О фокусировке цилиндрически симметричной ударной волны в газе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 533.6.011.1

DOI: 10.14529/ mmp170405

0 ФОКУСИРОВКЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ГАЗЕ

Ф.Г. Магазов2, Е. С. Шестаковская2

1 Российский федеральный ядерный центр - Всероссийский

научно-исследовательский институт технической физики имени Е.И. Забабахина,

г. Снежинск, Российская Федерация

2

Российская Федерация

В лагранжевых координатах построено аналитическое решение задачи о сходящейся ударной волне в цилиндрическом сосуде с непроницаемой стенкой для произвольных показателей автомодельности. На границе цилиндра задана отрицательная скорость. В начальный момент времени из этой точки начнет распространяться ударная волна к центру симметрии. Граница цилиндра будет двигаться по определенному закону, согласованному с движением ударной волны. В эйлеровых переменных она движется, но в лагранжевых переменных ее траектория является вертикальной линией. Вообще говоря, все траектории частиц являются вертикальными линиями, вдоль которых сохраняется то значение энтропии, которое возникло на ударной волне. Получены уравнения, определяющие структуру течения газа между фронтом ударной волны и границей, как функции времени и лагранжевой координаты, а так же зависимость энтропии от скорости ударной волны. Задача решена в лагранжевых координатах и принципиально отличается от ранее известных постановок задачи о схождении автомодельной ударной волны к центру симметрии и ее отражении от центра, которые построены для бесконечной области в эйлеровых координатах для единственного значения коэффициента автомодельности соответствующего единственному значению показателя адиабаты.

Ключевые слова: ударная волна; цилиндрическая симметрия; идеальный газ; аналитическое решение.

Введение

Математическое моделирование динамических процессов в механике сплошных сред в настоящее время является одним из важнейших инструментов исследований. Для решения конкретных задач используются уже существующие или создаются новые модели и численные методы. Для оценки свойств разностных схем, аппроксимирующих законы сохранения, широко применяются априорные методы, такие, как исследование устойчивости, аппроксимации, консервативности, дистракции и др. Следует, однако, отметить, что большая часть этих методов разработана для акустических приближений к исходным уравнениям и для простейших уравнений состояния. В механике сплошных сред свойства математической модели из-за нелинейностей, определяемых реальными уравнениями состояния, наличием ударных волн, пластичностью и другими свойствами вещества, могут заметно отличаться от предсказаний линейной теории.

При переходе к нелинейным уравнениям линейная теория теряет свою строгость. Важность теоремы сходимости [1] сильно преувеличивается, поскольку она все-таки

В. Ф. Куропатенко

доказана для линейных, а не для нелинейных уравнений, а реальные расчеты проводятся при конечных Ах и АЬ, а те при Ах ^ 0, АЬ ^ 0. Очень ярко взгляды на относительность «строгих> критериев устойчивости и сходимости изложены в [2]. Поэтому важнейшими способом проверки достоинств и недостатков математической модели в настоящее время является расчет эталонных задач, имеющих аналитическое решение, и сравнение результатов расчетов с этими решениями. Начиная с 40-х годов прошлого столетия появился ряд работ [3-11], содержащих автомодельное решение задачи о фокусировке ударной волны в бесконечном идеальном газе. Однако реальные тела имеют конечные размеры. В данной работе рассмотрена задача о сходящейся ударной волне в цилиндрическом сосуде с непроницаемой стенкой, имеющая аналитическое решение.

1. Постановка задачи

Рассматривается цилиндрический сосуд с непроницаемой стенкой, в котором находится газ массой M0 и начальными при t = t0 параметрами газа p0 = const, U0 = 0, P0 = 0 E0 = 0, где p - плотность, U - скорость, P - давление, E - удельная внутренняя энергия. Задача имеет цилиндрическую симметрию. Лагранжевой координатой

M

t. В точке t0, M0 задана скорость U\ < 0. Таким образом, в этой точке задан сильный разрыв, который при t > t0 распространяется к центру симметрии и в момент tf фокусируется в точку M = 0. Граница цилиндр а при t > t0 движется в переменных г, t, но в переменных M, t ее траектория является вертикальной линией. Вообще говоря, все траектории частиц являются вертикальными линиями, вдоль которых сохраняется то значение энтропии, которое возникло на ударной волне. Параметры газа между ударной волной и границей определяются системой законов сохранения Эйлера-Гельмгольца. Уравнение состояния используются в двух формах

P = (Y - 1) pE, P = F (s) pY, (1)

где F (s) функция от энтропии.

