CC BY
58
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 533.6.011.1
БО!: 10.14529/ттр 160101
Математическое моделирование широко применяется для исследований во всех естественных науках, в отраслях промышленности, в экономике, биологии и других областях. Для решения конкретных задач используются уже существующие или создаются новые модели и численные методы. Наиболее НЭДб^йКНЫМ способом проверки качества разностной схемы является сравнение численного решения, где это возможно, с точным решением задачи. В качестве такого «этадонного»решения построено точное решение задачи о сходящейся ударной волне и о динамическом сжатии газа, находящегося в сферическом сосуде с непроницаемой стенкой. В начальный момент времени наружная граница газа скачком начинает двигаться с отрицательной скоростью, и в газ от границы начинает распространяться ударная волна. Ускорение границы и сферичность определяют движение ударной волны и структуру течения газа между фронтом ударной волны и границей. Изложенная постановка задачи принципиально отличается от ранее известных постановок задачи о схождении автомодельной ударной волны к центру симметрии и ее отражении от центра, в которых отсутствует граница газа.
Ключевые слова: ударная волна; аналитическое решение; идеальный газ; сферическая симметрия.
1. Постановка задачи
Развитие теории размерности и подобия величин механики сплошной среды началось примерно в 1920 - 1930 гг. одновременно в Советском Союзе и за рубежом. Эта теория была использована для построения автомодельных решений задачи о фокусировке ударной волны (УВ) в идеальном газе с уравнением состояния
Первой опубликованной работой была работа Гудерлея [1], в которой предполагалось, что амплитуда УВ по мере ее приближения к центру симметрии неограниченно возрастает. Автомодельное решение задачи о сходящейся УВ было опубликовано Л.И. Седовым в 1945 г. [2] и К.П. Станюковичем в 1945 г. [3]. Обзор работ по фокусировке УВ и полостей в идеальном газе изложен в работе К.В. Брушлинского и Я.М. Каждана [4]. Все эти решения являются автомодельными. Они получены в рамках общей теории подобия и размерностей, построенной Л.И. Седовым [5]. В конце прошлого столетия появились работы А.Ф. Сидорова и его учеников, посвященные построению автомодельных решений с безударным сжатием идеального газа [6]. Новые автомодельные решения для различных режимов безударного сжатия идеального газа и схлопывания сферической полости с образованием ударной волны получены А.Н. Крайко и его учениками [7]. В отличие от решений задачи о сходящейся УВ, в
Р = / (8)?.
(1)
которых отсутствует граница газовой сферы, рассмотрим схождение ударной волны в газовом шаре с наружной границей. В момент Ь = Ь0 в газе давление Р0 = 0, плотность р0 = сош^ скороеть и0 = 0 удельная внутренняя энергия Е0 = 0. Граница газового шара находится в точке т0, Ь0 . На границе задана начальная скорость ид0 < 0. Иными словами, на границе задан разрыв скорости. После распада разрыва в газ пойдет УВ. Граница при Ь > Ь0 будет двигаться по определенному закону, согласованному с движением У В.
2. Ударная волна
Сферически симметричная сходящаяся к центру ударная волна - это поверхность, движение которой определяется зависимостью rw (t). В случае распространения УВ по холодному покоящемуся идеальному газу с перечисленными выше параметрами условия на УВ имеют вид [8]
Pw (D - Uw) = PoD, Pw = PoDUw, PoDew = PwUw, (2)
где e - удельная полная энергия, D - скорость УВ. Индексом «0» обозначены величины перед У В, индексом «w» - за У В. В начальный момент времени t0 У В выходит
ro to Do
Ug0. В момент фокусиров ки У В tf ее координ ата rw(tf) равна нулю. Перечисленным условиям удовлетворяет уравнение траектории УВ
rw = rj П (3)
Jf - t0,
при n > 0. Скорость У В получается дифферен цированием r
D = . (4)
tf - t0 V tf - toJ
В момент фокусировки У В при Ь = tf из-за сферичности должно быть D — — ос. Следовательно. показатель п удовлетворять условиям 0 < п < 1. При Ь = Ь0
из (4) следует связь между т0, Ь0, D0 и п
т0п (<
