CC BY
43
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том ХХІ/І 1992 № 1
УДК 533.6.011.5/.55 : 629.7.024.36
РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ ЛОБОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ СКОЛЬЗЯЩЕГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ СОВЕРШЕННОГО ГАЗА
И. Ю. Бабаев, В. А. Башкин
В рамках полных уравнений Навье — Стокса рассчитано поле течения около лобовой поверхности кругового цилиндра, обтекаемого сверхзвуковым потоком совершенного газа при угле скольжения х ^ 70°; кратко описана процедура численного решения задачи с выделением головной ударной волны. Исследовано влияние чисел М (3 < Мх < 20) и Рейнольдса (100 Ие,*, ^
<: 1000) и температурного фактора (1 ^ > 0,05) на поле течения и аэро-
динамические характеристики цилиндрического затупления. Проведено сопоставление результатов расчетов с асимптотическим решением задачи, определяемым уравнениями Эйлера и Прандтля.
При разработке гиперзвуковых самолетов для уменьшения аэродинамического сопротивления применяются несущие поверхности с очень малыми радиусами кривизны передних кромок. В таких случаях числа Рейнольдса, вычисленные по радиусу кривизны, могут оказаться очень малыми; в связи с этим классический подход к задаче обтекания, основанный на интегрировании уравнений Эйлера и Прандтля, может оказаться недостаточным и возникает необходимость анализа задачи на основе высших приближений уравнений Навье — Стокса.
Затупленную переднюю кромку несущей поверхности моЖно рассматривать как бесконечный скользящий цилиндр. В этом случае пространственное течение является вырожденным и сводится к решению двумерной задачи, что, естественно, упрощает ее численный анализ; при этом задача рассматривается только для лобовой части тела.
Круговой цилиндр наряду со сферой является таким телом, на котором обычно тестируются различные подходы к решению задачи. Поэтому численный анализ обтекания кругового цилиндра в рамках уравнений Навье — Стокса встречается во многих работах, причем эти расчеты проводятся как с выделением, так и без выделения ударной волны при тех или иных предположениях относительно теплофизических свойств движущейся среды. Вместе с тем следует отметить, что если для сферы результаты расчетов носят систематический характер и охватывают широкий диапазон изменения определяющих параметров (см., например, [1—3]), то для кругового цилиндра они имеют эпизодический характер [2, 3].
В связи с этим представляет определенный интерес исследовать обтекание лобовой поверхности скользящего кругового цилиндра сверхзвуковым потоком совершенного газа в достаточно широком диапазоне изменения
определяющих параметров задачи. В настоящей работе такое исследование проведено на основе полных уравнений Навье — Стокса.
1. Уравнения Навье — Стокса, описывающие трехмерное стационарное движение вязкого теплопроводного газа в декартовой системе координат х, у, г, в тензорных обозначениях записываются в строго консервативном виде. В случае обтекания бесконечного цилиндра под углом скольжения X имеем вырожденное пространственное течение (д/дг = 0, координата г направлена вдоль образующей цилиндра) и поле течения описывается системой двумерных уравнений:
дЕ{/дх + дЕ2/ду = 0, (1-1)
где
£,=
Ео =
р и,
ри2 + Р + цУИЄоДЗ/ЗУі, _ 4/Зи*), рыо — + иу),
рыш +
р иН + ^^/Яe00(u(2/Зvy — 4/3 их) — и(их + иу) — тшх — Тх/
/((V- ОРгИеМ!)),
ри,
р им — ц/Ие^+у,),
ри2+ Р + ц/Ие^г/Зих - 4/3»,),
рми — р/Яе^ииу,
р vH + ц/Не00(и(2/Зих — 4/Зуу) — и(у* + иу)
-г иу) — шіЮу — I и/
/((у - 1) Рг Ие м£))_
Ту/
(1.2)
(1.3)
Здесь х* = у* = у1г* = г/, — декартовы координаты; и* = иУ0 = vV^, а>* =
компоненты вектора скорости, параллельные осям декар-
товои системы координат; р*=ррос — плотность; — температура;
р* = РРоо — давление; И* = НУ„— полная энтальпия; р.* = — динами-
ческая вязкость; /. — характерный линейный масштаб, в качестве которого ниже используется радиус цилиндра Л; Ие^ = К,» Рг — число Прандтля;
— число Маха, индекс оо обозначает параметры набегающего потока, индекс * соответствует размерной величине. Система уравнений (1.1) — (1.3) замыкается уравнением состояния совершенного газа.
