CC BY
36
Том I
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ W70
Л» 2
УДК 532.526: 533.694.71/72
о влиянии ВДУВА И КРИВИЗНЫ СТЕНОК НА ОТРЫВ ПОТОКА
Г. И. Майкапар
На примерах течений Куэтта показано, что при вдуве однородного газа критический градиент давления в случае выпуклых твердых поверхностей больше, а в случае вогнутых — меньше, чем в случае плоской твердой поверхности. Вдув газа с меньшей вязкостью, чем вязкость основного потока, приводит к уменьшению, а вдув газа с большей вязкостью —■ к увеличению критического градиента давления по сравнению с вдувом однородного газа.
Отрыву потока всегда предшествует обращение в нуль какой-либо из составляющих напряжения трения на стенке (обратное не обязательно). В случае автомодельного течения в пограничном слое со вдувом на пластине обращение в нуль напряжения трения при определенной скорости вдува является признаком не отрыва, а перестройки течения, так как причин для появления возвратного течения нет.
Некоторое представление о влиянии различных факторов на возникновение отрыва можно составить на основании исследования течений Куэтта, причем для исключения влияния особенностей этих течений и оправдания распространения результатов на пограничный слой следует сравнивать между собой соответствующие течения Куэтта. С этой целью будем сравнивать между собой величины критических градиентов давления, соответствующих обращению в нуль напряжения трения на стенке. Рассмотрим течение с вдувом через плоскую стенку, все характеристики которого зависят только от координаты у
(расстояния от стенки); величина градиента давления ^ = const.
Уравнения неразрывности и импульсов
имеют общие интегралы
Для упрощения выкладок предположим, что зависимость коэффициента вязкости от у линейная, т. е. р = !11 + (}А2 — >
тогда
щ — ц.1 — дП
.Г4у__»1ц_, е.У-и^\е-<№йу = А? ,
./ Р Р 2 — 1*1 Л ^2 — ^1 — ЦП,
и для скорости и получаем выражение
И = Л111Й^Г—Л2 + — _|Р Г—....^..... — Л .
Я дх \ ц2 — ц.! — ■'у
При граничных условиях и (0) = 0, и(к) = и2 окончательно имеем
дИ цЬ
и Л д/7 2#
и, _?*_ 2ои„ дл: о., — о., — аН
у,£з“Рч------
X
дк дк
мР-з — И-1 — «.Р-а-Щ
Х( 1
цН
-- [А^-Нч
Критический градиент давления равен
— (1 —Ие) — 1
А д/7 [а, ’
Ие
м2 ц дх . / , ч -Не р*. ’ р2
1+Ие ,
^2
Р1 V
Если Л~—1= есуь толщина пограничного слоя, то число
У К2
Рейнольдса вдува Ие связано с числом Рейнольдса внешнего потока Ие2= зависимостью Ие~— Т/Ие,.
1*2 «2 Для определения коэффициента вязкости воспользуемся уравнением диффузии .
йс й I ^ йс
йу 4у с1у
где с — концентрация вдуваемого газа;
О — коэффициент диффузии, первый интеграл которого
Гу
1С 11 - .
Чтобы не усложнять расчеты, будем считать в дальнейшем р и О постоянными. Тогда пр,и условии, что на внешней границе с (А) = 0,' а на стенке справедливо условие непротекания газа основного течения
получаем
единице.
Обозначим вязкость вдуваемого газа через и примем линейную зависимость для вязкости смеси
Если за к принять толщину пограничного слоя, то параметр отрыва по форме совпадает с параметром отрыва пограничного слоя, хотя, конечно, он имеет другую величину ■ вследствие различия профилей скорости. Отношение критических градиентов давления с вдувом и без вдува равно: ~
в случае неоднородных газов
Сравнение проводится при одинаковых скоростях на внешней границе течений. Результаты расчетов представлены на фиг. 1. Вдув однородного газа приводит к уменьшению критического градиента давления, уменьшение вязкости вдуваемого газа — к дальнейшему уменьшению критического градиента давления, а увеличение вязкости вдуваемого газа — к увеличению критического
градиента давления. При больших отношениях — существует
!*1 = Р-0 с (0) + Н-2 [1 —С (0)] = [А0 + (1*2 — Ро) е~*е!5.
При вдуве газа, однородного с газом основного течения,
(1)
критический градиент давления
у. др _ 1
иг<72 дх еКе —Ие—1 ’
без вдува
(2)
дх
*1 др =-2
йе ц, *
в случае однородных
Р 2 (еНе — Ие—1) '
(3)
число Ие, при котором Р достигает максимума.
Влияние кривизны стенок рассмотрим на примерах течений с вдувом однородного газа. Предположим, что характеристики плоского течения зависят только от цилиндрической координаты г,
величина 4г~= const. Тогда уравнение неразрывности
дер
d
dr
(риг) == О
Фиг. 1
имеет интеграл щr = g, и уравнение движения может быть представлено в виде
/i_xV^--A+-£
dr2 у (д. j dr ^ [a Общий интеграл этого уравнения
v = —
г др j! дер ‘
др
Ч---------і ^2
V ''===- С\Т ^ —|-------------------------------------q— ~s j
1 г 2g dtp
для выпуклой цилиндрической стенки при граничных условиях г’(/'1) = °. дает
V
(-2+ — \г Iі —
др
1
- ( —2+— г{г9 *-
2gvt d? г2 - 1
h = г, — г,, г = -
(r22 -l)(r2+V-
- -2 + -Z-
Г \Г.
