CC BY
35
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м X 1 97 9 № 1
УДК 533.6.011.5:533.695
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ НЕСУЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА
О. А. Голубкина
В работе рассмотрена интерференция несущих поверхностей, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа. Задача решена для случая плоскопараллельного течения. Одна из пластин расположена за другой так, что набегающий на нее поток является неоднородным. В рамках теории малых возмущений добавочный потенциал определяется полученным в работе уравнением в частных производных. Решение уравнения найдено методом последовательных приближений. Подъемная сила расположенной ниже по потоку пластины, обусловленная отклонением руля, возрастает при увеличении расстояния между пластинами, причем величина подъемной силы существенно увеличивается за счет интерференции.
1. При компоновке летательного аппарата по нормальной схеме его хвостовое оперение находится в потоке, который возмущен основной несущей поверхностью — крылом. Поэтому для расчета эффективности органов продольного управления необходимо рассмотреть их обтекание неоднородным потоком, т. е. исследовать интерференцию крыла и оперения. Линейная теория сверхзвуковых течений газа не позволяет рассчитать изменение эффективности оперения в зависимости от угла его отклонения. Изменение эффективности оперения можно определить, решая задачу об обтекании в нелинейной постановке.
Рассмотрим задачу об интерференции несущих поверхностей в плоскопараллельном потоке газа. Профили руля и крыла — бесконечно тонкие пластины с постоянным по хорде углом наклона относительно скорости набегающего потока. Угол атаки крыла а {впереди расположенная пластина) таков, что на нижней его поверхности существует присоединенный скачок уплотнения. К задней кромке пластины примыкает течение разрежения, в котором поток, поворачиваясь, приближается к своему первоначальному направлению. Хвостовое оперение, попадающее в эту область, обтекается существенно неравномерным потоком. Будем считать, что оперение заключено между двумя достаточно близкими друг
к другу характеристиками веера Прандтля — Майера и что его угол атаки (относительно скорости в месте расположения оперения} является малой величиной. В этих предположениях обтекание оперения можно рассмотреть в теории малых возмущений и решить задачу о влиянии угла отклонения руля на величину подъемной силы.
Крыло в виде плоской пластины бесконечного размаха, установленное под конечным углом атаки а в сверхзвуковом равномерном потоке с числом Моо, обтекается с образованием присоединенного скачка уплотнения на нижней поверхности и веера разрежения на верхней поверхности (см. фигуру).
Фиг. і
Используя известные соотношения на косом скачке уплотнения и точное решение Прандтля — Майера (1.2), можно легко рассчитать это течение.
Угол наклона присоединенного скачка о определится из уравнения:
sin2 а — 1 /М?_
tga =--------------------я—Ctg о, (1-1>
(*+ l)/2-sin2a+l/M^
в котором через * обозначено отношение удельных теплоемкостей газа. Число М, за скачком находится из формулы:
1
Мх
sin (о — а)
2 + (х — 1) sin2 я 2хМ^0 sin2 а — (у. — 1)
1/2
(1.2>
Задняя кромка пластины служит началом присоединенного косого скачка уплотнения на верхней поверхности и замыкающего веера разрежения — на нижней поверхности. Вдоль характеристик, исходящих из этой точки, все параметры течения будут постоянными. Если некоторая характеристика составляет угол 0 с начальной характеристикой, то число М вдоль нее связано с величиной М: на начальной характеристике соотношением
6 - УШ [агсіг {УШ 1/мг=л)-агс^ (УІТТІ^мГ^Т)].(1.3)
При достаточно больших значениях угла атаки замыкающий веер разрежения располагается по обе стороны от продолжения пластины. Горизонтальное оперение, которое мы будем считать расположенным на характеристике, являющейся продолжением крыла*
попадает в сектор течения Прандтля — Майера. Для этой характеристики, которую можно назвать базовой, угол 0
О ~ - arctg 1
У м2— і
1 + ід2 Г Л[ х . ? arctg —-■ -1.....................- +
-г Х_1 в [У х+1 ё -уМ2_!
а число М
М.