^ = —т-- ■ (5)
Ь! — Ь0
Поскольку величины т0, Ь0, D0 заданы при постановке задачи, то из (5) получается зависимость Ь^ ^^ ^^^^^^теля степени п
т0 п .„,
Ь! = Ь0 — ^, (6)
а с помощью (5) выражение (4) принимает вид
D = D0(f-t Т' ■ п
В случае уравнения состояния идеального газа
P =(y - 1) pE, (8)
g Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming
& Computer Software (Bulletin SUSU MMCS), 2016, vol. 9, no. 1, pp. 5-19
где Е = е — 0, 5и2, условия (2) на ударной волне упрощаются
7 +1 2
р- =-г Ро, = ——- Б, Р- = роВи-. (9)
7 — 1 7 +1
РЕ
р ж в давление принимает вид зависимости от энтропии и плотности (1). Подставив на ударной волне Рш и рш го (9) в (1), получим зависимость /(в) от скорости ударной
ВОЛНЫ
/ (в) = Р0-' В2( (Ю)
Энтропия сохраняется вдоль траектории каждой частицы вещества, прошедшей через фронт ударной волны. Положение частицы меняется со временем, однако ее массовая координата т остается неизменной
4 3
т- = з проГш. (11)
Поскольку Б зависит от гш, то из (2), (7), (10) и (11) следует зависимость /(т) в газе за ударной волной, справедливая в любой момент времени, включая и момент фокусировки
п / 1 \ 7 2(1—п)
/ (в)=^мто)
3. Движение газа между ударной волной и границей
На фронте УВ газ приобретает скорость иш < 0, поэтому в течение некоторого промежутка времени каждая частица движется к центру симметрии. Параметры течения газа определяются законом сохранения массы, уравнением движения и уравнением внутренней энергии
др + идр + аи + 2ри = 0 ди + иди + 1 дР = 0 (13)
дЬ дг дг г ' дЬ дг р дг '
дЕ дЕ Р др др
дЕ идЕ Р
дЬ дг р2 Для идеального газа (8) преобразуем это уравнение к виду
дР + идР + р /ди + 2и\ =0
дЬ дг \ дг г ) '
Р р и
Граничными условиями являются зависимости Рш (Ь), иш (Ь) на ударной вол не и Рд (Ь), ид (Ь) на границе газового шара. Для решения задачи перейдем от переменных г, Ь к новым переменным £(г,Ь), Ь. В результате такого перехода вместо уравнений (13), (14) будем рассматривать уравнения
др др д£ / др ди) д£ 2ри , ч _дЬ + Щдг + (иЩ + Гд<)¥г + -Г- = 0_^
Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование у
и программирование» (Вестник ЮУрГУ ММП). 2016. Т. 9, № 1. С. 5-19
ди ди д£ (ттди 1 дР\ д£ п
-Ж + + {иж + Р = 0' М
дР дР д£ (ттдР ди) д£ 27Ри , ч
Переменная £(т,Ь), выбирается следующим образом. Преобразуем уравнение траектории ударной волны (3) так, чтобы комбинация
тад и Ь была бы постоянной
£ (4—0)'=1. Ю
В качестве £(т,Ь) возьмем такую функцию, чтобы
она была бы постоянной на ударной
волне. Проще всего взять ее в виде
На ударной волне т = тад и из (18), (19) следует, что ^ = 1. Производные д£ тп (Ь! — Ь0\п д£ 1 (Ь! — Ь0
(tf - Ю\п 8_i = 1 (tf -10у
\tf - t) ' dr r Д tf - t)
dt r0 (tf - t) \ tf - t J ' dr r0 \ tf - t вместе со следующей из (19) зависимостью r(C,t)
п
r = Ц f-t-J <*»
подставим в (15) -(17)
dp + _n^d_p + / dp + 6U\ 1 (ь-глn + 2PU if-An = 0 (21) dt + tf - tdc + [Udc + pdt)r0\ tf -1) + ^ U -1) = 0, (21)
n
f + ^ + UJL + P ^ I ftL-h) = 0, (22)
dt tf - t дС \ дС p дС J r0 V tf - t ( dP + < dP + (BP + dU\ 1 (tf - t0\n +2yPU (tf - t0\n 0
4. Разделение переменных
Согласно [8] будем искать решение системы уравнений (21) - (23) в виде
P = ар (t) П (0 ,p = ар (t) 8 (С) , U = аи (t) M (С) ■ (24)
t
по С ~ штрихом. Подставив (24) в (21) - (23), получим
2M8
Ф'8 + и£8' + M8' + 8M' + — = 0, ^8M + u8£M' + 8MM' + П' = 0, (25)
, 2y Mn
ФзП + ^СП' + Mn' + 7nM' + = 0, (26)
n
ар аи ар n аи (tf -10 \
Ф1 =, Ф2 = —д, фз = —^, ш = ^-TV > в = — 7-7 • 27)
арв аив арр р (tf - t) r0 \ tf - tj
Для разделения системы уравнений (25), (26) на две системы, одна из которых содержит величины, зависящие только от t, а вторая - только от £, нужно, чтобы было
ф1 (t) = const, ф2 (t) = const, ф3 (t) = const, ш (t) = const•
Функции ар (t), au (t), ap (t) определим на ударной волне. Предварительно преобразуем второе и третье уравнения (9) к виду
^ = (f-o Г pw = ^ - ^ (»)
Из (24) и (28) на ударной волне следует
Y ++ 1 2D ft t \ n—i y 1
ар (t) 8W =--po, auMw = —— --— I , apnw = ap8waUMW •
Y - 1 Y +1 \tf - to J 2
