Автомодельная задача для одномерных неустановившихся движений газа внутри сжимающегося сферического поршня Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м IX 1 9 78 № 4

УДК 533.6.013.2.011.3/.5

АВТОМОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА ВНУТРИ СЖИМАЮЩЕГОСЯ СФЕРИЧЕСКОГО ПОРШНЯ

В. П. Пархоменко

Рассматривается автомодельная задача для уравнений сфериче-ски-симметричных неустановившихся движений невязкого, нетеплопроводного, совершенного газа, находящегося внутри сжимающегося сферического поршня, движущегося по степенному закону. Исследование проведено для всех значений отношения теплоемкостей %. Показано, что при некоторых значениях показателя степени в выражении закона движения поршня решений задачи рассмотренного в настоящей работе вида не существует.

1. Пусть при Ї-* — со ((— время, отсчитываемое от момента схлопывания) невязкий, нетеплопроводный, совершенный газ занимает все пространство, покоится и его температура равна нулю. Движение газа возникает под действием сжимающегося поршня, охватывающего газ. Закон движения поршня

So и *■

(1.1)

положительные

где Г! — расстояние от центра симметрии до поршня постоянные.

ё газе, очевидно, возникает ударная волна. Движение газа волной описывается уравнениями Эйлера [1]

^ + + 2-^ = 0; дt дг

OE-j-ti— +.

dt дг

г

др

дг

= 0;

(1.2)

^£. + мІІ = 0 dt дг

и уравнением состояния р = spx. Здесь г — расстояние от центра, р — плотность, л — скорость, р — давление, s — функция энтропии газа. Перед волной и=/>=0, р — Ро = const (эти условия совпадают с начальными).

Связь между значениями переменных перед ударной волной и за ней выражается известными соотношениями

и* = р[±-±\, _£_=Л±1

Ро Р Ро * — 1

1

________£_

N* Ро

Ро

(1.3)

где N—скорость фронта ударной волны.

2. Задача допускает автомодельное решение вида

н(г, *)=— У(5), р(г, <) = РоЛ(6). р(г, *) = Р°^/>(£), kt

где S = So tr~k.

В силу автомодельности ударная волна и поршень являются линиями £ = = const. Выбором So постоянную, соответствующую фронту ударной волны, можно сделать равной единице, тогда S = So=const соответствует поршню. Уравнениями Эйлера описывается движение газа в области, где So<S<l.

Сделаем замену переменных [2, 3]

у— \ — U, г — xP/R, R=R.

Тогда система (1.2) приводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений

kl *2. = у q{y’ г)

(2.1)

г—у3

Р аг _ ? д(у, г)+р(у, г) еЦ г — у*

и алгебраического соотношения

6Л1—Зх+2* у2 (*—х) г~6 = сопв1,

где

Р (У> *) =• (3 — у) г/у — (2% — 1) у2 + [2х — 3 4- (а (% — 2)]у — хц.,

9(У. *) = (1 — У) (У — Злг/у) + ц(2г|х|з>+ 1 -у).

Из (2.1) получаем

Лг_ = г_ д(у, г) + р(у, г) _ ^ 2)

йу У Я(У< г)

Условия на фронте ударной волны (1.3) дают соотношения:

уо-^, *-*<'-'1

*+1 (»+1)

Скорость частиц вблизи поршня совпадает со скоростью поршня. Поэтому, учитывая (1.1), на поршне имеем >1 = 0.

Таким образом, движениям газа, порожденным сжимающимися поршнями, соответствуют интегральные кривые уравнения (2.2), проходящие через точку (^о. го) и достигающие линии у = 0, причем переменная $ на этих кривых должна монотонно изменяться от единицы в точке М до некоторого £о<1 на оси у = 0.

3. Изучим поле интегральных кривых уравнения (2.2) в зависимости от ^ и XI В [4] подробно исследовано аналогичное уравнение, особые точки которого

в области 0<><+ с», 0<г<-)-00 совпадают по типу и количеству с особыми точками уравнения (2.2).

Прямая у = 0 является интегральной кривой уравнения (2.2) и не проходит через точку М, поэтому интегральная Кривая, соответствующая поршню, может достичь прямой у — 0 только в особых точках, лежащих на этой прямой. Таких особых точек две: у = 0, г = 0 и у = 0, г — -\-оо [нас интересует только первый квадрант плоскости (у, г)]. Как показывает исследование, особая точка 0(0, 0) является узлом при > > 3/2 (х — 1) и седлом при (л <3/2 (х — 1). В последнем случае через точку О проходят только сепаратрисы седла, но на них переменная £ возрастает при приближении к О, поэтому они не могут соответствовать искомым движениям. Таким образом, далее имеет смысл рассматривать только область (*>3/2(х — 1). На всех интегральных кривых, входящих в узел О, переменная £ изменяется нужным образом: убывает и достигает в узле значения 0<£0< 1.

