CC BY
45
Том ХЫУ
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
2013
№ 5
УДК 532.526.5
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА НА ЛОБОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗАТУПЛЕННОГО ТЕЛА В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
В. Я. НЕЙЛАНД, Л. А. СОКОЛОВ
Рассмотрена задача об определении теплового потока на критической линии затупленного цилиндра, обтекаемого гиперзвуковым потоком вязкого газа при больших числах Рейнольдса. При нахождении асимптотических решений уравнений Навье — Стокса используются
Рш 51
Ключевые слова: уравнения Навье — Стокса, пограничный слой, ньютоновская теория, сильное вихревое взаимодействие.
предельные переходы М^ ^ ш,
► ш, е = ^рш ^ 0 .
Для решения задачи используется так называемая ньютоновская теория и метод сращиваемых асимптотических разложений, в рамках которых отыскивается асимптотическое решение
р
уравнений Навье — Стокса при предельном переходе М^ ^ ш, Иеш ^ш, е = -ш = е ^ 0 (М —
р1
число Маха, Яе — число Рейнольдса, р — плотность, индексами «да» и «1» отмечены значения величин до и после ударной волны).
Задаче об определении теплового потока в критической точке тела посвящено много работ, из которых можно отметить [1 — 3]. Эти работы выполнены в рамках теории пограничного слоя в первом [1, 2] или во втором [3] приближениях.
В данной работе будем рассматривать задачу об обтекании затупленного плоского тела с радиусом затупления Я гиперзвуковым потоком вязкого газа.
Для нахождения асимптотического решения уравнений Навье — Стокса используется ньютоновская теория [4] и метод сращиваемых асимптотических разложений [5].
В работе [6] подобные методы были применены при решении задачи обтекания гиперзвуковым потоком невязкого газа плоской пластины, установленной поперек набегающего потока. В [7] такой подход был применен к задаче обтекания гиперзвуковым потоком вязкого газа осесимметричного затупленного тела. ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Движение будем рассматривать в криволинейной системе координат (5, п) (см. рисунок), где п — расстояние по нормали к поверхности, а 5 — расстояние вдоль поверхности (измеренное от критической точки).
Компоненты вектора скорости, отнесенные к Уш, обозначим и, V. Все длины отнесем к радиусу затупления Я, плотность — к рш, дав-
V 2
г со
2
тл2
ление — к р V,, энтальпию — к
* ОО '
вяз-
кость — к ее значению цо при Т0) =
V
2
2с„
НЕИЛАНД Владимир Яковлевич
доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, советник при дирекции ЦАГИ
СОКОЛОВ Лев Александрович
кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ЦАГИ
Схема течения
Уравнения, описывающие движение в области между головным скачком уплотнения и поверхностью обтекаемого тела, принимают в выбранной системе координат следующий вид [3]:
(Pu),+ [(1 + kn)p v]n = 0,
I UU, к Л р. 9 ,
, uv,
p|iuvn+wn -
(1) (2)
(3)
1 1 2 1 D
где к = — — кривизна кривои, которая положительна для выпуклого тела, е = -, Reo
R 1 Ren
число РеИнольдса, вычисленное по параметрам , Vx, R, Ц0 . Уравнение энергии после введе-
ния полноИ энтальпии H = h -
u 2 + v 2
принимает вид:
p|uT+Tn+vH" '=е
Pr^n) -
1 ^ u 2
1 - 57 Jt
Л
(4)
где Pr — число Прандтля. Из уравнения состояния
у p u 2 + v2
= H —
У-1 p
2
(5)
Граничные условия на поверхности тела записываются так:
u = v = 0.
(6)
эо
2
Для завершения постановки задачи нужны соотношения на скачке уплотнения, которые можно записать в следующем виде [6]:
= ег
К
1 + К
Рс - Р^ = 1 -60 - ^ Р'
ыс = (1 -60 - 182Р)18Р
0
V = (60 + 182Р)(1 - 182Р),
И с = 1 -
(7)
- tg2Р,
где 6 = —1; К] = ——6; Р — угол между нормалью к скачку и направлением набегающего потока;
6п =
У +1
у- 1
6Ы^
+
2 •
у +1 (у + 1) М,
В настоящей работе задача решается в предельном случае ньютоновского течения, когда 6о ^0, т. е. отношение плотностей в ударной волне стремится к бесконечности при больших числах Маха.
