Неавтомодельное безударное сжатие симметричного объема газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии Том 13, № 1, 2008

Неавтомодельное безударное сжатие симметричного объема газа

А. Л. Казаков Уральский государственный университет путей сообщения, Екатеринбург, Россия e-mail: AKazakov@math. usurt. ru

Some time-dependent flows of a normal gas are investigated. A wave of compression is focused at the axis or the center of symmetry when it is created due to a smooth motion of an impenetrable piston in a gas at rest. The shock wave reflected from the axis or the center of symmetry has the finite variable velocity. A solution of this problem represents an extension of the Sedov's self-similar solutions in the case of two independent variables.

Введение

Рассматривается задача о неавтомодельном безударном сжатии цилиндрически- или сферически-симметричного объема газа, когда на ось или в центр симметрии фокусируется волна сжатия, вызванная плавным вдвижением в идеальный покоящийся газ непроницаемого поршня, после чего возникает ударная волна (УВ), движущаяся с конечной скоростью от оси или центра симметрии. Течения газа перед фронтом ударной волны стыкуются с течением за фронтом с выполнением условий Гюгонио. Построенное решение обобщает известное автомодельное решение Седова [1, 2] на случай двух независимых переменных. С.П. Баутиным [3, § 4] для цилиндрически- и сферически-симметричных течений была рассмотрена задача о фокусировке на ось или в центр симметрии волны сжатия, однако не были построены ни траектория движения расходящейся УВ, ни течение газа за фронтом УВ.

При построении течения в области между фронтом ударной волны (рис. 1, линия OC) и осью (центром) симметрии (рис. 1, область Q2) необходимо решить обобщенную задачу Коши (ОЗК) [4]. Отличие ОЗК от задачи Коши в традиционной постановке состоит в том, что данные для разных функций ставятся на разных поверхностях; от смешанной задачи ОЗК отличается тем, что число граничных условий равно числу неизвестных функций [5]. С обобщенной задачей Коши приходится иметь дело в газовой динамике при описании течений газа с ударными волнами. Кусочно-аналитические течения газа с ударными волнами строятся в работах В.М. Тешукова [6-8]. Течения с ударными волнами с использованием техники интегралов энергии исследованы А.М. Бло-хиным [9].

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2008.

1. Построение полей течений газа перед фронтом ударной волны

Рассматривается система уравнений газовой динамики для идеального политропного газа с уравнением состояния p = A2 (S)pY/7; где p — давление; S — энтропия (далее символом s обозначена функция A(S)); p — плотность; y = const > 1 — показатель политропы газа. Будут исследоваться цилиндрически- (v =1) или сферически-симметричные (v = 2) течения, зависящие от времени t и расстояния до оси или центра симметрии r = (x1 + ... + xV+1 )1/2 (x, x2, x3 — пространственные координаты). В качестве искомых функций U = U(t, r) берутся U = (a, u, s), где a = p(Y-1)/2, u — скорость газа. Скорость звука в газе тогда задается соотношением c = as, а система уравнений газовой динамики имеет вид

at + uar + 2

ut +

Y — 1

2

u

a ^ur + v—J

+ v- =0, r

2

Y — 1

st + usr = 0.

as ar + uur +— a ssr = 0,

(1)

Y

Для системы (1) рассматривается задача о плавном вдвижении поршня в газ, что порождает фокусирующуюся волну сжатия. Конфигурация соответствующих течений в плоскости переменных г показана на рис. 1.

В момент £ = £0 при 0 < г < г0 однородный газ покоится и в него из точки А (£ = £0,г = г0) начинает плавно вдвигаться непроницаемый поршень (рис. 1, линия АВ — траектория движения поршня). По однородному покоящемуся в области газу с постоянной скоростью минус с0 (с0 — скорость звука в газе в области ) начинает распространяться звуковая характеристика (рис. 1, прямая АО), отделяющая область волны сжатия ^ от области покоя . Момент фокусировки характеристики АО берется за £ = 0. При аналитическом законе движения поршня в некоторой окрестности точки А в области существует единственное аналитическое решение задачи о поршне, которое соответствует изоэнтропическому течению. Вне этой окрестности в области могут возникнуть особенности типа градиентной катастрофы. Но даже если градиентная катастрофа до момента фокусировки слабого разрыва на ось или в центр симметрии не наступит, все равно область существования аналитического решения задачи о поршне не включает точку (£ = 0, г = 0).