2. Соотношения на ударной волне

Законы сохранения на ударной волне при и0 = 0, Р0 = 0,Е0 = 0,Ро = 0 имеют вид [12]

Рш (Е - иш) - роЕ = 0, (2)

роЕиш - Рш = 0, (3)

(ew + 2 и^})

PoD[Ew + 1 Ul) - PwUw = 0. (4)

Индексом <'Ю>> обозначены величины на ударной волне, Е - скорость ударной волны. Преобразуем эти уравнения к виду, содержащему зависимости ирш, Рот скорости ударной волны в лагранжевых координатах. Лагранжева координата ударной волны в случае сферически симметричного течения связана с ее эйлеровой координатой г,ш уравнением

= прогШ. (5)

Скорость ударной волны в лагранжевых координатах есть изменение Мш со временем

Щ = М = 2пр0Гш Е. (6)

Заменим эйлерову координату ударной волны ее лагранжевой координатой. Для этого выразим гш из (5) и подставим в (6)

Щ =(2Мш)1/2 (2про)1/2 Е. (7)

Выразив в (7) Е через Щи Мш и подставив в (2)-(4), получим с помощью (1) зависимости

Ч +1 ^

Рш = -7 Ро, (8)

Y- 1

иш = ^т (2про)-1/2 (3Мш)-1/2 Щ (9)

7 +1 2

Рш = —- (2п)-1 (2Мш)-1 Щ2. (10)

7 +1

Fw

F

w

2 7- 1 \ -y {0 -Ро ' W

(y + 0

_7 + 1 VY + 1

В точке t = to, Mw = Mo, Uw = Uwo, Pw = Pwo, Fw = Fwo-

(2Mw )-1 W2. (11)

иш=и°(Що)(М°) 'Рш=Ро{Щ) (М~)'Рш=Ро(Що) (М°).

(12)

По аналогии с [13-14] зададим траекторию ударной волны в виде

Мш = Моф (ь)п, (13)

где ф = (tf - ¿) / (tf - Ьо). Продифференцировав Мш по получим выражение для скорости ударной волны в лагранжевых координатах

Щ = Щофп-1, (14)

^ Що = - Мт- <*)

tf - Ьо

W Mw

W (Mw \{n-1)/n

Ы) . (6)

Wo

С помощью соотношения (16) исключим W в (12)

fM\ (n-2)'2n (m \ (n-2)'n / M \ (n-2)'2n

Uw = Uwo{Mo) ' Pw = Pwo{Mo) ' Fw = Fwo{M~) .(17)

Величина Гш вдоль траектории частицы с координатой Мш постоянна. Следовательно, зависимость энтропии от массы между ударной волной и границей газа имеет

( М \ (п-2)/п

Г = М М) ■ (18>

Из (5) следует зависимость гш от Мш

Г" = Ч ж)"2- (19)

3. Параметры течения за фронтом ударной волны

Параметры адиабатического течения за ударной волной определяются уравнениями, траектории, сохранения массы и движения

И - и = 0. (20)

{ дг\

м

др\ , 2__2д (г2 и)

м

ж)„+2пР2^ = 0' (21)

ди\ д (Яр^) , ч

д^) + = 0- (22)

дг) м дМ

Эти уравнения содержат три искомых функции г, Р и и. Величина Я определяется

М

Перейдем в (20) - (22) к новым искомым функциям

Я = г2, С = ги. (23)

После перехода к функциям Я ж С уравнения (20) - (22) примут вид

(дЯ) - 2С =0. (-)

м

(!) +2ПР2 дМ =0, (25)

м дМ

(С +2*Ядд(Гр1 - 2С2Я- =0. (26)

\дь) м дМ у '

Яш Сш М

Мш Г М \ (п-1)/п

Яш = ЯоМ. Сш = Со(М) ■ (27)

0М0

Уравнения (24) - (26) являются основными для отыскания Я, С р инте-

грирования Мш < М < М0, г0 < г < tf.