В этих уравнениях величины 8w, Mw и nw не определены. Для устранения произвола по аналогии с [2-4] примем, что
Y + 1 2 2
5w = J—7, Mw = , nw = • (29)
Y - 1 Y + 1 Y + 1
При таком выборе 8w, Mw и nw функции ар, аи и aP принимают вид
(t — t \ 1—n (t — t \ 2(1—n) ар = po, аи = Do I f - M , ap = poD^ i f - • (30)
Из уравнений (27) и (30) определяются ф1; ф2, ф3 и ш
n - 1 2 (n - 1) 1
ф1 =0, ф2 = -, фз = -, Ш =--•
n n n
5. Уравнения для M, 8, П и определение n
С помощью полученных значений ф1; ф2, ф3 и ш уравнения (25) - (26) принимают
8M' + (M - £) 8' = -^M^, 8 (M - £)M' + П' = -8M, (31)
£ n
YnM' +(M - £) П' = -2YM5 - П. (32)
Уравнения (31), (32) образуют относительно
8' M' П'
ных уравнений. Если определитель этой системы
^ =(M - £) (yП - 8 (M - £)2) (33)
Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование Q
и программирование» (Вестник ЮУрГУ ММП). 2016. Т. 9, № 1. С. 5-19
не равен нулю, то система имеет единственное решение. Из (29) и (33) следует, что на ударной волне X (1) = — < 0. В момент фокуси ровки £ = той, следовательно, X (то) = +то, если при £ ^ то М те стремится к +то так £а, где а > 1. Поскольку рассматривается газовый шар конечного размера и время фокусировки конечно, то естественно потребовать, чтобы Мад и б^ были бы конечны. Из сказанного следует, что существует такое значение £* при котором = 0 и М, П, б принимают значения М*, П*, б*. В областях 1 < £ < £* и £* <£< то X = 0ив этих областях, как сказано выше, система уравнений (31), (32) имеет единственное решение. В точке же £* следует рассмотреть матрицу коэффициентов ||А|| и расширенную матрицу ||Б||,
l|B||
5* M* - £* 0 S* (M* - £*) 0 7П* 0
5* M* - £* 0 5* (M* - £*) 0 1
YП* 0 (M* - £*)
1
(M* - £*)
S
С*
- — L M,
- 2П
М*П* + и—! С* + n
| А| | Б|
третьего порядка равны нулю и, следовательно, система (31), (32) при £ = £* имеет единственное решение. Легко показать, что равенство нулю всех миноров третьего порядка приводит к двум уравнениям
(n - 1) £* (2 (M* - £*) - 7M*) + 27nM* (M* - £*) = 0,
Z* = (M* - £*) (7П* - 5* (M* - £*)2) = 0,
(34)
(35)
содержащим щ 7 и величины М*, П*, б^ зависящие от п и 7. Из уравнений (34) и (35) для каждого значения 7 находится соответствующее значение п. Результатом применения изложенной выше процедуры являются значения п (7), которые приведены в табл. 1.
Таблица 1
Y n Pf tf
1,1 0,795973 184,465 0,758066
1,2 0,757142 59,5525 0,688311
4/3 0,729259 26,5447 0,625079
1,4 0,717175 20,0714 0,5976454
5/3 0,688377 9,54968 0,5162826
В областях, где Z = 0, выпишем решение системы уравнений (31), (32)
M, Rm ,, 5Rs 5 (£ - M) Rn
M= £nR, 5 = n£ (M - £) R' П = n£R ' (36)
R = 7П - 5 (M - £)2, (37)
I () Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming
& Computer Software (Bulletin SUSU MMCS), 2016, vol. 9, no. 1, pp. 5-19
Дм = 2 (п - 1) СП + 27пМП + (п - 1) С5М (М - С), (38)
Д = Дм - 2пМД, Дп = Дм - (П м-Г • (39)
Функции М(С), 5(£), П(С), находятся при определенном значении п путем интегрирования уравнений (36) в области 1 < С < го.
6. Решение
Для практических применений полученного решения нужно перейти от функций М(С), 5(С), П(С) к функциям и (г, г), р (г, г), Р (г, г), характеризующим состояние и движение газа в переменных г, Ь. Они получаются из уравнений (24) следующим образом. В любой фиксированный момент времени Ь0 < Ь < tf из (19) получается однозначная зависимость С (г), после чего из уравнений (24) вычисляются
(г —г \1-п (г —+ \2(1-п)
и (г,г) = б0м(с (г,г)){, Р (г,г) = ро^02п(с (г,г)) г-0) • (40)
р (г, г) = ро5 (С (г, г)) • (41)
Эти функции вычисляются в области гш < г < гд , занятой газом в момент Ь. Безразмерная координата границы газового шара Сд в момент Ь находится из закона сохранения массы
г9
У 4^г2р (г) йт = 4про (г0 - г1) >
который в переменных Ь, С принимает вид
1
кс - чпвг-0=°- <42)
Затем по найденному значению Сд для фиксированного Ь го (19) находится гд (Ь), а из зависимостей М (С) и П (С) определяются Мд и Пд, по которым из (24) находятся ид (Ь) и Рд (Ь). Таким образом, получаются табличные зависимости ид (Ь), Рд (Ь), гд (Ь).