Следуя методу сращиваемых асимптотических разложений, оценим масштабы координат и функций в различных областях течения.
Из баланса расхода газа через ударный слой следует, что слой, прилегающий к ударной
волне с большой плотностью -1 = 6, имеет толщину 0(6) . Из уравнения Бернулли и соотноше-
Р1
ний на скачке в этом слое скорость звука есть ас С 612 .
Скорость и в этом слое остается дозвуковой, если расстояние от оси 5 имеет порядок 0(61/2), а V~ 0(60) из (7).
Таким образом, чтобы получить нетривиальные уравнения движения необходимо перейти
1/2
к пределу при условии 5 = 6 0 ^, « = 6 0 «1, где 5 — расстояние вдоль скачка, отсчитываемое
от оси, п — обозначает расстояние по нормали к скачку и принимает нулевое значение на нем. Введем следующие разложения:
и (51) =610/2«1(51, п1), V(51«) =60^(51, «), Р («5 = 1 + 60Р1(51, «1),
Р (51«) =6" + Р1(51, «1). 60
(8)
Тогда из (1) — (4) получим:
% + % = 0' и1и151 + ^тл« = 0'
и1% + г1г1«
д д 1
и1--+ д51 V- д«1)
= Р1«, (Р1 -Р1) = 0.
(9)
1
Р
с
2
Градиент давления по направлению 5 пренебрежимо мал. Скорости определяются из первых двух уравнений (9), давление — из третьего, а поправка на плотность — из последнего уравнения (9).
Вблизи оси, где щ □ 1, разложим щ, V]. р ^ по степеням . В силу симметрии эти ряды будут выглядеть так:
Подставив (10) в (9), получим:
Ы-^ — ^ + • * • ?
VI
Р1 = Рц + ^Р\2'
"11 + ^11«! = 0, 2
"и+^щ« = 0
У11У11 = _ р11п1'
(10)
(11)
С учетом граничных условий на волне решение (11) выглядит так:
ып = е
Уц ="е
«1
Р11 = - ^(1 + е -2«1).
(12)
Из (12) видно, что условие V = 0 на стенке не выполняется. Это означает, что вблизи тела должна существовать внутренняя область со своими разложениями. В этой области в уравнении импульса в проекции на направление 5 инерционные члены должны быть того же порядка, что и проекция градиента давления на ось 5.
Внутреннее разложение строится при фиксированном 5 2 = ^, и, как следует из (12):
, 1/2 «2 = -£01П80 «1'
(13)
Предположим, что порядки величин давления и плотности не изменяются по сравнению с порядками этих величин во внешнем разложении. Введем разложения
Р = 1 + 8ор2(52, «2),
Р = ^ + Р2 (52, «2),
и = а(8о)м2 (s2, «2), V = У (80 )у2 (52, «2).
Тогда уравнения движения в новых переменных запишутся так:
аи*« +--2 = 0,
(14)
252
9 \а 2
а 2и 2и252 +Ц-У2и2«2 =-80Р252:
2
2
а^и 2У2 52 + У2У2«2 =-ТГР«2,
1/2
здесь Ц = -801п 8 0 '
Из (15) видно, для того чтобы выполнялось уравнение неразрывности и чтобы учитывалось влияние градиента давления по направлению 5, нужно положить
а = 60, V = - 62 1п 61/2 ,
тогда:
l2s, + v2n9 = О,
P2n2 = 0
u 2U 2s2 + v2u2n2 = -P2s2 , (16)
8 8 л u2--+ v2 —
8S2 8n 2
(P2 -P2) = 0.
Второе уравнение (16) показывает, что давление не изменяется поперек внутреннего слоя, поэтому
P2(S 2, n 2) = p2(S 2) .
Это давление должно согласоваться с давлением из внешнего решения при щ . Кроме того, третье уравнение (16) дает уравнение Бернулли, справедливое на поверхности тела = 0 :
U 2( s2) 1
P2w (^2) + u^ = const = — . (17)
Следовательно, первое и третье уравнения (16) запишутся так:
duw
и9и9(, + г7и7„ = и,,,-2 252 2 2«2 " ^ (18)
и 252 + г 2«2 = 0.
