Ламинарный пограничный слой на пластине при вдуве газа под остым углом к поверхности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том III'

197 2

№ а

УДК 532.526.011.6:533.694.71/72 532.526.533.694.71/72

ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ ПРИ ВДУВЕ ГАЗА ПОД ОСТРЫМ УГЛОМ К ПОВЕРХНОСТИ

Э. А. Степанов

Представлены результаты численного исследования ламинарного пограничного слоя на плоской пластине при вдуве однородного или инородного газов под острым углом к поверхности. Приведены корреляционные формулы для расчета напряжения трения и теплового потока.

В работе [1] на примере автомодельного закона подачи однородного газа под острым углом к поверхности пластины (конуса) было показано, что уже при малых скоростях скольжения на стенке может быть достигнуто заметное уменьшение теплового потока. Поэтому представляет интерес исследование решений уравнений пограничного слоя при распределениях вдува, более перспективных в практическом отношении, в первую очередь для равномерного вдува. В настоящей работе представлены результаты такого исследования и даны рекомендации для инженерных оценок влияния скольжения на температуру восстановления, теплообмен и трение при вдуве по степенному закону однородного и инородных газов. Ниже приводятся система уравнений ламинарного пограничного слоя на пластине (конусе) для бинарной смеси совершенных газов и граничные условия, записанные для случая, когда закон распределения вдува опре-

т т

деляется суммой степенных функций (рг>)а> = У. (ру)шк — У, Ль хк, где 0,5:

*=1

Й = 1

N ср

РГ С;

(ЛГ/'У+//" = »/Ц/' дА

ЯМ2 С] ( 1 — С,) Н

дг.

д/ц,

■ре

М1М2 с ре

Бс

+

ат ЯМ* N

Мг Мг сре Бс

2

с; в +

/"2

'-ре

а)

д/„

-рр- (ье г[ + 1,ет гг

дг.

д/

+/*1-«/•(/'а/. _21 д/„) ;

р = рЯТ; С! + с2= 1.

Здесь:

U Т Ci 0L». _ Н^р Рср D\2

/’=■ — ; 0 = ; г1 = ; Рг = ; Le = -^V— ;

Wg Гq С1е Ре ^ ^

„ (X СР Р°12 ~ fwk 2 nk + 1

Sc = ^: Le =—r~> г=2*°* лГ’ в* = "2ттг

k=l m х

5Л''

г (pv)wk dx

k=l О

/г=1

|/ 2 j г2' рй ме

б

штрих означает дифференцирование по поперечной координате

rJ PeUe CP,

,= rfy,

, о • Ре ЯХ

_________• re ~e

|/"2 j r2 1 Pe ue

jc, у, и и « — соответственно продольная и поперечная координаты и скорости; Т, р, ср, ci, [д., A, Dj2 — местные значения температуры, плотности, удельной теплоемкости при постоянном давлении, концентрации *-й компоненты, коэффициента динамической вязкости, теплопроводности и бинарной диффузии; ^ — удельная газовая постоянная смеси; М — молекулярный вес; ат — постоянная термодиффузии (при вдуве гелия в азот ат = 0,36, при вдуве углекислого газа ат = 0,05 [2]); г — расстояние от рассматриваемой точки до оси конуса; ;=0 и 1 —соответственно для пластины и конуса. Индексы 1, 2 и е относятся к газу внешнего потока, вдуваемому газу и внешней границе пограничного слоя.

На поверхности тела (т) = 0) задавались значения функции тока/w, скорости •скольжения fw — uw — const, температуры стенки 6W — const либо теплового потока qw — 0, а при вдуве инородного газа (Не, С02) также условие непроницаемости поверхности для азота

,, , N Г - Cj (1 — ei)0' I

•(l+®)/«Ciw = s^-l С! + ат---------§----- J

На внешней границе пограничного слоя (принималось = 14) ставились условия f'e = 1, Ье = 1, г, е = 1.