Особая точка N(0, +оо) при ^.<3/2х является узлом, но £ возрастает при движении по интегральным кривым к точке N и не может описывать движений, порождаемых сжимающимися поршнями. При (л.>3/2х особая точка N становится седлом.

Картина интегральных кривых существенно зависит от положения, числа и типа особых точек внутри первого квадранта плоскости (у, г). Конкретно это видно на фиг. 1. На ней введены следующие обозначения: [л.1=2т/(У%-|- У^)г (см. [3]), ц* — показатель автомодельности в задаче о сходящейся к центру сильной сферической ударной волне [3, 4] (при % > 14 х: 1,87 показатель ц* неоднозначен [3], но для нас это не важно), ц2 = 3/2(г.— 1), [а3 = 3/2х. Заштрихованная область указывает множество [а их, для которых существует автомодельное решение поставленной задачи. При и % из областей 1 и 2 (см. фиг. 1) существуют две особые точки внутри первого квадранта: —седло, — узел.

На фиг. 2 представлена качественная картина поля интегральных кривых для ц и х из области 2. Для таких ц и х точка М находится слева от сепаратрисы седла Л^, нарисованной пунктиром на фиг. 2. Поэтому для любых и х из области 2 существует интегральная кривая, проходящая через точку М и попадающая в точку О (см. фиг, 2), причем параметр £ на ней убывает. Очевидно, что именно она соответствует искомым движениям газа. Для |л и х из области 1 точка М находится правее указанной сепаратрисы, что приводит к тому, что в точку О соответствующая интегральная кривая не попадает. Отделяет эти две области кривая (л* (х), для точек которой М лежит как раз на сепаратрисе.

В областях 3 и 4 особых точек в области 0 <31 < + оо, 0<г< + оэ нет. В области 3 особая точка у= 0, г=+со является узлом, а в области 4 — седлом. Картины поля интегральных кривых для ^ и х из этих областей изображены на фиг. 3 и 4 соответственно. Очевидно* что и здесь решение задачи существует.

Фиг. 2

Фиг. 3

V

У

Фиг. 4

9—Ученые записки № 4

109

4. Таким образом, решение поставленной задачи существует далеко не для всех значений показателя степени & = [х-1-1 в формуле закона движения поршня. При решении хорошо известной задачи о движении газа под действием расширяющихся по степенному закону сферических поршней [5, 6] оказывается, что область существования решения при любых х ограничена значением показателя степени, соответствующим показателю автомодельности в задаче о сильном точечном взрыве [2]. Аналогичный результат было бы естественно ожидать и в рассматриваемой задаче, где роль сильного взрыва играет, казалось бы, сильная сходящаяся сферическая волна. При х <<Х2 = 1.22 так и происходит: решение существует при |л>|х*(х), т. е. область существования его отделяется кривой, соответствующей решению задачи о сильной сходящейся сферической ударной волне. Однако при х>хз положение меняется: решение существует уже при > [а2 (х) >(л* (х) (см. фиг. 1), где (*2 = 3/2(х — 1), и сильная сходящаяся ударная волна не является предельным режимом по отношению к движениям, порождаемым поршнями, а совершенно обособлена от них.

Автор благодарен О. С. Рыжову за полезные обсуждения и внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ландау Л. Д., ЛифшицЕ. М. Механика сплошных сред. М., „Наука*, 1953.

2. Се дов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М., „Наука*, 1967.

3. Б р у ш л и н с к и й К. В., Каждая Я. М. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики. .Успехи математических наук*, т. 18, вып. 2(110), 1963.

4. G u d е rl е у Q. Starke Kugellge und zyllndrische Verdichtungsstosse in der Nahe des Kugelmittpunktes bzd der Zylinderachse. Luftfahrtforchung, Bd. 19, N 9, 1942.

5. Lees L„ Kubota T. Invisid hypersonic flow over blunt-nosed slender bodies. ,J. of the Aeronautical Sciences*, vol. 24, N 3, 1957.

6. Григорян С. С. Задача Коши и задача о поршне для одномерных неустановившихся движений газа (автомодельные движения). „ПММ“, т. 22, вып. 2, 1958.

Рукопись поступила 13j V 1977 г