Решение (18) при граничных условиях г2(0) = 0, и2(0) = (52) имеет вид:
и2 = ик (52)сЬ X«2,
1 (19)
V = — им. Х«9.
X 2 52 2
Если вблизи оси воспользоваться аналогично (10) разложением по степеням 5, то система уравнений (18) запишется так:
2 2 и 21 + г21и21«2 = им>,
2 (20)
и 21 + г21«2 =
И соответственно решение (20) будет иметь вид:
и21 = иы СЬ X«2,
1 Ы (21)
г21 = иЫ ^ Х« 2.
Если при предельном переходе порядок величины 6 01п 60 2 больше, чем порядок величины 1 то весь ударный слой распадается на две невязкие области и пограничный слой. Другой
n/RS
тип предельного перехода может осуществляться так, что толщины пограничного и внутреннего слоев имеют один порядок по величине.
Для определения теплового потока в критической точке, введя функцию тока и преобразование Лиза — Дородницына, получим следующую систему уравнений:
А(М/" ) ' = -я + /' 2 - //" , А( Ыя ') ' = -/ё ' '
Граничные условия на поверхности имеют обычный вид:
/ (0)=/ '(0) = 0, я (0) = Я№. Условия на внешней границе вязкого слоя:
,/г| ^да = 1, = 1' (23)
Краевая задача (22), (23) отличается от рассматривавшихся ранее в [1, 2] появлением параметра подобия А =-1—, и других краевых условий. Очевидно, что асимптотическое
Яе(80 1п 8002)2
решение (22), (23) при А^ 0 должно совпадать с решением, полученным в [1, 2].
Это действительно имеет место, так как асимптотическое решение (22), (23) при А^0, введя преобразование / = л/ДФ и гц = л/А|, можно свести к решению следующей краевой задачи:
(ыФ') ' + ФФ"-Ф" 2 + Я1 = 0, (ыя1) ' + ФЯ1 = 0
Ф(0) = Ф" (0) = 0, Я1(0) = , ( )
ф^„=л/А, = 1.
Ниже в таблице приведены некоторые результаты решения системы (22), (23) при различных значениях А.
hw = 0.1
hW = 0.236
Ф; = 0.519
А 0.3710-2 0.1110-1 0.2210-1 0.11 0.43 0.51 0.63 0.79 0.9 1 3.86
gw 0.236 0.237 0.239 0.25 0.261 0.264 0.265 0.27 0.274 0.277 0.305
Г J w 0.519 0.53 0.54 0.59 0.67 0.69 0.72 0.74 0.77 0.78 1.08
Из таблицы видно, что при А = 1 тепловой поток на 15% больше, чем соответствующая величина для обычного пограничного слоя (значения ф; и h'w).
Таким образом, в задачах об определении теплопередачи на лобовой поверхности затупленного тела при не слишком малом значении параметра А необходимо учитывать вихревое взаимодействие, которое приводит к росту теплового потока.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№ 12-08-00674а, № 10-08-00274а).
ЛИТЕРАТУРА
1. S i b u l k i n M. Heat transfer near the forward stagnation point of a body of revolution // J. Aeronaut. Soi. 1952. V. 19, N 8, p. 570 — 571.
2. F a y I. A., R i d d e l F. R. Theory of stagnation point neat transfer in dissociated air // J. Aeronaut. Soi. 1958. V. 25, N 2, p. 73 — 85.
3. Ван - Дайк М. Теория сжимаемого пограничного слоя во втором приближении с применением к обтеканию затупленных тел гиперзвуковым потоком / Сб. «Исследование гиперзвуковых течений». — М.: Мир. 1964, с. 35 — 58.
4. Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. — М.: Машиностроение. 1975, с. 327.
5. Ван - Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. — М.: Мир. 1967, с. 310.
6. Коул Ж., Брайнерд Ж. Обтекание тонких крыльев гиперзвуковыми потоками при больших углах атаки / Сб. «Исследование гиперзвуковых течений». — М.: Мир. 1964, с. 233 — 247.
7. Ермак Ю. Н., Нейланд В. Я. К расчету теплопередачи на лобовой поверхности затупленного тела в гиперзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ, 1967, № 6, с. 153 — 156.
Рукопись поступила 14/12013 г.