(1.4)
и зависимостью динамической вязкости от температуры по формуле Саттер-ленда
р = (1 + С)/(7'+С)7’3/2, (1.5)
где С = 110,4/Г^ (для воздуха). Воздух рассматривался как совершенный газ с показателем адиабаты у = 1,4 и числом Прандтля Рг = 0,72.
Задача решалась с выделением ударной волны в области, ограниченной обтекаемой поверхностью цилиндра, осью симметрии течения, поверхностью ударной волны и выходной границей, составляющей с осью симметрии угол л/2. На искомое решение системы уравнений (1.1) накладывались граничные условия.
На ударной волне ставились обобщенные условия Ренкина-Гюгонио [4], представляющие собой равенство нормальных к поверхности ударной волны проекций потоков уравнений (1.1) с той и с другой стороны волны:
дц/дх ■ Е\ дл\/ду • = /?, (1.6)
где
I дц/дх ■ VN, дц/дх ■ (V* + 1/(VM1), дц/ду • (1/(yM2J), дц/дх • (VNVX), дц/дх • {VN Н),
VN — cos х, Кт = sin х, а математические координаты rj, в плоскости которых проводится численный анализ задачи, связаны с декартовыми х, у и с величиной Xs отхода ударной волны соотношениями
* = xw(l) + х5цп?(1), 1
У = yw(l) + xsi\n$(l), _
в которых индекс w обозначает поверхность тела. В качестве дополнительного условия на волне использовалась экстраполяция давления [5] дР/дц = 0.
На поверхности цилиндра задавались условия непротекания и прилипания, условие теплоизолированности или изотермичности обтекаемой поверхности, а также дополнительное условие равенства нулю нормальной производной от давления, необходимость постановки которого связана с аппроксимацией уравнения неразрывности трехточечными разностями. На оси симметрии ставились соответствующие условия симметрии (четности — нечетности) для потоков. И, наконец, на выходной границе задавались «мягкие
условия» экстраполяции за расчетную область со вторым порядком точности.
При аппроксимации уравнений использовалась консервативная неявная схема центральных разностей второго порядка точности. Для решения нелинейной системы сеточных уравнений использовался метод Ньютона, а решение линеаризованных систем на каждом итерационном шаге по нелинейности производилось экономичным прямым методом «вложенных сечений».
Для оценки точности получаемых результатов было проведено методическое исследование. Оно включало в себя расчеты на основной сетке, содержащей 51 узел в поперечном (от поверхности цилиндра- к ударной волне) и 16 узлов в продольном направлении, а также расчеты на сетках, содержащих удвоенное количество узлов по каждому из направлений. Эти данные были использованы для получения путем экстраполяции по Ричардсону эталонного решения с повышенным (третьим) порядком точности.
При обтекании теплоизолированной поверхности (дТ/дп = 0) на равномерной основной сетке максимальная погрешность расчета величин на поверхности тела менее 0,5%, а измельчение сетки вблизи поверхности (неравномерность сетки) вызывает изменение решения примерно на 0,1—O’,01%. Однако при наличии теплообмена по мере уменьшения температурного фактора Tw = = Tw/To, где То — температура торможения набегающего потока, погрешность расчета на равномерной сетке быстро возрастает из-за недостатка узлов в области «пограничного слоя» (максимальная погрешность наблюдается при М.» = 20 и Тш = 0,05 и примерно равна 50%). Для выделения областей с большими градиентами газодинамических переменных вблизи обтекаемой поверхности и около ударной волны расчеты проводились на неравномерной в поперечном направлении сетке; это позволило повысить точность расчета: на основной сетке максимальная погрешность в определении коэффициента давления менее 1%, а местного напряжения трения и теплового потока — менее 3%.
В соответствии с этими данными большинство расчетов было проведено на основной сетке (51X16), равномерной в продольном и неравномерной в нормальном направлении. Типичное время центрального процессора ЭВМ 20—X для расчета одного варианта на указанной сетке составляло около 30 мин. при расчете варианта с йовыми значениями числа М» или температурного фактора и 5—10 мин. при изменении любых других физических параметров
и
задачи. Расчеты охватывают следующий диапазон изменения определяющих параметров задачи: 3 si 20, 0,05 ^ Тш ^ 1, 100 ^ Re^ ^ 1000, 0 <: х ^
^ 70°. Отметим, что теплоизолированная поверхность не является изотермической, но для удобства будем характеризовать ее значением fw= 1.
