Об одном численном методе решения задачи в слое смешения потоков вдуваемого и набегающего газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том V

1974

№ 4

УДК 532.526.533

ОБ ОДНОМ ЧИСЛЕННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ В СЛОЕ СМЕШЕНИЯ ПОТОКОВ ВДУВАЕМОГО И НАБЕГАЮЩЕГО ГАЗА

А. П. Комашенко

Метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений пограничного слоя в окрестности критической точки, предложенный в [1], обобщается на случай интегрирования нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, описывающих течение в слое смешения набегающего потока с газом, вдуваемым через поверхность тела. Приводятся результаты расчета характеристик слоя смешения при наличии продольного градиента давления для случая нормального распределенного по поверхности пластинки вдува в сверхзвуковой поток.

Задача о влиянии потока вдуваемого через поверхность тела газа на характеристики набегающего потока изучена достаточно полно. Большинство существующих решений этой задачи выполнено в рамках так называемой „невязкой постановки". В работах [2, 3] даны асимптотические оценки параметров потоков, а также числа Рейнольдса набегающего потока Ие^, при которых течение вдуваемого газа в рамках первого приближения можно считать невязким.

Коулом и Арести [2] была рассмотрена обратная задача для случая сверхзвукового обтекания полубесконечной пластины с распределенным нормальным вдувом вдоль поверхности. Область взаимодействия двух невязких потоков заменялась контактным разрывом.

Автомодельная задача в аналогичной постановке решена в работе [4].

В работе [3] обнаружено, что в общем случае при решении прямой задачи имеет место принципиально новый эффект — распространение возмущений вверх по потоку, что требует учета краевых условий на заднем конце тела. Там же выполнен асимптотический анализ течения вдуваемого газа и корректная постановка задачи во всех областях, включая окрестности передней и задней кромки и слой смешения потоков.

Цель настоящей работы — построение численного метода решения задачи

о течении в слое смешения вдуваемого и прошедшего головную ударную волну газов.

Исходная система уравнений, описывающих течение в вязком слое смешения потоков, приведена в работе [5]. В частности, в области -сильного влияния продольного градиента давления [6| уравнения в переменных Дородницына — Лиза будут иметь вид

IN Le [ Pi ;

+ fg' +

+f*i

2 £ dcie

c,e dk ?ue d£ c,

2 6 ds mi

-a±-2Wzl-r*i),

N(Le - 1)

Le

hi — hi

2 c‘e i=l

= 2 Hf'g--/■{?),

(1)

где

rt о

1 = y=^ j Pdn, г = j Pe ue (ig ds,

■l-5-л,,

J UP

ML=f’

dr\ J ‘ ’

ML_r d£ i’

H,

Si.

cie

N=-W-, (fi~f,g,Zi),

V-e

5, п — естественные координаты, связанные с разделяющей линией тока, Рг, Le — числа Прандтля и Льюиса для смеси, А/, А* — удельная энтальпия г-го компонента и энтальпия образования г-го компонента за счет химических реакций, ие, Не> с1е — масштабные значения скорости полной энтальпии и концентрации г-го компонента на одной из границ слоя смешения.

Выбирая в качестве последних значения ие, Не и с,-е на границе слоя смешения и потока вдуваемого газа, граничные условия (1) можно записать

Т) -» со, f ->

Ue(.s, со) ие (S, — со) >

g

He(s, оо)

■Г) = 0, /= О, 7)

Не (s, — оо) ’ оо, /'->1, 1,

Zi -»

Oie(.S, со)

Cie (S. — °°) ’ Zi-± 1.

(2>

Система уравнений (1) совместно с граничными условиями представляет краевую задачу для уравнений параболического типа, решение которых может быть выполнено последовательным интегрированием в направлении оси 0£.

Разбивая область интегрирования на систему полос шириной 2Д£, значение любой из функций, входящих в (1) и ее производных по переменной £ с точностью до величин порядка о (Д£2), представим через центральные разности:

Ф (•'I. £/) = :

А

Ф/

■ФГ

Ф'; :

Л J фг-ф.

д£

(Ф~/, g, Zi).

(3>

Для решения уравнения пограничного слоя такая аппроксимация производных по £ использовалась, например, в работе [7]. Здесь минусом отмечены значения на исходной характеристике, где решение известно, „крышкой" сверху — значения на средней линии между характеристиками. После нахождения значений функций на средней линии значения на следующей характеристике можно , л _ найти по формуле Ф+ = 2Ф —Ф -|-о(Д£2).

Подставляя (3) в исходную систему уравнений, легко убедиться, что по

ДАЛ

отношению к среднеарифметическим значениям /, g, Zi (1) представляет собой нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Соображения удобства реализации численного решения полученных уравнений на ЭЦВМ подсказывают переход от трехточечной краевой задачи вдоль характеристик £ = const к двухточечной. Это достигается путем введения в области новых функций /, g, Zi, определенных следующим образом:

Ф (£г. tq) = ® (£/. — 1), Ф' (£г, Ч) = ~ Ф' (£/ — *1), (Ф ~ /, g, г{).