Перейдем от переменных t, M к переменным t, £ (t, M). Уравнения (24) - (26) примут вид

' dR) + (dR) () -

©, +( D X Dм - =0-

(28)

(!), +( I) X Ш м+-2( f).(M.=0- -

+2nR

Z \ / м \ ^w t

+ V-^yЛ-t)м- R+

4 f )t № )t+—m \

(30)

0.

Зависимость £ (г, М) зададим так, чтобы на ударной волне было £ =1. Из (13) следует, что проще всего взять такую зависимость в виде

М

£ = мФ-п. (31)

4 М0 1 ;

4. Разделение переменных

Представим Я, р и С в виде произведений двух функций,

одна из которых является функцией только ¿, а другая только от £

Я = ад (г) Т (£) р = а, (г) 5 (£) С = ас (*) ^ (£). (32)

Поскольку на ударной волне £ = 1, то значения Т1 = Т (1), 51 = 5 (1), Z1 = Z (1) должны быть постоянными. Из (27) и (31) следует зависимость Яш (г)

Ят = Яо фп. (33)

Сравнив эту зависимость с (32) на ударной волне, получим выражение для аи

ак (г) = Яо фп Т-1. (34)

Аналогично для а, и ас получаем соотношения

а, = ро (5-1, ас (г) = Со фп-1 г-1. (35)

Подставив (32) - (35) в (28) - (30) и воспользовавшись (15), получим три уравнения для Т, 5 и Z

£Т' = А1, (36)

5ХВ^' - £Zl5' = 0, (37)

- и' + С1^5' = С2, (38)

Zl ¿1

£

А1} В1, С]_, С2 с помощью (5), (6), (12) и (21) преобразуются к виду

А = Т_ 2ZTl В = 252 = 51-1 Т£-2/п

А1 Т (7 +1) ^' В1 (7 - 1) ¿2' С1 ¿Г1 Т1 ' (39)

Z2 T _ (n - 1) Z C(n - 2) 8 (y +1) Z2 T n Z \ 1 n8 1

Уравнения (36) - (38) образуют относительно Т', 5', Z' систему линейных неоднородных уравнений. Определитель системы равен

д = вс^ - е.

Если Д = 0, то решение системы (36) - (38) существует и имеет вид

Т = А = В1 С2 51 Z' = еС2 Zl

(40)

г д ' д

На ударной волне при £ =1 величины Т, 5^, Д и коэффициенты (39) принимают значения

Т = Т1, 5 = 51, Z = Zъ А1 = (т - 1 Т , В1 2

С = 1, С2

7 + 1

3(7 + 1) - п (27 + 1)

п (7 + 1)

Д(1)

(7 - 1) (7 +1) (7 - 1)-

5. Решение

Интегрирование системы уравнений (40) начинается в точке £ =1 (на ударной

п

делитель в ноль не обращается. При некотором значении п* определитель обращается в ноль при £ = £*. В этой точке решение существует, если С2 тоже обращается в ноль. Каждому значению 7 соответствует одно значение п* (см. табл.). В этой же таблице приведены значение £*, при которых одновременно Д (£*) = 0 С2 (£*) = 0. Профили давлений, плотностей и скоростей при п = п* для трех моментов времени приведены на рис. 1.

Таблица

Значения п* и соответствующие различным значениям показателя адиабаты 7

7 1,1 1,2 4/3 1,4 5/3

п* 1,770501 1,722331 1,684516 1,670651 1,631252

£* 6,768540 4,873946 3,896265 3,616019 2,990161

При 0 < п < п* определитель системы уравнений (40) положителен во всем промежутке изменения £ 1 < £ < то. В этом случае происходит коллапс газового цилиндра - его объем стремится к нулю. Структура течения газа между фронтом ударной волны и границей цилиндра показана на рис. 2.

В области п > п* определитель обращается в ноль при некото ром значении £п, которое зависит от п. Но в этой точке С2 (£п) в ноль не обращается. Таким образом

1 < £ < £п М = Мо

£п

Ьп = tf - (tf - Ьо) £-1/п. Из точки Мо, Ьп выходит линия, на которой £ = £п

tf - Ь

Мп = Мо£п

У

- V

(41)

Рис. 1. Зависимости скорости, давления и плотности от эйлеровой координаты г для 7=5/3, п = п* = 1,631252 и трех моментов времени

Рис. 2. Зависимости скорости, давления и плотности от лагранжевой координаты для ^=5/3, п = 1 меньше п*=1, 631252 и трех моментов времени

Она фокусируется одновременно с ударной волной, т.к. при Ь = tf, Мп = 0. В области между линией (41) и ударной волной (13) для каждого п > п* существует единственное решение. Структура течения газа показана на рис. 3.