Т. Фокусировка ударной волны
Момент фокусировки ударной волны tf находится из (6) после того, как заданы ид0, г0, Ь0, 7, В0 = ^22Г ид0] и найдено п(7). Для г0 = 1, ид0 = -1, Ь0 = ° значения времени фокусировки для разных ^ приведены в Табл. 1. В точке Ь = г-ш = ° находится ударная волна, за фронтом которой В = -го, иш = -го, Рш = го, рт = Сш = 1. Из (19) следует, что при любом г > ° значению Ь = tf соответствует значение С = го С = го
5^, П^, которые постоянны, т.к. из (36) - (39) следует, что 5' ^ ° М' ^ П' ^ ° при С ^ го. Из выражений (30) для аи, ар видно, что аи = -го ар = го при Ь = tf и
иР
Uf = -го М^, Pf = го
Работа, совершенная над газовым шаром за время 0 < t < tf , конечна. Это значит, что и кинетическая, и внутренняя энергия газа в шаре конечны. Таким образом, чтобы скорость U и давление P газа в момент фокусировки имели физически разумные значения (были ограничены), должно быть MX = 0 и Пх = 0, ибо только в этом случае U и P можно получить, раскрыв в (24) неопределенности вида (то • 0). Численное интегрирование уравнений (36) дает с высокой точностью именно такие значения MX = 0 и Пх = 0. Конечно, значению £ = то соответствует много значений г. Но если взять t = tf — т, где т бесконечно малое число, то £ = то получается из (19) только при г = то. В этом случае из (40) следует, что в момент фокусировки
UX = 0, PX = 0, при, г = то.
Функции U (г) и P (г) при t = tf должны удовлетворять этим асимптотическим условиям. Из функций ар, au, ap (30) только ар = const. Таким образом, в момент фоку-tf
Pf = Po$x = const. (43)
Значения Pf ^ полученные для раз пых y5 приведены в табл. 1. Профиль давления в момент фокусировки определим, используя зависимость энтропии от массы (12). Подставив f (s) из (12) и Pf из (43) в уравнение состояния (1), получим
-тгТ)' (?)
2(1-n)
P (г) = ^тPoDU^i SX 3n Ч - " . (44)
7 + 1 и \7 + 1
Эта зависимость справедлива для всего газа, лежащего в промежутке 0 < т < тд. Формально ее можно считать справедливой и в области т > тд•) т.е. вне газового шара. Это можно использовать для подтверждения изложенных выше результатов интегрирования. Действительно, из (44) следует, что Р^ = 0 при т = то. Удельная внутренняя энергия определяется из уравнений (8) и (44)
2(1- ) 2(1-п)
Е (т) = 202 (7 - 1Г1 (7 +1)"(^+1) (Т) п . (45)
Полная внутренняя энергия газового шара получается с помощью (45) в виде
г9
Яе = j 4пт2р08^Е (т) ¿т. 0
Работа, совершенная над газовым шаром на его границе, определяется уравнением
д\ь)1 д\ь) ид
A = — 4пг2 (t) Pg (t) Ug (t) dt.
to
Следовательно. кинетическая энергия газа в момент фокусировки должна определяться выражением
r9f
Qk = A — Qe = j 2nr-2pf u2 (г) dr. (46)
o
Рассмотрим решение в момент времени t = tf — т (г бесконечно малое число). С помощью (19) запишем (40) так
1— n
U = D0(^ " М(£).
При t ^ tf представим зависимость М(£) в виде
M(£) = B£ 2—1,
(47)
(48)
где B = const. Эта зависимость удовлетворяет выше сформулированному требованию = 0 при £ = го. Из (47), (48) следует зависимость скорости от радиуса в момент
t
U = Do —
B.