Рис. 1

Если закон движения поршня выбрать специальным образом, то течение в области H будет автомодельным. Точнее: для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ), описывающей автомодельные течения U = U(A), Л = r/t, строится конкретная интегральная кривая, проходящая через соответствующие особые точки. Тем самым в области H выбирается конкретная волна сжатия. По ней однозначно восстанавливаются линии AO, AB, OC — траектория движения отраженной УВ (рис. 1). Для этих автомодельных течений OC будет прямой, а в области H2 между отраженной ударной волной OC и осью r = 0 сжатый газ снова покоится и является однородным. В области H параметры газа постоянны на прямых A = const, в том числе a(0,r) = const > 0,u(0,r) = const < 0. Ясно, что автомодельными течениями U = U(A) не передать в момент t = 0 произвольные профили газодинамических параметров

a(0, r) = a0(r), a0(0) > 0, u(0, r) = u0(r), u0(0) < 0.

Если предположить, что при произвольных a0(r), u0(r) в области при t > 0 существует решение системы (1), то отраженная ударная волна OC уже не будет прямой, а для течения газа в области H2 уже не будут постоянными a, u, s.

Автомодельные решения U(A) также описывают процесс фокусировки волны разрежения, у которой постоянна скорость движения свободной границы. Распределения газодинамических параметров в фиксированный момент времени являются специальными и однозначно определяются выбором конкретного автомодельного течения U(A).

Решение "прямой" задачи о поршне — когда поршень движется по априорно заданному закону — имеет особенность в точке (t = 0, r = 0). Для того чтобы раскрыть эту особенность, предлагается следующий способ рассуждения. Сначала, исходя из начальных условий U(0, r) = U0(r),

a(0, r) = a0(r), 00(0) > 0; u(0, r) = uc(r), зд(0) < 0; s(0, r) = S0 > 0, (2)

где s0 = const, строится решение системы (1) в области Hi и увязывается с задачей о фокусировке волны сжатия:

1) однозначно восстановим характеристику AO (рис. 1) и плотность однородного покоящегося между AO и осью r = 0 газа;

2) в области H1 однозначно определим (как при t < 0, так и при t > 0) траекторию движения частицы газа, занимающей при t = 0 положение r = r0. Эту траекторию и можно будет взять за траекторию движения непроницаемого поршня, порождающего данную волну сжатия.

Потом в области H2 строится другое решение системы (1), у которого u(t, 0) = 0. Одновременно с построением решения в H2 строится неизвестная ударная волна OC, на которой построенное в H1 и искомое в H2 течения связаны соотношениями Гюгонио.

Так как течение в области H1 изоэнтропическое, не теряя общности рассмотрения, можно считать, что s0 = 1, а значит, a = c в области H1.

Если данные (2) в некоторой окрестности точки r = 0 являются аналитическими функциями, то решение задачи Коши (1), (2) однозначно строится в виде формального степенного ряда

U(t.r) = £ ^

k=0

При этом индукцией по k устанавливается, что Uk (r) = Uk0(r)/rk, k > 1. Функции Uk0(r) — аналитические в той же окрестности точки r = 0, что и функции U0(r) из (2).

Следовательно, решение задачи (1), (2) однозначно представлено в виде формального ряда

"" (£/г)к

и(£,г) = ^ Ик0(г)-

к=0

Ы

(3)

где и00(г) = и0(г). Чтобы исследовать область сходимости (а следовательно, и область применимости) ряда (3), в системе (1) делается замена переменных

С =х =г

(4)

с якобианом 3 = 1/г. Замена (4) является вырожденной при г = 0. Система (1) для изоэнтропического течения в переменных С, X с учетом формул

— = 1 (х— - С—

дг X \ дХ дС

А = 1А

записывается в следующем виде:

7 - 1

(1 - СиК--Саис + х

' + 7 - 1 ' иах + аих

2 + (1 - Си)ис- -Са2ввс + х

7 - 1

7

7 - 1 + V—-—аи = 0,

а в ах + иих

.7 - 1

0.

