Расширение звукового потока вязкого теплопроводящего газа у края цилиндра Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м X

197 9

№ 4

УДК 533.6.011.55.011.6

РАСШИРЕНИЕ ЗВУКОВОГО ПОТОКА ВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДЯЩЕГО ГАЗА У КРАЯ ЦИЛИНДРА

Е. В. Богданова

Рассматривается асимптотическое поведение расширяющегося у края цилиндра течения вязкого теплопроводящего газа со звуко-ковой скоростью на бесконечности. Построено течение, приближающееся к коническому в нижней части потока. Показано, что соответствующее решение представляет собой неравномерный предел последовательности функций, задающих параметры вспомогательных течений вокруг конфигураций, состоящих из цилиндра и расположенных за ним на положительной полуоси х стоков заданной интенсивности.

Расширение плоского звукового потока газа у края пластинки при наличии диссипативных факторов было рассмотрено в [1] с помощью теории малых возмущений. В настоящей работе аналогичным методом изучается асимптотическое поведение расширяющегося у края цилиндра течения вязкого теплопроводящего газа со звуковой скоростью на бесконечности.

Пусть у края цилиндра, расположенного вдоль полуоси лг<0 и имеющего малый радиус г0, разворачивается поток вязкого теплопроводящего газа, имеющего скорость звука при — ос.

Система уравнений, асимптотически описывающих осесимметричный поток вязкого теплопроводящего газа, имеет вид:

да ди V д'1а ди дv

Здесь и и V — составляющие вектора возмущенной скорости в проекции на оси х и г цилиндрических координат. Как независимые переменные, так и искомые функции берутся в безразмерном виде. Член в правой части первого из уравнений (1) обусловлен наличием диссипативных факторов [1, 2]. Аналогичная система для слабо возмущенного потока идеального газа имеет вид:

ди д1' V ди дь

и-— — - — = 0, — = — . (2)

дх дг г дг дх

В отсутствие диссипативных процессов поток остается равномерным невозмущенным в полуплоскости *<;0. Простое решение

~г(тГ —■Ш

(3)

системы уравнений (2) задает компоненты возмущенной скорости в коническом течении при малых углах поворота. Это течение является осесимметричным аналогом волны Прандтля — Мейера. На головной характеристике х = 0 имеются

разрывы второй d2ujdx2 и третьей d3v/dx3 производных составляющих вектора скорости, которые затухают при г оо.

Диссипативные процессы играют существенную роль лишь в областях, где происходит резкое изменение параметров потока. В рассматриваемой задаче есть две области такого типа: горизонтальный пограничный слой у поверхности цилиндра и вертикальная узкая область, прилегающая к оси х = 0, в которой составляющая вектора возмущенной скорости и производные параметров среды в направлении набегающего потока значительно превышают по величине составляющую скорости и соответствующие производные в перпендикулярном направлении. Очевидно, что при г>г0 существование горизонтального пограничного слоя не будет оказывать никакого влияния на структуру рассматриваемого поля течения.

Зададим граничные условия. При х — оо и /*>г0 имеем а 0, v -» 0. При х -> -j- оо диссипативные процессы будут выражены очень слабо, т. е. допустимо сращивание вязкого и идеального течений. Это позволяет взять решение (3) системы (2) в качестве асимптотического решения системы (1) при х -f~°°- Кроме того, при х <0 должно выполняться условие непротекания и=0, при этом возможно и ф 0.

Из свойства инвариантности рассматриваемых уравнений и граничных условий по отношению к группе преобразований подобия

х ах, г -> а3/2 г, и. —>■ а-1 и, v -> а~3'2 v следует существование у систем (1), (2) автомодельных решений вида

и = г~2/3/ (;), v = г'1 g(i), хг~213 .

Функции / и g при наличии вязкости удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений

rf2 / / 4 \ df 4 2

(4)

где С — произвольная постоянная.

При £-»-—сю функция /-»-0. Таким образом, эта функция имеет следующее асимптотическое представление при ? -»■ — оо

г А 3 А (А +2) 45 А (А + 2) (А + 4)

включающее произвольную постоянную А.

2

При £ -»- + оо должно быть /-> £2, что соответствует коническому течению. Соответствующее асимптотическое разложение имеет вид

2 „ 2 361п I + В —30-36!п£ + 126 — ЗОВ

+Т + —*—' +-¡7-+•••' <6>

где В — новая произвольная постоянная. Из (4) и (5) получаем, что

2 С-А

г->-0, лг<о 3 г откуда следует, согласно условию непротекания,

С = А. (7)

Соответствующие уравнения для идеального газа имеют вид

4 „ \ (I/ 4 , 2

В плоскости (;, /) идеальному потоку соответствует отрицательная полуось ;

2

и правая ветвь параболы / = — I2 (кривая асЬ на рис. 1).

3

Рассмотрим вспомогательные движения газа, которые включают скачки уплотнения. Воспользуемся условиями Рэнкина— Гюгонио

2 («2 - = («2 + и,) ("г - "])2;

ЛХ*

»2-di + V2 = Ui ^

применительно к трансзвуковому диапазону скоростей [4]. Индексы 1 и 2 относятся к значениям параметров потока до и позади скачка уплотнения х = хх(г).