’ Для расчета термодинамических и переносных свойств чистых газов использованы степенные зависимости. Переносные свойства смеси ц и X рассчитывались соответственно по формулам Уилке и Масона — Саксены [3].

Расчеты проведены на ЭЦВМ численным методом И. В. Петухова [4] для следующих значений параметров потока азота: для Ме — 4; Те = 288° К;

KZ KZ

fe=0,12—3; для Ме = 4; Те = 750° К; ре = 0,455 —3; для Ме = 7; 7^288’К;

кг ~

:ре = 0,12 Рассмотрены автомодельный закон распределения вдува (в = 0),

равномерный вдув на конусе (я = 1/3) и равномерный вдув на пластинке (<j = 1) при скорости скольжения на стенке 0<u„,< 1.

Перейдем к рассмотрению результатов расчетов. Зависимости —w - (uw) и

Ъдо О

qw ____

-— (uw) (индекс ,0“ означает, что соответствующая величина рассчитана при 4w о

отсутствии вдува) для различных значений функции тока fw и различных законов вдува представлены на фиг. 1 и 2. Видно, что с увеличением расхода вдуваемого газа максимумы кривых ---------(uw) (более резкие при us 1) смещаются

та/ 0

в сторону увеличения uw. При равномерном вдуве максимум —^ (в™) имеет

4w о

место при uw ф 0 уже при умеренных вдувах. Однако следует иметь в виду,

что при равномерном вдуве на самом теплонапряженном начальном участке, где \}ц) \ еще невелико, скольжение является благоприятным фактором, позволяющим уменьшить тепловой поток.

о о,г № в,б о,в и№

Фиг. 2

На фиг. 3 приведены зависимости отнесенного коэффициента восстановления

г Т ________ Т —

температуры — — г---------т~ (го— при = 0), построенные по результатам

'0 * г о * е

расчетов при автомодельном закон? распределения вдува азота для различных

/*

условий набегающего потока. С ростом Те, Ме и |/то| значения —— несколько

'о

возрастают, хотя все кривые ложатся достаточно близко друг к другу. Нижняя кривая на фиг. 3 соответствует условиям Ме = 4, 7^ = 288° К, /ю = 0; верхняя —

Фиг. 3

условиям Ме = 7, Те = 288° К, /„, = —0,3. Приближенно зависимость — (иш) может быть выражена следующим соотношением:

Г — _ _

: ^ === (1 4“ Л/-Мц) (1 Ида), (2),

где » 0,15.

Таким образом, влияние скольжения на коэффициент восстановления температуры в основном определяется квадратом разности продольных скоростей на внешней и внутренней границах пограничного слоя.

На фиг. 3 приведены также зависимости напряжения трения

ции теплового потока ф =

£

Яці) о'

' Яці 0

0

О

и функ-

-}— от иш при отсутствии вдува (верхние что Яц,о

индексы с и 1 означают соответственно, что м^^О и ит= 1). Эти зависимости близки для всех значений температурного фактора и приближенно, при иш<;0,5 с погрешностью +5%, могут быть аппроксимированы следующими соотношениями:

ш 0

1

тоі 0

С? = (1 —иш)( 1

«ь,

(3)

(4)

где к = 2,1—0,4 .

^ * Г 0

Расчет 0 может быть произведен с помощью решения уравнения энергии при ит — 1 [1].

Из соотношений (3) и (4) видно, что если влияние скольжения на трение определяется в основном разностью квадратов скоростей на внешней и внутренней границах пограничного слоя, то на тепловой поток влияет и просто разность этих скоростей.

При наличии вдува зависимости отнесенных величин напряжения трения

(/щ) и теплового потока

Со

(/ш) представлены на фиг. 4 и 5. Видно, что

скольжение в общем случае приводит к более пологой зависимости указанных величин от в то время как увеличение а, уменьшение молекулярного веса вдуваемого газа и увеличение температурного фактора делают эту зависимость более крутой.

