Ламинарный пограничный слой на пластине и конусе при наличии вдува Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Томі! 19 7 1

№ 3

УДК 532.526.011.6:533.694.71/72 532.526:533.694.71/72

ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ И КОНУСЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВДУВА

К числу недостаточно исследованных вопросов теории ламинарного Гпограничного слоя на плоской пластине и конусе относится вопрос о влиянии закона вдува на характеристики пограничного слоя. В большинстве имеющихся работ рассматривается наиболее простой случай, когда вдуваемый газ подается по автомодельному закону. В то же время практически наиболее легко осуществимым является вдув с постоянной вдоль поверхности интенсивностью. В связи с этим возникает необходимость рассмотреть отличные от автомодельного законы подачи. В настоящей статье проведено такое рассмотрение в предположении, что распределение вдува определяется суммой степенных функций продольной координаты. Приведены результаты численных расчетов пограничного слоя в потоке азота при вдуве азота и гелия.

1. Уравнения двумерного безградиентного течения в ламинарном пограничном слое для бинарной смеси совершенных нереагирующих газов с учетом диффузионного термоэффекта и термодиффузии в плоскости обобщенных параболических координат х и т) могут быть записаны в следующем виде:

Э. А. Степанов

здесь

/' =

л

е

а —

1е-

2/+1

Ср Р^12

к

х; Ы=

рр.

/.ё?т =

Ре Ре Ср Р £>12

• 5с = _Л_ р/^12

штрих означает дифференцирование по переменной Лиза—Дородницына;

у

____ г1 ре ие

| 2§гУ?еивре(/х «

х и у— координаты, измеряемые вдоль и по нормали к поверхности тела; и и V — компоненты скорости вдоль осей х и у; Т, р, ср, р, X и Оп — соответственно местные значения температуры, плотности, теплоемкости при постоянном давлении, коэффициентов динамической вязкости, теплопроводности и бинарной диффузии; Я — удельная газовая постоянная смеси; М— молекулярный вес; «т — постоянная термодиффузии; / = 0 и 1 соответственно для пластины и конуса; г—расстояние рассматриваемой точки поверхности конуса от оси; индексы „1“, „2“, „е“ относятся соответственно к газу внешнего потока, к вдуваемому газу и внешней границе пограничного слоя.

Граничные условия на стенке (^ = 0) при наличии вдува в общем случае, если не учитывается излучение стенки, можно записать в следующем удобном для дальнейшего рассмотрения виде:

/. = ■

V 21

V

дц

0;

вв (х), либо цт = (х), либо (р®). ср 2 Те (0,

^20

) = 9ъ

(2)

дтЛ

дУК

■'1 ъи

(р^12)л

дел , с,{\—с,) <Э6

■5? + “'----6—ЛГ

Здесь — тепловой поток в стенку; 02О = Т2а/Те — начальная температура вдуваемого газа. Последние два условия (2) есть соответственно уравнение баланса тепла на стенке и условие непроницаемости стенки для газа внешнего потока.

Известно, что, если на стенке постоянной температуры осуществляется вдув по закону (ргО®— л:-0,5, система (1) имеет автомодельное решение. Рассмотрим общий случай степенного закона вдува

(р®)« = Ах", (3)

где А и га — некоторые постоянные (га!> —0,5). Легко показать, что в этом случае в уравнениях системы (1) и в граничных условиях (2) можно перейти от л к новой независимой переменной /т в соответствии со следующими соотношениями:

д , д ...

= (4>

дх Jw df% (Р^)да 0 fw Ре

dy

(5>

Здесь

2n + l

f Ax 2 _ 2ra+ 1

r2(j -f n +1)2 ’ 0 2/ + 1 • W

У"

2/ + 1

Таким образом, можно видеть, что в преобразованные уравнения и граничные условия гаи / входят только через параметр а, определяющий связь между законами вдува в плоском и осесимметричном течениях.

Отметим, что параметр о фигурирует в уравнениях в качестве множителя при правой части [см. (4)] и, следовательно, в случае автомодельного вдува (о —0) правая часть системы (1) обращается в нуль.

Появление параметра о среди определяющих параметров задачи не связано с отсутствием химических реакций или бинарностью системы. Чтобы решение не зависело от га или ], необходимо лишь, чтобы граничные условия на стенке для уравнения энергии или диффузии либо не зависели от местной интенсивности вдува,

либо зависели лишь от комплекса (р^м'

Если вдув выражается в виде суммы степенных функций

т

(р^=ХЛ*Ч (7>

*=1

то соотношения (4) и (5) остаются справедливыми при замене на переменную о, определяемую следующим образом:

fwk ^~к * й=1 J ш

т

Ev-f*-. (8>

Здесь f,„ — У, f„,b, a fwk и параметры ok выражаются соотноше-

А = 1

ниями (6), в которые вместо Лига следует подставлять соответственно Ak и га*.

2. Остановимся кратко на вопросах методики расчетов и на их результатах. Система (1) прй граничных условиях на стенке (2) (для уравнения энергии ставилось условие 6Ш = const) и условиях на внешней границе (при iQ = ^e) /' = 1, 6= 1, zx = 1 решалась на ЭЦВМ численным методом, разработанным И. В. Петуховым [1]. Рассматривалось обтекание пластины и конуса потоком азота при числах Ме = 4 и 7, Те = 288,16°К, ре — 1,225 кг\мг, а также при Ме = 4, Те = 750°К, ре — 0,455 кг/м3. Считалось, что вдув азота и

гелия осуществляется при <з = 0; 1/3 и 1, что соответствует автомодельному вдуву, равномерному вдуву на конусе и равномерному вдуву на пластине. Кроме того, проведены расчеты при

0 = °і ^у1 + , где ^ = 0 и о2 = 1.