(49)
B
B
(5n - 2) Qk
2(1—n) 5n — 2
2nnDo2pf r0 n r
rgf
8. Эталонное решение
Изложенное решение было применено для оценки точности нескольких методов расчета ударных волн. Холодный газовый шар размером гд0 = 1 имел параметры Р0 = 0 р0 = 1 и0 = 0, ид0 = —1, 7 = 5/3. Граничное условие определялось с помощью уравнения (42) в соответствии с описанным в п. 6 алгоритмом. Зависимости давления и скорости границы от времени приведены в табл. 2. На рис. 1, 2, 3 приведены профили давления, плотности и скорости на три момента времени t = 0, 4, t = 0, 45 и t = 0, 5. Сплошная линия - это аналитическое решение данной работы, -о- это расчеты по программе ВОЛНА [9] с выделением разрывов,---- расчеты по программе ВОЛНА без выделения разрывов, х - результаты, полученные при проведении расчета по методике [10]. Расчеты выполнены на равномерной по г сетке
Рис. 1. Профили Дсивле—
Рис. 2. Профили ПЛОТНОсти
Рис. 3. Профили скорости
1n
Таблица 2
Граничное условие
№ t U P № t U P
1 0,04 — 1,008791 1,415094 16 0,30 — 1,045146 2,445445
2 0,07 — 1,015161 1,484529 17 0,31 — 1,044921 2,517083
3 0,10 — 1,021256 1,562232 18 0,32 — 1,044473 2,592849
4 0,13 — 1,026982 1,649664 19 0,33 —1,043787 2,673060
5 0,16 — 1,032224 1,748622 20 0,34 — 1,042842 2,758063
6 0,18 — 1,035380 1,822074 21 0,35 — 1,041619 2,848236
7 0,20 — 1,038211 1,902413 22 0,36 —1,040097 2,943996
8 0,22 — 1,040657 1,990554 23 0,37 —1,038251 3,045798
9 0,23 — 1,041717 2,037877 24 0,38 —1,036058 3,154141
10 0,24 — 1,042655 2,087565 25 0,39 —1,033488 3,269573
11 0,25 — 1,043463 2,139778 26 0,40 —1,030514 3,392698
12 0,26 — 1,044129 2,194694 27 0,42 —1,023220 3,664748
13 0,27 — 1,044643 2,252502 28 0,45 —1,008354 4,149469
14 0,28 — 1,044992 2,313410 29 0,50 —0,969947 5,233492
15 0,29 — 1,045165 2,377642 30 0,55 —0,899013 6,144230
с числом точек N = 200. На рис. 2 виден энтропийный след в профилях р(т), полученных по методу без выделения разрывов. След образовался при формировании «размазанной> ударной волны возле границы газового шара.
В табл. 3, 4 и 5 приведены зависимости и (т), р (т), Р (т), полученные из аналитического решения, на моменты времени Ь = 0, 4, Ь = 0, 45, Ь = 0, 5, соответственно. В табл. 6 приведены аналитические зависимости М(£), П(£) и $(£) в диапазоне 1 < £ < 10. Для того, чтобы построить решение и (т), р (т), Р (т) в любой выбранный момент времени задаем £ го табл. 6 и находим т из формулы (19), затем по формулам (40) и (41) вычисляем и (т), р (т), Р (т).
Таблица 3
Аналитическое решение на момент t = 0, 4
№ г P (г) P(0 U (г) № г P (г) P(0 U (г)
1 0,3584 3,3761 4,0000 — 1,5912 24 0,4660 3,5944 5,9404 — 1,2335
2 0,3631 3,4043 4,1303 — 1,5681 25 0,4706 3,5912 5,9954 — 1,2232
3 0,3678 3,4299 4,2533 — 1,5460 26 0,4753 3,5874 6,0488 — 1,2132
4 0,3724 3,4533 4,3698 — 1,5249 27 0,4800 3,5831 6,1009 — 1,2034
5 0,3771 3,4744 4,4806 — 1,5047 28 0,4847 3,5783 6,1515 — 1,1938
6 0,3818 3,4935 4,5863 — 1,4854 29 0,4894 3,5730 6,2009 — 1,1845
7 0,3865 3,5106 4,6873 — 1,4668 30 0,4940 3,5672 6,2490 — 1,1755
8 0,3911 3,5258 4,7840 — 1,4489 31 0,4987 3,5611 6,2959 — 1,1666
9 0,3958 3,5394 4,8768 — 1,4318 32 0,5034 3,5545 6,3416 — 1,1579
10 0,4005 3,5513 4,9661 — 1,4153 33 0,5081 3,5476 6,3861 — 1,1495
Окончание таблицы 3
№ г Р (г) Р(г) и (г) № г Р (г) Р(г) и (г)
11 0,4052 3,5616 5,0519 — 1,3993 34 0,5127 3,5403 6,4296 — 1,1412