Если разрешить эту систему относительно производных и, то, учитывая, что в области в = 1, с = а, получится

х

и^

сС

2

7 - 1

ссх + [и + С(с2 - и2)]их

vZuc2

(1 - Си)2 - с2с2

х< [и + С (с2 - и2)]сх +

7 - 1

2 х

(1 - (и)2 - С2с2

(1 - Си)2 - с2с2'

V(7 - 1) (1 - Си)ис

2 (1 - Си)2 - С2с2 ■

(5)

Особенность в системе (5) отсутствует.

Если в системе (5) положить д/дх = 0, то получится система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая автомодельные течения, которые зависят только от С.

Из вида замены (4) следует, что прямой £ = 0 в плоскости переменных ¿, г соответствует прямая С = 0 в плоскости переменных С, х, а начальные условия (2) переходят в начальные условия

и(С,х)к=0 = и0(х). (6)

Здесь и далее и = (и, с).

Теорема 1.1. Если И0(х) _ функции, аналитические в некотоpой о^естности точки х = 0, то задача Коши (5), (6) имеет в некотоpой о^естности точки (С = 0, х = 0) единственное аналитическое решение, задаваемое сходящимся рядом

л к

И(С,х) = У^ Ик1(х) ^, И01 (х) = И0 (х).

к=0

(7)

2

Поскольку система (5) записана в нормальном виде (разрешена относительно производных д/д£), правые части системы (5) и начальные условия (6) есть аналитические функции от х, и, с в некоторой окрестности точки (£ = 0, X = 0, и = и0(0), с = с0(0)), то теорема 1.1 является следствием теоремы Ковалевской.

При доказательстве теоремы 1.1 изоэнтропичность течения в области ^ существенно не используется и теорема справедлива также в случае переменной энтропии.

Решение задачи Коши (5), (6) определяется вне зависимости от знаков компонент вектора и0(х) — в некоторой полной окрестности точки (£ = 0,х = 0). Исходя из физического смысла задачи Коши (5), (6), надо рассматривать решения при х > 0, у которых с > 0.

Вдоль оси Ох область существования решения ЗК (5), (6) дотягивается до точки х = х*, где имеется особенность у функций и0(х) (в том числе может быть, что х* = о): при х — х* радиус сходимости ряда (7) стремится к нулю как некоторая положительная степень разности х-х* (или дроби 1/х, если х* = оо). Чтобы найти на оси О£ граничные точки области сходимости ряда (7), представим решение ЗК (5), (6) в виде

и(С,х) = Ё ии (С )хк/к ! .

к=0

Тогда и02 (С) является решением нижеследующей ЗК для СОДУ:

г, и(С )к=0 = и0 (0),

(8)

ис

(1 - Си)2 - С2с2

у(7 - 1) (1 - Си)ис п /пч

сС =--2-(1-^-7272' )1с=0 = с0(0);

(9)

(1 - Си)2 - С2с

которая получится, если в ЗК (5), (6) положить х = 0. Из-за вырожденности преобразования (4) система (5) при х = 0 принимает тот же вид, что и при д/дх = 0, т. е. СОДУ из задачи (9) эквивалентна СОДУ описывающей автомодельные решения и(£,г) = Ц"(г/£) системы уравнений газовой динамики.

Функции а02 (£), и02 (£) в общем случае через квадратуры не выписываются. Однако у этой СОДУ решения и все их особенности известны. В том числе известны £ = (* < 0 и С = С * > 0 — граничные точки области существования аналитического решения ЗК (9). Конфигурация течения газа в осях х изображена на рис. 2.

Рис. 2

При этом в случае фокусировки волны сжатия значение C = С* (рис. 2, прямая AO0) соответствует звуковой характеристике AO (см. рис. 1): c(C*, х) = const > 0, u(C*, х) = 0, c(C*, х) = —1/Z*. В случае фокусировки волны разрежения значение C = C* (рис. 2, прямая AO0) соответствует свободной границе (см. рис. 1, прямая AO): c(C*, х) = 0, u(C* ,х) = const = 1/C*.

Значение C = C* в обоих случаях оказывается больше, чем значение C = Ci: C* > Zi > 0, где 1/Ci есть скорость отраженной ударной волны OC в случае автомодельных течений (метод определения C = C1 описан ниже).

Переходом в задаче (9) к безразмерным переменным легко показать, что, не теряя общности рассмотрения, можно принять равным единице одно из значений с02 (0) или |u02(0)|. Поэтому при заданных y и v значение f = с02(0)/|u02(0)| определяет, какая из величин (с или и) обратится в точке (C = C*, х = 0) в нуль, т. е. какая волна (сжатия или разрежения) фокусируется. Из результатов, полученных Л.И. Седовым [1], следует, что справедлива лемма.

