фронтом, а цифры над пунктирными кривыми указывают значения безразмерного радиуса гх/г0. Сплошная кривая, помеченная буквой а, дает распределение скорости в задаче о сильном шнуровом взрыве [4, 5].

Результаты численного эксперимента находятся в полном согласии с изложенными выше качественными рассуждениями, основой для которых служил анализ плоских течений. В начальной стадии зарождается довольно мощный обратный поток, в котором частицы движутся по направлению к оси симметрии; этот поток занимает почти половину возмущенной области. Его образование приводит, в первую очередь, к тому, что давление и скорость за головным ударным фронтом падают значительно резче, чем при сильном взрыве. Поэтому затухание ударной волны, ограничивающей область возмущенного движения, не следует законам сильного взрыва, а происходит также значительно быстрее.

Далее, образование обратного потока влечет за собой появление второго ударного фронта, который зарождается в окрестности оси симметрии. Вторичный разрыв распространяется вслед за основной ударной волной, постепенно нагоняя ее. Он является границей идущих сзади возмушений, не допуская их проникновения в интенсивную волну разрежения с резким падением давления и скорости за головным ударным фронтом. Ясно, что закон затухания последнего может измениться только после того, как он будет настигнут второй ударной волной.

Очень скоро после зарождения амплитуда вторичного разрыва достигает больших значений. Так, в приведенном примере расчета

при г$/г0 = 7 он еще отсутствует, а при /уг0 = 9 относительный скачок Дф/г^ скорости при переходе частиц через вторичный разрыв равен 0,975. Затем, по мере того как фронты обеих волн сближаются, возрастание давления и скорости при повторном ударном сжатии газа падает; при гл/г0 = 17 скачок Д©/г^ = 0,215. Одновременно распределения газовых параметров за вторым ударным фронтом

стремятся к реализующимся при сильном взрыве. Согласно расчетам в момент слияния обеих волн, который наступает при г5/г0 ^ 20, амплитуда вторичного разрыва чрезвычайно мала, а отраженный ударный фронт вообще не возникает. После слияния волн все поле возмущенного течения, за исключением небольшой области вблизи оси симметрии, весьма точно описывается решением задачи о сильном взрыве.

Качественный характер движения газа сохраняется при любых значениях постоянных г0, ю0, ра и произвольном выборе функции /(з), лишь бы она была монотонна, а отношение К0!Е0 кинетической и внутренней энергий — конечно. Основные закономерности потока не изменяются, естественно, при рй-^ 0 и К0’Е0 -> оо. Как показывают расчеты, время выхода течения на предельный режим сильного взрыва увеличивается с уменьшением р0 и увеличением К01Еп, если остальные начальные данные в задаче Коши остаются неизменными. Предельный режим всегда достигается при ограниченном значении безразмерного радиуса /у>0.

3. Рассмотрим более подробно зависимости безразмерных газовых параметров в области между двумя разрывами от расстояния г;гв до оси симметрии. Существенной чертой построенного решения является то, что эти зависимости с небольшой относительной ошибкой можно задать одними и теми же функциями при любых

Фиг. 1

значениях гл/г0, если скорость, давление и плотность отнести к соответствующим величинам на головном ударном фронте. Такая ситуация обычно характерна для автомодельных решений системы уравнений Эйлера. Возникает вопрос, допустимо ли применение одного из автомодельных решений для описания волны разрежения, которая распространяется вслед за основным ударным фронтом и постепенно поглощается вторичным разрывом?

В автомодельных решениях

где р5 и р3 — плотность и давление на фронте сильной ударной волны соответственно. Обыкновенные дифференциальные уравнения, определяющие функции /{I), g(X) и /г(Х), содержатся в [12, 13], здесь они приводиться не будут. Что касается радиуса ударного фронта, то его зависимость от времени t дается соотношением

с постоянными А и 8, вычисляемыми по граничным условиям задачи.

Чтобы получить движение газа при сильном шнуровом взрыве, нужно положить 8=1/2, а постоянную А выбрать пропорциональной корню четвертой степени из отношения £0/р0 [4, 5]. При 8 >1/2 автомодельные движения можно трактовать как вызываемые поршнем, который расширяется в газе по степенному закону [12, 13]. В этом случае возмущенная область ограничена с одной стороны фронтом ударной волны, а с другой — поверхностью поршня. Когда 8 <1/2, в течениях появляются предельные поверхности, которые служат огибающими характеристик [8, 9]. Их положение определяется равенством Х = Х, = const. При подходе к предельным поверхностям производные dfjdk, dgfd'k и dh/dk обращаются в бесконечность. Принято считать, что течения с предельными поверхностями не обладают реальным смыслом и их нельзя осуществить практически [10].