Рис. 3. Зависимости скорости, давления и плотности от эйлеровой координаты г между ударной волной и характеристикой для 7=5/3, п = 2 болыпе п*=1, 631252 и трех моментов времени

В лагранжевьтх координатах построено аналитическое решение задачи о цилиндрически симметричной сходящейся ударной волне для произвольных показателей и, которые определяют схождение ударной волны.

Статья выполнена при поддержке Правительства РФ (Постановление №в 211 от 10.03.2013 -г.), соглашение № 02.А03.21.0011.

Литература

1. Lax, P.D. Survey of Stability of Linear Finite Différence Equations / P.D. Lax, R.D. Richtmyer // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1956. - V. 9. -P. 267-293.

2. Роуч, И. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. - М.: Мир, 1980.

3. Guderley, G. Starke kugelige und zylindrische Verdichtungsstobe in der Nahe des Kugelmittelpunktes bzw. der Zylinderachse / G. Guderley // Luftfartforschung. - 1942. -T. 19, № 9. - C. 302-312.

4. Седов, Л.И. О неустановившихся движениях сжимаемой жидкости / Л.И. Седов // Доклад ы Академии наук СССР.- 1945. - Т. 47, № 2. - С. 94-96.

5. Станюкович, К.П. Автомодельные решения уравнений гидромеханики, обладающих центральной симметрии / К.П. Станюкович // Доклады Академии наук СССР. - 1945. -Т. 48, № 5. - С. 331-333.

6. Брушлинский, К.В. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики / К.В. Брушлинский, Я.М. Каждан // Успехи математических наук. - 1963. - Т. 18, № 2. -С. 3-23.

7. Седов, Л.И. Методы подобия и размерности в механике / Л.И. Седов. - М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1954.

8. Сидоров, А.Ф. Процессы безударного конического сжатия и разлета газа / А.Ф. Сидоров, О.Б. Хайруллина // Прикладная математика и механика. - 1994. - Т. 58, № 4. - С. 81-92.

9. Сидоров, А.Ф. Об оптимальном безударном сжатии газовых слоев / А.Ф. Сидоров // Доклады Академии наук СССР. - 1990. - Т. 313, № 2. - С. 283-287.

10. Крайко, А.Н. Теоретическая газовая динамика: классика и современность / А.Н.Крайко. - М.: Торус пресс, 2010.

11. Крайко, А.Н. Быстрое цилиндрически и сферически симметричное сильное сжатие идеального газа / А.Н. Крайко // Прикладная математика и механика. - 2007. - Т. 71, № 5. - С. 744-760.

12. Куропатенко, В.Ф. Модели механики сплошных сред / В.Ф. Куропатенко. - Челябинск: Ч.м ГУ. 2007.

13. Куропатенко, В.Ф. Динамическое сжатие холодного газового шара /В.Ф. Куропатенко, Е.С. Шестаковская, М.Н. Якимова // Доклады академии наук. - 2015. - Т. 461, № 5. -С. 530-532.

14. Kuropatenko, V.F. Analytical Solution of the Problem of a Shock Wave in the Collapsing Gas in Lagrangian Coordinates / V.F. Kuropatenko, E.S. Shestakovskaya // AIP Conférence Proceedings. - 2016. - V. 1770. - P. 030069.

Валентин Федорович Куропатенко, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник, Российский федеральный ядерный центр - Всероссийский научно-исследовательский институт технической физики имени Е.И. Забаба-хина, (г. Снежинск, Российская Федерация); профессор, кафедра «Вычислительная механика:», Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), v.f.kuropatenko@yandex.ru.

Фарит Гареевич Магазов, аспирант, кафедра «Вычислительная механика», Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), magazov_farit@mail.ru.

пелена Сергеевна Шестаковская, к&ндид&т физико-математических наук, доцент, кафедра «Вычислительная механика:», Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), leshest@list.ru.

Поступила в редакцию 13 августа 2017 г.

