CC BY
47
__________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXXII 2 001
№3—4
УДК 532.526.2.011.7
ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ЛИНИЯХ РАСТЕКАНИЯ И СТЕКАНИЯ КОНИЧЕСКИХ ТЕЛ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЧИСЛАХ ПРАНДТЛЯ
В. А. Башкин, Е. А. Диканский
Исследовано влияние числа Прандтля на решение уравнений ламинарного пограничного слоя на линиях растекания и стекания конических тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком совершенного газа. Показано, что по мере уменьшения числа Рг происходят не только количественные, но и качественные изменения в поведении характеристик пограничного слоя в зависимости от параметра Р, характеризующего интенсивность поперечного течения, по сравнению со случаем Рг = 1.
При обтекании заостренных и затупленных тел потоком несжимаемой или сжимаемой жидкости на их поверхности формируются особые точки и линии, в которых газодинамические переменные имеют локальный экстремум. В рамках теории пограничного слоя расчет уравнений Прандтля в окрестности этих точек и линий сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений (автомодельная задача) и представляет собой самостоятельную задачу, не связанную с конкретной конфигурацией тела. Ее решение зависит от ряда определяющих параметров, которые позволяют это локальное решение связать с глобальным решением конкретной задачи внешней или внутренней аэродинамики. Поскольку в окрестности особых линий и точек газодинамические переменные и характеристики пограничного слоя достигают экстремальных значений, то изучению этих автомодельных задач уделялось и уделяется достаточно много внимания.
При обтекании острых конических тел сверхзвуковым потоком невязкого газа при наличии присоединенной при вершине ударной волны поле возмущенного течения является коническим — вырожденное пространственное течение. В этом случае расчет пространственного ламинарного пограничного слоя при определенных условиях сводится к двумерной задаче, а на особых линиях — линиях растекания и стекания — система уравнений
Прандтля вырождается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которую можно исследовать как самостоятельную задачу.
Поскольку на линиях растекания и стекания местные тепловые потоки достигают экстремальных значений, то поведение пограничного слоя на этих линиях при разных предположениях относительно теплофизических свойств среды интенсивно исследовалось в ряде работ (см., например, [1]—[8]). На линиях растекания уравнения пограничного слоя в целом проинтегрированы в широком диапазоне изменения определяющих параметров и установлено их влияние на искомое решение. На линиях стекания расчетные данные имеются для сравнительно небольшого набора определяющих параметров, что не позволяет в полной мере судить об особенностях поведения решения на этих линиях.
В большинстве случаев воздух рассматривается как совершенный газ, который подчиняется уравнению состояния Клапейрона, имеет постоянные удельные теплоемкости, постоянное число Прандтля (Рг = 1-Ю,7) и динамический коэффициент вязкости, зависящий только от температуры. Для упрощения задачи часто предполагается, что произведение плотности на динамический коэффициент вязкости постоянно поперек пограничного слоя (метод определяющей температуры). Впервые этот подход при расчете ламинарного пограничного при нулевом градиенте давления был использован в [9]; в последующие годы были предложены различные формулы для расчета определяющей температуры (энтальпии), по которой вычисляется значение постоянной Чепмена — Рубезина. Подробно этот вопрос был рассмотрен в [10].
В [10] эта методика была распространена на случай течения равновесного воздуха в пограничном слое на плоской пластине. При указанных предположениях система уравнений расщепляется и сводится к последовательному решению нелинейного уравнения Блазиуса и линейного уравнения энергии при различных числах Праднтля; расчеты последнего были проведены при числах Прандтля Рг=1-т-0,1. Таким образом, на основе решения упрощенных уравнений Прандтля при различных значениях числа Прандтля можно сравнительно быстро оценить влияние эффектов реального равновесного газа на сопротивление трения и теплопередачу при нулевом градиенте давления (см., например, [11]).