2. Влияние определяющих параметров задачи на поле течения и аэродинамические характеристики рассмотрим на примере обтекания цилиндра под нулевым углом скольжения.
О размерах области возмущенного течения можно судить по положению головной ударной вол^ы относительно обтекаемой поверхности и, в частности, по ее отходу Дкр = Акр/? в плоскости симметрии течения. Изменение этой величины в зависимости от числа М,*, при фиксированных значениях температурного фактора и числе Re^ = 100 показано на рис. 1; здесь же штриховой линией нанесена соответствующая зависимость для идеального газа [6], которая не зависит от Tw и изменяется монотонным образом по числу М^. В вязком потоке при = const уменьшение температурного фактора вызывает смещение головной ударной волны к обтекаемой поверхности, а для сильно и умеренно нагретой поверхности величина Дкр имеет немонотонный характер поведения в зависимости от и заметно превышает соответствующие значения для идеального газа. Это связано с тем, что при фиксированном числе Re^ с ростом числа М увеличивается роль разреженной среды, характеризуемой числом Reo = Не00ц(Г00)/ц(7'о), и, следовательно, усиливается вытесняющее действие сил трения. Уменьшение температурного фактора приводит к понижению уровня температуры и повышению плотности среды в поле возмущенного течения, что ослабляет вытесняющее действие сил трения и вызывает смещение ударной волны к обтекаемой поверхности. Для сильно охлажденной поверхности эта зависимость имеет монотонный характер и располагается ниже зависимости для идеального газа.
По мере увеличения числа Re,» головная ударная волна смещается в сторону, соответствующую ее положению согласно решению уравнений Эйлера; на "
д
1,81 2,0 2,25 2,50 2,75 If Re.
Рис. 1
Рис. 2
при = 6. В рассмотренном диапазоне изменения Не,» различие в отходах ударной волны для вязкого и идеального газа уменьшается монотонным образом приблизительно с 40 до 11% при Тш — 1 и с 8 до 4% при' Тш 0,05. Хотя число Ие увеличивается на порядок, отход ударной волны сравнительно медленно приближается к своему асимптотическому значению: при увеличении числа Ие*, на порядок отличие в значениях Д кр уменьшается в четыре раза для теплоизолированной поверхности и в два раза для сильно охлажденной поверхности.
Изменение температурного фактора и числа Мю оказывает сравнительно слабое влияние на поле относительного давления и в качественном отношении согласуется с полем давления невязкого течения, в частности, давление непрерывно возрастает от ударной волны к поверхности тела и принимает максимальное значение на критической линии. Отличия носят количественный характер: для вязкого газа давление за ударной волной меньше, а на поверхности тела больше по сравнению с потоком идеального газа; причем с ростом числа М„ это различие увеличивается.
Изменение коэффициента давления вдоль обтекаемой поверхности имеет характер, типичный для цилиндра в потоке идеального газа: он принимает наибольшее значение на передней критической линии и монотонно уменьшается по мере отхода от нее.
Изменение максимального коэффициента давления ср тах в зависимости от определяющих параметров задачи показано на рис. 3 (Несо= 100); здесь же штриховой линией нанесены для двух чисел М соответствующие зависимости для идеального газа. В последнем случае значение сртах не зависит от температурного фактора и возрастает с увеличением числа М„. Для вязкого газа на величину ср тах заметное влияние оказывает как число М,», так и температурный фактор; при этом зависимости для вязкого газа превышают соответствующие зависимости для идеального газа. При числе = 3 это различие составляет примерно 0,3% при ?» = 1 и 1,2% при Т„ = 0,05; с ростом числа М„ оно увеличивается и при = 20 составляет примерно 1,2% при Ти,— 1 и 4,3% при Тш = 0,05.
Изменение коэффициента давления в критической точке тела в зависимости от числа Йе*, при = 6 показано на рис. 2. Во всех случаях выход коэффициента давления на его асимптотическое значение по мере возрастания числа Ие^, происходит немонотонным образом: зависимость для вязкого газа пересекает асимптотическое решение, удаляется от него и лишь с некоторого значения числа Ие» вновь приближается к асимптотическому решению снизу. Уменьшение температурного фактора вызывает смещение_точки пересечения зависимостей в сторону больших чисел Ие,»: если при Та, = 1_ она наблюдается при Ие,,, « 300, то для сильно охлажденной стенки (Га, = 0,05) — при Ие^ ж 1000.
Далее отметим, что воздействие температурного фактора при М*, = согЫ по мере отхода от критической точки меняет свой знак: уменьшение температурного фактора в окрестности критической точки приводит к возрастанию, а на большом удалении от нее — к уменьшению коэффициента давления.
