CC BY
53
УЧЕНЫЕ 3 А ПИ С К И Ц А Г И ТомI 1970
№ 5
УДК 532.526.533.694.71./72
СИЛЬНЫЙ ВДУВ НА ТЕЛЕ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
Н. С. Матвеева, В. Я■ Нейланд
Проведено исследование эффектов, возникающих при интенсивном вдувании газа через поверхность тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком. Принимается, что скорость вдувания, непрерывно распределенного вдоль тела, значительно больше, чем нормальный компонент скорости в вязком пограничном слое. Однако она по порядку величины меньше, чем скорость набегающего потока. Форма тела такова, что распределение давления существенно зависит от взаимодействия сверхзвукового потока со слоем вдуваемого газа.
Показано, что в этих условиях влияние возмущений на заднем конце тела распространяется до передней кромки, хотя толщина слоя вдуваемого газа много меньше длины тела, и уравнения, описывающие течение вдуваемого газа — параболические. Построены асимптотические представления для всех характерных областей течения на пластине или клине (конусе) как для степенного, так и равномерного распределения скорости вдува вдоль тела. Исследование переходного режима от слабого вдува, описываемого теорией пограничного слоя, к сильному вдуву позволило объяснить известный парадокс, связанный с отсутствием решения уравнений пограничного слоя на пластине, при скоростях вдува, превышающих некоторое критическое значение.
1. Рассматриваются эффекты, возникающие при распределенном вдувании газа через поверхность тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа. В последние годы появилось большое число статей, посвященных теоретическому и экспериментальному исследованию проблемы. Одно из плодотворных направлений теоретических исследований, начинающееся с работы [1], заключается в использовании концепции тонкого слоя. Основная идея состоит в том,что, если скорость вдува значительно меньше скорости основного потока, но все же существенно больше нормального компонента скорости в невозмущенном вязком пограничном слое, толщина слоя вдуваемого газа значительно меньше длины тела, но толще прандтлевского пограничного слоя. При этом возмущения, вносимые вдувом во внешний поток, могут рассматриваться в рамках теории малых возмущений, а течение вдуваемого газа в первом приближении описывается уравнениями пограничного слоя, но без вязких членов.
Цель статьи — исследование течений для тонких тел, когда толщина тела по порядку величины не превышает толщину слоя вдуваемого газа. Характерной особенностью течений такого типа является то, что распределение давления по телу определяется распределением толщины слоя вдуваемого газа, которая в свою очередь зависит от распределения давления. К этому же классу относятся важные течения на телах конечной толщины, если градиент давления, возникающий на них при отсутствии вдува, мал или того же порядка, что и градиент давления, индуцируемый при вдуве (например, клин, конус). Течения, обладающие этим свойством, принято называть течениями со свободным взаимодействием. Характерной особенностью таких течений является способность передавать возмущения давления вверх по потоку на расстояния порядка длины области свободного взаимодействия [2], [3]. Это свойство должно учитываться при
экспериментальных исследованиях и для корректной постановки математической задачи, поскольку влияние условий на задней
2. Рассмотрим для простоты обтекание равномерным сверхзвуковым потоком газа клина, через поверхность которого производится вдув (фиг. I). Пусть интенсивность вдува такова, что толщина области, занимаемой вдуваемым газом 8/° (I° — длина боковой пластинки) имеет порядок 8~ 1. Около заднего конца клина внешний
сверхзвуковой поток проходит через волну разрежения. Обозначим декартовы координаты xl°, уГ, компоненты скорости ии°, vu°, плотность рр°, давление рр°и°-. Везде знаком 0 сверху отмечены размерные величины в невозмущенном ударном слое, если нет вдува. Если вдув производится по нормали к телу а(х, 0) = 0, тогда тангенциальный импульс появляется во вдуваемом газе лишь за счет действия градиента давления и сил вязкости. Отношение вязкого члена уравнения Навье —Стокса к члену, характеризующему продольный градиент давления, не превосходит по порядку (Rex3)-1, где Re — число Рейнольдса. Будем считать, что Re^>x'3. Тогда скорость вдуваемого газа определяется продольным градиентом давления. Так как -с 1, то в силу сверхзвуковой теории малых возмущений Д/7~т. Продольный компонент уравнения ймпульсов дает и ~ х1'2, так как предполагается Р'—1. Уравнение неразрывности позволяет получить оценку v — т3/2. Так как Др<^р, то в первом приближении Др<^р, т. е. течение несжимаемое и невязкое.
