Автомодельные осесимметричные движения газа с ударными волнами, сходящимися к оси симметрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том X 19 7 9

М 2

УДК 533,6.013.011.3/5

АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА С УДАРНЫМИ ВОЛНАМИ, СХОДЯЩИМИСЯ К ОСИ СИММЕТРИИ

В. П. Пархоменко

Рассматривается задача о схождении сильной ударной цилиндрической волны к оси симметрии и задача о течении газа, сжимаемого цилиндрическим поршнем, движущимся из бесконечности по степенному закону. Проведено исследование для всех значений отношения теплоемкостей газа •/.. В первой задаче определяется зависимость показателя автомодельности от ч. и область неоднозначности этой зависимости. Оказывается, что при х<;1,14 решение первой задачи является в некотором смысле предельным для задачи о поршне. При у. >1,14 задачи никак не связаны.

1. Существует широкий класс задач, для которых в начальный и близкие к нему моменты времени решение неавтомодельно, однако с приближением ударной волны к оси симметрии оно становится автомодельным. К этому типу можно отнести следующие задачи: задачу о движении газа при выделении в начальный момент времени энергии в тонком цилиндрическом объеме; задачу о движении газа под действием повышенного давления вне некоторого цилиндра; задачу о движении газа под действием поршня, перемещающегося к оси, который через некоторое время останавливается. Как показывают численные решения этих весьма различных задач, с приближением ударной волны к оси симметрии решения выходят на один и тот же автомодельный режим — так называемую сильную сходящуюся к оси симметрии ударную волну. В этих случаях автомодельное решение можно использовать для раскрытия особенности на оси симметрии, возникающей в решении перед моментом схлопывания, что дает возможность изучить и отражение ударной волны от оси.

Тот факт, что выход на автомодельный режим осуществляется для режима течения, в котором ударная волна достаточно близка к оси и на характере течения уже не сказываются начальные дан-

ные, позволяет следующим образом сформулировать автомодельную задачу о схождении к оси сильной ударной волны Ц] и связанную с ней, как выяснится ниже, задачу о поршне.

Пусть при £-> — оо (і — время, отсчитываемое от момента схлопывания) невязкий нетеплопроводный совершенный газ занимает все пространство, покоится и его температура равна нулю. Движение газа возникает в результате цилиндрически-симметрич-ного выделения энергии на бесконечности или под действием сжимающегося цилиндрического поршня:

г, =Й'* (-Л (1)

где г,— расстояние от оси симметрии до поршня, 10 и & — положительные постоянные.

В газе, очевидно, возникает ударная волна, движение газа за которой описывается уравнениями Эйлера |2]:

dt

_с>і dr

?

да

~дг

+ — = 0;. ■ I r 1

ди . ди

-ш + и-д?

ds

dt

ds n u -3— = 0 dr

(2)

и уравнением состояния /? = sp\ Здесь г —расстояние от оси, р — плотность, и — скорость, р — давление, 5 — функция энтропии газа. Перед волной в соответствии с начальными условиями и—р = 0, р = р0 = const.

Соотношения на фронте ударной волны:

и = р

\

_р_

Ро

4- I

1 ’

Ро

(3)

где А^—скорость фронта ударной волны.

Обе поставленные задачи допускают автомодельные решения вида (сферический случай рассмотрен в [3])

«=££/(?), р = раУ?(5), Р = Р0~Р^), (4)

где £ = ;0/г-*, к — показатель автомодельности. В задаче о схо-

дящейся ударной волне он определяется в процессе решения. В задаче о поршне показатель автомодельности определяется непосредственно из закона движения поршня (1) и ставится цель определить его значения, при которых решение задачи существует.

Уравнения газовой динамики (2) сводятся к обыкновенным

дифференциальным уравнениям для функций и, /?, Р:

(2г-у)(|-у)-(*-1)(2г/х-|у+ I), "

bU’

г-У

D

и R' _ У о — У) — (к^~ 1)(2г-/у. — y-f- I) .