] и> 1т

Физические свойства чистых компонентов рассчитывались по степенным зависимостям, а переносные свойства смеси — по формулам Уилки и Масона и Саксены [2]. Постоянная термодиффузии ат принята равной 0,36 [3].

Результаты расчетов представлены в виде зависимостей напряжения трения (фиг. 1) и теплового потока 0 (фиг. 2)

г*

в,в

¥

4*

0 в>! €? V ^ -^и + ци*)

Фиг. 1

V

V

* V V V № -ии *№).

Фиг. 2

(индекс „0“ означает отсутствие вдува) от корреляционной переменной 2 = —/„, (1 + 0,66 о) и в виде зависимости концентрации азота на стенке 21а) от корреляционной переменной \г = —(1 -{- 0,44 а) (фиг. 3). Можно видеть, что при вдуве азота результаты расчета •^Л^о и о, а при вдуве гелия — х^/х^ 0 для заданного значения

температуры стенки и всех значениях о (в расчетах оно заменялось от 0 до 1) практически во всем диапазоне изменения £ ложатся около кривых, соответствующих автомодельному вдуву (при малых £ точность корреляции выше).

09

0.7

05

OJ

OJ

Для теплового потока при вдуве гелия точность корреляции понижена вследствие влияния на тепловой поток диффузионного термоэффекта, который зависит как от местной интенсивности вдува, связанной с а, так и от температурного фактора. В общем случае, когда такой эффект имеет место, повышение точности корреляции может быть достигнуто путем учета зависимости \ от температурного фактора. Отметим также, что при а == 1 результаты расчетов располагаются около верхней пунктирной кривой (см. фиг. 2) что дает основание при ossl по крайней мере при умеренных значениях температурного фактора пренебрегать влиянием последнего на

O'

Таким образом, наличие указанных корреляций в принципе открывает возможность распространить имеющиеся в настоящее время обширные результаты, полученные при автомодельном вдуве, на практически интересные законы вдува (3) и (7) как для пластины, так и для конуса по крайней мере в диапазоне изменения о от 0 до 1.

3. Проведены также расчеты при автомодельном вдуве азота под острым углом к поверхности пластины (при 6№ = const). Вместо обычного условия uw/ue = 0 в этом случае ставилось условие ujue — const. Отметим, что при ujue=\ первое уравнение системы (1) имеет решение /' — и/ие—1, а уравнение энергии, приняв 7V/Pr = const, Le = 1 и пренебрегая термодиффузионными членами, можно записать в следующем виде через отношение полных энтальпий (g = i0 — i0e):

^g"+fg' = 0. (9)

Решение уравнения (9) записывается следующим образом:

g=g.+(i-g,)°1flt?(~:sr)- (Ю)

М? 4, Ге=2Ю,1б‘К

Л

Л* \ч

ч !ч

'Л

Bdfft гелия • *~0\T„=30t'K ° ~ ; 1 = f \Т„~576,Зй( V

\ \

и

Фиг, 3

Здесь S

1 + ФС-sJ

El

N

S

/;

е 2 dt — интеграл вероятности.

Аналогичный вид имеет решение уравнения диффузии.

Результаты численных расчетов при наличии скольжения на стенке приведены на фиг. 4 и 5. Можно видеть, что при отсутствии вдува наличие небольшого скольжения на стенке уже приводит к существенному уменьшению теплового потока (см. фиг. 4), в то время как сначала с ростом иш/ие напряжение трения практически не изменяется (см. фиг. 5). Однако уже при умеренной величине вдува — = 0,3 в области малых скоростей скольжения

иа>1ие < 0,2 наблюдается увеличение напряжения трения с ростом ит1ие. С увеличением интенсивности вдува аналогичную тенденцию начинает обнаруживать и тепловой поток. Тем не менее при малых

интенсивностях вдува уменьшение теплового потока с ростом скольжения на стенке продолжает оставаться существенным. Например, при — /«, = 0,1 величина скольжения ит/ие = 0,2 приводит к уменьшению теплового потока при 7^ = 300° К на 20%.

Отметим, что тепловой поток обнаруживает сильную зависимость от температурного фактора, в то время как аналогичная

зависимость напряжения трения

К— \ м?ч, те=гвв,1б'к

тЧ. к N V . * 0,3 ’^зоо’к *576,3і'к

ч > N. \

і а и,б

'■■*4 к 'І ч\

\ N. ч N Ч‘ N

\ N

ж* ІҐ к''* \ ''1

\ \ N к4!

V \ ч X

0,2 ол \ 8,6

9 \ \

\ .

незначительна.

И

Т^Ж, 16‘Н

" Ч N s • оеуо а мта

Ч > \ ♦ , ♦ V V V 300*к

\ \* NN » Лг V г.- Ь V;

Ч Ч N г„» 571, зг’к

-и ч ч, чч \\ і

2 У N О К

ІҐ

ч

иш/ае

Фиг. 4

Фиг. 5

Чтобы несколько прояснить смысл роста напряжения трения при малых ит1ие, рассмотрим уравнение количества движения при а=0, приняв для простоты УУ=1:

+ ГГ = 0. (11)

Продифференцировав это уравнение и заменив /'" в соответствии с (11), получим:

/1У

/" =

Г-р

Можно видеть, ЧТО увеличение /ш с ростом иш!ие=/ш при наличии вдува связано с уменьшением 1/4 — /11-

литература

1. Петухов И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. В сб. „Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы". М., „Наука", 1964.

2. Дорренс У. X. Гиперзвуковые течения вязкого газа. М., „Мир", 1966.

3. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М., Изд-во иностр. лит., 1960.

Рукопись поступила 291VI 1970 г. Переработанный вариант поступил 2/ІХ 1970 г.