12 0,4098 3,5706 5,1347 — 1,3840 35 0,5174 3,5328 6,4721 — 1,1332
13 0,4145 3,5782 5,2145 — 1,3691 36 0,5221 3,5249 6,5136 — 1,1253
14 0,4192 3,5846 5,2915 — 1,3548 37 0,5268 3,5167 6,5540 — 1,1176
15 0,4239 3,5898 5,3660 — 1,3409 38 0,5314 3,5083 6,5936 — 1,1100
16 0,4286 3,5939 5,4380 — 1,3275 39 0,5361 3,4997 6,6322 — 1,1026
17 0,4332 3,5969 5,5078 — 1,3145 40 0,5408 3,4908 6,6700 — 1,0954
18 0,4379 3,5990 5,5753 — 1,3019 41 0,5455 3,4817 6,7069 — 1,0883
19 0,4426 3,6002 5,64078 — 1,2897 42 0,5502 3,4724 6,7430 — 1,0814
20 0,4473 3,6005 5,7043 — 1,2778 43 0,5548 3,4630 6,7783 — 1,0746
21 0,4519 3,6001 5,7659 — 1,2662 44 0,5595 3,4533 6,8128 — 1,0679
22 0,4566 3,5989 5,8258 — 1,2550 45 0,5876 3,3927 7,0053 — 1,0305
23 0,4613 3,5969 5,8839 — 1,2441
Таблица 4
Аналитическое решение на момент t = 0,45
№ г Р (г) р(г) и (г) № г Р (г) Р(г) и (г)
1 0,2434 4,7924 4,0000 —1,8959 24 0,3810 4,8977 6,8237 — 1,2698
2 0,2494 4,8648 4,2393 —1,8450 25 0,3870 4,8712 6,8863 — 1,2554
3 0,2554 4,9253 4,4553 —1,7983 26 0,3930 4,8441 6,9465 — 1,2415
4 0,2613 4,9752 4,6525 —1,7552 27 0,3989 4,8165 7,0044 — 1,2280
5 0,2673 5,0156 4,8340 —1,7153 28 0,4049 4,7883 7,0600 — 1,2150
6 0,2733 5,0475 5,0023 —1,6782 29 0,4109 4,7598 7,1136 — 1,2025
7 0,2793 5,0720 5,1590 —1,6435 30 0,4169 4,7310 7,1653 — 1,1903
8 0,2853 5,0899 5,3054 —1,6111 31 0,4229 4,7018 7,2150 — 1,1785
9 0,2913 5,1019 5,4428 —1,5806 32 0,4289 4,6725 7,2631 — 1,1671
10 0,2972 5,1088 5,5721 —1,5518 33 0,4348 4,6431 7,3094 — 1,1561
11 0,3032 5,1111 5,6939 —1,5247 34 0,4408 4,6135 7,3541 — 1,1454
12 0,3092 5,1093 5,8091 —1,4990 35 0,4468 4,5839 7,3974 — 1,1350
13 0,3152 5,1039 5,9181 —1,4747 36 0,4528 4,5542 7,4392 — 1,1249
14 0,3212 5,0953 6,0215 —1,4515 37 0,4588 4,5245 7,4796 — 1,1151
15 0,3272 5,0838 6,1197 —1,4295 38 0,4647 4,4949 7,5187 — 1,1055
16 0,3331 5,0699 6,2131 —1,4085 39 0,4707 4,4653 7,5566 — 1,0962
17 0,3391 5,0538 6,3021 —1,3885 40 0,4767 4,4358 7,5933 — 1,0872
18 0,3451 5,0357 6,3870 —1,3694 41 0,4827 4,4065 7,6288 — 1,0784
19 0,3511 5,0159 6,4680 —1,3510 42 0,4887 4,3772 7,6633 — 1,0698
20 0,3571 4,9946 6,5454 —1,3335 43 0,4947 4,3481 7,6967 — 1,0615
21 0,3630 4,9720 6,6195 —1,3166 44 0,5006 4,3192 7,7291 — 1,0533
22 0,3690 4,9482 6,6905 —1,3004 45 0,5365 4,1495 7,9048 — 1,0084
23 0,3750 4,9234 6,7585 —1,2848
Таблица 5
Аналитическое решение на момент t = 0, 5
№ г P (г) P(0 U (г) № г P (г) P(0 U (г)
1 0,0926 11,4956 4,0000 —2,9363 24 0,2777 8,1137 8,5003 — 1,3032
2 0,1007 11,9886 4,7516 —2,6848 25 0,2858 7,9479 8,5430 — 1,2826
3 0,1087 12,2118 5,3157 —2,4917 26 0,2938 7,7882 8,5829 — 1,2630
4 0,1168 12,2584 5,7648 —2,3370 27 0,3019 7,6343 8,6202 — 1,2444
5 0,1248 12,1902 6,1336 —2,2092 28 0,3099 7,4862 8,6552 — 1,2267
6 0,1328 12,0473 6,4426 —2,1014 29 0,3180 7,3433 8,6879 — 1,2097
7 0,1409 11,8565 6,7055 —2,0087 30 0,3260 7,2056 8,7187 — 1,1936
8 0,1489 11,6358 6,9319 — 1,9280 31 0,3341 7,0728 8,7477 — 1,1781
9 0,1570 11,3974 7,1288 — 1,8568 32 0,3421 6,9447 8,7750 — 1,1632
10 0,1650 11,1497 7,3015 — 1,7935 33 0,3502 6,8209 8,8007 — 1,1489
11 0,1731 10,8984 7,4540 — 1,7366 34 0,3582 6,7015 8,8251 — 1,1352
12 0,1811 10,6474 7,5896 — 1,6852 35 0,3663 6,5861 8,8481 — 1,1221
13 0,1892 10,3996 7,7109 — 1,6384 36 0,3743 6,4745 8,8699 — 1,1094
14 0,1972 10,1567 7,8199 — 1,5956 37 0,3824 6,3666 8,8906 — 1,0971