(4)

Число уравнений, как и число неизвестных , функций, при этом удвоится. Эту расширенную еистему предстоит интегрировать в направлении координаты -ц с некоторым шагом Дт) С этой целью выполняется линеаризация уравнений значениями исходных функций на предыдущем шаге итерации, а решение находится с использованием итерационного процесса.

Структурно уравнения для функций Ф и Ф идентичны, поэтому в целях экономии места мы приводим здесь систему (1), записанную только для функций /, g, 2[ с учетом всех изложенных ниже преобразований:

* [/*/+ У-<Л/-/")]-

/'

2?

</*/-/ ) =

Ре ґ'Ч

Р '

N

Рг

Я,

4-,

N

Ье — 1

■2-1/ -V

д£ ОГЛУ 8 ) — кі — к] ,

-Г

Си

Не

N1.6 , Рг г1

+ г і

25

fkj + д| (/*/ — / )

<=1

2 6 (ісір 2 Е

с/е + Д? ~ гі >

Р“«

& Сі,

(5)

Индексы к, у обозначают номер шага и итерации соответственно. Номер 5-характеристики, вдоль которой справедлива система (5), опущен.

Граничные условия для полной системы уравнений (5)

1 - Че> /':

т) = 0, / = / = 0, g = g, гі = гі, и„

ие

//л С/л О- 1-^

* = ?Г* =

(6)

На основе квазилинеаризации и последующих итераций В. Я. Нейландом в работе [;] был предложен метод сведения двухточечной краевой задачи к задаче с начальными условиями. Простота уравнений при 5 = 0 позволила автору [1] свести решение задачи о вдуве излучающего газа в окрестности критической точки затупленного тела к последовательному выполнению квадратур. Идея этого метода, как оказалось, вполне применима и к интегрированию более общих уравнений слоя смешения потоков вдуваемого и набегающего газов, предварительно преобразованных к виду (5).

Итак, рассмотрим систему уравнений, в точности совпадающую по виду с системой (5), но записанную для функций <р, q, г-„ <р, q, г;, для которых поставлены некоторые начальные условия:

9(0)=?(0)=0, ?'(0) = _¥'(0) = С1, І’ (0) = (0) = С2,

я (0) = д (0) = с„ я’ (0) = (0) = с* г(0) =7, (0) = с„ г\ (0) = -7: (0) =Св.

(7)

Зададим связь между решением поставленной задачи Коши и искомым решением краевой задачи /, g, г,-, /, g, г,-, в виде

/ = 4р + Ст|, Г = А<г’ + С, Ї" = М", ? =Ач-Сц, Т = М’ - С, 7" = Ач",

g = Вгі+я + И, £ = Вг\ + д', ё = Вгі -|- ? + £>, ? = Вг\ + я’, гг = Ягг + 1, г^=£гг',

2і = Егі+ Ь, г- = £7,' .

Постоянные коэффициенты А, В, С, D, Е, L находим, удовлетворяя гранич* ным условиям (6):

— \ і) —[?Ы —ГЫ1

и» - \нЙ

А =- .

<р' Ы — 9 (rk)

с = і + л? ы,

Сі,

eJ'■

1

г/ Ы

3 = £> =

I =

Г/ (%) — П (■'le)

-ВпЫ- ?Ы.

С }р —*■

Гі (У}е) — — Г і (ї]е)

__________^_ІЄ________

г і Ы - ~г Ы ‘

(9}

Непосредственное численное интегрирование задачи Коши, выполняемое, например, методом Рунге — Кутта вдоль характеристик Е = const, требует запоминания N значений функций на левой границе полосы в пе узлах.

Численное решение уравнений, описывающих течение в слое смешения потоков вдуваемого и набегающего газа, было выполнено на ЭЦВМ М-220 для случая сверхзвукового обтекания полубесконечной пластинки под нулевым углом атаки, через поверхность которой осуществляется сильный вдув газа по нормали к пластине. Закон распределения скорости вдува вдоль поверхности тела выбирался степенной

Vw (х) = и mbw (х -f d)

т—1

что обеспечивает сшивание решения вблизи носка с автомодельным решением вдали от него. Здесь 6™, и т—константа и показатель степени, определяющие

т—1

a d — ско-

скорость вдува в области автомодельного решения: г/щ)~61е)/ил: рость вдува в носке при х = 0. Подробно невязкая постановка задачи о сильном и умеренном вдуве через пластинку обсуждалась в работах [3, 4, 6]. Для простоты рассматривался случай вдува воздуха в воздух, т. е. смесь однокомпонентная с отсутствующими химическими реакциями. Числа Рг и Ье принимались равными единице.

Выбор постоянного шага по £, обеспечивающего хорошую конечноразностную аппроксимацию частных производных по продольной координате, требует знания функций ие, ре, ре, С/г в равноотстоящих точках. Ранее нами было получено распределение этих параметров вдоль разделяющей линии тока как функции от х, отсчитываемого вдоль тела. Удобно поэтому в системе (10) перейти от переменных (£, т]) к (х, V)) по формулам:

1

Pet*eUetga дх

Y1 = Y).