Из приведенных оценок следует, что для основной части области течения, занятой вдуваемым газом (вне узкой зоны смешения, кото-
Фиг. 1
части тела будет, по крайней мере в принципе, сказываться на всем течении вплоть до передней кромки, если вдув производится по всей поверхности, несмотря на то, что уравнения, описывающие течение, будут гиперболическими и параболическими. При равномерном распределении вдува на клине или конусе это влияние, как будет показано ниже, является определяющим.
(2.1)
рая расположена между вдуваемым газом и сверхзвуковым потоком), необходимо ввести следующие асимптотические представления для координат и функций течения:
х, у = = 'Ь0 ф0 = X3/2;
И (*> у, х) = т!/2 и1(х,у1)+ V (х, у, х)« х3/2 V! (х, уг) +...;
/>(*, .У, ^ ; р (х, у, х) = р + . . . .
Как и обычно при использовании метода сращиваемых асимптотических разложений, критерием правильности (2.1) является возможность получить далее равномерно точное описание всего течения в целом во всех областях, включая и рассматриваемую область 1.
Подставляя (2.1) в полную систему уравнений Навье—Стокса и совершая предельный переход х -» 0, Ие -» оо, получаем в первом приближении следующие уравнения:
ди . ди . 1 др . др „
и!)7+‘!’1Ъ+7~£=0'' ~ду =
ди , дъ _ дФ
“а---Г = О ИЛИ и = V- ; V —---з1-
дх 1 ду ду ох
(2.2)
(индекс 1 пока опущен для краткости).
Краевые условия:
и(х,0) = 0; <1>(л„8о) = 0; Ф (*, 0) = Ф^, (х); $р = (1Ъ0/йх-,
р = (М2 - 1),/2. (2.3)
Первое условие показывает, что вдув осуществляется по нормали к поверхности тела, третье задает распределение интенсивности вдува вдоль поверхности тела. Разумеется, можно рассматривать и другие условия, определяющие вдув, но для целей настоящей работы это несущественно. Последнее условие следует из линейной теории сверхзвуковых течений и того факта, что х<С! 1.
Покажем теперь, что решение системы уравнений и краевых условий (2.2) и (2.3) при задании $ш(х) и М не является единственным. Для этого проще всего выбрать степенной закон для <]>да(х), который допускает, как известно, автомодельное решение задачи:
^■т{х)=~хт\ 1>от>0. (2.4)
Если удастся показать, что кроме автомодельного существуют и другие решения, вопрос об отборе того или иного решения будет решаться возможностью удовлетворения краевых условий на заднем конце тела. Будет показано, что автомодельное решение годится для полубесконечного тела, для которого (2.4) выполняется в диапазоне Другие же решения будут соответствовать
обтеканию пластины с различными конечными значениями /°.
Введем переменные:
V —у1К(х)’ /(■*» у) = уЩ» (-*); 8о = (р£)1/38- (2.5)
Формулы (2.2) и (2.3) преобразуем к виду
1- ( М Г2 _ __ А _ I
83 йх 8 йх \ 8 ) йх1 82 ? ' ///>[. (2.6)
/(*,())= 1; Г(х, 0) = 0; /(*, 1) = 0.
Заметим, что задача (2.6) в безразмерных переменных не зависит от плотности вдуваемого газа р и числа М внешнего потока. Это значит, что для области 1 установлен закон подобия.
Например,
( 1 А1/3 йЬ
„ооог______________|______■ 0 Г-
Р 9 \лМ* Р2'3 (IX
где йЬ)йх — универсальная функция, зависящая только от ф№(л)
(распределение вдува). Штрихами и точками обозначено дифференцирование по и х соответственно. Уравнение (2.6) имеет второй порядок, три краевых условия необходимы для нахождения f (д:, т\) и 8(х).
