Сходящаяся автомодельная ударная волна в гомотермическом газе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2012. № 14 (268). Физика. Вып. 13. С. 32-36.

А. Д. Зубов, М. А. Зубов

сходящаяся автомодельная ударная волна в гомотермическом газе

Рассматривается задача о сходящейся автомодельной ударной волне в условиях гомотермичности . Эта задача представляет интерес в исследованиях процессов, обусловленных внешним нагревом излучения, пронизывающим оптически тонкий газ . Параметром, по которому определяется показатель автомодельности, служит число Маха ударной волны . В момент фокусировки температура, давление и скорость звука бесконечно велики во всём пространстве, сжатие конечно и постоянно во всей области, скорость вещества бесконечна в центре (на оси) и спадает до нуля на бесконечности по степенному закону

Ключевые слова: газовая динамика, гомотермичность, автомодельность, сходящаяся ударная волна.

Задача о схождении сферической ударной волны к центру впервые была поставлена и решена для газа с показателем адиабаты у = 1,4 Г Гудерлеем в 1942 г. [1] . Впоследствии различные обобщения задачи изучались многими авторами, напр . , [2] . В монографической литературе она появилась впервые в 1955 г. , в первом издании книги К . П . Станюковича [3] . Автомодельность оказалась весьма гибким свойством, присущим сходящимся ударным волнам в различных средах и приближениях, напр . , [4] . Вместе с тем, как и следовало ожидать [6-8], сходящиеся ударные волны оказались неустойчивыми, см , напр , [9] Задача о сходящейся ударной волне определила новый класс автомодельных течений газа, а именно, автомодельных течений второго рода (по терминологии, предложенной в [10]), в которых показатель автомодельности определяется не непосредственно из постановки задачи, из соображений размерности, как, например, в хорошо известной задаче Л . И . Седова о сильном взрыве [11-12], а в ходе решения задачи, из условия прохождения искомой интегральной кривой, соединяющей две фиксированные точки, через некоторую особую точку

Существуют и другие задачи, допускающие автомодельные решения второго рода [2; 10] .

Течения сплошной среды, при которых T = T(t), называются гомотермическими, в отличие от изотермических, когда температура вообще считается постоянной, T = const.

Отметим задачу о мощном подводном взрыве [13], начальная стадия которого рассчитывается по автомодельному решению в приближении го-мотермичности среды

Для гомотермических задач термическое уравнение состояния допускает следующую общую форму [14 . С . 277]:

Р = у(Г) ф(р/р0), где ф(р/р0) — произвольная функция приведенной плотности, а у(Т) — функция температуры, которая может зависеть только от времени .

Мы ограничимся здесь следующей формой уравнения состояния Р = с2р, с = сТ = -^ЖтГ^, где ^ — универсальная газовая постоянная; с — изотермическая скорость звука; ц — молекулярный вес газа.

В отличие от адиабатического случая, в гомотермическом случае автомодельной сходящейся ударной волны не выполняется закон сохранения энергии, что, например, представляет интерес при отладке численных газодинамических методик на стадии отладки без энергетического уравнения

Эта задача представляет и несомненный теоретический интерес, в том числе в исследованиях, связанных с процессами, обусловленными внешним нагревом лазерным или другим излучением, пронизывающим оптически тонкий, малоплотный газ . Отмеченный режим может создаваться и теплопроводной тяжёлой оболочкой . Реальный тепловой импульс в гомотерми-ческом газе можно аппроксимировать полученным ниже асимптотическим профилем

При таком режиме кумуляции достигается не только высокая плотность энергии, но и возможно получение произвольно высоких плотностей вещества, в отличие от адиабатического случая, при котором сжатие не может превосходить величины (у + 1)/ (у - 1), где у — показатель адиабаты газа .

Предполагаем, что ударная волна (УВ) идет по неподвижному фону с постоянной плотностью р0 . Времени ^ = 0 соответствует момент фокусировки, отрицательные значения ^ соответствуют времени до фокусировки, положительные — после

Движение газа за сходящейся волной при ^ < 0 описывается уравнениями гомотермиче-ской (изотермической) газовой динамики в форме

д 1п р д 1п р ди , л,и Л _^ + и—^ + _ + (у-1)- = 0, (1)

д( дг дг г

ди ди

------+ и —

dt дг

дг

(2)

где V — показатель симметрии течения (V = 1 — плоская, V = 2 — цилиндрическая, V = 3 — сферическая) .

Введем автомодельную переменную:

R = A (-t )а, ^ = - = ^^-

R A (-t )а

(З)

где Я — радиус фронта ударной волны — единственный масштаб длины задачи; а — пока неизвестный показатель автомодельности; А — размерная постоянная Полагаем, что фронту УВ соответствует значение автомодельной переменной 2, = 1 .

