CC BY
46
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ и А Г И
Т о м XI 1 9 80 № 4
УДК 518.517.9.533.7
СХОЖДЕНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ К ЦЕНТРУ СИММЕТРИИ И ЕЕ ОТРАЖЕНИЕ В ТЕПЛОПРОВОДНОМ ГАЗЕ
А. А. Махмудов
Численным методом получено решение задачи о схождении к центру и отражении сильной сферической ударной волны в теплопроводном газе. Показано, что поведение тепловой волны в зоне прогрева перед ударной волной близко к автомодельному режиму распространении тепла без учета газодинамического движения. Результаты вычислений приведены в виде графиков.
Для сходящейся к центру (оси) симметрии ударной волны (УВ) существует автомодельное решение [1, 2]. В [3, 4] показывается, что для сходящейся цилиндрически симметричной УВ при наличии вязкости и теплопроводности имеет место сходство с автомодельным решением [1, 2] вплоть до того момента, когда расстояние от фронта УВ до оси становится сравнимым с шириной размазывания фронта, т. е. с длиной пробега частиц. Качественное влияние теплопроводности на процесс фокусировки УВ рассматривается в [5, 6].
В настоящей работе исследуется система уравнений движения одноатомного газа. Единственный учитываемый диссипативный процесс — теплопроводность (при этом рассматривается зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, соответствующая случаю электронной теплопроводности х(Т)*= = *о Г2^). Используемое приближение позволяет сделать более детальное сравнение с известными автомодельными решениями системы уравнений Эйлера и теплопроводности.
Цель работы — численно рассмотреть структуру сферически сходящейся УВ и качественную картину отраженной УВ.
Система уравнений сферически симметричного движения одноатомного газа имеет вид:
д? _ д?и_______2,
дг дг г
д'(и __ д'?иг____2ри _ др .
~дГ дг г дг
дЕ д(Е — р) и _ _ 2 (£ +р)ц , _1___________0_ / %/.2 дТ |
дt дг г г- дг ' дг)‘
где ? —плотность. и —скорость, р — давление газа (р = 2^7"), £--полная энергия [£ = ои-2 +/»/(?—1)), Г—температура, 7 = 5/3.
Ю—«Ученые записки» \* 4
145
Уравнения (1) приведены в безразмерном виде. В качестве характерных размерных величин примем: для температуры — I эВ; для плотности —
4,47-10"5 г/см3; для длины — 1 см; для времени — 1,02-10~'> с.
Численное решение основывается на известном методе расщепления [7, 8]. Газодинамическая часть решается методом сквозного счета первого порядка точности [9], а отщепленное уравнение теплопроводности — с помощью неявной схемы второго порядка точности, использующей для решения метод прогонки. Алгоритм этой схемы и анализ точности рассмотрены в [5]; схема удовлетворяет необходимым условиям контроля, описанным в [10].
Ниже приведены результаты расчетов задачи со следующими начальными условиями в области 0<г<гЛт: р(г) = 1, и (г) = 10~<\ р (г) = 10 з. ца внешней границе расчетной области г = гк задаются значения р(Гд,) = 4, и(гу) = —7. р[Гц) = 80. При этом *о=1,3-10~5, /дг = 0,625 !0-1, <1г = 0,1562-10-3. На внутренней границе (г0 = 0) ставятся условия зеркального отражения или, что все равно, отсутствие потоков газа и тепла. Значения и(г^), р(/дг), р(гк) подбираются такими, чтобы в достаточно большой области вдали от центра устанавливалось течение газа, близкое к автомодельному [1, 2], но тепловые потоки, связанные с механизмом теплопроводности, были бы значительно меньше газодинамических.
На рис. 1 показано распределение температуры газа (сплошные кривые) для моментов времени: /[ = 0,208-10 2, /2 = 0,210-10 *. /3 = 0,214-10 а, <,=0,215-10 !
1пг,
се
= 0,218• 10~2. На рисунке им соответствуют цифры от 1 до 5. К моменту I перед УВ (положению УВ соответствует крестик) уже возникла тепловая волна (ТВ), соответствующая нелинейной теплопроводности. Проследим за законом движения ТВ к центру.
Для сходящейся к центру тепловой волны при г = И(|7* и отсутствии газодинамического движения [р (г) = соп$(] существует автомодельное решение [11],
которое можно рассматривать как асимптотику в окрестности центра для любого решения тепловой задачи. Если пренебречь влиянием вторичного газодинамического движения пе-/ ред УВ, то можно ожидать, что ТВ в некото-
рой окрестности центра выходит на автомодельную асимптотику [11].
Приведем сравнение численного решения системы (1) для ТВ с автомодельным решением [11]. В автомодельном решении [11] радиус фронта тепловой волны ГфР ~ <*. При к = 2,5 а = 0,68. На рис. 2 построены зависимости ве личины ІпГфр от логарифма времени, отсчиты-/|- ваемого с момента фокусировки тепловой
волны для автомодельного решения (сплошная прямая), и аналогичная зависимость для фронта ТВ, полученная из численных расчетов (на рисунке отмечены крестиками). Как видно из
---------А . рисунка, закон движения фронта ТВ достаточ-
/ / н0 ХОрОШО согласуется с автомодельным законом движения [11] в рассматриваемой ок-
Рис. 2 рестности центра.