Ищем решение в виде ряда по степеням л::
/(*,ч)“/о(ч) + *в/|(■»!)+•• •; ч*)-СХь+С1Хь+ ...; р{х) = Вх-п-\-В1х~п' +. . . ; а>0; ^>0; я>л1>0.
Подставляя (2.7) в (2.6), получаем соотношения
/о/о — «/о2 + Я2 = 0; /о (0) = 1; /о(0)==0; /о(1) = 0;
(2.7)
Ч = (1/К)| [а/(1 - ^2а)]1/2й\\ К— /И( 1-Е*)]*/*
/о О
£ = (2/я + 1)/3; га = 2(1—от)/3; а = (т—1)/3/га; 0</и<1; С = [9/и К212 (2т + 1)(1 — т)1'3; В = (2/ге + 1)С/3 (М*- 1)1/2.
(2.8)
Формулы (2.8) определяют автомодельное решение, зависящее от т (2.4).
Для второго члена разложения получаем:
/о ®; + Ф1 /о - 2/0 / о + О/о2 - 2а ф1 /о + К» (я~^+а>. =
(/>!-/>!); <2-9>
Ф, (0) = ф; (0) = 0; ®1 (1) = 0; (2-10)
п «[Д -Ь 2 (/га — 6)]
71 С от-Л ’
5. 4 я С) , , ,
-£-==—^--------п1 = п — а;
Задача (2.9) содержит один произвольный параметр а, но уравнение имеет второй порядок, а краевых условий — три. При решении (2.9) на ЭЦВМ удалось найти а и нетривиальное решение для Ф,. Результаты численных расчетов приведены на фиг. 2 и 3. Существование нетривиального решения для Ф., показывает, что автомодельное решение не является единственным решением задачи (2.2), (2.3) при условии (2.4). Ниже будет показано, что дополнительное условие для течения, показанного на фиг. 1, 8'(л:-»1)-*—оо. После решения (2.9) и (2.10) решение вблизи носка определено с точностью до произвольной постоянной С„ которую можно использовать для того, чтобы необходимое краевое условие, эквивалентное р— оо при л: -* 1, удовлетворялось именно при X = 1.
Следует заметить, что допустимыми при вдуве являются решения только с убывающим р. Это становится очевидным, если вспомнить, что внутри слоя вдуваемого газа должно удовлетворяться уравнение Бернулли, а и(х, 0) = 0. Использовав решение (2.9) для получения / (х, ?]) на характеристике с достаточно малым х, можно, задав произвольно |С]|, продолжить интегрирование до выполнения дополнительного краевого условия при некотором значении ха, вообще говоря, не равном 1. Дополнительные итерации не потребуются, так как условию хй=\ можно удовлетворить, используя следующую группу преобразований, относительно которой соотношения (2.2), (2.3) и (2.4) инвариантны:
х
>ос; у -> у1
т-\-\ т—1
! ; и -» йХ 3 ;
р; р —> рк2/3 <т—Ч
V
у\т-\ .