В случае вырожденного пространственного течения на линиях растекания и стекания метод определяющей температуры упрощает задачу, но система уравнений Прандтля не расщепляется и должна решаться совместно. Результаты параметрических расчетов составляют базу, которая не только дает представление о закономерностях развития ламинарного пограничного слоя на этих линиях, но и позволяет оценить эффекты реальных свойств газовых смесей произвольного состава.
В настоящей статье исследовано влияние числа Прандтля на решение уравнений пограничного слоя на линиях растекания и стекания; показано, что по мере уменьшения числа Рг происходят не только количественные, но и качественные изменения по сравнению со случаем Рг = 1.
1. Система уравнений, описывающая течение совершенного газа в ламинарном пограничном слое на линиях растекания и стекания конических тел в сверхзвуковом потоке, была впервые исследована Муром [1]. В обобщенных переменных подобия в предположении, что произведение плотности р = pip,- на динамическую вязкость ц=(Д||1с постоянно поперек пограничного слоя (pi|i| = А, = const, где Я. — постоянная Чепмена — Рубезина [9]), она имеет вид:
и, V— компоненты вектора скорости в радиальном и окружном направлении, г — радиальная координата, отсчитываемая от острой вершины тела, Н— энтальпия торможения, С, -— координата, ортогональная обтекаемой поверхности, М — число Маха, у — показатель адиабаты, ц/(0) — функция, значение которой зависит от геометрии тела, индекс «е•» обозначает параметры потока на внешней границе пограничного слоя.
Поскольку независимая переменная г) изменяется на полубесконечном интервале, то для корректного учета внешних граничных условий была использована асимптотика решения при г|—> оо [6], [8]. В результате анализа установлено, что на линиях растекания возмущения искомых функций могут затухать только по экспоненциальному закону, а на линиях стекания — как по экспоненциальному, так и алгебраическому закону. На основе асимптотических разложений были установлены соотношения, которые связывают между собой искомые функции на достаточно больших расстояниях от поверхности и которые использовались в качестве внешних граничных условий при численном анализе систем уравнений (1.1).
Х1/"Ч(Ч/+! рф)ф' _ 1 рф'2 -1у'ф’+1±±1 = о,
3 3 3 3 р,
G” + Pr(4/+|pO)Gff = 2(1 -Рг)а|2('ГЧ'7 .
(1.1)
Ее решение должно удовлетворять граничным условиям
Т(0)=Т'(0)=Ф(0)=Ф'(0)=С(0)=0, G'(0) = Hwо , Г(оо) = Ф'(«>) = G'(oo) = 1.
(1.2)
Здесь введены обозначения:
и] (Y-l)Mg2
2 Нх 2[1 + 0,5(у-1)М^]5
Система уравнений (1.1) в общем случае решается совместно, а получаемое решение зависит от определяющих параметров задачи. Однако для частных значений параметра р возможно ее расщепление:
а) Р = 0 — для регулярного решения первое уравнение импульсов переходит в уравнение Блазиуса и решается независимо от остальных уравнений; для сингулярного решения система уравнений решается совместно;
б) р = - 1 — в этом случае во втором уравнении импульсов правая
часть обращается в нуль. Вследствие этого система уравнений (1.1) расщепляется, и уравнения импульсов решаются независимо от уравнения энергии. При этом решение уравнений импульсов не зависит от определяющих параметров задачи и является двухзначным: первое Ф(г|) =Т(т}) выражается через решение Блазиуса; второе Ф(г)) ^(г|) находится численным путем. ,
По результатам интегрирования системы уравнений (1.1) устанавливаются эволюция профилей компонентов вектора скорости и профиля энтальпии торможения и поведение составляющих местного коэффициента сопротивления трения, пропорциональных значениям 'Р'ХО), Ф"(0), и местного коэффициента теплопередачи, пропорционального С'(0), в зависимости от определяющих параметров задачи.
