Расширение квазиравновесного звукового потока релаксирующей смеси у края плоской пластинки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

То м IX 1 97 8 М3

УДК 533.6.011.55.011.6

РАСШИРЕНИЕ КВАЗИРАВНОВЕСНОГО ЗВУКОВОГО ПОТОКА РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ СМЕСИ У КРАЯ ПЛОСКОЙ

ПЛАСТИНКИ

А. Л. Ни, О. С. Рыжов

Рассматривается разворот равномерного потока химически активной смеси у края плоской пластинки в предположении, что макроскопическое время много больше времени протекания химической реакции, а скорость частиц в невозмущенном состоянии равна равновесной скорости звука. Кроме того, иостроены поля вспомогательных течений вокруг конфигураций, состоящих из пластинки с расположенными позади нее параболическими стенками. Показано, что искомое решение представляет собой неравномерный предел последовательности функций, задающих параметры вспомогательных течений, когда параболическая стенка отодвигается на бесконечность.

1. Пусть равномерный поток химически активной газовой смеси разворачивается у края плоской пластинки, занимающей отрицательную полуось х. Будем рассматривать область на некотором расстоянии от кромки и предположим, что характерное макроскопическое время много больше времени релаксации, а скорость частиц в набегающем из бесконечности потоке в точности равна равновесной скорости звука. Для изучения процессов в расширяющемся газе воспользуемся теорией малых возмущений, развитой в работе [1]. Согласно этой теории, в трансзвуковом диапазоне скоростей могут иметь место различные режимы течений в зависимости от величины отношения макроскопического времени ко времени релаксации и скорости частиц в состоянии равновесия. Для рассматриваемых условий расширение газа будет происходить квазиравновесным образом.

Асимптотическая система уравнений, описывающих квазирав-новесный поток, имеет вид

дуг д21», дуг

‘°х~дх д^~~дх*~’ ~ду^~дх'' ^ ^

здесь Vх и г»у — составляющие вектора возмущенной скорости на оси х и у декартовых координат. Как независимые переменные,

так и искомые функции берутся в безразмерной системе единиц, отсчета. Член в правой части первого из уравнений (1.1) обусловлен наличием химической реакции в газовой смеси.

Наряду с течениями релаксирующей смеси рассмотрим также процесс расширения идеального (т. е. химически инертного) газа. Уравнения, которым подчиняются его движения, получаются иа системы (1.1), если вычеркнуть диссипативный член д2ъх/дх2 в первом из образующих ее уравнений. Равномерный поток, на который налагаются малые возмущения в идеальном газе, имеет критическую скорость звука. Итак, для идеального газа

дvv Лу диу

---^ = 0, = (1.2)

= п .. .

дх ду ’ ду дх

В отсутствие релаксационных процессов поток остается равномерным и невозмущенным в квадранте .у>0, х<0. Простое решение

[ х \2 2 ( X \3

43х~ I у ) > 'иУ 3 V у ) системы уравнений (1.2) задает компоненты вектора возмущенной скорости в течении Прандтля — Майера при малых углах поворота. Звуковая линия находится приравниванием нулю функции и,..

В течении Прандтля—Майера скорость достигает своей критической величины вдоль прямой х=0. Последняя является одновременно головной характеристикой в исходящем из угловой точки веере волн. Как сразу видно из решения (1.3), головная характеристика л; = 0 несет разрывы второй д2vx|дx2 и третьей д*ъу1дхг производных составляющих вектора скорости по продольной координате, которые затухают при _у-^со. Картина течения идеального газа изображена на фиг. 1, где пунктирные линии относятся к исходящим из угловой точки характеристикам.

В течении химически активной смеси релаксационный процесс сглаживает эти разрывы. Если применить для изучения поля возмущений систему уравнений (1.1) то помимо квадранта _у>0, л:<0 необходимо ограничиться сравнительно узкой областью, прилегающей к оси д: = 0, так как очень быстро скорость в реализующемся при развороте течении станет значительно превосходить равновесную скорость звука в исходном равномерном потоке.

Переходя к построению решения системы уравнений (1.1), необходимо наложить на него граничные условия в бесконечно удаленных точках. Очевидно, что при л:-* — оо компоненты вектора возмущенной скорости стремятся к нулю. При х -* + оо граничные условия должны находиться путем сращивания течения химически активной смеси с течением идеального газа, так как наличие диссипативного процесса проявится в первом приближении только в узкой области, которая расположена в окрестности оси х = О и характерный поперечный размер которой выражается через длину

релаксации. Отсюда ясно, что при л;-» + оо компоненты скорости определяются формулами (1.3). Кроме того, юу = 0, но чзхф 0 при _у = 0 и х<0, поскольку вязкие напряжения в смеси не принимались во внимание при выводе системы уравнений (1.1).