Лемма 1.1. Для v = 1, 2 и любых f > 0 найдутся y* (v) такие, что:

1) если 1 < y < y*(v), то u(C*, 0) = 0,а(C*, 0) > 0 (фокусируется волна сжатия);

2) если y*(v) < y, то u(C*, 0) < 0,а(C*, 0) = 0 (фокусируется волна разрежения).

Численное решение задачи (9) приводит к таким результатам: при f = 1 получаются

значения y* = 2.120; y2 = 1.848. На рис. 3 и 4 показаны конкретные интегральные кривые ЗК (9).

Чтобы построить остальные Uk2(C), надо ЗК (5), (6) последовательно дифференцировать по х и полагать х = 0. В результате будут получаться линейные СОДУ для Uk2(C) с начальными условиями: Uk2(0) = дkU0(х)/дхк|х=0. При решении этих ЗК однозначно определятся все Uk2 (C). Построенный таким образом ряд (8) есть переразложение ряда (7), решающего ЗК (5), (6). Тот факт, что коэффициенты ряда (8) определяются из дифференциальных уравнений, а не из алгебраических (как коэффициенты ряда (7)), объясняется тем, что корни характеристического уравнения А1, А2 для системы (9) имеют такие значения:

л _ х(и — с) л _ х(и +с)

Ai — --—-т, А 2 —

1 - С (и - с)' 1 - С (и + с)'

т. е. линия х = 0 для системы (5) служит характеристикой кратности два. Ряд (8) строится как решение характеристической ЗК, и единственность этого решения обес-

печивается заданием условий (6). Поскольку СОДУ, из которых определяются Uk2 (Z), k > 1, являются линейными, то при Z* < Z < Z * У U&2 (Z) особенностей нет. Тогда доказываем, что граничными по оси О£ точками области сходимости ряда (8) являются точки Z = С* и Z = С * • Это приводит к тому, что в плоскости переменных Z, X область сходимости рядов (8) ограничена некоторыми монотонными кривыми, выходящими из точек (Z = Z*, X = 0), (Z = Z*, X = 0) и входящими в точку (Z = 0, X = X*)• На рис. 8 (см. дальше) качественное поведение этих кривых в случае X* = °° показано штриховыми линиями.

Зная течение газа в области Q1 в виде рядов (7), (8), можно, решая соответствующие ЗК для обыкновенного дифференциального уравнения, однозначно определить траектории движения частиц газа в области Q1. Одна из построенных траекторий движения частицы может быть принята за траекторию движения непроницаемого поршня, порождающего волну сжатия в области Q1.

Если u0(r) = const < 0, a0(r) = const > 0, то ряды (8) обрываются на первом члене и течение газа в области Q1 описывается известным автомодельным решением Седова. Дифференциальное уравнение, описывающее траекторию движения частицы, в этом случае интегрируется в квадратурах. На рис. 5 в плоскости переменных Z, X приведена траектория частицы, проходящая через точку (Z = 0, X = Xo = 1). На рис. 6 та же траектория изображена в плоскости переменных t, r.

Отметим, что в этом случае отраженная УВ (см. рис. 5 и 6, прямые O1C, OC) движется с постоянной скоростью, газ в областях и Q2 однородный и покоится, причем справедливо неравенство a |q0 < a |q2 .

Если u0 (r), a0 (r) не являются постоянными, то коэффициенты рядов (8) при n > 0 отличны от нуля, а следовательно, течение в области Q1 неавтомодельное и отраженная УВ имеет переменную скорость движения. На рис. 7 и 8 показаны (линии A2 и 2) траектории движения частиц газа в области Q1, проходящие через точку Z = 0, X = Xo, т. е. через точку t = 0, r = r0 = Xo в случае конкретных распределений газодинамических параметров (2). Линии A1 и 1 на рис. 7 и 8 передают траектории движения частиц в автомодельном течении Седова.