Рассматриваемая задача является многопараметрической: при сделанных предположениях ее решение зависит от параметра автомодельности р, параметра ап , характеризующего число Маха на внешней границе пограничного слоя, энтальпийного (температурного) фактора НкК = (Нк1)
и Нм — энтальпия поверхности и энтальпия восстановления соответственно) и числа Прандтля Рг. В настоящей статье расчеты проведены для теплоизолированной (С7"(0) = 0, т. е. = 1) и сильно охлажденной
(С'(0) = 0, т. е. = 0) поверхностей в следующем диапазоне определяющих параметров: - 1,5 < р < 1; 0 < ап ^ 0,95; 0,1 < Рг < 1.
2. Система уравнений (1.1) с граничными условиями (1.2) в зависимости от определяющих параметров задачи может иметь как единственное, так и неединственное решение. Вследствие этого для ее численного анализа в различных областях изменения определяющих параметров приходится применять разные подходы.
Численное интегрирование краевой задачи (1.1)—(1.2) в случае линии растекания проводилось методом квазилинеаризации [12]. На каждой итерации решение систем квазилинейных уравнений для заданных граничных условий и заданных значений определяющих параметров находилось методом решения двух задач Коши с использованием схемы Рунге — Кутта четвертого порядка точности [13].
В стандартном подходе система уравнений (1.1) решается итерационным методом для заданных значений определяющих параметров задачи р, Я|2 , Рг, путем нахождения таких значений величин ¥"(0), Ф”(0),
<7'(0), при которых удовлетворяются внешние граничные условия.
Однако в некоторых случаях полезно, а иногда и необходимо изменить в соответствии с идеей квазилинеаризации стандартный подход к реше-
нию задачи. Видоизменение заключается в том, что один или несколько определяющих параметров считаются неизвестными; при этом такое же число значений вторых производных на стенке считаются известными, то есть заданными априори. При этом также видоизменяется квазилинейная форма системы уравнений (1.1). Например, задаются значения величин ап, Рг, Нт1 и Т"(0) , а итерационным методом устанавливаются значения (3, Ф"(0), С"(0).
Обычный метод квазилинеаризации позволяет получить непрерывную часть нулевой ветви как для области растекания (Р > 0), так и для области стекания (Р < 0). Попытка применить такой метод для первой ветви в области стекания приводит к положительным результатам только для некоторых наборов определяющих параметров. Поэтому для поиска решений этой и других ветвей применялся специальный метод квазилинеаризации, который разбивался на два этапа.
Первый этап ставит целью нахождение одного решения рассматриваемой ветви. Для этого интервал изменения Р (-1,5, 0) разбивается на несколько отрезков, и на каждом из отрезков [РмД] осуществляется поиск решения для выбранного значения ¥"(0). В качестве начального приближения используется Р(0) = — . Если после проведения одной итера-
ции и последующего решения системы квазилинейных уравнений найденная величина р(*+|> (верхний индекс означает номер итерации) лежит вне пределов рассматриваемого отрезка, то Р(А+|> приравнивается ближайшей
из величин р,- или р,-.|.
На втором этапе, начиная с найденного решения, последовательно осуществляется поиск других решений этой ветви методом параметрического дифференцирования [14], [15], который успешно применялся в [5]. Согласно этому подходу, наряду с системой уравнений (1.1) рассматривается дополнительная система уравнений, которая получается путем дифференцирования по параметру р системы уравнений (1.1) и граничных условий (1.2) и определяет поведение дополнительных искомых функций:
ат , еФ _д0
ер ер’ 81 ер'
Таким образом, решение задачи известно для значения параметра Р, и нужно найти его для Р„ = р + др„ = р + й„. Для получения решения на малом шаге к„ использовалась неявная схема Адамса второго порядка:
/в+|=/л+“^+1Ф«+^+|)' (2-2)
где/„ — значение функции на и-м шаге, Вп = д/„ /8р = £>(Р„,/(р„)) — значение ее производной по параметру р. Это уравнение решается методом последовательных приближений:
(2.3)
Профили функций Ч*, Ф, С и их производные, известные для предыдущего значения Р, используются в качестве первого приближения для нахождения \|/|, фь §1 при текущем значении р. Полученные из уравнения (2.3) значения Ф, С вновь используются для решения дополнительной системы уравнений.