2. Как уравнения, так и граничные условия сформулированной задачи инвариантны по отношению к группе преобразований подобия

X -3“ аде, у -у а312у, юх -> а-1 юх, г>у -» а~3'2 Отсюда заключаем, что решение должно иметь автомодельный вид

<ох=у~ 2/3/($), ъу=у-^{\), 1 = ^з, (2.1)

причем функции / и ^ удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений

^ + (4Ег-/)ж+4-«/-4<с-ЕЛ=°;

1 = — Е/),

где с — произвольная постоянная. Совершив преобразование

3 г~щ

■% = №, /=Р2/', р = 3-|/-^ (2.2)

рихи над новыми переменными, бно записать как

1 I ( 4 »2 Л Л/ . 10 » г г

р <й3 + V 9 5 ^ ¿5+ 9 V —■

и опуская штрихи над новыми переменными, последнюю систему при сф 0 удобно записать как

2/3* ^ I (2-3>

Постоянная ¿> = 40/81, когда с>0, и ¿ = — 40/81 при с<0. В слу-

чае с~ 0 преобразование (2.2) не производится, а в системе уравнений (2.3) следует формально положить ¡3=1 и ¿> = 0.

Граничное условие на бесконечности вверх по потоку требует, чтобы /-»0, когда ?—оо. Отсюда получаем асимптотическое представление [2]

/~ьх-у + А^ —х-^щ- + ь2~ — -^-л1(б1 + |

+ -^r(bíb2 + 4-^- — -^-A2J-^- + ...■, ¡(2.4)

¿,, = 4-6, ь2—-^-Ь1(ьх + 2 -^г

с произвольной постоянной Ах.

Из граничного условия на бесконечности вниз по потоку заключаем, что /-*£2 при ? -> 4-°°. Это требование позволяет написать соответствующее асимптотическое разложение

¥ + ьг -у- + Л2 '^8/5* + *4 --Ц ^2 (X + -рг) -¡2375-

' ^2 С26/5 ' з- ^4 (^3 + 4 "аз-) ~7Г + •••’> (2.5)

5 ‘Ч ^26/5 3 ^ рз I р

Ьъ = — Ъ(ь 2 -рр) , ¿4 = 1“ ^3 (^3 + 2 :

где Л2 — новая произвольная постоянная.

Посмотрим теперь, какое ограничение на асимптотику (2.4) налагает граничное условие непротекания на пластинке, занимающей отрицательную полуось х. Используя выражение для вертикальной составляющей вектора скорости, находим, что на обтекаемой стенке справедливо равенство

^|у=о,*<о= ^А^Ц-х)-^.

Если А^ф0, то стенка имеет параболический контур

у = Л-А1 рэ/2 . (2.6)

Следовательно, чтобы получить поток, расширяющийся у края плоской пластинки, необходимо положить А1=0. Разумеется, формулой (2.6) нельзя пользоваться для задания контура стенки вблизи начала координат, так как в ней (_у | —► сэо при х 0.

Впервые влияние диссипативных процессов на структуру течения в окрестности звуковой линии в сформулированной выше задаче изучал Адамсон [3]. Он с самого начала приравнял нулю произвольные постоянные с и Ь, входящие в обыкновенные дифференциальные уравнения. Чтобы получить затем нетривиальное решение системы (2.3), Адамсону пришлось считать отличной от нуля величину А, в асимптотическом представлении (2.4). Однако, как было отмечено выше, в этом случае не выполняется условие обтекания на пластинке. Таким образом, вид функции / при 1^ — оо устанавливается формулой

¡-Ь1^+Ь2^ + -^Ь2[Ь1 + А-^)^Г+... . (2.7)

3. Результаты численного интегрирования первого из уравнений (2.3) проще понять, предварительно рассмотрев течения идеального газа. Считая, что в автомодельном решении (2.1) как независимая переменная, так и искомые функции подвергнуты преобразованию (2.2), для потока инертного вещества имеем

(тЕг-/)|- + тЕ/-»- £ = т(4г’-Е/)- <3-'>

Асимптотические выражения для функции / при % -■* + оо получаются из соотношений (2.4), (2.5) и (2.7), если положить в них формально р_3 = 0.

Качественное поведение интегральных кривых в плоскости показано на фиг. 2 а, 6, в соответственно для Ь — —40/81, 0, +40/81.

Фиг. 2

Поскольку поток идеального газа остается невозмущенным вплоть до линии л; = 0, которая служит головной характеристикой в веере волн Прандтля—Майера, в плоскости \, / он изображается отрицательной полуосью Решение (1.3) попадает на правую ветвь параболы / = I2. Таким образом, для идеального газа следует положить Ь = ЬХ= 0 и воспользоваться фиг. 2, в для построения поля скоростей. Начало координат 5 = /= 0 на ней отвечает головной характеристике пучка разрежения, в этой точке претерпевает разрыв вторая производная функции /. В точках пунктирной кривой

I ¿//¿Й 1=00.

