CC BY
5
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 3 (2024). С. 96-110.
УДК 517.957
О ВЕКТОРНОМ ПРОИЗВОДНОМ НЕЛИНЕЙНОМ УРАВНЕНИИ ШРЁДИНГЕРА
А.О. СМИРНОВ, с.д. шиловский
Аннотация. В работе предлагается последовательность нар Лакса, условиями совместности которых являются векторные интегрируемые нелинейные уравнения. Первыми уравнениями этой иерархии являются векторные уравнения Kayna Ньюалла, Чень Ли Лью и Герджикова Иванова. Тин векторпшх) уравнения зависит от дополнительного параметра а. Предложенная нами форма векторного уравнения Kayna Ньюалла имеет небольшие отличия от классической. Показано, что эволюция простейших нетривиальных решений этих уравнений является композицией эволюции длины вектора решения и эволюции ориентации вектора решения. Исследованы свойства спектральных кривых простейших нетривиальных решений векторных уравнений из построенной иерархии.
Ключевые слова: Интегрируемое нелинейное уравнение, уравнение Kayna Ньюалла, уравнение Чень Ли Лью, уравнение Герджикова Иванова, многофазное решение, спектральная кривая.
Mathematics Subject Classification: 35Q51, 35Q55
1. Введение
В последнее время достаточно большое внимание уделяется векторным вариантам нелинейного уравнения Шрёдингера (см., например, |1|- |8|), Это связано с желанием удвоить объем информации, передаваемой но оптическим каналам |9|- |13|. Естественно, также активно изучаются и векторные формы производных нелинейных уравнений Шрёдингера (см., например, |14|- |23|). Следует отметить, что используемые в этих работах нары Лакса часто сильно отличаются друг от друга, что нам кажется не совсем правильным. Поэтому мы решили предложить последовательность нар Лакса, которые зависят от функциональных параметров «s^ (dtks = dxSk). Условиями совместности этих пар является иерархия интегрируемых векторных нелинейных уравнений. При s = a(piq) первое уравнение этой иерархии является векторной формой производного нелинейного уравнения Шрёдингера. Если а = 0, то этим уравнением будет векторное уравнение Герджикова — Иванова [23]
ipt-i - Рхх + 2i(p4q^)p - 2(p*q)2p = 0,
iqt! + q^ + 2i(q4p^)q + 2(p*q)2q = 0.
При а = 1 первым уравнением построенной иерархии является векторное уравнение Чень — Ли — Лью
ipt-1 - pxx - 2i(ptq)px = 0, iqt! + q^ - 2i(p4q)q^ = 0.
A.O. Smirnov, S.D. Shilovsky, On vector derivative nonlinear Schrodinger equation.
© Смирнов А.О., Шиловский С.Д. 2024.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-11-00196, https://rscf.ni/project/22-ll-00196/.
Поступила 1 марта 2024
Заметим, что найденная нами векторная форма уравнения Kayna — Ньюэлла ( а = 2)
Фи - Рхх - 2г(р*я)рж - 2г(ря%р = 0, iqt! + Чхх - 2i(pfq)qx - 2i(pq4)^q = 0,
отличается от его «классического» варианта |14|, Вместе с тем, в скалярном случае отсутствует различие между выражениями (р*q) и (pq*) и данное уравнение в скалярном случае является уравнением Kayna — Ныоэлла. Поэтому оно является одной из его интегрируемых векторных форм. При других значениях параметра а уравнение имеет более сложный вид. Заметим, что, выбирая другие значения функционального параметра s, можно получать векторные производные аналоги уравнения Купду |24|- |26|,
Работа состоит из введения, пяти разделов и заключительных замечаний. В раздело 2 мы задаем оператор Лакса
гФх = U Ф, U = -\2J + \Q + R + sJ,
зависящий от функционального параметра s G Ми находим структуру соответствующей матрицы монодромии М [ ] из уравнения
Как обычно, матрицу М мы ищем в виде многочлена по спектральному параметру А
Структура матрицы и приводит к различиям в структуре коэффициентов т,к для четных и нечетных индексов к. Кроме структуры матрицы М из уравнения ( ) мы находим рекуррентные соотношения на элементы коэффициентов т,к (х). В разделе мы предлагаем последовательность вторых операторов дня пар Лакса. Условиями совместности этих нар Лакса являются эволюционные интегрируемые нелинейные уравнения, которые достаточно просто записываются в терминах элементов матрицы М, введенной в разделе , Первыми уравнениями из данной иерархии являются векторные формы производных вариантов нелинейного уравнения Шрёдипгера, приведенные выше. В следующем раздело мы кратко обсуждаем стационарные уравнения, которым удовлетворяют многофазные решения. Как и в других случаях (см., например, |23|, |26|, |28|), стационарные уравнения долятся па две группы. В первую группу входят два матричных уравнения, которые являются ограничениями уравнения (1.1) на нулевую и первую степени спектрального параметра А. Поскольку структура коэффициентов т,к зависит от четности к, то скалярная форма этих стационарных уравнений зависят от четности старшей степени N многочлена ( ), Вторая группа стационарных уравнений вытекает из условия постоянства коэффициентов уравнения соответствующей спектральной кривой. Напомним, что уравнение спектральной кривой является характеристическим уравнением матрицы М [ ]. В простейших случаях систему из этих стационарных уравнений можно решить. Заметим, что как и в случаях обычных векторных уравнений |1|, |26| и скалярных производных уравнений |28|, количество фаз решения меньше рода его спектральной кривой.