Здесь а — местный угол наклона разделяющей линии тока. Значение шага по -г) и х выбиралось 0,1 и 0,02 соответственно.

На фиг. 1 приводятся результаты расчета характеристик слоя смешения потоков в области сильного влияния продольного градиента давления. Значение

‘ основных параметров задачи — числа М потоков набегающего и вдуваемого газа, температуры подводимого газа, зависящей в общем случае от х, константы и т выбирались равными соответственно: М^=10, Мш(0) = 0,5, Тт = \,

1 ~ т = ~2~. Наклон профиля /' отрицателен или положителен при ие<^ие,

гге<^ие, а смена знака /" зависит во многом от степени затупления эффективного жидкого тела. При выбранном положение точки х* перемены знака

наклона профиля /' меняется в сторону увеличения с ростом Мш (0), т.

Профили полной энтальпии, отнесенной к квадрату скорости набегающего потока, изображены на фиг. 2. Значение х — £ = 0. С увеличением £ энтальпия поперек слоя меняется незначительно.

На фиг. 3 представлены профили скорости для случая гиперзвукового набегающего потока с числом Маха, равным десяти, а также для случая сильно охлажденного газа: 7’ш = 0,1. Уже при довольно умеренных значениях х профиль скорости по своей форме приближается к обычному виду, который он имеет в слоях смешения движущегося и покоящегося газа с малым продольным градиентом давления. Это во многом объясняется лучшей точностью формулы Ньютона, задающей распределение давления по поверхности слоя смешения для больших Ми, нежели для умеренных. Полезно поэтому на удалении от критической точки использовать формулу касательных клиньев для расчета давления на разделяющей линии тока.

Сходимость метода последовательных приближений, используемого на каждом шаге, довольно хорошая. Обычно достаточно выполнения двухтрех итераций. При необходимости она может быть улучшена введением коэффициента демпфирования, предложенного также в [1]. Приближение на (&+])-м шаге вычисляется по формуле

Ук+1 = Ук +0 —<*) ЬУк, где а-величина выбирается в пределах от 0 до 1. Начальные условия Сг — Се на каждом шаге по £ могут меняться. Более того, это необходимо для достижения сходимости в решении задачи по ц. В качестве С/ (/=1,2,..., 6) целесообразно на наш взгляд выбирать значения соответствующих, полученных на предыдущем шаге по £ решений краевой задачи. Правильно ли выбраны константы С/, а также правильность всего метода в целом можно проверить повторным интегрированием системы уравнений, описывающих краевую задачу при начальных условиях, полученных из решений предлагаемым методом в точке £ = £;, т| = 0, т. е. необходимо решить задачу Коши при начальных условиях, полученных из решения краевой задачи.

не "с Г*г

1. 0,5 Ю 0027 0,5 1

2. 0,5 1/10 0,03 0,7

3. 0,5 уТП 0,3 . 0,7 /

4-. 0,9 V? 0,37 0,9 0,5

5 0,5 у! 0,9 V г

Фиг. 2

К сожалению, мы не располагаем для выполнения сравнения данными других авторов по расчету течения в слое смешения при наличии продольного градиента давления. Это частично затрудняет и выполнение сравнения предлагаемого здесь метода с известными ранее методами численного интегрирования систем уравнений параболического типа. Отметим, однако, что данный метод при сравнительной простоте его логического построения и реализации на ЭЦВМ обладает достаточно высокой точностью — (ДЕ)2 по £ и (Дт])2 по ■»), а по сравнению с методом прямой и обратной прогонки, используемым в [7], требует запоминания значительно меньшей информации в рамках одной полосы по т).

Автору представляется особенно приятным выразить глубокую благодарность В. Я. Нейланду за внимание к работе и полезные замечания, высказанные в процессе ее обсуждения.

' ЛИТЕРАТУРА

1. Нейланд В. Я. Решение уравнений ламинарного пограничного слоя в окрестности критической точки при вдувании излучающего газа. Инженерный журнал, т. I, вып. 2, 1961.

2. Cole J. D. and А г о е s ty J. The blowhard problem inviscid flows with surface injection, intern. J. Heat Mass Transfer, vol. 11, 1968.

3. H e й л а н д В. Я., Матвеева H. С. Сильный вдув на теле конечной длины в сверхзвуковом потоке. .Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 5, 1970.

4. Антонов А. М., Комашенко А. П. Некоторые автомодельные решения задачи о сильном вдуве через пластинку в сверхзвуковом потоке. Прикладная механика, т. V, вып. 10, 1969.

5. Комашенко А. П. Про характер в’зкого обикания пе-редньб! критично! точки при наявност1 сильного вдуву газу через ловерхню тонкого загостреного т!ла, ДАН УРСР, 1973, № 3.

6. Комашенко А. П. Розрахунок обпкания т1л при наивноси сильного вдуву, ДАН УРСР, 1970, № 6.

7. П е т у х о в И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. Сб. „Численные методы решения дифференциальных уравнений и квадратурные формулы", М., .Наука*, 1964.

Рукопись поступила lOjVI 1973 г.