Во избежание накапливания ошибок и для коррекции функций Ф, С и их производных, получаемых методом параметрического дифференцирования, через определенное число шагов по Р решается система уравнений (1.1). Согласно численным экспериментам, число таких шагов по Р должно выбираться в пределах N^=2— 4 . Кроме того, для данной задачи из-за сложной структуры ветвей решения целесообразно изменять шаг интегрирования Л„, контролируя величину погрешности метода на шаге.
В [5] для некоторых частных случаев приведены численные значения вторых производных на поверхности тела. Сопоставление настоящих результатов расчетов с данными [5] проведено в таблице (различие в расчетных данных наблюдается в пятой-шестой значащей цифре) и указывает на достоверность расчетного материала.
13 Функция Работа [5] Настоящая работа
0 ЧГ(0) 0,46958 0,469573
0 '¥" (0) 0,03352 0,033521
0 РФ" (0) -0,13965 -0,139640
-1 XJ/"(0) 0,27112 0,271116
3. Анализ результатов расчетов начнем с частного случая, соответствующего числу Прандтля Pr = 1; во многих работах этот случай является основным, и именно отталкиваясь от него, можно проследить влияние числа Прандтля на эволюцию решения рассматриваемой задачи. При числе Pr = 1 решением уравнения энергии, как и на плоской пластине [14], является интеграл Крокко
ад = Длл + (1-Длтл).'
Поэтому численному анализу подвергаются только уравнения импульсов с целью определения функций 'F(ri) и Ф(г|), благодаря чему значительно сокращается объем вычислений по сравнению со случаем Pr Ф 1.
Общее представление о поле решений дают зависимости величин ¥"(0) и Ф"(0) от параметра автомодельности р при al2 = const. В качестве примера на рис. 1 показаны поля решений для теплоизолированной поверхности при параметре ап = 0,25. Можно видеть, что имеется несколько ветвей решений, которые на рис. 1 обозначены условно цифрами.
Множественность ветвей решений при отрицательных значениях параметра автомодельности Р является, по-видимому, общим свойством
Рис. 1. Поле решений для теплоизолированной поверхности (С"(0) = 0) при числе Прандтля Рг=1 и параметре ■ ■ й\2 — 0,25
уравнений Прандтля, хотя при переходе от одного класса течений к другому наблюдаются определенные различия в поведении решений. Это свойство впервые было установлено для уравнения Фолкнера — Скан (плоская задача, несжимаемая жидкость) в [17] и несколько позднее — для уравнений Прандтля на критической линии скользящего цилиндра (вырожденная пространственная задача, сжимаемая жидкость) в [12]; в обоих случаях задача при р > 0+ имеет единственное решение, а при р < (Г — неединственное. При этом на дополнительных ветвях решений (первая, вторая и др.) наблюдается течение со сложным немонотонным профилем скорости, и вследствие этого, как показал анализ устойчивости дополнительных решений уравнений Фолкнера — Скан [18], они являются в большинстве случаев пространственно неустойчивыми и, следовательно, нереализуемы в прикладных задачах. Поэтому изучение этих решений представляет преимущественно математический интерес.
Для исследуемого класса автомодельных решений уравнений пространственного Пограничного слоя отличие от указанных выше двух классов прежде всего состоит в том, что при отрицательных значениях параметра автомодельности р решение задачи существует в ограниченном интервале: р > - 3/2. При меньших значениях параметра Р, как это было установлено Муром [1], возмущения при г) -> оо не затухают.
Следующее отличие касается поведения нулевой ветви решений в окрестности Р = 0. Анализ системы уравнений (1.1) в окрестности р = 0 показал [2], что нулевая ветвь решений имеет две части: непрерывную (регулярную) и разрывную (сингулярную). На непрерывной части разложения искомых функций по параметру р имеют регулярный характер и осуществляется плавный переход через р = 0 при движении от отрицательных к положительным значениям р. Для разрывной части они имеют сингулярный характер поведения по Р — разрыв решения при Р = 0. Обе эти части смыкаются друг с другом при Р = р», значение которого существенно зависит от определяющих параметров задачи.