Видно, что при малых r0 физически осмысленная картина восстанавливается вплоть до характеристики O0A1 (см. рис. 7). При увеличении Xo ряды (8) передают течения

Рис. 7

Рис. 8

газа в окрестности точки (Z = 0, X = Хо) и не описывают течение газа в окрестности характеристики O0Ai. Линии OiCi и OiC2 на рис. 8 передают траекторию движения отраженной УВ соответственно в автомодельном и неавтомодельном случае. Способ построения фронта отраженной УВ описан ниже.

Решение задачи (9) не является постоянным. Из этого следует, что в пространстве переменных t, r в области Qi вектор-функция U(t, r) на разных прямых t/r = const принимает разные значения в точке (t = 0, r = 0). Поэтому и возникает вопрос о выборе значений газодинамических параметров в точке (t = 0, r = 0) для расчета скорости движения отраженной УВ в момент t = 0. Пусть траектория отраженной УВ (см. рис. 1, линия OC) задается уравнением r = ^(t), тогда скорость движения УВ D(t) = (t). Надо подобрать значение (1, чтобы величина 1/Z1 задавала бы значение D(0). Для функции D (t) из условий Гюгонио [10] следует соотношение

D=

3

Y

4

ио +

(y + 1) 16

2

2

u0 + С

i/2

(10)

при выводе которого параметры газа перед УВ помечены индексом нуль, а скорость газа за УВ предполагается равной нулю. Следовательно, искомое значение (1 должно удовлетворять соотношению 1/(1 = у), где у) — правая часть соотношения (10), в котором вместо щ0, с0 надо подставить соответственно щ02 (С), с02 (С). Отсюда при заданном решении задачи (9) значение (1 определяется однозначно. Описанная процедура эквивалентна определению параметров газа за отраженной ударной волной ОС при построении решений в областях и в классе автомодельных течений.

2. Построение полей течений газа в области между фронтом ударной волны и осью (центром) симметрии

Для построения решения в области в системе (1) будет сделана замена как независимых, так и искомых функций. Вначале по формулам

г = ^(х), t = у + X (11)

производится замена г, £ на независимые переменные ж, у. Якобиан данного преобразования имеет вид

3 = <'(ж) = Б(ж).

Функция г = <(£) пока неизвестна и задает траекторию движения отраженной УВ. Однако из предыдущих рассуждений известны значения: <(0) = 0, <'(0) = Б(0) = 1/Сь Следовательно, замена (11) в точке (£ = 0, г = 0) является невырожденной, а при условии аналитичности функции <(ж) замена будет невырожденной и в некоторой окрестности начала координат. Главная цель замены (11) состоит в следующем: ось г = 0 переходит в ось ж = 0; линия УВ переходит в другую координатную ось — у = 0.

В новых переменных система (1) записывается в виде

и 7 — 1 о 7 — 1 и°

°у + 7^(°х — °у) +-----рг(иж — иу) + и—--= 0,

Б 2 Б 2 <

2 2 1 / \ и / \ 2 2 1/ \гл

Му +--- — (Ох — Оу) + — (Мх — Му) + - О 3 — (3х — 3у) = 0,

7 — 1 Б Б 7 Б

(12)

и ( )

3у + Б — 3у)

0,

где за Б = Б (ж) обозначена неизвестная пока функция <' (ж). После группировки слагаемых система (12) принимает вид

и

Б°х +

Б — и

Б

"Оу +

7 — 1 о 2 Б

(иж — иу) + и

7 — 1 ио

0,

2<

Б — и и 2 аз2 2 а2з

иу + 7^ их + :-РГ(°х — оу ) + 7^(зх — 3у) = °

ББ

и Б — и

Б3х +

7 — 1 Б 0,

7 Б

(13)

Обе части первого уравнения системы (13) умножаются на

Б

-, обе части второго Б — и' Р

(7 — 1)Б б Б

уравнения — на -2—, обе части третьего уравнения — на

система примет вид

2°з2

Б—и

В результате

и

_ . . 7— 1 ° , ч . 7— 1 и°Б

—-°х + °у +--— —-(иж — иу) + и—--—--

Б — и 2 Б — и 2 <(Б — и)

(7 — 1)(Б — и) (7 — 1)и 0(7 — 1)

°х — Оу +

' х и у

и

Б—и

2°з2

Зх + Зу 0-

иу +

2°з2

их +

73

(зх 3у) 0,

(14)

Первые два уравнения (14) складываются:

Б 7 — 1 о

°х +

Б — и

1+

2Б-и

0(7 — 1)

и(Б - и) °2з2

их +

7 — 1 о

+

73

(3х — 3у) + и

2Б-и

7 — 1 иоБ Т" <(Б — и) =

(Б — и)2 °2з2

-1

иу +

0.