Наряду с этим основным течением рассмотрим вспомогательные движения газа, которые включают скачки уплотнения. Из фиг. 1 видно, как ударный фронт, помеченный буквой 5, обрезает расширяющийся веер Прандтля — Майера.

Упрощение условий Рэнкина — Гюгонио применительно к трансзвуковому диапазону скоростей ведет к уравнениям [4]

2(VJ,2 — Vyl)* = (vя2 + vxl)(vJ't-vJll)г; с1хх . йхх ,

‘0х2-а*- + ‘0у*=‘ах1-а;- + ‘0У'-Здесь индексы 1 и 2 относятся к значениям параметров потока до и позади скачка уплотнения х — х5(у). В согласии с автомодельным видом решения (2-1) зададим ударный фронт посредством соотношения £ = ?4=СОП81. При переходе через него имеем

/Я+/1=-ГЕ*> £2 -*!=--!- МЛ-/.). (3.2)

Если до ударного фронта реализуется течение Прандтля— Майера, то разрывное решение системы уравнений (3.1) слагается из отрезков АО, ОС и ОЕ интегральных кривых на фиг. 2, б. Скачок из точки С в точку И подчиняется формулам (3.2), при помощи которых находим

Л=Ц, /г = —тгЦ, *, = --!-& £2=А|3. (3.3)

Вдоль отрезка ОЕ функция /-*-0 при \ -*■ + оо. Отсюда ясно, что при удалении вправо от ударной волны линии тока постепенно выравниваются и принимают, в конце концов, горизонтальное направление.

Выясним, чему соответствует построенное разрывное решение. Вдоль кривой ЭЕ асимптотика / при I -» оо будет задаваться соотношениями (2.4) с заменой ■—? на \ и р~3 = 0. Поэтому рассматриваемое решение описывает течение около конфигурации контуров, которая состоит из пластинки, занимающей отрицательную полуось л:, и параболической стенки

.у =4 Л1р9'2*-1'2. (3.4)

Этот дополнительный контур показан на фиг. 1. Легко понять причину образования скачка уплотнения в веере волн Прандтля — Майера: расширяющийся сверхзвуковой поток встречает на своем пути выпуклую стенку, в результате чего происходит его неадиабатическое торможение. Из условий (3.3) заключаем, что чем выше совершается подъем точки С по ветви ОВ параболы /==£2, тем дальше отодвигается ударный фронт вниз по потоку и тем больше коэффициент А] в формуле (3.4) для контура стенки. Как и формула (2.6), она теряет силу при малых значениях х.

При ¿> = + 40/81 единственное решение, удовлетворяющее условию затухания вектора возмущенной скорости при % -> — оо и имеющее асимптотическое представление (2.5) при % + оо, дает сепа-

ратриса АВ, проходящая через седловую особую точку Н на фиг. 2, а, в. В точках кривой, нанесенной на них пунктиром, имеем \dfjdl | = оо, штрих-пунктиром иаображены кривые с <¿//¿# = 0. Численные расчеты показывают, что для сепаратрисы АВ произвольная постоянная Л,^0 в разложении (2.4). Как было уже отмечено, в решениях с Ахф§ полубесконечная пластинка трансформируется в параболическую стенку (2.6). Асимптотическое поведение сепаратрисы АВ при Е-^ + оо означает, что вдали от этой стенки течение газа принимает форму центрированного веера волн разрежения, исходящего из кромки плоской пластинки.

Если в системе уравнений (3.1) постоянная ¿>= — 40/81, то в соотношении (2.6) величина А1 <0. Наоборот, при ¿> = + 40/81 имеем Л,>0. В первом из этих случаев расширение газа происходит во всем поле течения. Во втором случае поток сначала тормозится стенкой (2.6), что приводит к сжатию частиц, и только последующий разгон в веере волн Прандтля — Майера сопровождается их расширением.

В построенное решение можно ввести скачки уплотнения. Не повторяя рассуждений, которые вполне аналогичны использованным выше, укажем, что разрывные решения будут описывать поле скоростей у двух стенок, имеющих при достаточно больших значениях \х\ форму парабол (2.6) и (3.4).

4. Перейдем теперь к течениям релаксирующей смеси. В этом случае фактически требуется решить задачу на собственные значения: найти такую постоянную чтобы решение первого из уравнений (2.3) с асимптотикой (2.7) при 5 -»■ — оо неограниченно приближалось к параболе /= £2, когда 5 -* + оо. Из результатов анализа для идеального газа ясно, что в системе уравнений (2.3) следует положить ¿> =— 40/81. Действительно, при ¿>= + 40/81 частицы сначала сжимаются в противоречии с постановкой задачи о разгоне потока у края плоской пластинки.