Рис. 1. r-t диаграмма процесса фокусировки и отражения гомотермической УВ

Автомодельное решение для сходящейся УВ в интервалах

—» <1 <0, Я < г <га, 1 (4)

будем искать в виде

и(г,*) = &>(%) , с(г,г) = Б | -2 ,

р(г, ()

ln

Ро

(5)

где скорость УВ D = R = aR /1 = —aR /It I < 0,

а z = const < 1 — параметр, определяющий «интенсивность» УВ; z = 1/M, где M — число Маха УВ.

Для безразмерных представителей v(£), g(Q из системы (1)-(2) получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

v' + g '■( v4) + ^ v = G, а-1

(6)

+ v/•( V ^) +----v = 0. (7)

а

Граничные условия на фронте УВ определяются соотношениями Ренкина—Г югонио:

Рс^ = Р( П-и), (8)

Ро°2 +РоС2 = р(О -и)2 +рс2, (9)

где р — плотность газа непосредственно за фронтом УВ .

Отсюда легко получить значения для представителей на фронте волны (£, = 1):

1

фув

= v(1) = 1 --, g(1 ) = ln5, о

P1

где 5 = — = —

Po z

или, через параметр z,

v(1) = 1 -z2, g (1) = -2ln z.

(10)

(11)

Систему (6)-(7) представим в виде, разрешенном относительно производных . Из уравнения (7) имеем

1

/ / £ \ а 1 v -(v — q) +-----------v

а

Подставляя в (6), получим

1 -а, 2 v-1

----(v-^) + - ~т~

V = V •

а

Аналогично,

(V - -2

v -1 1 - av

+ a

(v Ч)2 - -2

(12)

(1З)

Приравнивая нулю числитель и знаменатель дроби в правой части (13), определим нетривиальную особую точку этого уравнения:

а (у-1) z (оу-1)

Ъ = ^-------- , VI =^1 -z = ^-----(14)

1 -а

1 -а

Полученные значения 21, v1 одновременно определяют и особую точку уравнения (12) .

Считая ^ независимым параметром, из (14) можно единственным образом определить показатель автомодельности:

а = £1/(£1 + \г-г), а<1. (15)

Другими особыми точками системы являются следующие:

^2 = 0, = 0, (16)

^3 = те, ^3 =0.

(17)

Однако особая точка (16) не входит в интересующий нас интервал 1 < £ < да .

£ — линия на (г, ^-плоскости, соответствующая особой точке (14), является С -характеристикой и ограничивает область влияния . Искомая интегральная кривая, соединяющая точки £фув = 1 и £3 = да, должна проходить через особую (седловую) точку £ .

В момент фокусировки УВ ґ = 0, £ = да плотность р(г) = р05да = р0ехр g(£ = да) .

Найдем асимптотику скорости в «хвосте» УВ . При £ ^ да уравнение упрощается:

, 1 -а V

V =-

(18)

а V-£,

Решение этого уравнения имеет вид £ - С - а) -- V = 0, где С — постоянная интегрирования . А так как v(да) = 0, то

V ~ £-(1 - а)/а . (19)

Далее, так как с = ст = уЩТ/ц -|^2, то

Т = |а(аЛ)2 ^-1 (— )-2(1-а) ^ ^ при I ^ -0, или

1пТ—2(1 -а)1п\1 •

В табл . 1-2 приведены результаты интегрирования уравнения для случаев V = 2, V = 3 соответственно

Итак, моменту фокусировки (^ = 0, £ = да) соответствуют следующие характеристики:

1 . Температура, давление и скорость звука бесконечно велики во всей области 0 < г < да: Т(г, 0) = да, Р(г, 0) = да, с(г, 0) = да .

2 . Сжатие конечно и постоянно во всей области 0 < г < да: р(г, 0) = р05да = р0 ехр g(£ = да) .

3 . Скорость вещества бесконечна в центре (на оси), при г = 0 и спадает до нуля при г ^ да по степенному закону, а именно, так как V ~ ^~а/(1 - а), то

и(г,°) = (^(£)) =

( ^-(1-а)/а

-(1-а)

-аА (- )-( Ч

= - аА1

17“ V г-(1-а)/а -

/

-(1-а)/а

(20)

В заключение сделаем ряд замечаний . Полученное решение может служить тестом для численных методик . Его преимущество перед «адиабатическими» тестами состоит в том, что не требует привлечения уравнений энергии, что зачастую важно при выявлении причин неточностей численного алгоритма При этом задача не становится тривиальной и «не-

Таблица 1

Цилиндрическая УВ (V = 2)

