CC BY
29
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м VII 197 6
№ I
УДК 532.526:533.694.71/72
ПРИБЛИЖЕННЫЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ ХАРАКТЕРИСТИК ДВУМЕРНОГО ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПРИ НАЛИЧИИ МАССООБМЕНА НА ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА
Э. А. Степанов
Предложен приближенный метод использования решений уравнений двумерного ламинарного пограничного слоя, полученных при одних законах распределения массообмена по поверхности тела, для определения характеристик слоя при других законах массообмена.
В настоящей статье рассматриваются двумерные течения в ламинарном пограничном слое при различных законах распределения массообмена вдоль поверхности тела. Если учесть, что практически интересными могут оказаться самые разнообразные распределения массообмена и в каждом конкретном случае необходимо численное интегрирование уравнений пограничного слоя, то становится очевидным, что систематическое теоретическое исследование таких течений в точной постановке связано с весьма трудоемкими расчетами. Однако для большинства инженерных целей достаточно ограничиться получением приближенных результатов. Это дает возможность упростить задачу.
Один из возможных путей упрощения связан с методом локальной автомодельности, который в рассматриваемом двумерном случае приводит задачу к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. В основе метода лежит предположение о том, что в преобразованных уравнениях пограничного слоя производными по продольной координате в нулевом приближении можно пренебречь. При этом решения упрощенных уравнений зависят лишь от местных значений их коэффициентов, а также местных граничных условий. Поскольку, однако, пограничный слой медленно приспосабливается к изменению местных условий [1], то применение метода локальной автомодельности требует определенной осторожности. В то же время попытки учета предыстории течения в последующих приближениях метода связаны со значительным возрастанием объема вычислений.
В настоящей статье предлагается подход, который при систематическом исследовании задач рассматриваемого типа позволяет ограничиться лишь определенным набором точных решений полных уравнений пограничного слоя, соответствующих, например, какому-либо двухпараметрическому закону распределения массообмена. Тогда на основе этих решений характеристики пограничного слоя при иных законах массообмена мог^т быть определены приближенно. В частности, для этой цели могут быть построены корреляционные зависимости, учитывающие влияние параметров, характеризующих массообмен, на упомянутые характеристики.
7—Ученые записки ЦАГИ № 1
97
Ограничившись рассмотрением течений бинарной смеси совершенных нереагирующих газов, пренебрегая термодиффузией и диффузионным термоэффектом, систему уравнений двумерного ламинарного пограничного слоя запишем в следующем виде:
(АГ/Т+//М-(/® + 2*^)/«' + р1(-^--/'>) =&(/' ) ; (1а)
+ Л£./0' + Л£.(/„ + 2*#я)в'-( р2# + 6 + ь^/"2 +
+ __CÆ-JL c'0' = 2s-^(/'~-0' -L) ; (16)
cpe Sc cpe \ ds ds,
N '
Sc °‘
__ Pe ue ri> Г p j...
>PRT, ca + c^ 1,
P'-r-*-, *« I ..
(lr)
здесь
2s due 2 sue due Q 25 dTe -2 .
Pl = «7 ds ’ ?2 = Cpe ds j P3 = т 1 e ds ’ •h = Te Cpe \£)
e=-I M. -r- a N = PU ( pr _H-Cp Sc = _ t* . (3)
Тв dri PeV-e ~T’ PD«|3 ’
S=J 0 * rV W Pe ue H-e dx> (4a)
X
'i (pü)«i dx
i
----=---- (46)
/2s
Штрих означает дифференцирование по преобразованной поперечной координате т); лг и ^ — соответственно продольная и поперечная физические координаты; Т — температура; р— плотность; и и у-г продольный и поперечный компоненты скорости; с*—концентрация ¿-го компонента; fi, I, Da^ — коэффициенты динамической вязкости, теплопроводности и бинарной диффузии;
ср — теплоемкость при постоянном давлении p; R — удельная газовая постоян-
ная; rw — расстояние от поверхности тела до оси тела вращения; у = О или j — = 1 — соответственно в плоском или осесимметричном- течениях. Индексы аир относятся соответственно к компонентам а.и р в пограничном слое.
Внешние граничные условия (при т) = %) запишем следующим образом:
/'W = 9W = t,('le)=l- (5)
При отсосе са~ 1. Тогда граничные условия на стенке (-г) = 0) при наличии массообмена могут быть записаны в следующем виде:
/ (0) =0, /' (0) = 0, (6)
в(О) = 0в(*), (7а)
“Sc Са® + (fw + 25 “^Г^ С«о» =' (7б)
Заметим, что при записи условия (76), требующего обращения на стенке
в нуль потока внешнего компонента, использовано равенство
~(pv)wF (») = /• + 2s (8)
где
^) = /2i(-^-)_1 ti.
Равенство (8) может быть получено путем дифференцирования по s выражения (46) для функции тока на стенке fw.