Влияние числа М*, и температурного фактора на поле температуры более существенно. Для теплоизолированной поверхности максимум температуры совпадает с максимумом давления; при этом максимум температуры Т<„ тах = Тк(0) превышает температуру торможения То, в то время как в рамках классической теории пограничного слоя он совпадает с ней. Это связано с тем, что при малых числах Ие^ силы вязкости существенны во всем поле течения и в рамках полных уравнений Навье — Стокса диффузионные процессы учитываются как в нормальном, так и продольных направлениях, в то время как в уравнениях Прандтля они учитываются только в нормальном направлении. Ранее этот эффект неоднократно отмечался в литературе (см., например, [1]) и наиболее сильное отличие Тк от То наблюдается в свободномолекулярном потоке [7, 8].
Температура восстановления ^уменьшается незначительно по мере отхода от критической точки, и с ростом числа ее перепад на обтекаемой поверх*
ности увеличивается; в этом смысле ее поведение имеет такой же характер, как и при больших числах Re^, когда расчет проводится в рамках уравнений Прандтля. Вместе с тем зависимости для малых чисел Re^ имеют более сильный темп изменения вдоль обтекаемой поверхности и пересекают зависимость для пограничного слоя. Иными словами, учет вязкости во всем поле течения приводит к повышению уровня температуры в окрестности критической точки и снижению его вдали от нее. С увеличением числа распределение температуры восстановления приближается к асимптотическому.
С уменьшением температурного фактора максимум температуры смещается с поверхности тела в поле течения; при этом с ростом числа Мх воздействие Tw на поле течения увеличивается. Если при Мос=6 уменьшение температурного фактора сказывается лишь вблизи обтекаемой поверхности, то при = 20 оно простирается вплоть до ударной волны. По мере увеличения числа Re,*, сокращается область воздействия температурного фактора на поле течения.
3. Результаты расчетов показывают, что общие закономерности изменения местного напряжения трения и местного теплового потока от определяющих параметров такие же, как и в случае асимптотического решения задачи.
На критической линии местный тепловой поток принимает максимальное значение. На рис. 4 приведены зависимости числа Стантона СЯУRe,» в критической точке от температурного фактора при = const; в качестве примера здесь нанесена штриховой линией зависимость, соответствующая решению уравнений пограничного слоя при = 6. При больших числах М. число Стантона слабо уменьшается по мере увеличения температурного фактора, т. е. имеет место такой же характер поведения, как и в случае решения уравнений пограничного слоя. Для умеренно и сильно нагретой стенки наблюдается очень хорошее согласование решений между собой и в количественном отношении. Однако для сильно охлажденной стенки с уменьшением числа появляются значительные расхождения в полученных решениях. Это связано с тем, что при этих условиях возникает область очень малых температур, при которых используемые в расчете уравнение состояния газа (уравнение Клапейрона) и зависимость вязкости от температуры становятся некорректными. Для того чтобы подчеркнуть это обстоятельство, на рис. 4 штрихпунктирной линией соединены точки, соответствующие условию Тш = Т^.
Как можно видеть, аномальное поведение числа Стантона действительно имеет место в области очень низких температур газа, поэтому результаты расчетов с температурным фактором Г» < [1 +0,5 (у — 1) должны быть
исключены из рассмотрения. Для решения уравнений пограничного слоя аналогичные аномалии наблюдаются при меньших значениях числа М^, поскольку в рамках теории пограничного слоя изменение температурного фактора не влияет на параметры внешнего потока.
Изменение напряжения трения и теплового потока вдоль обтекаемой поверхности имеет в общем такой же характер, как и при решении задачи в рамках уравнений Прандтля: при фиксированном числе уменьшение температурного фактора вызывает снижение напряжения трения и возрастание теплового потока, а при фиксированном температурном факторе возрастание числа М.» приводит к увеличению местных коэффициентов сопротивления трения и теплопередачи. В качестве примера на рис. 5 приведены распределения напряжения трения и теплового потока для числа М», = 6 и разных значений температурного фактора.
Местное напряжение трения, вычисленное по уравнениям Прандтля, заметно превышает соответствующие значения, полученные в результате интегрирования уравнений Навье — Стокса: наибольшие различия в максимальных значениях напряжения трения не превышают 20%. С увеличением числа Рейнольдса происходит перестройка распределения, которое по форме и количественной мере приближается к асимптотическому решению.