Е R У (* — У) ’

Р'_____2 уг — (у. + 2) у'3 + ху — (k — 1) [(2 -■ *) у -Г х]

У (г-У)

(5)

где

y=l-U,

ч-Р

R{\-UY

(6)

Начальные данные для этой системы получаются из условий на ударной волне (3). В силу автомодельности ударная волна яв* ляется линией % = const, и, выбрав подходящим образом ;0, мы можем сделать эту константу равной единице; тогда условия (3) приводятся к виду

^<1> = 4т. '>0)-т|т. (7)

Исследование системы (5) немного различно для задачи о сходящейся волне и задачи о поршне. Обратимся сначала к первой из них.

2. При t — 0 (момент схлопывания) естественно потребовать, чтобы скорость, плотность и давление при всех г были ограничены. Это приводит, учитывая (4), к условиям:

6Г(0) = Р(0) = 0. (8)

Уравнения (5) имеют первый интеграл

у» zk ДА (*-,) £2 (1-2 к) _ const.

Тогда систему (5) можно переписать в переменных у и z следующим образом:

kl_

(9)

dy = Я (У. г) .

d\ г-у '

Ы— ~ — Р<-У- £>

d\ ~ у г-у ’

где

p(y, z) = 2z — /V2 4- (х — 2) ([14-1) у — IV/, q(y, z) — (1 ~y)(y — 2z) + fi.(22/* — у 4 1), р = k — 1.

Отсюда получаем одно уравнение

dz _ г р(у, г) nm

dy у д(у, г) ' U

Из условий (7) и (8) следует, что искомая интегральная кривая уравнения (10) должна выходить из точки М(у0, z0), где у0 — = (х—1)/(х -f- 1), z — 2x/(x-j-l) и попадать в точку 0(1, 0). Параметр jj. и определяется из этих условий.

Существенную роль играет характеристика drjdt = и — с (с—скорость звука) системы (2), достигающая оси симметрии в момент фокусирования волны. Она является линией ? = const, откуда следует, что на этой характеристике знаменатели уравнений (9) обращаются в нуль.

Так как точки Ж и О лежат по разные стороны от прямой y = z, искомая интегральная кривая обязана ее пересечь, а это возможно только в точках, где р{у, z) = q(y, z) — 0, иначе « была бы немонотонной на этой интегральной кривой, а у и г — неоднозначными функциями Таким образом, искомая интегральная кривая, выходящая из точки М, должна пересекать прямую y — z в особых точках уравнения (10). Их координаты определяются из квадратного уравнения:

Уг— (l 4-----' 1А).У 4 Iх — 0.

Координаты этих точек (обозначим их и А/,): у = г=у, = -1-(1

у = г=у2 = ±-[ 1 + +]/д),

где

Д = 1--2^-%+(~)%3.

Для того чтобы у, и у, были действительными, необходимо, чтобы Д>0, т. е.

X X

11^1»,= -7-р=--=ГГ. ИЛИ II ц, = -т——---=г-

г ^ г' (К* + УЪ)* (К* - /2)* '

Область следует отбросить, так как |а2>1, а при «■> 1 энер-

гия газа в цилиндре любого фиксированного конечного радиуса стремится к оо при /->0. Значения [*-<0 также не подходят, так как при них «->0, р-+0, с-*-0 при ^->0, что несовместимо с любым конечным давлением на фронте. Остается исследовать отрезок 0 < р. С [л,. При {х = 0 _У1 == 0, = 1, а при возрастании р. от 0 до а,

особые точки Л/, и N2 движутся по прямой у=г навстречу друг другу и сливаются в одну при = Уравнение (10) в области 0<з/<оо, 0<2<с» имеет не более трех особых точек. То, что две из них лежат на известной прямой, позволяет найти аналитическое выражение для координат и третьей (УУ3). Здесь нам потребуется только ее координата

Тип особых точек Nl, Л/, определяется корнями характеристического уравнения в этих точках:

>8 — (3 — ч) /• + 4х (у, - у5) (у, _ ) = 0, (12)

где у1 — абсцисса точки Л/,-(/:= 1, 2). Тип одной из особых точек Л^, /V, меняется С изменением положения ТОЧКИ М, относительно и N3. Отсюда следует условие:

(Уз— УЛУз— ь) = о,

которое дает

1=0-

Положительный корень этого уравнения

При {х р-з сливаются в одну все три особые точки Л,’1) Лг2 и А'',, что дает уравнение для значения х — х2, при котором происходит такое слияние; ________

т т г*)* ^ +У Ш+1,

откуда х2 3,04.