MSC 76N15 DOI: 10.14529/mmpl70405

FOCUSING OF CYLINDRICALLY SYMMETRIC SHOCK IN A GAS

12, F.G. Magazov2, E.S. Shestakovskaya2

ear Center - Zababakhin All Russia Research Institute

of Technical Physics, Snezhinsk, Russian Federation 2

E-mail: v.f.kuropatenko@yandex.ru, leshest@list.ru, magazov_farit@mail.ru

V.F. Kuropatenko 1 Russian Federal Nuc

The analytical solution of the problem of converging the shock in the cylindrical vessel with an impermeable wall is constructed for arbitrary self-similar coefficients in Lagrangian coordinates. The negative velocity is set at the cylinder boundary. At the initial time the shock spreads from this point into the center of symmetry. The cylinder boundary moves under the particular law which conforms to the movement of the shock. It moves in Euler coordinates, but the boundary trajectory is a vertical line in Lagrangian coordinates. Generally speaking, all the trajectories of the particles are vertical lines. The value of entropy which appeared on the shock etains along each of these lines. Equations that determine the structure of the gas flow between the shock front and the boundary as a function of time and the Lagrangian coordinate are obtained, as well as the dependence of the entropy on the shock velocity. Thus, the problem is solved for Lagrangian coordinates. It is fundamentally different from previously known formulations of the problem of the self-convergence of the self-similar shock to the center of symmetry and its reflection from the center which were constructed for the infinite area in Euler coordinates for a unique self-similar coefficient corresponding to the unique value of the adiabatic index.

Keywords: shock; cylindrical symmetry; ideal gas; analytical solution.

References

1. Lax P.D., Richtmyer R.D. Survey of Stability of Linear Finite Difference Equations. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1956, vol. 9, pp. 267-293.

2. Roach P.J. Computational Fluid Dynamics. Albuquerque, Hermosa Publishers, 1998.

3. Guderley G. Starke kugelige und zylindrische verdichtungsstobe in der nahe des kugelmittelpunktes bzw. der zylinderachse. Luftfartforschung, 1942, vol. 19, no. 9, pp. 302-312. (in German)

4. Sedov L.I. [On the Transient Motion of a Compressible Fluid]. Soviet Mathematics, 1945, vol. 47, no. 2, pp. 94-96. (in Russian)

5. Stanjukovich K.P. [Similar Solutions of the Equations of Fluid Mechanics, Possessing Central Symmetry]. Soviet Mathematics, 1945, vol. 48, no. 5, pp. 331-333. (in Russian)

6. Brushlinskii K.V., Kazhdan Ja.M. On Auto-Models in the Solution of Certain Problems of Gas Dynamics. Russian Mathematical Surveys, 1963, vol. 18, no. 2, pp. 1-22.

7. Sedov L.I. Metody podobija i razmernosti v mehanike [Methods of Similarity and Dimensionality in Mechanics]. Moscow, Gosudarstvennoe izdatel'stvo tehniko-teoreticheskoy liter atury, 1954.

8. Sidorov A.F. [Processes Conical Shock-Free Compression and Expansion of GasJ. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1994, vol. 58, no. 4, pp. 81-92. (in Russian)

9. Sidorov A.F. [On Optimal Unstressed Compression of the Gas Layers]. Soviet Mathematics, 1990, vol. 313, no. 2, pp. 283-287. (in Russian)

10. Kraiko A.N. Teoreticheskaya gazovaya dinamika: klassika i sovremennost' [Theoretical Gas Dynamics: Classic and Modern]. Moscow, Torus Press, 2010.

11. Kraiko A.N. Rapid Cylindrically and Spherically Symmetric Strong Compression of a Perfect Gas. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2007, vol. 71, no. 5, pp. 676-689.

12. Kuropatenko V.F. Modeli mehaniki sploshnyh sred [Models of Continuum Mechanics]. Chelyabinsk, Chelyabinsk State University 2007.

13. Kuropatenko V.F., Shestakovskaya E.S., Yakimova M.N. Dynamic Compression of a Cold Gas Sphere. Doklady Phisics, 2015, vol. 60, no. 4, pp. 180-182.

14. Kuropatenko V.F., Shestakovskaya E.S. Analytical Solution of the Problem of a Shock Wave in the Collapsing Gas in Lagrangian Coordinates. AIP Conference Proceedings, 2016, vol. 1770, p. 030069. DOI: 10.1063/1.4964011

Received August 13, 2017