Следует однако заметить, что тенденция уменьшения наклона кривых Я%,ІЯсшо с появлением скольжения на стенке нарушается при тех значениях иш, завися-

щих от температурного фактора, при которых 0 достаточно близко к нулевому значению. Очевидно, что в этом случае зависимость —г— {/т) должна

О

быть достаточно крутой, так как при умеренных и малых интенсивностях вдува тепловой поток с ростом /„, может менять знак. Оценку таких значений ит п(зи Тг^>Тт^>Те можно производить с помощью соотношения (2), принимая в нем

Т — т г. При 7*0; ^ Т^ в диапазоне 0 ^ ^ 1 изменения знака ^ Qt очевидно,

не будет.

Указанные соображения следует иметь в виду при оценке погрешности

Яш

расчетов —— по приводимому ниже корреляционному соотношению; эта погрешай) о

ность возрастает с уменьшением ?^,0. Последнее обстоятельство, очевидно, не является серьезным ограничением, так как необходимость теплозащиты путем вдува охладителя обычно возникает при больших значениях теплового потока, когда 7"г> Тхи. В этих условиях те небольшие скорости скольжения, которые, по-видимому, только и могут рассматриваться как практически реальные, еще не приводят к существенному изменению Тсг 0 — Тт.

тс ____т

1 г П * -ш

Соотношения Для расчета теплового потока I при —----г~.>0,3; 0<;иш<;0,5

и напряжения трения (при 0 -<Ио,< 0,7) имеют вид

/•----5 \М1

V 1-£а3+-------т-г=------------------------------є» (5)

4 1 +и

\ 0,25

І лн*

1,58

(МЛ"

= У\ + 6* + _г-.——п - (6)

0 ( I 0 0, 1 Ыда)

здесь

/«о+ 9®)

Параметр Чепмена — Рубезина Л/* вычисляется при определяющей температуре [с учетом зависимости Тг (и®)]

Т* = 0,5(7"*, + Т„) + 0,22 (Тсг0-Те).

Относительная погрешность расчета по соотношению (5) при

Я то 0

составляет +594 при вдуве азота и углекислого газа и +794 при вдуве гелия. Относительная погрешность результатов, полученных с помощью формулы (6),

при -^г->0,2 не превышает ±5%. о

Заметим, что при иш = 0 и а = 0, по сравнению с обычно используемыми формулами (см. [5]), соотношения (5) и (6) учитывают нелинейный характер зависимостей Яш/Яю о и 'га;/'%о от параметра вдува. Кроме того, соотношение (5) в явной форме учитывает зависимость дт1дто от температурного фактора.

Влияние скольжения в основном учитывается множителем (1 +иш)~1. Следует отметить, что при отсутствии вдува характеристики пограничного слоя исследуются в широком диапазоне изменения иш в ряде работ (см., например, [6]) в связи с задачей о пограничном слое, образующемся на стенках ударной трубы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Степанов Э. А. Ламинарный пограничный слой на пластине и конусе при наличии вдува. „Ученые записки ЦАГИ“, т. II, № 3, 1971.

2. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М., Изд. иностр. лит., 1960.

3. Д о р р е н с У. X. Гиперзвуковые течения вязкого газа. М., „Мир”, 1966.

4. П е т у х о в И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. В сб. .Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы". М., „Наука”, 1964.

5. G г о s s I. F., Н а г t п е 11 J. P., M a s s о n D. I., Q a z 1 e у G. J. A review of binary laminar boundary layer characteristics. J. Heat and Mass Transfer, vol. 3, 1961.

6. Akamatsu Т., Urushidani H. A generalized solution of quasi — steady laminar flat plate boundary layer in a shok tube. Bull, of JSME, vol. 12, No 52, 1969.

Рукопись поступила 6jX 1971 г.