При rs/r0<20 в построенном численно решении задачи Коши головной ударный фронт затухает значительно быстрее, чем образующийся при сильном взрыве. Отсюда ясно, что для описания волны разрежения, занимающей область между двумя разрывами, могут оказаться пригодными лишь те автомодельные решения уравнений Эйлера, в которых показатель 8<1/2. Они отвечают стокам переменной интенсивности Q. Последнюю легко вычислить на основании условий Гюгонио

для фронта сильной ударной волны, перемещающейся со скоростью N по покоящемуся холодному газу. Пусть /г и gl означают значения функций /(к) и £ (X) при Х = Хг. Тогда

Зависимость безразмерного расхода ЧГ от показателя автомодельности 8 изображена на фиг. 2.

v = vj(k), ? = ?sgQ), p = psh(l), X = r/r,

Несмотря на наличие предельных поверхностей Х = Х/) применение автомодельных решений, задающих стоки переменной интенсивности, не наталкивается на принципиальные затруднения. Хорошо известно, например, что в стационарных течениях от источника и стока существуют аналогичные предельные поверхности, где скорость частиц равна по величине критической, а производная

скорости по радиусу обращается время на некотором удалении от скоростей потока весьма близко к тому, которое дает источник подходящей интенсивности.

Распределение скорости в автомодельных решениях с 8 <1/2 показано на фиг. 3. Когда значение показателя 8 не сильно отличается от 1/2, в возмущенной области возникает обратный поток,

Фиг. 2

в бесконечность [10]. В то же горла конического сопла поле

в котором скорость частиц направлена к оси симметрии. При о — 80=^О,44 существование обратного течения прекращается, так как поверхность V — 0 служит одновременно предельной поверхностью Х = Хг. Если 8<80, все частицы разлетаются от оси симметрии, однако их скорость на поверхности Х = Х, меньше, чем скорость движения самой этой поверхности. Происходит непрерывный захват поверхностью все новых порций газа.

4. Образование на ранней стадии обратного потока в построенном численно решении задачи Коши качественно напоминает картину движения газа, свойственную автомодельным решениям с 1/2>8>80. Поэтому для описания волны разрежения, которая расположена в области между двумя ударными фронтами, естественно вести поиск именно среди названных решений. На фиг. 1 сплошной кривой, помеченной буквой Ь, нанесено распределение скорости в автомодельном решении с 8 = 0,46. Оно весьма близко к тому, которое реализуется в волне разрежения, пока вторичный разрыв не настигнет головной ударный фронт.

Из фиг. 1 ясно, что движение газа имеет два существенно различных режима. При 7<г5/г0<20 в области, примыкающей к головному фронту, поле течения можно весьма точно задать при помощи автомодельного решения системы уравнений Эйлера

с 3 = 0,46 + 0,01. Огибающая характеристик в этом решении отсекается вторичным разрывом, и производные всех газодинамических параметров по координате остаются всюду конечными. Однако осесимметричный поток, описываемый отобранным решением, не является прямым аналогом плоского движения газа под воздействием короткого удара, поскольку он не допускает аналитического продолжения вплоть до оси г — 0. С принципиальной точки зрения автомодельное решение с 8 = 0,46 ничем не выделяется среди других решений этого же класса. Для его отбора, по-видимому, не существует иных принципов, кроме сравнения автомодельных решений с результатами численных расчетов параметров нестационарных течений.

Как было отмечено выше, асимптотикой второго режима служит решение задачи о сильном взрыве. Фактический выход на него движения газа в построенном численно примере осуществляется при rs/r0Ä 20.

ЛИТЕРАТУРА

1. Weizsäcker C. F. Genäherte Darstellung starker instationärer Stobwellen durch Homologie—Lösungen. Z. Naturforsch., Bd. 9a, Ht. 4, 1954.

2. Зельдович Я. Б. Движение газа под действием кратковременного давления (удара). Акустический журнал, т. 2, вып. 1, 1956.

3. А дамский В. Б. Интегрирование системы автомодельных уравнений в задаче о кратковременном ударе по холодному газу. Акустический журнал, т. 2, вып. 1, 1956.

4. С е д о в Л. И. Движение воздуха при сильном взрыве. Докл.

АН СССР, т. 52. № 1, 1946.

5. Седов Л. И. Распространение сильных взрывных волн. Прикл. матем, и механ., т. 10, вып. 2, 1946.

6. Власов И. О., Державина А. И., Рыжов О. С. О взрыве ■ на границе раздела двух сред. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., т. 14,

№ 6, 1974.

7. Державина А. И. Об асимптотике неустановившегося движения газа под действием импульса. Прикл. матем. и механ., т. 40, вып. 1, 1976.

8. А дамский В. Б., Попов Н. А. Движение газа под действием давления на поршне, изменяющегося по степенному закону. Прикл. матем. и механ., т. 23, вып. 3, 1959.

9. Miréis Н. Hypersonic flow over slender bodies associated with power-law shocks. In: Adv. of Appl. Meehan., vol. 7, New York, Acad,

Press, 1962.

10. Курант P., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны! М., Изд. иностр. лит., 1950.

11. Boris J. Р., Book D. L. Flux-corrected transport. I. SHASTA,

a fluid transport algorithm that works. J. of Comput. Phys., vol. 11, N 1,

1973.

12. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике.

М., »Наука“, 1967.

13. Коробейников В. П., Мельникова Н. С., Рязанов Е. В. Теория точечного взрыва. М., Физматгиз, 1961.

Рукопись поступила 61 VII 1976 г.