Картина поля интегральных кривых изображена на фиг. 3. Вблизи от искомой предельной кривой АВ проходят начальные

г Я /

Й ъ

д 2'и (

9 и

ч4^ и

I /~2 ~1 0 1 \ А

Фиг. 3

участки интегральных кривых, соответствующих течениям, расширению которых у края плоской пластинки препятствует стенка (3.4). Стремление рассматриваемых кривых к предельной кривой АВ носит ярко выраженный неравномерный характер: чем выше поднимается интегральная кривая в полуплоскость />-0, тем круче она затем опускается в полуплоскость /<0, где при I -» + о© неограниченно приближается к оси £ снизу. Отрезок с большими отрицательными значениями производной ¿//¿1 выделяет в физической плоскости область, принадлежащую внутренней структуре ударной волны. Можно убедиться, что на границах этой области с хорошей точностью выполняются соотношения (3.2). Видна прямая аналогия между течениями релаксирующей смеси и идеального газа. Учет диссипативных факторов не приводит к новым физическим явлениям, влияние квазиравновесной химической реакции выражается лишь в сглаживании разрывов как самих параметров смеси, так и их производных. Таким образом, решение для веера волн Прандтля — Майера можно рассматривать как неравномерный предел последовательности функций, задающих поток около системы, которая состоит из плоской пластинки и параболической стенки. В результате предельного перехода стенка отодвигается на бесконечность.

Неравномерное стремление интегральных кривых к предельной кривой АВ затрудняет численное решение сформулированной задачи на собственные значения. Действительно, решения первого из уравнений (2.3) весьма чувствительны к изменению величины коэффициента ¡Н3 при старшей производной. В результате постоянная Аг в формуле (3.4) для контура стенки также сильно изменяется даже при небольших вариациях 3~3 . Так, кривые 1 и Г,

2 и 2', 3 и 3' на фиг. 3 соответствуют значениям = 1,6 и 1,7, 1,647 и 1,648, 1,64735 и 1,64736. Отсюда ясно, что в процессе нахождения все более точных значений ¡3~3 следует уменьшать шаг интегрирования, согласовывая погрешность численной схемы с погрешностью в определении искомого коэффициента. Для построения кривой АВ полезно проводить также численное интегрирование первого из уравнений (2.3) в обратном направлении, задавая начальные условия для функции / при больших положительных $ посредством асимптотического разложения (2.5). Произвольную постоянную А2 в этом разложении необходимо выбрать таким образом, чтобы результаты интегрирования в обратном направлении перекрывались на некотором конечном интервале Е с результатами численного счета в прямом направлении. Кривые 4 и 4' отвечают величинам Л= — 5,437 и —5,406 при рз = 1,64735.

Прямое интегрирование первого уравнения (2.3) позволяет ограничить искомое собственное значение неравенствами 1,64735< < р3 < 1,64736. Оказывается, что при вариации ¡З3 в этом диапазоне результаты счета в обратном направлении мало чувствительны к изменению постоянной Л2, если — 1,5<Е<2,2. Таким образом, область перекрытия приближенных решений, которые строятся путем численного интегрирования первого уравнения (2.3) в прямом и обратном направлениях, действительно существует. Кривая АВ получается комбинированием обоих названных подходов, она дает решение, удовлетворяющее всем граничным условиям задачи.

В заключение заметим, что изложенные результаты можно применять для расчета поля потока вязкого теплопроводящего

газа, поскольку установленная в работе [1] аналогия позволяет ставить в соответствие некоторой комбинации термодинамических производных для релаксирующей смеси определенное выражение из чисел Рейнольдса и Пекле для инертного вещества. Однако эта аналогия не распространяется на прилегающий к пластинке пограничный слой, где структура потока существенно определяется тангенциальными вязкими напряжениями. В целом картина движения вязкого теплопроводящего газа получается более сложной. Что касается рассматриваемой окрестности звуковой линии, то в ней влияние пограничного слоя будет сказываться только при построении высших приближений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Наполитано Л. Дж., Рыжов О. С. Об аналогии между неравновесными и вязкими инертными течениями при околозвуковых скоростях. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.“, 1970, т. 11, № 5.

2. Sichel М. А study of the equation <?Xxx — VxVxx + Чуу = 0 which describes the structure of weak non-Hugonlot shock waves. Princeton University, Dept. Aeronaut. Engin., Rept., N 541, 1961.

3. A d а ш s о n Jr. Effect of transport properties on supersonic expansion around a corner. „Phys. Fluids“, vol. 10, N 5, 1967.

4. Busemann A. Die achsensymmetrische kegelige Überschallströmung. Luftfahrt-Forschung, Bd. 19, Lfg. 4, 1942.

Рукопись поступила ¡8/ VI 1977 г.