9ш
0*
0 0,25 0,50 0,75 1,0 1,25 1^0 $
Для умеренно и сильно нагретой стенки (Тш ^ 0,25) различия в значениях тепловых потоков, соответствующих разным подходам к решению задачи, становятся заметными только на достаточно больших расстояниях от критической точки, где решение уравнений пограничного слоя располагается ниже зависимости, полученной согласно уравнениям Навье — Стокса. С увеличением числа Ие^ распределение тепловых потоков изменяется слабо и приближается к соответствующим распределениям для пограничного слоя.
Для инженерных расчетов часто распределение теплового потока по цилиндрическому затуплению нормируется по значению теплового потока на критической линии. Результаты расчетов, обработанные в таком виде, приведены на рис. 6. Как и в рамках теории пограничного слоя [9, 10], температурный фактор оказывает влияние на распределение относительного теплового потока на сравнительно большом удалении от критической точки и его воздействие становится существенным при больших значениях Тш, т. е. в окрестности теплоизолированной поверхности. Для умеренно и сильно охлажденной поверхности распределение величины <7 = («)/</» (0) практичес-
ки не зависит от числа и, следовательно, носит универсальный характер. Отметим, что зависимости отнормированного теплового потока очень близки к соответствующим зависимостям при решении задачи в рамках уравнений пограничного слоя; расхождение между ними наблюдается на достаточно большом удалении от критической точки, примерно при 5 > 0,7, причем зависимости, соответствующие уравнениям Навье — Стокса, располагаются выше зависимостей для пограничного слоя. Следовательно, учет вязкости во всем поле
1 > 16
течения по сравнению с асимптотическим решением слабо влияет на тепловой поток в окрестности критической линии и приводит к его возрастанию на достаточно больших расстояниях от нее.
Профили газодинамических переменных показывают также на расслоение поля течения по мере возрастания числа Re^: вблизи ударной волны формируется область «внешнего невязкого течения», а вблизи поверхности тела — «пограничный слой».
4. Влияние угла скольжения на структуру потока и его характеристики на поверхности тела было исследовано при числе М,» = 6 и числе Re,» = 1000 с изменением угла скольжения % от нуля до 70°, когда нормальная к передней кромке составляющая вектора скорости набегающего потока является сверхзвуковой.
С увеличением угла скольжения отход ударной волны возрастает так же, как и в потоке идеального газа; при этом зависимость для вязкого газа всюду превышает зависимость для идеального газа. Уменьшение температурного фактора приводит к смещению ударной волны- к поверхности тела из-за увеличения плотности газа в пристеночных слоях и, следовательно, к сближению результатов для вязкого и идеального газа.
Анализ профилей газодинамических переменных позволяет установить влияние угла скольжения на структуру поля течения. Рассмотрим кратко этот вопрос на примере течения в плоскости симметрии.
Давление в плоскости симметрии при нулевом угле скольжения монотонно возрастает по мере приближения к поверхности тела. С увеличением угла X уровень давления понижается, уменьшается перепад давления между поверхностью тела и ударной волной и в целом сохраняется монотонность возрастания давления от ударной волны к телу.
Профили компонента скорости скольжения, температуры и полной энтальпии указывают на изменение структуры поля течения по мере увеличения угла скольжения. Для теплоизолированной поверхности при х = 0 поле течения однородно, однако с увеличением угла стреловидности наблюдается расслоение течения на две характерные области — область, «внешнего невязкого течения» и область «пограничного слоя».
Компонент скорости скольжения в области «невязкого течения» постоянен, а в области «пограничного слоя» изменяется монотонным образом, имея типичный профиль скорости, как в решении Блазиуса, и выделяя область «динамического пограничного слоя», которая согласно расчетам занимает примерно 20% поля возмущенного течения. Профили температуры и полной энтальпии (рис. 7) определяются диффузионными процессами, происходящими в поле течения; при этом температура газа монотонно возрастает от ударной волны к поверхности тела, а характер изменения полной энтальпии поперек ударного слоя зависит от угла скольжения. При х = 0 преобладает роль диффузии в продольном направлении, поэтому полная энтальпия монотонно увеличивается от ударной волны к поверхности тела. При х>0 с ростом угла скольжения все большую роль начинают играть диффузионные процессы в нормальном направлении, которые и определяют характерные особенности в распределении рассматриваемых величин (число Прандтля Рг = = 0,72 < 1). В области «невязкого течения» температура медленно возрастает от ударной волны к поверхности тела (по мере увеличения х уровень температуры понижается), а полная энтальпия практически остается постоянной (Н « 1). В области «пограничного слоя» имеем типичную для пограничного слоя картину [10, 11]: сильный рост температуры и немонотонный профиль полной энтальпии, неравномерность которого усиливается с ростом угла скольжения. При этом максимальное значение полной энтальпии при х = 0 имеет место на поверхности тела и превышает ее значение в *невозмущенном потоке примерно на 0,5%, а при х = 70° — в окрестности внешней границы «пограничного слоя» с превышением Нж примерно на 4%. Профили температуры и полной энтальпии определяют область «теплового пограничного слоя», которая сог-
ОЩ ^2 ф Й ^ 7*
Рис. 7
ласно расчетам занимает для данных условий примерно 30% поля возмущенного течения. В теории пограничного слоя установлено, что отношение толщин динамического пограничного слоя к толщине теплового пограничного слоя равно числу Прандтля; для наших расчетов также выполняется эта оценка.