✓
I 1 I
О Ю 23 30 Г
Рис. 3
На рис. 1 проведено сравнение профилей температуры, полученных численно (сплошные кривые), с автомодельным (штриховые кривые) в моменты г1 — /4. В области перед УВ результаты согласуются с точностью 3 — 4%. Некоторое различие можно объяснить влиянием вторичного газодинамического движения перед УВ, влиянием УВ и погрешностью численного счета. Отчетливо видно расхождение этих решений за УВ, что является следствием существенного влияния газодинамического движения в этой области. Итак, как показывают результаты сравнения, автомодельный режим [11] является устойчивым к возмущениям, идущим от УВ, а ТВ достаточно хорошо описывается этим автомодельным решением.
Вслед за ТВ по прогретой зоне движется УВ по закону /фР — г0,69, близкому к [1, 2]. Сравнение параметров за УВ, полученных из численных расчетов,
Рис. 4
I]—«Ученые записки» .\к 4
147
с параметрами соответствующего автомодельного решения [1, 2] показывает их достаточно хорошее согласование до того момента, когда УВ находится от центра на расстоянии порядка длины зоны прогрева. Аналогичный результат имеет место при схождении к центру цилиндрически-симметричной УВ в вязком теплопроводном газе. Наибольшие различия с автомодельным решением возникают после момента фокусировки УВ.
В окрестности центра порядка длины свободного пробега частиц гидро динамическое приближение (с учетом вязкости и теплопроводности) является недостаточным. Исследование в этой окрестности может быть проведено лишь на основе кинетической теории, поэтому поведение макропараметров здесь нельзя считать достоверным; кроме того, при численных расчетах в рассматриваемом случае этой области весьма существенным является влияние схемной вязкости. Тем не менее можно ожидать, что уже в гидродинамическом приближении получается качественно правильное описание отраженной УВ [3, 4].
На рис. 3 и 4 изображены профили плотности и температуры после фокусировки УВ для моментов времени =0,226-10 а, Г} = 0,230-Ю-*, = 0,234-Ю—
— 0,247- !0~3. На рисунках км соответствуют цифры от I до 4. На рис. 3 приведен также профиль плотности, соответствующий моменту 10 = 0,221 • 10~г до фокусировки УВ. На графиках отчетливо виден профиль отраженной УВ. Максимум плотности и температуры во время процесса схлопывания и отражения УВ достигается в центре (г=0), в то время как по данным кинетической теории [12) максимум температуры достигается на некотором удалении от центра. Плотность и температура со временем монотонно падают,причем максимум плотности в начале процесса отражения падает интенсивнее, чем на поздних стадиях. Профиль температуры от центра до отраженной УВ выравнивается достаточно быстро.
В заключение автор выражает искреннюю признательность О. С. Рыжову и С. П. Попову за оказанное внимание и помощь в этой работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М., Гостехиздат, 1955.
2. Guderley Q. Starke kugelige und zylindrisclie Verdichtungsstds-se in der Nahe des Kugelmittelpunktes bzw. der Zylinderachse, Luftfahrt-t'orschung 19, N 9, 1942.
3. Дьяченко В. Ф„ И м ui e и н и к В. С. Сходящаяся цилиндрическая ударная волна в плазме с учетом структуры фронта. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.*, т. 3, № 5, 1963.
4. Л ь я ч е и к о В. Ф., Имшенник В. С. О сходящейся ци-
линдрически симметричной ударной волне при наличии диссипативных эффектов. ПММ, 1965, т. 29, вып. 6.
5. Махмудов А. А., Попов С. П. Численное решение одной задачи о сферически-симметричном движении теплопроводного не вязкого газа. Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук, 1979, № 1.
6. 3 а б а б а х и н Е. И., Симоненко В. А. Сходящаяся ударная волна в теплопроводном газе. ПММ, т. 29, вып. 2, 1965.
7. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., .Наука-, 1971.
8. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Новосибирск, .Наука", 1973.
9. Boris J. Р, Book D. L. Flux-corrected transport. I. SHASTA, a fluid transport algorithm that works. ,J. Comput. Phvs.‘, vol. 11, N 1, 1973.
10. Верченко E. А., Коробейников В. П. Численное исследование сходящихся ударных волн. ДАН СССР, т. 230. № 6, 1976.
11. Зайдель Р. М. О схождении тепловой волны к центру. ДАН СССР, т. 133. № 12.
12. Кудиш И И., Рыков В. А. О схождении к центру и отражении сферической волны в газе. .Ж. вычисл. матем. и матем. физ.*, т. 16, № 5, 1976.
Рукопись поступила 31X1 1979 г.