Профили скорости, соответствующие непрерывной и разрывной частям нулевой ветви, существенно отличаются как по размерам области возмущенного течения, так и по форме профилей (см., например, [5]). Отметим, что на разрывной части в области положительных значений параметра Р профиль продольного компонента скорости аналогичен профилю скорости в слое смешения, а у профиля поперечного компонента скорости вблизи обтекаемой поверхности наблюдается область возвратного течения в поперечном направлении, т. е. направление движения газа в пристеночных слоях не совпадает с направлением течения газа на внешней границе пограничного слоя. Поскольку в рамках теории.пограничного слоя давление постоянно поперек области вязкого течения, а во внешнем потоке имеется отрицательный градиент давления, то, следовательно, нет сил, которые могли бы вызвать возвратное течение в пограничном слое. На основе такого физического соображения в [2] сделан вывод, что разрывная ветвь решения должна быть исключена из рассмотрения при р > 0+. В этом случае на линии растекания решение задачи является единственным. Вместе с тем в [5] отмечается, что рещение разрывной ветви при Р > 0+ не следует отбрасывать и что такую ситуацию можно реализовать путем вдува газа в пограничный слой по направлению к линии растекания.
На последующих ветвях решений, как и для уравнения Фолкнера — Скан и критической линии скользящего цилиндра, с увеличением номера ветви усложняется картина течения в пограничном слое. В качестве примера на рис. 2 показаны профили скорости для различных ветвей для точек, соответствующих примерно крайне правому положению на ветви (на рис. 1 эти точки на кривых выделены маркером). При этом наиболее сложную эволюцию претерпевает профиль поперечного компонента скорости — с возрастанием номера ветви увеличивается число локальных экстремумов между внешней и внутренней границами пограничного слоя.
Рис. 2. Профили скоростей для различных ветвей решений для теплоизолированной поверхности (С"(0)=0) при числе Прандтля Рг=1 и параметре а)2 = 0,25
Выше были рассмотрены характеристики пограничного слоя на теплоизолированной поверхности при значении параметра ап = 0,25. Изменение этого параметра наиболее сильное влияние оказывает на решение нулевой ветви, для которой по мере увеличения параметра ап сокращается область существования решения при отрицательных значениях р (рис. 3). При этом сохраняется в качественном отношении структура поля течения.
Первая ветвь при увеличении параметра ап , слабо изменясь по форме, поворачивается в своей плоскости относительно точки р = — 1: Ч*" (0) против, а Ф"(0) по часовой стрелке.
Более сложную эволюцию претерпевают по мере увеличения параметра а\2 вторая и четвертая ветви решения. При малых и умеренных значениях параметра ап эти ветви перемещаются в плоскости независимо друг от друга. Затем при ап ~ 0,85 они соприкасаются и при последующем увеличении а 12 объединяются в единую ветвь. В связи с этим можно ожидать некоторой модификации структуры поля течения.
Г'(0)
0,6
0,6
0,2 -
0,0
16 ■ Ф"(0)
10 •
-0,2 0
1-а13=(^00 1 ,
2- ах 0,50 1 5
.Т-Й|2«Ц75|
4- Я|2 =0,85 I
5-ап= 0,95 1
-0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 (} 0,6
Рис. 3. Влияние параметра а12 на поле решений для нулевой ветви для теплоизолированной поверхности (С"(0)=0) при числе Прандтля Рг=1
Третья ветвь решений имеет довольно простую эволюцию: при увеличении а12 зависимости смещаются в своей плоскости (Ч"'(0) вверх, а ф"(0) вниз). При этом область существования решения незначительно изменяется немонотонным образом.
Изменение температурного фактора Яи0 также оказывает заметное влияние на характеристики пограничного слоя. Для нулевой ветви решений в качественном отношении общая картина поля решений остается однотипной, но только с уменьшением температурного фактора несколько возрастает по модулю предельное значение параметра автомодельности Р* (рис. 4).