15 0,2053 9,9198 7,9184 — 1,5563 38 0,3904 6,2622 8,9103 — 1,0854
16 0,2133 9,6898 8,0076 — 1,5199 39 0,3985 6,1612 8,9290 — 1,0740
17 0,2214 9,4670 8,0889 — 1,4862 40 0,4065 6,0634 8,9468 — 1,0630
18 0,2294 9,2517 8,1632 — 1,4548 41 0,4146 5,9686 8,9637 — 1,0523
19 0,2375 9,0439 8,2312 — 1,4254 42 0,4226 5,8768 8,9799 — 1,0420
20 0,2455 8,8437 8,2938 — 1,3980 43 0,4307 5,7878 8,9953 — 1,0320
21 0,2536 8,6507 8,3515 — 1,3722 44 0,4387 5,7014 9,0100 — 1,0224
22 0,2616 8,4649 8,4049 — 1,3478 45 0,4870 5,2335 9,0860 —0,9700
23 0,2697 8,2860 8,4543 — 1,3249
Таблица б
Аналитическое решение
№ £ п(£) S(£) M(£) № £ n(£) S(£) M(£)
1 1,000 0,7500 4,0000 0,7500 24 1,828 0,7188 7,3840 0,4503
2 1,036 0,7660 4,3422 0,7211 25 1,864 0,7120 7,4454 0,4444
3 1,072 0,7781 4,6391 0,6955 26 1,900 0,7052 7,5039 0,4388
4 1,108 0,7870 4,9018 0,6727 27 1,936 0,6984 7,5597 0,4334
5 1,144 0,7933 5,1375 0,6521 28 1,972 0,6917 7,6129 0,4282
6 1,180 0,7973 5,3508 0,6334 29 2,296 0,6335 8,0000 0,3890
7 1,216 0,7993 5,5453 0,6163 30 2,620 0,5816 8,2718 0,3596
8 1,252 0,7999 5,7236 0,6005 31 2,944 0,5364 8,4716 0,3363
9 1,288 0,7990 5,8879 0,5860 32 3,268 0,4972 8,6236 0,3174
10 1,324 0,7971 6,0398 0,5726 33 3,592 0,4630 8,7426 0,3016
11 1,360 0,7942 6,1807 0,5601 34 3,916 0,4330 8,8379 0,2881
12 1,396 0,7906 6,3118 0,5484 35 4,240 0,4067 8,9156 0,2764
13 1,432 0,7863 6,4341 0,5375 36 4,564 0,3834 8,9799 0,2661
Окончание таблицы б
14 1,468 0,7815 6,5485 0,5272 37 4,888 0,3626 9,0340 0,2570
15 1,504 0,7762 6,6558 0,5176 38 5,212 0,3440 9,0800 0,2489
16 1,540 0,7706 6,7565 0,5085 39 5,536 0,3272 9,1193 0,2415
17 1,576 0,7647 6,8513 0,4998 40 5,860 0,3120 9,1535 0,2348
18 1,612 0,7585 6,9406 0,4917 41 6,832 0,2741 9,2326 0,2178
19 1,648 0,7522 7,0249 0,4839 42 7,804 0,2445 9,2883 0,2043
20 1,684 0,7457 7,1046 0,4765 43 8,776 0,2209 9,3293 0,1931
21 1,720 0,7390 7,1801 0,4695 44 9,748 0,2016 9,3605 0,1838
22 1,756 0,7323 7,2516 0,4628 45 10,00 0,1971 9,3674 0,1816
23 1,792 0,7256 7,3195 0,4564
Работа проводилась при финансовой поддержке РФФИ. Грант, 13 01 00072. Литература
1. Guderley, G. Starke kugelige und zylindrische Verdichtungsstobe in der Nahe des Kugelmittelpunktes bzw. der Zylinderachse / G. Guderley // Luftfartforschung. - 1942. -T. 19, № 9. - C. 302-312.
2. Седов, Л.И. О неустановившихся движениях сжимаемой жидкости / Л.И. Седов // Доклад ы Академии наук СССР. - 1945. - Т. 47, № 2. - С. 94-96.
3. Станюкович, К.П. Автомодельные решения уравнений гидромеханики, обладающих центральной симметрии / К.П. Станюкович // Доклады Академии наук СССР. - 1945. -Т. 48, № 5. - С. 331-333.
4. Брушлинский, К.В. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики / К.В. Брушлинский, Я.М. Каждан // Успехи математических наук. - 1963. - Т. 18, № 2. -С. 3-23.
5. Седов, Л.И. Методы подобия и размерности в механике / Л.И. Седов. - М.: Тех. теор. лит., 1954.
6. Сидоров, А.Ф. Процессы безударного конического сжатия и разлета газа / А.Ф. Сидоров, О.Б. Хайруллина // Прикладная математика и механика. - 1994. - Т. 58, № 4. - С. 81-92.
7. Крайко, А.Н. Быстрое цилиндрически и сферически симметричное сильное сжатие идеального газа / А.Н. Крайко // Прикладная математика и механика. - 2007. - Т. 71, № 5. - С. 744-760.
8. Куропатенко, В.Ф. Модели механики сплошных сред / В.Ф. Куропатенко. - Челябинск: Ч.м ГУ. 2007.