(1.4)
2. Рассмотрим поле течения в области с малым угловым размером в вокруг базовой характеристики, предполагая, что оперение отсутствует. Начало прямоугольной системы координат совместим с задней кромкой пластины, ось хнаправим вдоль вектора •скорости на базовой характеристике, ось у перпендикулярно ей (см. фигуру). Компоненты скорости и, V по осям х, у удовлетворяют уравнениям неразрывности и безвихренности
(и2 — а2) их + (V2 — а2) vy + 2 = 0; (2.1)
иу — юх = 0, (2.2)
где скорость звука а определяется из уравнения Бернулли
а2 = а\ + (и2 — и2 - V2). (2.3)
Звездочками отметим значения соответствующих величин на базовой характеристике. Используя автомодельность течения, введем
координату і = - ~~~ , где Р* = і/м* —1,
сохраняющую постоянные значения вдоль характеристик. Очевидно, что на базовой характеристике £=1. Определим переменную І, имеющую порядок единицы в г-окрестности базовой характеристики, с помощью
равенства
С = -^-. (2.4)
£
Представим компоненты скорости в виде разложений
= 1 &и! | (25)
г//и* = в»г + . . . . 1
Переходя в уравнениях (2.1), (2.2) к автомодельной переменной С
по формулам
д ___ 1 — е С д д __________ д
дх е х дС ’ ду є дС,
и используя (2.3) совместно с разложениями (2.5), найдем
и1==ЛС; , (2.6)
ТГ- - -Р,(1 (2.7)
где
2 (М2 — 1)
(*+і) К
Эти формулы показывают, что приращение скорости в окрестности базовой характеристики линейно по переменной С. Поэтому, хотя
это приращение мало, градиент его имеет порядок единицы, т. е. течение в веере разрежения является сильно неоднородным. Как будет показано ниже, это приводит к довольно существенному изменению аэродинамических характеристик хвостового оперения, находящегося под влиянием течения разрежения за крылом.
3. Поместим в узкую область вокруг базовой характеристики, исследованную в п. 2, горизонтальное оперение в виде плоской пластины. Будем считать, что угол 8 наклона его к оси х является малой величиной, не зависящей от е. Потенциал обтекания Ф удовлетворяет уравнению
(Ф£ - а?) Фхх + (Ф2У - а») Фуу + 2ФХ Фу Фху = 0, (3.1)
где скорость звука а определяется аналогично (2.3). Будем искать решение в виде суммы
Ф = и* (х + sF + 8?), (3.2)
где F — потенциал невозмущенного течения Прандтля — Майера* исследованного в п. 2, <р — потенциал возмущений, создаваемых оперением. Для величин ии из п. 2 имеем
Ui = Fa, vx=Fy.
Подставляй (3.2) в уравнение (3.1) и используя формулы (2.6), (2.7), получим уравнение для <р
Р2 - Ьу + -м^1) [2 + (* - 1) ^] - 2Р* <РУ} = о. (3.3)
Третий член в этом уравнении обусловлен неоднородностью потока, набегающего на оперение. В пределе при х -*• оо это уравнение переходит в обычное уравнение линейной теории для потенциала возмущений. Уравнение (3.3) удобно решать в системе координат хи уи получающейся путем параллельного переноса исходной системы, при котором ее начало совмещается с носком оперения
,У1 = У —Р**о»
где хй — расстояние по оси х между носком оперения и задней
кромкой крыла. Будем считать, что величины хх и ул отнесены
к хорде оперения с. Далее, введем характеристические переменные
S = *i-Mi. = + (3.4)
Линии у] — const являются характеристиками первого семейства, линии £ = const — характеристиками второго семейства. Тогда уравнение (3.3) преобразуется к виду
т*-+ (т8 + *,> = °- (3'5>
где обозначено
(х — 3) М2 + 4
Ь = -----■-» ~ . (3.6)
(*+1)М2
Полученное уравнение (3.5) должно решаться при следующих
граничных условиях:
непрерывность потенциала на головных характеристиках
<р = 0 при «= 0, т) = 0; (3.7)
непротекание на поверхности оперения
<Pj,= l при yv = 0. (3.8)
Общим методом решения такой задачи является метод последовательных приближений [3]. Однако можно заметить, что величина 7 = с/2х0 в рамках сделанных допущений пропорциональна угловому размеру s между характеристиками веера разрежения, проходящими через начало и конец оперения. Следовательно, Т<1 и можно решать уравнение (3.5) путем разложения в ряд
т) = ?о(£. Ч) + Tf*Pi(?. 7]) + 'Г2<Р2(£> 7i) + 0(73). (3.9)
Очевидно, что функция ср0 представляет собой потенциал обтекания пластины под малым углом атаки 8 равномерным потоком.