(2.11)
/
-1
-2
777 =0,250^ /г = цдвг 0,500 0,726 0,750 0,4-12 \
ч\
0,5 7
777 = 0,250^^
О/ОО У
0,750 \
1
О
-}
-2
1 ! 1 1 1
/// - и,ии, а —и,яог 0,500 0,72е\ 0,750 0,^/2^\
\
ч-
0,5 Г 'У
777= 0,750У
0,500'
0,250
Фиг. 2
Фиг. 3
Существование группы преобразований (2.П) является важным и в принципиальном отношении. В силу соотношения Бернулли и из-за краевого условия и(х, 0) = 0 задача (2.6) имеет решения только с убывающим давлением (случай почти постоянного давления рассмотрен ниже в разделе о равномерном вдуве). Случай автомодельного решения (2.8) соответствует обтеканию полубес-конечного тела. Неавтомодельные решения (2.9) и (2.10) с монотонно убывающим давлением при сохранении краевых условий (2.6) обязательно соответствуют обращению рЪ ->• — оо при конечном значении л;. В самом деле, альтернативой является появление нового решения с монотонно убывающим давлением, определенного для 0<>:<;ос. Но из-за существования группы преобразований (2.11) такое решение (вернее группа решений), как известно, можно было бы свести к автомодельному, но автомодельное решение единственно и определено формулами (2.8), а (2.9) отлично от него. В следующих разделах объясняется физический смысл и исследуется поведение решения около Особой точки. -
3. Рассмотрим течение в области 2 (см. фиг. 1), лежащей вблизи заднего конца пластины. Общая теория течений такого типа развита в работе [4]. Напомним, что давление в донной области отличается от давления на теле на 0(1), Сверхзвуковой поток около донного среза должен повернуться на угол 0 (1). Но тогда в этой
2—Ученые записки № 5
17
области х—у, Поскольку Ар—0(1), то и~0(1). Расход в
области 2 такой же, как в области 1 — ф~0(х3/2). Но тогда поперечный размер области 2 у — 0(т:3'2). Полученные оценки позволяют ввести следующие асимптотические представления:
х 1 = х3/2л:2; у = -с312у2\ и(х, у; 1)~и2(Хг, у2)|
Ъ{х, у\ х)~г>2(х2, у2) + ..р (х, у-х) ~/?2 (л2, у2)+..1 (3.1)
р(*. У\ “е) — Р*(-«а. Уя)+- ■ • ]
Если считать, что температура вдуваемого газа в области 1 в первом приближении постоянна, то в области 2 в первом приближении постоянна энтальпия торможения. Подстановка (3.1) в уравнения Навье—Стокса и предельный переход х -*• 0, Ие -» оо приводят к полным уравнениям Эйлера для сжимаемого газа в области 2. Сращивание с внешним сверхзвуковым потоком дает в качестве внешнего краевого условия связь между давлением и углом наклона границы в виде полных соотношений Прандтля—Майера. На теле V2(X2, 0) = 0, так как ъ(х, 0, х) = 0(х3/2). На длине области 2 число М№ газа у поверхности тела (вне пограничного слоя, конечно) изменяется от 0 до 1; Мш=1 соответствует угловой точке. Дальнейшее ускорение потока невозможно, так как весь слой вдуваемого газа стал сверхзвуковым и не может расширяться. Подробнее эта ситуация обсуждается в работе [5], где подобная задача решена методом интегральных соотношений.
Для целей настоящей статьи важным является анализ поведения решений при X, —» 1 и х2 -» — оо, где решения для областей / и 2 перекрываются, — ос, а Лр2 -* 0. Удобно построить про-
межуточное решение, которое переходит справа в решение для области 2 и слева — в решение для области 1.
Пусть т-Сё'С 1- В промежуточной (между областями 1 к 2) области 5 p<^'gъ силу уравнений движения (проекции на ось х)и — g^|2 уравнение неразрывности дает V — g3|2, так как наклон границы у)х — p~g. Так как расход ф — х3/2, то у ~ т3/2/^1/2, тогда л: — (х/^)3/2. В силу сделанных оценок в области 5 можно ввести переменные:
Первое из уравнений (3.3) — внешнее краевое условие, второе— закон сохранения массы, третье — интеграл Бернулли. Простая их форма обусловлена тем, что и поэтому ъь{х5, 0) = 0,
«5 (хъ, уь) — 0 при л:5 — — оо и р§ —> 0.
Разумеется, те же соотношения можно получить, исследуя асимптотику решений краевых задач в области 1 при х1 -* 1 и в области 2 при -* — оо. Решение (3.3) имеет вид
х ■ 1 = (х/5-)3/2 *5; у = (хЗ/2/^1/2) уъ•
Р (*, у\ т) ~ (1 /тМ*) + КРь (Х5, уъ) + . . .; р (х, у; Т) = р5+...; и(х, у; х)~^'/2и5(х5, у6) + .. .; ъ(х, у; х) ~ g3l2 (х5, уь) + .. .