Из анализа уравнения (12) следует, что при

* < * - (* ~ 2 V2 )

точка /V, является фокусом. Наконец, из (11) видно, что при 1, .Уз<0 и внутри первого квадранта плоскости (у, г) остаются только две особые точки /V, и А',.

Линии !*■) (х), рь3 (*), ^5(х), и = х—1 делят первый квадрант плоскости (у, г) на области, такие, что при изменении * и р внутри каждой из них картина интегральных кривых качественно не меняется, а особые точки АТ,, Ы.2, Ад сохраняют свой тип. Эти линии

...... Рис. 1

изображены на рис. 1, а каждая область помечена цифрами от 1 до 9. Исследование особых точек дает результаты.

Области 1 и 9: /V, — седло, М — узел, Л',— узел и находится в области ^<0.

Область 2: А, —седло, А^ —узел, /У8 — узел и находится слева от А', и А^.

Область 3: /V,— узел, ТУ, — узел, А, — седло и находится между А', и М,.

Область 4: /V, — фокус, А,— узел, Ма— седло и находится между А/, и А,.

Область 5: — узел, А, — седло, N3 — узел и находится справа

от А', и А2.

Область 6: — фокус, А^ — седло, А^— узел и находится спра-

ва от А7! и М.

Область 7: внутри первого квадранта плоскости (у, г) нет особых точек.

Область 8: есть одна особая точка А^ — узел.

Заметим ещё, что точка 0(1, 0), куда должна попасть искомая интегральная кривая, является дикритическим узлом типа г = = С(у- I)2.

Теперь можно исследовать вопрос о существовании решения поставленной задачи для всех значений

а) ж<^у.,~1,80, 0 [А <С |*з (*)•

В этой области решения не существует, так как интегральная кривая. выхидящая из точки М, обязательно пересекает прямую между особыми точками и Л/3 (особая точка лежит ниже прямой у = г).

б) * О], ^ (у.) < |1 < (1! (*).

При этом — седло, — узел. Для каждого х<х, существует единственное решение |**(х) такое, что интегральная кривая, проходящая через точку М, является сепаратрисой седла и попадает в точку О (рис. 2). К этой области относится случай *=1,4, рассчитанный Гудерлеем [1].

в) х1 <1 /■ ■< *2, 0 << а и, (•/).

При х = х, р.* = и, (х), что соответствует слиянию особых точек N. и N2. При дальнейшем увеличении /. существует р* (х), при котором искомое решение уравнения является отдельным аналитическим усом узла При р.* (*)<^ ^ решение также существует,

но, в общем случае, является неаналитическим усом общего направления (рис. 3).

г) *>*2, О О Оз (/).

Особая точка Л'2 — узел, как и в случае „в“, и существует 1х = ^*(х), при котором искомая кривая — отдельный аналитический ус узла /V,. Неаналитическим, в общем случае, решениям соответствует диапазон ;х*<Хц3. При ц>р3 точка М становится седлом; этим значением и ограничивается допустимый интервал изменения р.

д) *>*2. :1з(/Х^<!ч(х)-

Особая точка N. — седло и точка А1 находится всегда правее его сепаратрисы. Таким образом, в этой области решения не существует.

Из сказанного следует, что решение задачи существует при всех х. При *>х, оно неединственно. Существует интервал значений р., ири которых возможны неаналитические, в общем случае, на предельной характеристике решения задачи. В аналогичной за-

2—.Ученые записки' 2

17

даче о схлопывании полости среди этих значений (а существуют такие, что решение аналитично [3].

Найдем теперь асимптотическое значение у*(х) при * -> оо. Для этого сделаем замену переменных в уравнении (8):

. х = *(\—у), г = г.

После предельного перехода:

йг __ (] — 11) х + Чг — 2(1 + ;х)

йх (2г—ц—1) х — 2рх '

Как и при конечных х, решение этого уравнения должно пройти через точки х0 — 2, г0=^2 и х, = 2{х/(1 — ^), г2 = \, не пересекая прямой 2 = 1 при хф х,. Численным интегрированием находим: }1*(оо)лг '-5:0,3754. ‘ ‘ "

В таблице приведены рассчитанные численно значения р*(х).'