4. Влияние числа Прандтля на поведение решения задачи в случае теплоизолированной поверхности рассмотрим на примере, соответствующем значению параметра ап = 0,25. Расчеты были выполнены в диапазоне изменения числа Рг от 1 до 0,1.
Изменение числа Рг в указанном выше диапазоне относительно слабо влияет на значения 'Р''(0), ф"(0) и (7(0) для нулевой ветви: с ростом числа Рг незначительно увеличивается область существования решения по пара-
--------,-------,-------,----------,—
О) 0,0 03 0,4 0,6 0,1 1,0
Рис. 4. Предельное значение параметра автомодельности р нулевой ветви решений для сильно охлажденной (а) и теплоизолированной (б) поверхности
метру р (рис. 4) и снижается уровень энтальпий восстановления (рис. 5), но общая структура поля решения остается однотипной.
На другие ветви решений изменение числа Прандтля оказывает весьма существенное влияние не только в количественном, но и в качественном отношении.
Первая и вторая ветви решений при уменьшении числа Рг с 1 до 0,5 испытывают небольшие количественные изменения (рис. 6). Однако при меньших числах Рг наступают качественные изменения: при Рг = 0,5 эти ветви объединяются, и при последующем уменьшении числа Рг происходит формирование единой ветви решений.
Такую же сложную эволюцию по числу Рг имеют третья и четвертая ветви решений: до числа Рг = 0,5 происходят незначительные количественные изменения, однако при числе Рг = 0,5 эти ветви объединяются при одновременном сокращении области существования решения по параметру р. При последующем уменьшении числа Рг область существования объеди-
Рис. 5. Влияние числа Прандтля Рг на энтальпию восстановления на нулевой ветви для параметра а]->=0,25
ненной ветви последовательно сокращается, и при Рг < 0,27 она прекращает свое существование.
Пятая ветвь решений при уменьшении числа Рг испытывает только небольшие количественные изменения, сохраняя неизменным общий характер поведения по параметру р.
Выше было рассмотрено влияние числа Рг на поведение решений для частного случая а[2 = 0,25; для других значений а)2 имеем сходную картину, с тем лишь отличием, что с увеличением параметра а[2 взаимодействие ветвей начинается при больших значениях числа Прандтля.
5. Для сильно охлажденной стенки (С'(0) = 0) уменьшение числа Рг приводит к другому характеру воздействия на поведение решений уравнений пограничного слоя по сравнению с теплоизолированной поверхностью. Отметим, что при числе Рг = 1 профиль полной энтальпии полностью совпадает с профилем продольного компонента скорости (Сг'Сп) = ^'(л)); при Рг < 1 они аналогичны друг другу в качественном отношении, но отличаются в количественной мере. Поэтому ниже речь пойдет только о величинах Ч^'ЧО) и Ф"(0).
При числах Рг > 0,5 нулевая и первая ветви решений отделены друг от друга некоторой областью параметра Р, в которой нет решения автомодельной задачи (рис. 7). При этом для первой ветви характерно прохождение ддярсех определяющих параметров через две фиксированные точки, расположенные при р = -1. С уменьшением числа Рг область несуществования решения сокращается и происходит сближение ветвей решений. При этом основные деформации претерпевает нулевая ветвь решения. При числе Рг » 0,5 обе ветви объединяются, и при последующем уменьшении числа Рг эволюционирует уже одна ветвь, для которой характерны те же две особые точки, что и для первой ветви.
Рис. 6. Объединение первой и второй ветвей при изменении числа Прандтля Рг для теплоизолированной поверхности (0"(0) = 0) и параметре Я|2=0,25
Сложную эволюцию претерпевают вторая и третья ветви решений по мере уменьшения числа Рг . При определенном числе Прандтля (Рг « 0,53) происходит их слияние в одной точке. При последующем уменьшении числа Рг она служит точкой их расщепления и образования новых двух изолированных ветвей, область существования которых сокращается с уменьшением числа Прандтля. При некотором его значении они прекращают свое существование. Далее следует отметить, что при некотором числе Рг в этот процесс взаимодействия включается шестая ветвь решений.