(3.2)
Уравнения и краевые условия для первого приближения:
$Рь = М06І<іх; и5 8о5 = Ц>х ^(1); Ръ + Р5 «І/2 = 0.
(3.3)
85= ~з-рР(—-ж5) ; «5= -урР(—х5)
2 л1/3 Г 2
1/3
(3.4)
Формулы (3.4) дают начальные условия для области 2 и вид решения в области 1 при хх 1. Из них легко видеть, что донная часть должна влиять на всю область с х — 1. В самом деле, если g-*'z, то х5-^0(1).
4. Степенное распределение вдува (2.4) содержит в себе аномалию — л: -* О, 0)-г*оо, поэтому полезно рассмотреть реаль-
ный эквивалент (2.4). Пусть, например,
Легко видеть, что для л;~0(1) в первом приближении (4.1) совпадает с (2.4). Вместе с тем вплоть до л; = 0 всюду ^^0(1). Например, ют{0) — + т. Течение в малой окрестности носка х^хз/о~т)2 можно рассмотреть, вводя дополнительную область 3 (см. фиг. 1) со следующими переменными:
Течение в области 3 описывается в первом приближении полными уравнениями Эйлера, если у3 = Ие21. При Хз^цОО) существенно влияние вязкости и получаются полные уравнения Навье—Стокса. Скачок уплотнения отсоединенный. Не решая задачу численно, можно о свойствах течения заметить лишь следующее: при х3 + оо из-за краевого условия (4.1) решение переходит в решение для области 1. Газ, поступивший в поток в пределах области 3, при л~1 имеет и~ 1. Он сосредоточен около внешней границы области 1 и образует область 4 (см. фиг. 1). Толщина области 4 и характер течения в ней зависят от соотношения параметров т, Ке и показателя т в формуле (4.1). Если т — 1 =0(1), а число Ие достаточно велико, то течение в области 4 невязкое с расходом ф ~ т3/2о-™). Отношение инерционных членов к вязким X* = Ие тЗ/А-т) 1. При Х4<С 1 область 4 представляет собой обычную вязкую зону смешения с постоянным в первом приближении давлением и толщиной ~ Ие_1/2. Таким образом, всегда в области 4 скорости и■—■ 1, поэтому и, оо при ух -»• 81} так как в области / а — т1/2. Толщина области 4 всегда 2^1?е_1/2.
Заметим, что характер течения в области 4 существенно зависит от распределения вдува в области 3. Однако качественный характер результатов не меняется. Всегда есть два предельных режима — чисто вязкое течение в области 4 и невязкое течение в другом пределе, -»оо, для которого распределение постоянной Бернулли определяется течением в области 3. А вот соотношение значений т и Ие для переходного режима зависит от распределения вдува в области 3. Поскольку /4 = х3 х312 (1-т) . а ^<^1, то вязкий режим течения при уменьшении Хз сначала наступает в области 4, а затем в области 3, где градиенты давления больше.
5. Рассмотрим важную в принципиальном и практическом отношении задачу о равномерном вдуве на плоской поверхности. Экспериментальные исследования показывают, что на конусе и клине при равномерном вдуве давление почти постоянно (вдали от кон-
(я) = х3/2 (х + та)т, а = 3/2(1 — т)\ |
(л:) = 4- тт^2!(х + та) 1~т. \
(4.1)
л; = лг3/х3/<1—т>2; у =_у3/т3'<1-/и)2 ;
«(■*, у\ т)~ «з(*8> Уз) -К • •; * (*, .V; чО-М-Кз, Уг)+ • • •; р(х, у; *)~р3(хг, _у3)+ . . .;
р (■*, у; т) ~ р (*з, Уз) +------
(4.2)
2*
19
дов тела), а скачок близок к прямолинейному. (Уместно заметить, что результаты настоящей работы для клина конечной толщины легко переносятся на осесимметричные течения в тех случаях, когда применимо известное в теории пограничного слоя преобразование Манглера—Степанова).