Известно (например, [2]), что он постоянен вдоль характеристик первого семейства в области течения над пластиной и вдоль характеристик второго семейства под пластиной, а именно
,е -nlh при ,ух<0, |
?°( Ч)_ -S/Р* при У1>0. ) (3л0)
Такой вид нулевого приближения обусловливает необходимость отдельного рассмотрения областей У1>0и^!<0. Поскольку процедура решения аналогична для обеих областей, ограничимся ее описанием для ^<0 (верхняя область). Из (3.5) получим уравнение для функции (Е, tj)
Ь = —(Тое + ^оч).
которое при использовании найденной формулы (3.9) для нулевого приближения приобретает вид
Т! = —
Запишем общее решение этого уравнения:
?i =/i Сч) - ~ *4,
Р*
где /, — произвольная функция.
Из условия непротекания
dtpi
= 0
Уі = 0
дуі
можно получить, что fx — const, а из условия непрерывности потенциала на головной характеристике -rj = 0 находим:
/і=0-
Поэтому окончательно имеем:
<Pi(S. 7i) =-pH (ЗЛІ)
Функция ?г(5, 7j) удовлетворяет уравнению
(*16 + bb Ч) + (* + Ч) (Го £ + Ь^0г)> которое решается таким же образом, как и уравнение для yt. В результате вычислений получим
?.(*. г1) = -^-^-{Ь-1)г^ + 2г1Ч + ^^Ь+ 1}]- (ЗЛ2)
Коэффициент давления на поверхности оперения определяется по формуле
На верхней поверхности с помощью соотношений (3.9) —(3.12) ср = с~ можно представить в следующем виде:
1 -2^*,-2т* Ь(Ь + 2)х1 + 0(ч% (3.13)
Проводя аналогичные выкладки для области У1^> 0, можно найти выражени оперения
выражение для коэффициента давления с+ на нижней поверхности
с; = V- [1 - 2т*1 + 2Т2 (5 + Ь) х\ + О (т*)]. (3.14)
р к*
Интегрируя разность —с~ по хорде оперения, находим величину коэффициента подъемной силы
который оказывается
<У
~1 —т-^1 + 72 2г,2 + 5б + 5 ■+ 0(тз)|. (3.15)
I.
Полученный результат свидетельствует о том, что подъемная сила руля в неоднородном потоке отличается от ее значения при обтекании однородным потоком.
4. Из формулы (3.15) видно, что вызванное интерференцией крыла и оперения изменение подъемной силы последнего в главном члене (линейном по ?) определяется величиной В = (Ь-\-\)12. ■Согласно (3.6),
■В=^ + 7Й^’ <4Л>
*
т. е. всегда £>0. Поэтому поправка первого приближения к величине подъемной силы руля отрицательна. Наоборот, поправка второго приближения всегда положительна, так как легко видеть, что
С = — (2Ь2 + 5Ь 4- 5)>0 6
при любом Ъ. Проиллюстрируем теоретический анализ численным примером. Предположим, что отношение теплоемкостей х=1,4, число М невозмущенного потока М00 = 2,5, угол атаки а = 28°. Тогда по формулам п. 1 найдем угол наклона косого скачка о = 56°, число М за скачком М, = 1,19, число М на базовой характеристике М* = 2,18. По формулам (3.6), (4.1) далее найдем: ¿> = — 0,31, В — 0,35, С = 0,61. Считая, что у = 0,1, получим следующее относительное изменение коэффициента подъемной силы руля:
с — с0
-Ц-^ = -о,оз,
где с° означает коэффициент подъемной силы пластины при большом удалении от крыла
су = 48/Р*.
Величина с°у в ________1/Р* больше, чем в невозмущенном крылом
потоке. В рассмотренном примере V1/р* = 1,18.
1. Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. М„ ГИТТЛ, 1953.
2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., .Наука“, 1973.
3. Соболев С. Л. Уравнения математической фцаики. М., ГИТТЛ, 1948.
Рукопись поступила 20\VI 1977
