О движении слабых цилиндрических ударных волн Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м V 197 4

№ 6

УДК 533.6.011.72

О ДВИЖЕНИИ СЛАБЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ УДАРНЫХ ВОЛН

В. П. Колган

В рамках теории малых возмущений рассмотрена задача о распространении цилиндрических ударных волн при различных начальных и граничных условиях. Приведены результаты численных расчетов теоретических значений нагрузок на стенку при взаимодействии ее с цилиндрической волной.

Постановка краевой задачи и ее решение. Рассматривается линеаризованная задача о радиальном движении газа внутри бесконечно длинной цилиндрической трубы радиуса Я. Пусть в начальный момент времени ^ = 0 частицы газа покоились, а около оси симметрии была область повышенного давления

V при 0< г <г0;

0 при

Р(г, 0)

-Г

Го </•</?.

(1)

Через р (г, £) здесь обозначено возмущение давления. Такое начальное распределение давления соответствует разрушению цилиндрической оболочки радиуса г0 под действием избыточного давления Др. Разрушение предполагается мгновенным; движение осколков оболочки не учитывается.

Введем потенциал скорости Ф (г, С) удовлетворяющий волновому уравнению для случая цилиндрической симметрии

ф дг2

+

д Ф

17

1 д2Ф

(2)

где а — скорость звука в газе.

Граничные и начальные условия для уравнения (2) запишем в следующем виде

Ф,(0, 0 = 0 = 0;

Ф (г, 0) = Т7 (г) = 0;

■ 1 при Г < 1;

0 при г > 1 .

Ф((г, 0)-/(/■) =

(3)

Если потенциал Ф(г, £) найден, то возмущение давления р{г, £) определяется по формуле

дФ ,

р(г,Ъ = —-^. (4)

В выражениях (2) — (4) все величины приведены к безразмерному виду, т. е. отнесены к характерным значениям длины г0, скорости р\/2 р^1/2, времени гоЯ» № и возмущения давления Др0.

Применяя метод разделения переменных [1], можем получить решение задачи (2) — (3) в виде

00

Ф (/-, о = «о + М + ^ ja* COS {арь -jj-'j + bk sin -g-J | J0 | \xk

Здесь (л* — последовательные корни уравнения

Jl ((!■) =0.

Постоянные а0, Ь0, ак и Ьк определяются из начальных условий (3)

2 Г 2

rf (г) dr; ak =

J

I'

rf (r) J0 (ift -p- dr;

h --L

°0 — 2

bk aRy.kJ\ (j/*)

rF(r)Jo\ nk~p-)dr.

Функции /0 и -Л являются функциями Бесселя нулевого и первого порядка соответственно.

Для конкретных функций /(г) и /?(г), соответствующих рассматриваемой задаче (3), выражение (5) упрощается

Ф (г, 0 = М+£ bk J0 (wIR) sin (ay.k t/R),

k=\

1 IR\ bk =

ZJifrkIR) ap-t Jo iV-k)

С помощью формулы (4) получаем выражение для возмущения давления 1

Р (г, t) =

R

1 _1_2у Ji{7IR) Jocos(«И*w R lxk J0 Ы

(6)

Приведем теперь решение для случая неограниченного пространства (R = оо). Применим к уравнению (2) известное преобразование Ганкеля нулевого порядка [2]

- Г

g(s)= j tg (О J0 {St) dt; о

g(s) = j sg(s)J0(st)ds.

(7)

)

После применения прямого (первого) преобразования из (7) уравнение в частных производных (2) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению

■ s2 Ф =

а? дР ’

общим решением которого является функция

Ф = A (s) sin (ast) + В (s) cos (ast).

После применения обратного (второго) преобразования (7) к этому решению получим выражение для потенциала Ф(/", t)

00

Ф (г, t) — J* [А (s) sin (ast) -f- В (s) cos (as^l s^o (sr) ds. о

Произвольные функции Л(5) и В (s) выбираются так, чтобы удовлетворить начальным условиям (3). Отсюда сразу получаем

В (s) = О,

а произвольная функция A(s) должна удовлетворять уравнению

00

f(r) = j* A (s)astJ0(sr) ds. (8)

о

С другой стороны, известно [2], что функцию /(г), определенную в (3), можно представить в виде

оо

f(r) = — j -h 00 Jo (sr) ds. (9)

о

Из сравнения выражений (8) и (9) получаем

A (s) — — (as)/as2.