Максимальные значения коэффициент давления и тепловой поток принимают на критической линии и с увеличением угла скольжения монотонно уменьшаются. На рис. 8 приведены изменения относительных величин с —
= ср шах (х)/сртах(0) И <? = Яш та1 {%)/Яш т.х(0) В ЗЗВИСИМОСТИ ОТ уГЛЗ СКОЛЬЖвНИЯ.
Результаты расчетов по коэффициенту давления практически совпадают с асимптотическим решением 46], которое нанесено точками. Результаты расчетов по тепловому потоку (кривая /) располагаются ниже корреляционной зависимости </= [со&х] (кривая 2), которая была предложена в [10] на основе анализа результатов расчетов уравнений Прандтля на линии растекания при наличии сильного теплообмена.
Влияние угла скольжения на распределение коэффициента давления, коэффициентов сопротивления трения и теплового потока вдоль обтекаемой поверхности полностью аналогично закономерностям, установленным на основе асимптотического решения задачи, хотя при этом сохраняются некоторые количественные различия.
Таким образом, результаты расчетов показали, что аэродинамические характеристики цилиндрического затупления при малых числах Рейнольдса отличаются от характеристик, соответствующих асимптотическому решению задачи; причем эти изменения могут происходить как с количественной,так и с качественной стороны. По мере увеличения числа Рейнольдса решение уравнений Навье — Стокса стремится к асимптотическому решению, но сам этот переход зависит от определяющих параметров задачи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Павлов Б. М. Численное исследование сверхзвукового обтекания затупленных.тел потоком вязкого газа // Некоторые применения метода сеток в газовой динамике. Вып. 4.— М : МГУ, 1971.
2. Г е р ш б е й н Э. А., П е й г и и С. В., Т и р с к и й Г. А. Сверхзвуковое обтекание тел при малых и умеренных числах Рейнольдса // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа.— 1985. Т. 19.
3. П е й г и н С. В., Тирский Г. А. Трехмерные задачи сверх- и гиперзвукового обтекания тел потоком вязкого газа // Итоги науки и техники.
Механика жидкости и газа.— 1988. Т. 22.
4. С h е n g Н. К. The blunt body problem in hypersonic flow at low Rey-
nolds number // IAS Paper.— 1963. N 63—92.
5. Chakravarthy S. R. Euler equations — implicit schemes and boundary conditions // AIAA J.— 1983. Vol. 21, N 5.
6. Благосклонов В: И., M и н а й л о с А. Н. Обтекание кругового
цилиндра сверхзвуковым потоком совершенного газа // Ученые записки
ЦАГИ.— 1972. Т. 3, № 2.
7. X е й з У. Д., Пробст и н П. Ф. Теория гиперзвуковых течений.— М.: Изд. иностр. лит., 1962.
8. К о г а н М. Н. Динамика разреженного газа.-- М.: Наука, 1967.
9. Б а ш к и и В. А. Ламинарный пограничный слой на бесконечно длинных эллиптических цилиндрах при произвольном угле скольжения // Изв.
АН СССР. МЖГ,— 1967,- № 5.
10. Б а ш к и н В. А. Пространственный ламинарный пограничный слой на линии растекания при коническом внешнем течении при отсутствии и наличии вдува (отсоса) однородного газа // ЖПМТФ.— 1967, № 2.
11. Reshotko Е., Beckwith I. Compressible laminar boundary lauer over a jawed infinity cylinder with heat transfer and arbitrary Prandtl number // NACA Rep. 1379, 1958.
Рукопись поступила 2/Х 1990 г.