9. Куропатенко, В.Ф. Комплекс программ ВОЛНА и неоднородный разностный метод расчета неустановившихся движений сжимаемых сплошных сред /В.Ф. Куропатенко, В.И. Кузнецова, Г.Н. Михайлова, Г.В. Коваленко, Г.Н. Сапожникова // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов. -1989. - № 2. - С. 9-25.
10. Kuropatenko, V.F. A Method for Shock Calculation / V.F. Kuropatenko, M.N. Yakimova // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2015. - V. 2, № 2. - P. 60-70.
Валентин Федорович Куропатенко, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник, Российский федеральный ядерный центр Всероссийский научно-исследовательский институт технической физики им. академика Е.И. Забабахина (г. Снежинск, Российская Федерация); профессор кафедры «Вычислительная механика сплошных сред>, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), v.f.kuropatenko@yandex.ru.
шгена Сергеевна Шестаковская, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Вычислительная механика сплошных сред>, Южно-Уральский государ-ственныи университет (г. Челябинск, Российская Федерация), leshest@list.ru.
Марина Николаевна Якимова, ведущий инженер-математик, Российский федеральный ядерный центр - Всероссийский научно-исследовательский институт технической физики им. академика Е.И. Забабахина (г. Снежинск, Российская Федерация), yakimovamn@yandex.ru.
Поступила в редакцию 30 ноября 2015 г.
MSC 76N15 DOI: 10.14529/mmp 160101
SHOCK WAVES IN GAS SPHERE
V.F. Kuropatenko, Russian Federal Nuclear Center-Zababakhin All-Russia Research Institute of Technical Physics, Snezhinsk, Russian Federation; South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, v.f.kuropatenko@yandex.ru, E.S. Shestakovskaya, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, leshest@list.ru,
M.N. Yakimova, Russian Federal Nuclear Center-Zababakhin All-Russia Research Institute of Technical Physics, Snezhinsk, Russian Federation, yakimovamn@yandex.ru
Mathematical modelling is widely applied for researches in all natural sciences, industries, economy, biology and other areas. Already existing or new created models and numerical methods are used for the solution of specific problems. The most reliable way to check the adequacy of the differential scheme is to compare the numerical solution with the precise solution of the problem where it is possible. As an example of such "reference" solution we construct a precise solution for the problem of a convergent shock wave and dynamic gas compression in a spherical vessel with an impermeable wall. Initially, the external border of the gas begins to move stepwise with a negative velocity, and the shock wave begins to propagate from border to gas. Acceleration of the border and sphericity determine the motion of the shock wave and the structure of the gas flow between the shock front and border. The considered problem formulation is fundamentally different from previously known statements of the problem of self-similar shock wave convergence to the center of symmetry and its reflection from the center with no boundary of gas.
Keywords: shock wave; analytical solution; ideal gas; spherical symmetry.
References
1. Guderley G. Starke kugelige und zylindrische Verdichtungsstobe in der Nahe des Kugelmittelpunktes bzw. der Zylinderachse. Luftfartforschung, 1942, vol. 19, no. 9, pp. 302-312.
2. Sedov L.I. [On the Transient Motion of a Compressible Fluid]. Doklady Akademii Nauk SSSR, 1945, vol. 47, no. 2, pp. 94-96. (in Russian)
3. Stanjukovich K.P. [Similar Solutions of the Equations of Fluid Mechanics, Possessing Central Symmetry]. Doklady Akademii Nauk SSSR, 1945, vol. 48, no. 5, pp. 331-333. (in Russian)
4. Brushlinskii K.V., Kazhdan Ja.M. On Auto-models in the Solution of Certain Problems of Gas Dynamics. Russian Mathematical Surveys, 1963, vol. 18, no. 2, pp. 1-22.
5. Sedov, L.I. Metody podobiya i razmernosti v mehanike [Methods of Similarity and Dimensionality in Mechanics]. Moscow, Teh. teor. lit., 1954. 326 p.
6. Sidorov A.F. [Processes Conical Shock-free Compression and Expansion of Gas]. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1994, vol 58, no. 4, pp. 81-92. (in Russian)
7. Kraiko A.N. Rapid Cylindrically and Spherically Symmetric Strong Compression of a Perfect Gas. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2007, vol. 71, no. 5, pp. 676-689.
8. Kuropatenko V.F. Modeli Mehaniki Sploshnyh Sred [Models of Continuum Mechanics]. Chelyabinsk, CSU, 2007. 302 p.
9. Kuropatenko V.F., Kuznecova V.I., Mihajlova G.N., Kovalenko G.V., Sapozhnikova G.N. [The Complex WAVE and Heterogeneous Software Difference Method for Calculating Unsteady Motion of Compressible Continua]. Issues of Atomic Science and Physics Simulation Tehniki. Series: Mathematical Modeling of Physical Processes, 1989, no. 2, pp. 9-25. (in Russian)
10. Kuropatenko V.F., Yakimova M.N. A Method for Shock Calculation. Journal of Computational and Engineering Mathematics, 2015, vol. 2, no. 2, pp. 60-70.
Received November 30, 2015