Как уже отмечено выше, будем полагать, что рассматриваются только такие задачи, которые отличаются лишь законом распределения массообмена
по поверхности тела = ти/(«) (г = 1, 2.я). Предварительно заметим,
что, если в соответствии с методом локальной автомодельности в уравнениях (1а) — (1в) отбросить правые части, содержащие производные по то решения рассматриваемых упрощенных задач в точке 5 = «* будут одинаковы, если распределения массообмена удовлетворяют условиям
щ (**) = щ (я*) = ... ^тп (в*). (9)
При тех же условиях при 5 = в* точные (неавтомодельные) решения уравнений пограничного слоя будут различаться. Это различие связано с отличием функций пц (в) при 5<Я*. .
Естественно предположить, что при определенных ограничениях на эти функции (т. е. на предысторию течения) различие точных решений в точке будет несущественным с практической точки зрения. Таким дополнительным [по сравнению с условием (9)] ограничением может быть условие
/ю 1 (в*) = /ю 2 (5*) — • • ■ = /ю Я (Я*)- ( Ю)
Это условие, как следует из выражения (46), означает, что суммарная величина потока массы через поверхность тела на участке 0 я (лг> <;(х*) во всех случаях одна и та же.
Заметим также, что, согласно выражению (8), одновременное выполнение условий (9) и (10) приводит также к удовлетворению условий
dfw 1 _ dfw 2 dfia)n
ds s=s* ds s= s* ds s = s*
Таким образом, высказанное выше предположение означает, что локальные характеристики пограничного слоя в рассматриваемой задаче главным образом определяются значениями продольной координаты s и местными значениями
двух из трех величин m,fw и , которые в дальнейшем будут называться
ds
параметрами массообмена. Отсюда следует, что результаты расчетов, полученные при одних законах массообмена, могут быть использованы для приближенного определения локальных характеристик пограничного слоя при иных законах массообмена. Очевидно, что в общем случае применение предлагаемого приближенного метода требует проведения систематических расчетов с целью получения точных решений уравнений пограничного слоя для каждого конкретного тела таким образом, чтобы каждому значению s — s* (k — 0, 1, 2, ..., I) соответствовал спектр значений двух параметров массообмена (например, т и fw) в интересующем диапазоне. При проведении таких расчетов можно ограничиться какими-либо двухпараметрическими законами, например, степенным
/* («) = **•/* (12)
с параметрами а и о.
Заметим, что при использовании распределения массообмена, согласно (12), соотношение (8) принимает вид
— (pv)w F (s) = fw (I + а). (13)
При этом, если коэффициенты уравнений пограничного слоя не зависят от s, то решение уравнений пограничного слоя при = const будут зависеть лишь от fw и а (это легко показать путем преобразования уравнений пограничного слоя к новой продольной переменной fw).
Для иллюстрации на фиг. 1 и 2 приведены результаты' соответствующих
расчетов по предлагаемому методу для случая поперечного обтекания круго-
вого цилиндра потоком совершенного газа при числе М набегающего потока, равном 5, температуре 7'00 = 288К, температуре поверхности Tw = 300 К и распределении расхода вдуваемого однородного газа fw = — 0,3 — 4 s2. Значения т и fw, соответствующие этому распределению вдува в точках xk = х^г (г—радиус цилиндра), равных 0; 0,5; 1,0 и 1,5, определили значения параметров а* и степенных функций fWh(s). Точные решения уравнений пограничного слоя при степенных законах распределения fw, а также локалыюавтомодельные решения получены с помощью численного метода М. В. Петухова [2]. Распределение параметров внешнего невязкого потока по цилиндру взято в соответствии с расчетами работы [3] (совершенный газ, х = cplcv = 1,4). Зависимости физических свойств газа от температуры в пограничном слое рассчитывились с помощью
-----------точный расчет, — 0,3—4л3
---------- метод локальной автомодельности
О—расчет по предлагаемой методике
С ПОМОЩЬЮ фунКДИИ — Д5*/2
ж | 0 0,5 | 1,0 | 1,5
5 | 0 | 0,0594 | 0,1729 | 0,2478
Фиг. 1
Фиг. 2
степенных формул, справедливых для азота и с показателями степени, зависящими от температуры.
Результаты приближенных расчетов по предлагаемому методу для величин в'(О-) и /"(0) (фиг. 1), а также для безразмерной функции толщины вытеснения
Ь*1у*, где у* = /=■ (я), 5*= Гп — ¿У (Фиг- 2) незначительно отличаются
о V е е /
от результатов точных численных расчетов (сплошная линия). В то же время соответствующие результаты, полученные ^утем численных расчетов по методу локальной автомодельности (пунктирная линия), по мере удаления от критической точки ~х — 0 все более и более отличаются от точных результатов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Смит, Клаттер. Решение уравнений несжимаемого ламинарного пограничного слоя. Ракетная техника и космонавтика, № 9, 1963.
2. Петухов И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. В сб. .Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы“. М., „Наука“, 1964.
3. Благосклонов В. Н., Минайлос А. Н. Обтекание кругового цилиндра сверхзвуковым потоком совершенного газа. „Ученые записки ЦАГИ‘, т. 111, № 2, 1972.
Рукопись поступила 16/У 1974