Вместе с тем формально с помощью предельного перехода т-*\, х~\ в формуле (2.4) решение для равномерного вдува получить нельзя. Получается обтекание внешним газом клиновидной области, наполненной покоящимся газом. Разумеется, такое решение не имеет физического смысла, так как силы вязкости, которыми пренебрегали в (2.2), окажутся главными.
С физической точки зрения на теле конечной длины существуют три причины, которые могут вовлекать вдуваемый газ в продольное движение. Первые две — это появление др/дх<С.О либо за счет соответствующего выбора ъ11/(х), либо за счет влияния волны разрежения, расположенной на заднем конце области вдува. Третья причина — влияние сил вязкости, которое определяется значением числа Ие. Доминирующее влияние вязкости предполагалось, например, Лизом [6]. В работе [7] использовался метод интегральных соотношений для получения решений уравнений Эйлера при равномерном вдуве. В настоящей работе сделана попытка дать более полное решение проблемы. Зададим в области 1 вместо (2.4) вдув по формуле
Ф1®(*)= (5-1)
Приб~1 течение вдуваемого газа образует область с л;—у—1, с др/дх — др'\ду. Уравнения течения эллиптические и влияние донного среза не вызывает сомнений [7]. Более интересен случай ф0<С1. Из уравнения неразрывности V—Так как у~х, р~у/х—-с, и — рУ2 ~ I1!'2, ъ/и—у/х, то х — фо/3. Таким образом, асимптотические представления (2.1) справедливы и для течения с равномерным вдувом при х^фо'3. Сначала будем считать, что Ие достаточно велико и вязкостью в области 1 можно пренебречь. (Отношение инерционного члена к главному вязкому —Иефо3). Тогда уравнение (2.6) принимает вид:
Ж //" -Т- 4х (■т) Г-2- = £ (/' /' ■-/ п (5.2)
Решение при х 0 приходится искать в виде
/и. Ч)—/о (71)~Ь • • ■> С0х '[1+ ...];
/о/о + К2 = 0; /о (0) — 1; /о (0) = 0; /0(1) = 0,
где
(5.3)
4)
Ч=^-|(1п/-»Г1,2^/о; Са = К+213: К= [| (1п/-"2)—1,2 с?/0]+1 ■ (5.
/о 0
Интересно отметить, что формулы (5.2) — (5.4) можно получить формально из формул (2.6) — (2.8), совершив предельный переход т-»1, х-»0. Поэтому ясно, что /0 для тп — I не может дать автомодельного решения, верного для полубесконечного тела. Фор-
мальный же предельный переход т -* 1, х — 0(1) дает решение, которое обсуждалось выше и для своей реализации требует, чтобы коэффициент вязкости газа был равен нулю. Далее ход решения вполне аналогичен приведенному в разд. 2 для степенных законов вдува. Существует однопараметрическое семейство решений, в которых рх — оо при разных значениях хг. Все эти решения могут быть получены из одного из них преобразованием типа (2.11). Это позволяет выделить нужное решение, у которого Р\{х1-+ 1)-> —оо. Оно допускает сращивание с решением в области 2, которое легко выполнить с помощью формул (3.4). Заметим еще, что найденные неавтомодельные решения не могут существовать для всего диапазона 0-<л:<;оо, так как в противном случае из них с помощью (2.11) можно было бы получить автомодельное решение с конечными скоростями вдуваемого газа, что, как показано выше, невозможно. Согласно (5.3) форма Ъ(х) близка к прямой в полном соответствии с экспериментальными данными. Расход газа в области значений х, где Д/>-~1 экспоненциально (по ф0), мал., Поэтому в соответствии с результатами разд. 4 настоящей статьи течение в области 4 практически всегда представляет вязкую зону смешения внешнего сверхзвукового потока со вдуваемым газом, причем толщина ее ~Ие~1/2, и— 1, а член др/дх отсутствует, так как имеет
2/3
порядок фо .