Такая же сложная эволюция наблюдается для четвертой и пятой ветвей: раздельные при числах Рг > 0,5 ветви объединяются при числе Рг « 0,51. При последующем его уменьшении имеем дело с одной объединенной ветвью решений с уменьшающейся областью существования по параметру р. При числах Рг < 0,3 ветвь прекращает свое существование.
Рис. 7. Объединение нулевой и первой ветвей при изменении числа Прандтля Рг для сильно охлажденной поверхности (С"(0) = 0) и параметре а]2 = 0,25
Выше было рассмотрено влияние числа Рг на поведение решений для частного случая ап = 0,25; для других значений ап имеем сходную картину, с тем лишь отличием, что с его увеличением взаимодействие ветвей начинается при меньших значениях числа Рг.
ЛИТЕРАТУРА
1. М о о г F. К. Laminar boundary layers on cone in supersonic flow at large angle of attack//NASA Rep. 1132.—1953.
2. Б а ш к и н В.А. О единственности автомодельных решений уравнений пространственного ламинарного пограничного слоя//Изв. АН СССР. МЖГ.—
1968, № 5.
3. М u г d о с k J. W. The solution of sharp cone boundary layer equation in the plane-of-symmetry//J. Fluid Mech., 1972. Vol. 54, N 4.
4. R о u x B. Supersonic laminar boundary layer near the plane of symmetry of cone at incidence//! Fluid Mech.— 1972. Vol. 51, N 1.
5 . В у П., JI и б б и П. А. Ламинарный пограничный слой на конусе вблизи плоскости симметрии//Ракетная техника и космонавтика.—1973. Т. 11,
№3.
6. Башкин В. А. Численный анализ уравнений ламинарного пограничного слоя на линиях растекания конических тел//Труды ЦАГИ.— 1973. Вып. 1448.
7. Rubin S. G., L i n Т. С., Т а г u 11 i F. The viscous layer in the symmetry plane of a sharp cone at incidence//AIAA Paper.—N 76-362.
8. Башкин В. А. Треугольные крылья в гиперзвуковом потоке.— М.: Машиностроение.—1984.
9 . Chapman D., R u b е s i n Н. Temperature and velocity profiles in the compressible laminar boundary layer with arbitrary distribution of surface tempera-ture//J. Aeronaut. Sci.— 1949. Vol. 16, N 9.
10. Башкин В. А. К расчету характеристик ламинарного пограничного слоя при нулевом градиенте давления по методу определяющей темпе-ратуры//Труды ЦАГИ.— 1962. Вып. 883.
11. Материалы к расчету сопротивления трения и теплопередачи различных тел при гиперзвуковых скоростях потока//Труды ЦАГИ.—1964. Вып. 937.
12. Б а ш к и н В. А. Расчет уравнений автомодельного пространственного ламинарного пограничного слоя методом квазилинеариза-ЦИИ//ЖВММФ.—1971. Т. 11, № 5.
13. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. И.— М.'.Физматгиз.—1962.
14. R u b b е г t Р. Е. L a n d a h 1 М. Т. Solution of the transonic airfoil problem throught parametric differentiation//AIAA Paper.— N 66-90, New York.— 1961.
15.Параяма Т. .Рамамоорти К. Решение методом параметрического дифференцирования уравнений сжимаемого пограничного слоя//Ракетная техника и космонавтика г-1972 , № 7.
16. Crocco L. Lo strato limite laminare nei gas//Associazione Culturale Aeronautika.— Roma.— 1946.
17. Либби, Лю. Дополнительные решения уравнения Фолкнера — Скан//Ракетная техника и космонавтика.— 1967. Т. 5, № 5.
18. Чен, Либби. Пространственная устойчивость новых решений уравнения Фолкнера—Скан// Ракетная техника и космонавтика.— 1968, Т. 6, №6.
Рукопись поступила 13/Ш 2000 г.