(9)

Рис. 1

В соответствии с автомодельным видом решения зададим ударный фронт посредством соотношения 5 = ^ = соп$(. При этом условия (9) переходят в

= у (Л-/1)^ = ^1-¿у

(10)

2 4 2

Тогда, если Л = -о- = — -д- то /2 = -р- Й

4 о

= — 9 ш Л = у ^ и £2=27" V Примеры введенных таким образом разрывов для функции / показаны на рис. 1 (участки сс1 н ЪН соответственно кривых асс1е и abhg). Ясно, что при с -> 4- оо, как /-+ 0, так и £ ->0.

Выясним, чему соответствуют полученные таким образом разрывные решения системы (2). При разложение (5), очевидно, остается справедливым с произвольной постоянной Из вида решения на рис. 1 следует, что Л]>0, тогда при ; -> + оо имеем

-Г1!®—ТТ.

откуда получаем

Лг* 2

-= Пш гь — — — А1 < 0,

йх г-> о 3

2

г. —

(11)

Положим, что на полуоси х>0 непрерывно распределены стоки с постоянной

X

плотностью расхода ?<0 и суммарным расходом = |д,сгд:<0. Выбрав ^ таким

о

образом, чтобы поток газа, втекающий за секунду в правую полуплоскость через поперечное сечение х — 0 радиуса г > г0, полностью поглощался на отрезке длиной х, имеем кг2 ае0=дх (для идеального газа в безразмерных переменных равно-

а

весная скорость звука ае0=1). Таким образом, — Сравнивая с (11), по-

лучаем = -

3

йГ*

Из рис. 1 видно, что чем больший подъем по кривой Ой (/= -у ?2) до ударного фронта имеет решение, тем медленнее происходит его убывание за ударной волной при ?-*-р°°> что соответствует большему значению А1.

Обратимся теперь к системе (3) с граничными условиями (5) - (6). Фактически требуется решить задачу на собственные значения: найти такую константу

9 — «Ученые записки» № 4

129

А, чтобы при использовании асимптотического представления (5) в качестве левого граничного условия, решение системы (4) неограниченно приближалось 2

к параболе /= — £3 при £ + со.

О

Картина поля интегральных кривых уравнения (4), полученная численным интегрированием, показана на рис. 2. Вблизи от искомой интегральной кривой аЬ проходят начальные участки интегральных кривых, соответствующих течениям, расширение которых у края цилиндра связано также с наличием стоков вдоль

/ Я f'FD Щ ь/ 1

/ | /

Г' у Г\

2! ч !

4 а V 1 \

1 0 2 ! 1 !

Кривые 1 и /', 2 и 2' 3 и 3' соответствуют значениям С = — 0,6 и —0,7, С=—0,62 и —0,63, С =-0,6241 и -0,6242

Рис. 2

всей полуоси х>0. Отрезки с большими отрицательными значениями производной dfldl соответствуют ударной волне. Таким образом, учет диссипативных факторов по сравнению с идеальным газом выражается в сглаживании разрывов как самих параметров потока, так и их производных.

Решение для конического течения представляет собой неравномерный предел последовательности описанных выше функций. В результате предельного перехода плотность расхода газа через полуось дг>0 стремится к — ос.

На рис. 2 видно, насколько сильно изменяется величина q даже при небольших вариациях значения А = С. Для построения кривой ab было проведено также численное интегрирование первого из уравнений (4) в обратном направлении, где в качестве правого граничного условия использовалось асимптотическое представление (6). Константа В выбиралась таким образом, чтобы результаты интегрирования в обратном направлении перекрывались на некотором конечном интервале £ с результатами численного счета в прямом направлении. Кривые 4 и 4' отвечают величинам В = 41 и 40 при С = — 0,62418.

Прямое интегрирование уравнения (4) позволило ограничить искомое собственное значение неравенствами —0,62418<С<—0,62417. При вариации С в этом интервале результаты счета в обратном направлении мало чувствительны к изменению постоянной В, если —1,2<£<2,5. Кривая аЪ получается в результате использования обоих этих способов. Она и дает решение, удовлетворяющее всем граничным условиям задачи.

Автор благодарит О. С. Рыжова за обсуждение постановки и результатов решения задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. H и А. Л., Рыжов О. С. Расширение квазиравновесного потока релаксирующей смеси у края плоской пластинки. .Ученые записки ЦАГИ", т. 9, № 3, 1978.

2. Sichel M. Structure of weak non-hugoniot shocks. „Phys. Fluids", vol. 6, N 5, 1963.

3. Рыжов О. С., Шефтер Г. M. О влиянии вязкости и теплопроводности на структуру сжимаемых течений. ПММ, т. 28, вып. 6, 1968.

4. Г у д е р л е й К. Г. Теория околозвуковых течений. М„ Изд. иностр. лит-ры, 1960.

Рукопись поступила 61VI 1978 г.