г г h . А=-г-
г-----
г
; (4)
р-
Величина в этом случае положительна и равна
£ _ Ке Ке = рМ
I1 /г ’ Р ‘
Критический градиент давления
1
др
2+4) г*
2^2 Ъ дер
ГI
2г\ (г2* — 0 — (г2 - 1)
Для вогнутой цилиндрической стенки при = г»(г2) = 0
из общего интеграла получаем
V Г2
-2+-^- —2+“
г * И др___________________________1
г\ , (г\— \){г\+ V- —г + »
(5)
2 + ^Г
г, де?
П
2+1г) -2(^-1)
£
В этом случае величина отрицательна и равна
Х = Ке^-,
Р. Го — 1
ке
ри2/г
г/
г2-1 «*
В случае соответствующих течений без вдува г2(г2—1) А2 др 1
Я (г*-1)
«2 г (3-1) 2|ц>2г, дер (г,—1)
1 д/? __________4ц.р2 г2
г (3-1) “"2
1п г2 — г 1п г
(6)
г, дер г2(2г21пг2-3+1) ’
V
“2 “о
Г 2 — Г2
А2 д/7 г2
г(г| — 1) 2^/2 дер (г,—I)2
1 д/7 4^г>1
-, г2 г1п
г\ —г2
1п Г,
(7)
г2 д? г, г3 (Я1— 1 — 21пТ-2) ‘
Соответствующие отношения критических градиентов давления для течений со вдувом и без него равны
Г
л“2 “
(1+^1 (2^Щ-г!-Я+1)
(8)
* Г. И. М а й к а п а р. О влиянии кривизны и вдува на появление возвратного течения. В сб. «Аэродинамическое нагревание при сверхзвуковых скоростях», Труды ЦАГИ, 1969.
В случае осесимметричного течения с характеристиками, зависящими от цилиндрической координаты г, и постоянным гради-др
ентом из уравнения неразрывности следует, что рur = g и уравнение движения
сі2 -га , I ^ g
гы
сіг2
<іт __ г2 др йг р. дг
имеет общий интеграл
др
ТЮ — О, Г Iх +Оо + -г .
1 2 2 (2ц ~ g) дг
Для выпуклой стенки при граличных. условиях те» (/■,) = О, че> (г2) = чю2 имеем
їм
_а
г* — \
к
др г2 + 1 (г Iі — 1 г2 — 1
т, Ж. 2рп)2и1 дг і» I
Iі — 1 2.--------I \ гу- — 1
' g \ 2 1
г2
1 др
2р — &
2тю2 g дг 2
(іГі
3-і
(10)
а для вогнутой стенки при ти(г2) — 0, т(г1)=т1 . г£- -г» Л д/? 1+т2
/ “2 Гг — г2
2р®, 1 дг
1 др _
г2 (2
И-1).
?2-1
2 gw1 дг 2 >г 1
»- р. —г р. 2 '
Г Iі — 1 ' 2 1
(П)
Соответствующие профили скорости и критические градиенты давления для течений без 'вдува следующие*
■Ш)
ІПГ
Л2 д/7 г2 +1
1 пг2 2(хи;2 дг 2(г2-1) \ 1пг2 г\— 1
1п г
(12)
др_
дг
4|з.тг
Л (3—-1 —21пг2)
* ІЬі<1.
5—Ученые записки № 2
® — 1 _ 1пг № др г2-\- 1 / 1п г г% — 1 \
1пг2 _ 2№ ~дг 2 (г2 — 1) V 1пг2 г! - 1 ) '
др 4(1®»!
дг г\{2г\\п~г2-?1+\)
Отношения критических градиентов давления для осесимметричных течений с вдувом и без него равны
-£■ Г1---(г| — 1 — 21п?2)
-----2^------(14)
— (га — 1) — 2 (га«* — 1)
— (1—|^)(2^1пгя-г|+ 1)
» \ ___________________ (15)
2 \rt-rl 1)
Фиг. 3
На фиг. 2 и 3 представлены части выражений для профилей
скорости в зависимости от безразмерного расстояния от твердой
- г — г \ „
в случае плоской, --------— в случае выпуклой и
стенки
/* /* \ —
—------ в случае вогнутой стенки] для /г=1 и Не = 1. На фиг. 4
гг г\ )
представлено отношение критических градиентов давления для плоских, а на фиг. 5 — для осесимметричных течений. Вдув всегда приводит к снижению критического градиента давления, причем снижение это больше в случае вогнутой стенки. Для того чтобы
>
Л V ч
\ '2
ч ч X о 1
\ ч N
к**)' >4, ч. ^ г
■ —
'3 ~~
Ле
Фиг. 5
выявить влияние кривизны, сравним критические градиенты давления для цилиндрических стенок с градиентом для плоской стенки. Соответствующие формулы имеют вид
1 др
Г) I Г)
(*
Я' =
ЁЕ.
дг
дР
дх
ё )
2 {г\ — г2 2 **•)'—Д1 (та — 1)
(19)
Из результатов расчетов, представленных на фиг. 6, следует, что в случае выпуклой стенки критический градиент больше, чем в случае плоской стенки, а в случае вогнутой стенки — меньше.
Рукопись поступила 22]У 1969 г.