В результате решение задачи о распространении цилиндрической волны в бесконечном пространстве (R = оо) записывается в следующем виде

СО

Ф(г, 0— “ ( sin (ast) Jo(sr) ds;

J as о

CO

p (r, t) = j* Ji (s) cos (ast) J0 (sr) ds.

о

Результаты расчетов. Для исследования нагрузок, действующих на преграды при разрушении цилиндрических оболочек, была составлена программа расчета на ЭЦВМ по формуле (6). При вычислениях бесконечный ряд заменялся конечной суммой N членов. Расчеты проведены для N= 1000, что обеспечивает достаточную точность получаемых расчетов (ошибка в вычислениях —'0,2%).

На фиг. 1 приведены графики распределения давления по координате г в различные моменты времени. Расчет соответствует расстоянию от оси симметрии до стенки R = 10. Распространяющаяся цилиндрическая волна состоит из фронта ударной волны, фазы сжатия, постепенно сменяющейся более короткой фазой разрежения. Для фазы разрежения характерно наличие пика разрежения, который по амплитуде превосходит величину перепада давления на фронте ударной волны и движется вслед за ним на расстоянии Дг = 2. Профили давлений на фиг. 1 соответствуют моментам времени

tn = nzj4, л = 1, 2,..., 7,; т = ,

' а

где т равно времени, за которое волна достигает стенки.

После отражения от твердой стенки волна начинает двигаться в обратном направлении к центру симметрии. По мере уменьшения расстояния до центра амплитуда волны увеличивается — наблюдается явление фокусировки волны.

Расчеты показали, что интенсивность ударной волны уменьшается с увеличением расстояния г (фиг. 2). Для определения величины перепада давления Дрф на фронте распространяющейся волны в зависимости от расстояния от центра симметрии г может быть использована формула Дрф = 0,5 г~1*2 , результаты расчета по которой совпадают с расчетными данными по формуле (6) в пределах 0,5% в диапазоне расстояний 1-</"<;20.

В случае Я =10 значение перепада давления на фронте ударной волны перед моментом касания стенки достигает величины Др = 0,158, что соответствует значению Др=0,316 после отражения ударной волны от твердой поверхности. На фиг. 3 для этого случая приведены зависимости от времени величины давления на поверхности стенки и импульса, сообщаемого стенке взрывной волной.

Фиг. З

Далее рассмотрим случай одновременного разрушения двух оболочек, пространство между которыми заполнено газом повышенного давления

1 при /*!</-< 1;

О в противном случае.

Такая постановка задачи в некоторой степени моделирует процесс разрушения -оболочек, частично заполненных каким-либо материалом, например, пенопластом. Параметр гх характеризует степень заполняемости оболочки. Было проведено

исследование влияния коэффициента заполняемости г1 на распределение давления за фронтом распространяющейся волны.

Используя принцип суперпозиции, из решения исходной задачи (6) можем получить профили давлений в бегущей цилиндрической волне для различных значений коэффициента заполняемости гх.

На фиг. 4 приведены профили давлений в набегающей на стенку волне при = 10 и гх =0,

0,5, 0,75. Расчеты показывают, что при заполнении оболочки заметно меняется величина импульса, сообщаемого стенке волной, но остается неизменным перепад давления на фронте ударной волны. Следовательно, в рамках линейной теории заполнение не влияет на величину максимального давления на стенке. В рассматриваемой теории все возмущения в течении распространяются с постоянной скоростью, равной скорости звука. Таким образом, фронт ударной волны никогда не „почувствует”

того, что оболочка заполнена около центра симметрии, так как возмущение,

обусловленное заполнением, всегда отстает от фронта ударной волны на расстояние Дг = 1 —гх. При распространении сильных ударных волн, когда уравнения, описывающие процесс, нелинейны, подобного явления не наблюдается.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кош л я ков Н. С. Основные дифференциальные уравнения математической физики. Л.—М., Гостехтеориздат, 1933.,

2. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., Гостехиздат, 1951.

5 7 9 г

Фиг. 4

Рукопись поступила 2(УП 1973 г.