Их необходимо вычислять достаточно точно, так как поведение решений уравнений (5) чрезвычайно чувствительно к величине р-Интересно рассмотреть движение газа после достижения ударной волной оси симметрии —отражение от нее. Течение остается автомодельным, с тем же показателем [1]. Момент отражения соответствует t =0, т. е. £ = 0. До отражения при ? -> 0 имеем:

z — С[ у~, у< 1,

где Сг — положительная постоянная величина. При t = 0:

и ~ — 1/г*-1; |

р — 1/г2<*_1); (13)

р —const; )

здесь k~ 1 + fA*.

% 1,1 1,2 1,4 5/3 2 3 10 оо

u* 0,12963 0,16122 0,19714 0,22605 0,24982 0,28921 0,34802 0,37542

Выражения (13) определяют начальные условия для задачи о течении газа после отражения. В этой задаче время отсчитывается от момента отражения (£>0). Из (13) следует, что при $->-0 (после отражения):

г = С.У, у> 1. (14)

Решение надо найти в области 0-<?■< +со. Оси симметрии (г = 0) соответствует \ = -{- ос. На плоскости (у, z) % = + оо в особой точке с координатами (1 — (»*/*, + оо).

Из нее выходит единственная интегральная кривая aN2 (см. рис. 2), переход с которой на кривую Об, задаваемую условием (14), возможен только скачком, определяемым условиями Ренкина— Гюгонио [2].

3. Обратимся теперь к задаче о сжимающемся поршне.

Из уравнения движения поршня (1) следует, что !=^0 = const соответствует поршню. Уравнения Эйлера описывают движение в области < I <1. Скорость частиц вблизи поршня совпадает со скоростью поршня, поэтому £/(?<,)= 1. Отсюда видно, что переменные (6) не подходят для решения задачи о поршне, так как при подстановке условия U(i0) = 1 во вторую формулу (6) как множитель (1 — U), так и оставшаяся комбинация *P!R (это следует из дальнейшего исследования) обращаются в нуль, что приводит к неопределенности z. Поэтому рассмотрим переменные |4]:

у = 1 — U, w — xP/R, R = R.

Тогда система (9) примет вид:

ы _^L____?i O'- w) .

' dt ~У w- у= ’

fc: dw —w ql(y' a')+Pl(y- w)

' d\ w — y3 ’

где

/7, (у, w) = 2wjy — -/-/У2 4- (x — 2) («j. 4 1)у — [AX,

<7i СУ. w) = (l —У)(У - 2wfy) r v(2wly/v.~-y + 1).

Далее:

__ h (y, w) +p,(y> w) fl5.

dy у q, (v, w) • >

Условия на фронте ударной волны:

2х(х —1)

W°— (X + 1)2 •

На поршне должно выполняться условие

У1 = о.

Значения w и R на поршне пока неизвестны. Таким образом, движениям газа, вызванным сжимающимися поршнями, соответствуют интегральные кривые уравнения (15), проходящие через точку М(уо, ®0) и достигающие линии у = 0, причем переменная $ на этих кривых должна монотонно изменяться от единицы в точке Ж до некоторого £0<Ч на оси у — 0.

Поле интегральных кривых уравнения (15) внутри первого

квадранта плоскости (у, w) сходно с полем уже изученного урав-

нения (10). Это связано с тем, что, как легко видеть, особые точки

этих уравнений совпадают по типу и количеству в области 0<з;<оо, 0<щ><со. Конечно, для определения их положения нужно учесть связь между ю и г:

г = т/у.