Если последнее уравнение разрешить относительно их, то получится

1

их

и(Б - и) °2з2

1-

(Б — и)2 °2з2

2Б

(7 — 1)°

2(Б — и) ( ) ииБ

°х (3х 3у)

73

<

у

0

иу-

Второе уравнение (14) разрешается относительно су:

= (7 - 1)(р - щ)щ (7 - 1)щщ + с(7 - 1) - а );

Су Сх + 2 ^2 + 2 ^2 + - « ( 5У);

третье уравнение (14) — относительно 5у

75

щ

Б - щ

Также в систему добавляется уравнение = Б|у=0, описывающее движение ударной волны. Итак, получена система

1

Щж

1 +

щ(Б - щ)

С252

1-

(Б - и)2

С2 52

2Б

(7 - 1)с

Сх-

2(Б - щ)( )

(5х 5у) г

75 ^ ]

= , (7 - 1)(Б - щ)щ , (7 - 1)щщ , с(7 - 1) , - а )

Су Сх + о 2 щУ + о 2 + (5х 5у

2 С 52

2 С 52

75

5У = Н,

= Б|у=о,

(15)

где

Пусть

Н = —

щ

Б - щ

К1

2Бо

> 0, К

2Б0 Б0

—0 > 0, М0 =-—.

5007 С00500

(16)

С00(7 - 1)

По теореме Цемплена [10] 0 < М0 < 1.

С использованием (16) преобразованная система (15) может быть переписана следу■ ющим образом:

Чх = (1 - Мд )щу - КСх - К25х -

+ Х1,

М2

К2

Су = Сх + "ГТ" щу + Т7" 5х + X

5У = Н,

, = Б|у=0-

К1 у К

(17)

Здесь Х1

1

щ(Б - щ)

С252

1-

(Б - ц)2

С252

2Б 2(Б - щ). .

щу + 7-77""Сх--(5х - Н) > -

(7 - 1)с 75 1

-(1 - М02 )щу + К Сх + К25х

щу -

х (7 - 1)(Б - и) (7 - 1)и +

Х2 = ---о-Иу +----~-Их +

2а82

2а82

*(7 - 1) ( - м - М - К

78 ^ К К

Функции Л,,Х1,Х2 таковы, что коэффициенты перед производными неизвестных функций равны нулю в точке (х = 0, у = 0, и = 0, а = аоо, 8 = 8оо).

До введения новых неизвестных функций вводятся следующие обозначения: и — искомое решение в области между фронтом УВ и осью (центром) симметрии; И1 = (и1, с1) — фоновое течение, и переписываются условия Гюгонио на УВ (т.е. на оси у = 0) в эквивалентном виде для Б, а, 8 через И1 и и (что возможно в силу теоремы определенности):

Б

у=о

3 - 7 1 7 +1 —^и1 + -!—— и + Ь 4 4

у=о

а|у=о

7 - 1

8 |у=о

4(7 + 1)Ди + Ь 11(7 - 3)Ди + Ь

4(7 - 3)Ди + Ь

у=о

1 2

х

где

1 - 7

х

4(7 +1)Ди + Ь

х

4(37 - 1)Ди + Ь

Ь

(7 +1)2 16

(и - и1)2 + (с1)2, Ди = и - и1

у=о

а8-

(18)

В силу симметрии имеем условие и|х=о = 0, поэтому величины аоо = а|х=у=о, 8оо = з|х=у=о однозначно определяются из условий (18), поскольку И11с=С1,х=о известны из предыдущего. При этом соо = 8ооаоо > 0.

Функции и1, с1 определяются вдоль неизвестного фронта УВ. Поэтому

И1|у=о = И1(С,х)|у=о = И1

х + у

х-0

И1

у=о

1

-0(х)

, х^(х)

где -0(х) находится из соотношения <^(х) = х^(х). Правые части условий Гюгонио (18) обозначаются соответственно через Б*|у=о, а*|у=о, 8*|у=о. Приведенные рассуждения позволяют записать функции Б*|у=о, а*|у=о, 8*|у=о в виде

Б*|у=о = (аи + е-0 + ?о)|у=о, а*|у=о = («1« + £1^ + ?1)|у=о, 8* |у=о = («2М + £2^ + ?2)у=о-

Здесь (%)/(ди)|ж=у=о = (%)/(д0)|ж=у=о = 0, г = 0,1, 2.