6. Интересно рассмотреть, как при уменьшении ф0 происходит переход от течения с тонкой вязкой зоной смешения 4 и широкой областью невязкого взаимодействия 1 к течению обычного типа для пограничного слоя с др/дх = 0 и вдувом ~ Ие-1'2. Легко видеть, что при ф0~ Яе~1/2 расход газа в областях 1 и 4 имеет одинаковый порядок по величине. Параметр подобия, от которого зависит тип течения, XI = Фо'3 Ие > 1. В области / имеем оценки:
у ~ Не~1/3, и ~ Не-1/6, V — Ие_1/2, риуу/рш1х ~ Ие~1/6; (6.1)
это значит, что под более тонкой (у — Ке_1/2) зоной смешения обычного типа (др/дх = 0) лежит более толстая область невязкого течения со свободным взаимодействием, существование которой обеспечивает передачу возмущений вверх по потоку.
В качестве примера рассмотрим переходный режим для автомодельного течения, в котором т, = 0,5 (2.4). Поскольку расходы газа в областях 1 и 4 имеют одинаковый порядок, то краевое условие на внешней границе области 1 в задаче (2.6) заменяется следующим:
/(1) = М*, 0). (6-2)
где ф,(х, 8) = ф4(х1 — оо).
Введем обозначение ф0 = ЯИе-172. Тогда граничное условие (6.2) можно представить в виде
/(1) == — ?(— оо)/Е = А, (6.3)
где у(--оо) — значение безразмерной функции тока в известном автомодельном решении задачи о смешении полубесконечного равномерного потока с покоящимся газом [8].
Решение (2.8) в этом случае принимает вид:
Г /о \ 2/3
А' = J [3(Г2/3-- 1)Г!/2 &, С = (~к) . (6.4)
21
Можно видеть, что при /г = 1 область 1 исчезает. Происходит переход к обычной задаче о пограничном слое с вдувом, сводящейся к решению уравнения Блазиуса при некотором отрицательном значении безразмерной функции тока на поверхности тела. Ранее было известно, что решения такой задачи существуют только до значений функции тока на теле, равных ее величине в задаче о смешении полубесконечного равномерного потока с покоящимся газом при,у-* — со. Для этого предельного решения трение на стенке обращается в ноль. Решения (2.8) и (6.4) описывают течения при более сильном вдуве и показывают, что зона смешения отодвигается от стенки на расстояния, значительно большие, чем ее толщина. Трение на стенке меняет порядок величины (Не-5/б вместо Ке~^2), а между телом и зоной смешения возникает течение, являющееся невязким в первом приближении.
В заключение заметим, что для расчета течения во всех областях для переходных режимов течения, когда эффекты второго порядка в каждой области (например, вязкость и перепад давления в области 1) отличаются не слишком сильно от основных эффектов, полезно было бы на практике использовать для повышения точности расчетов композитные уравнения, которые содержат в себе все члены уравнений Прандтля и полных уравнений Эйлера.
ЛИТЕРАТУРА
1. Cole J. D., Aroesty J. The blowhard problem inviscid flow with surface injection. International Journal of Heat and Mass Transfer, 1968, v. 11, No. 7.
2. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке газа. Изв. АН СССР, МЖГ, № 4, *969.
3. Н е й л а н д В. Я. Распространение возмущений вверх по тече-
нию при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем. Изв. АН СССР, МЖГ, № 4, 1970.
4. Н е й л а н д В. Я., Сычев В. В. Асимптотические решения
уравнений Навье — Стокса в областях с большими локальными возмущениями. Изв. АН СССР, МЖГ, № 4, 1966.
5. Матвеева Н. С., Нейланд В. Я. Ламинарный пограничный слой вблизи угловой точки тела. Изв. АН СССР, МЖГ, №4, 1967.
6. Lees L., С h а р k i n s R. L. Surface mass injection at hypersonic
and supersonic speeds as a problem in turbulent mixing. A1AA, Paper
No. 68—130 (1968). .
7. Thomas P. D. Flow over a finite plate with massive injection. A1AA J., v. 7, No. 4, 1969.
8. Chapman D. R. Laminar mixing of a compressible fluid. NACA Rep. 958, 1950.
Рукопись поступила 23jIV 1970 г.