Существенные отличия относятся к особым точкам, лежащим на осях координат у, ъи и на бесконечности. Прямая у = 0 является интегральной кривой уравнения (15) и не проходит через точку М, поэтому интегральная кривая, соответствующая поршню, может достичь прямой у = 0 только в особых точках, лежащих на этой прямой. Таких особых точек две: у — 0, да = 0 и ^ = 0, да = + оо [нас интересует только первый квадрант плоскости (у, ®)]. Как показывает исследование, особая точка 0(0, 0) является узлом при |а>ч—1 и седлом при [а < у. — 1. В последнем случае через точку О проходят только сепаратрисы седла, но на них переменная % возрастает при приближении к О, поэтому они не могут соответствовать искомым движениям. Таким образом, далее имеет смысл рассматривать только область |л^х—1. На всех интегральных кривых, входящих в узел О, переменная \ изменяется нужным образом: убывает и достигает в узле значения 0<;0<Д

Особая точка N(0, + оо) при цО является узлом, но X возрастает при движении по интегральным кривым, входящим в эту точку, и они не могут описывать движений, вызываемых сжимающимися поршнями. При [*>•/. особая точка N становится седлом и интегральные кривые туда вообще не попадают. Заштрихованная область на рис. 1 указывает множество у и •/, для которых существует автомодельное решение поставленной задачи. При ^ и -/. из областей 1 и 9 (см. фиг. 1) существуют две особые точки внутри первого квадранта: Л/, — седло, N.. — узел (см. и. 2).

На рис. 4 представлена качественная картина поля интегральных кривых для «• и •/. из области 9. Для таких [л и * точка М находится слева от сепаратрисы седла /V,, нарисованной пунктиром на рис. 4. Поэтому для любых [л и у. из области 9 существует интегральная кривая, проходящая в точку О, причем параметр \ на ней убывает. Очевидно, что именно она соответствует искомым движениям газа. Для р. и * из области 1 точка М находится правее указанной сепаратрисы, что приводит к тому, что в точку О соответствующая интегральная кривая не попадает. Отделяет эти две области кривая |л*(х), для точек которой М лежит как раз на сепаратрисе.

В области 7 особых точек в первом квадранте нет. Учитывая, что особая точка О здесь узел, можно сделать вывод, что и в

этой области решение задачи существует.

На рис. 5 и 6 приведены графики зависимости р;р3 и и/и5 соответственно (р8 — давление, и5 -— скорость на фронте) от Х~1 при ■/=1,4 для сильной сходящейся волны (кривые а) и для поршня ;л = 0,62 (кривые б). На поршне, очевидно, давление и плотность бесконечны.

PIPs

P/Ps В a/Us

u/us

Рис. 5

Рис. 6

4. Таким образом, проведенное исследование подтверждает существование решения задачи о сходящейся к оси сильной цилиндрической ударной волне для всех значений -/. и определяет область неоднозначности этого решения.

Полученные результаты помогают исследовать движение газа, сжимаемого цилиндрическим поршнем, для всех значений показателя степени & = в законе движения поршня. Оказывается,

что решение последней задачи существует далеко не для всех к. При решении известной задачи о движении газа под действием расширяющихся по степенному закону цилиндрических поршней [5] показано, что область существования решения при любых ч. ограничена показателем степени, соответствующим показателю автомодельности в задаче о сильном шнуровом взрыве. Аналогичный результат было бы естественно ожидать и в рассматриваемой задаче, где роль сильного взрыва играет, казалось бы, сильная сходящаяся цилиндрическая волна. При х-<у.3;=£; 1,14 так и происходит: решение существует при [х > <А* (х), т. е. область существования его отделяется кривой, соответствующей решению задачи о сильной сходящейся цилиндрической волне. Однако при у->у3 положение меняется: решение существует уже при и. >. [А2 (х) > !А*(Х)> где ц2=х— 1 и сильная ударная волна не является предельным режимом по отношению к движениям, порождаемым поршнями, а совершенно обособлена от них.

Автор благодарен О. С. Рыжову за полезные обсуждения и внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Guder ley G. Starke kugelige und zylindrische Verdichtungs-stosse in der Nahe des Kugelmittelpunktes bzw. der Zyllnderachse, Luft-fahrtforschung 19, N 9, 1942.

2. Курант P., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М., Изд. иностр. лит., 1950.

3. Б р у ш л и н с к и й К. В., К а ж д а н Я. М. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики. „Успехи математических наук*, т. 2, 110, 1963.

4. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике.

М., .Наука*, 1967.

5. Григорян С. С. Задача Коши и задача о поршне для одномерных неустановившихся движений газа (автомодельные движения). Прикл. матем. и механ., т. 22, вып. 2, 1958.

Рукопись поступила ljlll 1978 г.