Тогда, в частности, последнее уравнение системы (17) записывается как

х^'(х) = [(е - 1)^(х) + аи + 5о]|у=о-

(19)

2

1

с

1

2

2

с

Из (18) следует, что справедливы неравенства

а > 0, а1 > 0, а2 > 0, е < 0, е1 < 0, е2 < 0.

Теперь вводятся новые неизвестные функции по формулам

щ' = щ,

V = К1(С - С* |у=0),

и = ф - Б0,

г = 5 - 5*|у=0-

(20)

(21)

т. е. вместо (щ, с, 5, ф) неизвестными функциями будут (щ', V, ад, г). Якобиан замены (21), очевидно, равен единице.

Замена (21) позволяет перейти к обобщенной задаче Коши с нулевыми начальными данными, заданными на двух поверхностях для квазилинейной системы с особенностями.

Для того чтобы с учетом замены (21) преобразовать систему (17), необходимо старые неизвестные щ, с, ф, 5 выразить через новые . С этой целью выполняются некоторые преобразования. Из (21) непосредственно следует, что

щ = щ', ад = ф + Б0. (22)

После подстановки во второе и в третье из соотношений (21) равенств (22) получается V = К1[с - с*(х,щ,ф)|у=0] = К1[с - с*(х,щ'|у=0,ад + Б0)],

г = 5 - 5*(х,щ,ф)|у=0 = 5 - 5*(х,щ'|у=0,ад + Б0).

Таким образом, искомые выражения старых неизвестных щ, V через новые неизвестные щ'^' (и независимые переменные х,у) имеют вид

щ = щ', с = — [V + с*(х,щ',ад + Б0)|у=0],

К! 1

5 = г + з*(х,щ',ад + Б0)|у=0, ф = ад + Б0.

(23)

Прежде чем подставлять соотношения (23) в систему (17), необходимо дополнительно получить соотношения для производных. Для этого обе части соотношений (23) последовательно дифференцируются по х и по у. В результате получается, что

щх = щ

щу щу,

Сх = + сх(х,щ',ад + Б0)|у=0+

К1

+С^(х,щ',ад + Б0)|у=0 ■ щх|у=0 + С^(х,щ' + щ00,и + ^0)|у=0 ■ ^х]

с.

у кГу'

(24)

гх = 5х + 5х(х,щ', ад + Б0)|у=0+

+ 5и(х,щ',ад + Б0)|у=0 ■ щх|у=0 + ^(х, щ' + щ00,И + ^0)^=0 ■ Их,

гу = 5у,

Их = фх,

аду = 0.

1

Вводятся обозначения:

1

Vl|y=о = тг{сх(х,щ', и + Д)|у=0 + [сЦ(х,щ', и + Д)|у=0 - а1] щх|у=0+

К1

+ [(*,(х,щ',и + ^0)|у=0 - е^ Их},

1у=0 = «х (х,щ', И + Д,)|у=0 + [<(х,щ', И + Д,)|у=0 - а2] щх |у=0 +

(25)

+ (х,щ', и + Д)|у=0 - е2]

Их

Функции v1, зависят от независимых переменных х, у, неизвестных функций щ', и и их производных щх, их, причем зависимость от производных линейная и коэффициенты перед производными обращаются в нуль в точке О (х = 0,у = 0,щ' = 0^ = 0,

г = 0,и = 0).

С учетом обозначений (25) соотношения (24) переходят в соотношения:

щ

у = щу,

1

Сх = -т^^х + а1щх|у=0 + е1^х|у=0) + Vl|y=о, VУ = VУ,

5х = гх + а2щх |у=0 + е2Их |у=0 + |у=0, 1

(26)

и.

у~ КVy,

фх

иу = 0.

Теперь правые части формул (23), (26) подставляются в систему (17). В результате с учетом (19) система примет следующий вид (штрих далее для удобства написания будем опускать):

щх

(1 - Мд )щу - Vж - А(щх)|у=0 - к(Их)|у=0 -

х(М) + и)

- К гх + Уь

1 М02 1 1 Л. .. 1 . .. К2 1 А

VУ = щу + Vx + К А(щх)|у=0 + К(Их)|у=0 + Кгх + КУ2,

К1

К1

К1

(27)

Уз

Здесь

хИх = [ащ + (е - 1)и + У4 |у=0 .