Z 5ф фув фув а £1 «1 5 оо

0,1 100 0,99 0,913379 1,05445 0,954454 4,92477 137,658 538,601

0,2 25 0,96 0,846117 1,09969 0,900048 3,21888 32,0302 72,5202

0,5 4 0,75 0,701170 1,17319 0,672973 1,48250 4,40395 5,66138

Таблица 2

Сферическая УВ (V = 3)

Z 5ф фув фув а £1 У1 gl 5, 5 оо

0,1 100 0,99 0,838969 1,04200 0,941997 4,60517 167,886 1 671,79

0,2 25 0,96 0,728830 1,07509 0,875090 3,21886 36,9032 136,928

0,5 4 0,75 0,531505 1,13449 0,634494 1,38629 4,67003 6,76134

1

0.95

0.9

0.85

0.8

0.75

0.7

0.65

0.6

0.55

0.5

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Рис. 2. Зависимость показателя автомодельности а от интенсивности z цилиндрической (V = 2) УВ

Рис. 3. Зависимость «плотности» g(Q и «скорости» и(£) для V = 3 и z = 0,5

Рис. 4. Профили плотности и скорости на момент времени t = -0,1 для V = 3

Рис. 5. Графики плотности р(г) на три момента времени t = —0,1, -0,01, -0,001 для V = 3

физичной» . Родственная задача о схлопывании пузырька [2], допускающая автомодельность второго рода, также использует два уравнения (третье, энергетическое, заменяется простейшим условием постоянства энтропии), но задача не становится проще .

Следует заметить, что если в «адиабатических» и близких к ним постановках газодинамических задач достаточно граничных условий типа «жесткого» и «мягкого» поршня, задаваемых на физической границе рассчитываемой системы, то для гомотермических сред граничное условие задания давления не ограничивается только границей, а должно задаваться во всей системе (давление зависит не только от локальной плотности вещества, но и от температуры, которая задаётся из автомодельного решения как функция времени) . Это эквивалентно использованию энергетического уравнения с лучистой теплопроводностью с пробегом, стремящимся к бесконечности .

Список литературы

1 . Guderley, G . Strake kugelige und zylindrische Verdichtutungsstosse in der Nane des Kugelmittel-punktes bzw. der Zylinderachse / G . Guderley // Luft-fahrtforschung . 1942. T. 19, № 9. S . 302-312 .

2 . Брушлинский, К . В . Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики / К . В . Брушлинский, Я . М . Каждан // Успехи мат. наук . 1963. Т. 18, вып . 2 (110) . С . 3-23 .

3 . Станюкович, К. П . Неустановившиеся движения сплошной среды / К . П . Станюкович . М . : Наука, 1971 . 854 с .

4 . Hidalgo, J. C . Self-similar imploding relativis-tic shock waves / J . C . Hidalgo, S . Mendoza // Phys .

of Fluids . 2005. Vol . 17. 096101 . P. 8 .

5 . Забабахин, И . Е. Сходящаяся ударная волна в теплопроводном газе / И Е Забабахин, В . А . Симоненко // Приклад . математика и механика . 1965 . Т. 29, № 2 . С . 334-336.

6 Забабахин, Е И Явления неограниченной кумуляции / И . Е . Забабахин // Механика в СССР за 50 лет : сборник. М . : Наука, 1970. Т. 2 . С . 313-342.

7. Забабахин, Е . И . Неустойчивость неограниченной кумуляции / И . Е . Забабахин // Письма в Журн . эксперимент, и теорет. физики . 1979. С . 97-99.

8 Забабахин, Е И Явления неограниченной кумуляции / И . Е. Забабахин. М . : Наука, 1988. 173 с .

9. Брушлинский, К . В . Об устойчивости сходящейся сферической ударной волны / К В Бруш-линский // Препринт Ин-та приклад математики им . М. В . Келдыша. 1980. № 81 . С . 23 .

10 . Зельдович, Я . Б . Физика ударных волн и вы -сокотемпературных газодинамических явлений / Я . Б . Зельдович, Ю. П . Райзер . М . : Наука, 1966.

11 . Седов, Л . И . Распространение сильных взрывных волн / Л И Седов // Приклад математика и механика . 1946. Т. 10, вып . 2 . С . 241-250.

12 Седов, Л И Методы подобия и размерности в механике / Л И Седов М : Наука, 1987 432 с

13 Кот, К А Мощные подводные взрывы / К А Кот // Подводные и подземные взрывы : пер с англ / под ред В А Николаевского М : Мир, 1974. С . 9-43 (C . A . Kot. Intense underwater explosions, HT Research Institute, Chicago, Illinois, USA, preprint)

14 Коробейников, В П Теория точечного взрыва / В П Коробейников, Н С Мельникова, Е В Рязанов М : Физматгиз, 1961 332 с