А = + К2а2; к = + К2е2; У = Х1 - |у=0 - К2^1|у=0; У = КХ2 + ^1^=0 + К2^1|у=0;

У = <?0 - Д) + е^0.

Функции Х1, Х2, Уз, ^0 получаются из функций Х1, Х2, Л., д0 в результате замены (21). Функция У4 обладает свойством

У

дУ4

4 х=«=ад=0

дщ

Ж

х=«=ад=0

0.

х=«=ад=0

г

у

Из (16) и (20) следует, что

0 < Мо < 1, Л > 0, к< 0, а > 0, е < 0.

Обе части первого уравнения (27) умножаются на х, обе части второго — на К1. Окончательно получается следующая система:

хиж = х(1 - Мо2)иу - х^х - хЛ(иж)|у=о - к(^х)|у=о - D -хК2^х + хУ1,

Уу = М02Ц,у + Ух + Л(иж)|у=о + к(^х)|у=о + К^х + У2, (28)

% =

х^х = [аи - (е + 1)м + 14 |у=о -

Условие на оси симметрии для скорости газа и = 0 и условия Гюгонио на УВ в новых переменных запишутся в виде

(Бо + м)

м(0) = 0, и(0, у) = 0, у(х, 0) = 0, г(х, 0) = 0-

(29)

Тем самым для системы (28) получена ОЗК с начальными данными (29) на двух поверхностях: начальные значения для неизвестных м(х), и(х, у) задаются на одной координатной оси х = 0, а для двух других функций у(х,у), г(х,у) начальные значения задаются на другой координатной оси у = 0. Линии х = 0 в пространстве физических переменных ¿, г соответствует прямая г = 0 и начальные условия на ней отвечают равенствам Б(£)|4=о = 1/Съ и|г=о = 0. А линии у = 0 соответствует траектория неизвестной УВ. При этом два из трех условий Гюгонио на УВ переходят в начальные данные для у(х, у), г(х,у), поставленные на прямой у = 0, а третье из условий Гюгонио перешло в первое уравнение системы (28).

Задача (28), (29) описывает течения в области П2, точно удовлетворяющие условиям Гюгонио, и является обобщенной задачей Коши с данными на двух поверхностях, одна из которых служит характеристикой.

Теорема 2.1. Задача (28), (29) имеет единственное аналитическое решение, т.е. при 7 > 1 существует единственное аналитическое решение задачи (1), (2) в области 0,2, в том числе траектория движения отраженной УВ, на которой выполнены условия Гюгонио. Для решения в П2 выполнено также условие симметрии.

Доказательство теоремы 2.1 является чрезвычайно громоздким и здесь не приводится.

Автор признателен Сергею Петровичу Баутину за полезные обсуждения статьи.

Список литературы

[1] Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1987. 448 с.

[2] Забабахин И.Е., Симоненко В.А. Сферическая центрированная волна сжатия // Прикладная математика и механика. 1978. Т. 42, вып. 3. С. 573-576.

[3] Баутин С.П. Математическая теория безударного сильного сжатия идеального газа. Новосибирск: Наука, 1997. 160 с.

[4] ЛеднЁв Н.А. Новый метод решения дифференциальных уравнений с частными производными // Математический сборник. 1948. Вып. 2. C. 205-266.

[5] Баутин С.П., Казаков А.Л. Обобщенная задача Коши и ее приложения. Новосибирск: Наука, 2006. 399 с.

[6] Тешуков В.М. Построение фронта ударной волны в пространственной задаче о поршне // Динамика сплошной среды. 1978. Вып. 33. C. 114-133.

[7] Тешуков В.М. Распад произвольного разрыва на криволинейной поверхности // Прикладная механика и техническая физика. 1980. № 2. C. 126-133.

[8] Тешуков В.М. О регулярном отражении ударной волны от жесткой стенки // Прикладная математика и механика. 1982. T. 46, вып. 2. C. 225-234.

[9] Блохин А.М. Интегралы энергии и их приложения к задачам газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1986. 240 с.

[10] Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1968. 529 с.

Поступила в редакцию 28 июля 2007 г.