В разделе 5 мы подробно рассматриваем случай N = 3 (или п = 1, оде п = N — 2), когда стационарные уравнения уже не имеют решения в виде плоских волн, по их еще можно решить аналитически. Число п можно считать уровнем сложности решения. Если п = 0, то решениями стационарных уравнений будут плоские волны. Если п = 1, то решения, как правило, выражаются через эллиптические функции и их вырождения. В этом разделе мы показываем, что при п =1 естественным образом возникает геометрическая интерпретация функциональных параметров вектора решения: его длина и направление. Заметим, что длина вектора решения и его направление не зависят от функционального
iMx + ми - им = 0.
(1.1)
N
(1.2)
параметра е. Кроме того, в этом случае стационарные уравнения сводятся к автономному дифференциальному уравнению первого порядка на длину вектора и уравнению, которое связывает изменения направления вектора с его длиной. Также в этом раздело мы исследуем зависимость поведения простых нетривиальных решений и их спектральных кривых от параметров. Нами показано, что в общем случае при п = 1 решение является двухфазным, а род соответствующей кривой равен д = 3.
В раздело 6 мы рассматриваем эволюционные интегрируемые нелинейные уравнения с геометрической точки зрения. Мы показываем, что, соли но использовать стационарные уравнения, то нет никакого преимущества в геометрическом подходе. Если же рассматривать случай п = 1 и использовать формулы, вытекающие из стационарных уравнений, то эволюция длины и направления решений описывается достаточно простыми уравнениями. При этом на будущее остается вопрос, будет ли полезен геометрический подход при увеличении уровня сложности решения п. Заметим, что с прикладной точки зрения «длина вектора» решения и его «направление» являются теоретическими объектами, поскольку на практике поляризованные пучки проходят через делитель, а само оптическое волокно в этом случае имеет довольно сложную структуру (см., например, |29|, 1301 и библиографию в этих работах).
2. Матрица монодромии Пусть оператор Лакса имеет вид
%ФХ = и Ф,
где
и = -\2з + + я +
'=3
2 0 0 0 -1 0 ] , Я 0 0 1
( 0 рЛ „ = /-Ря о* \ 1-я о), к о яр;
(2.1)
(2.2) (2.3)
Р
(Р1,Р2), Я* = (дъЫ-
Рассмотрим уравнение (2.1), (2.2) с матрицами (2.3). Следуя работам |27|, |28|, будем искать матрицу монодромии М функции Ф в виде многочлена по спектральному параметру А. Тогда из уравнения () вытекает следующая структура матрицы М:
п— 1
Мп
Уп + ^ скУп-к + сп^0 + сп+1 У-1 + Jп
к=1
где
К
0
2к-1
Тк. = Тг Як, к> 1,
У-1 = -хз + я, ио = ху-1 + я, у = Шо + у?, ц+1 = + уо+1,
0 н| N уо = (-Тк 0* N Ок о), У2к = ^ 0 Яку
-2сп+2 0 0
За = | 0 Сп+2 + Сп+3 Сп+4
0 Сп+5 Сп+2 - Сп+3,
Здесь ск € М есть некоторые постоянные, параметризующие решение.
Элементы матрицы Vj0 удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям Hi = -ipx + ер, Gi = -iqx - sq,
H
k+i
(Ffk + TkI) р - (pq4 + (p'q)l) Hfc + sHfc - idxHk,
Gfc+i = - (Fk + TkI) q - (qp* + (q'p)l) Gk + sGk + idxG dxFk = qdH - dxGkp - г (qp4 + (q'p)l) Gkp* - iqH\ (qp* + (q*p)l) + is(Gkp* + qH).
(2.4)
В частности.
Fi = г (q^p* - qp*
- (qp4)2 + 2sqp , Ti = ¿(p^r - q^) - (p*q)2 + 2s(p*q),
H2 = -pxx + 2г(р^ж)р - 2(p*q)2p + 2s((p*q)p - фж) + (s2 - гзж)р, G2 = q^ + 2i(qtpx)q + 2(p*q)2q - 2s((p*q)q + iqx) - (s2 + zs^q, T2 = (p*q* - pfqXx - q^) - 2(p*q)3 + 3s2(piq) + 3«s(piq^ - q*px), H3 = ipxxx + 3(p*q^)p + 3(р^ж)рж + 3i(piq)(p* q)p + 3i(p4q)2 рж
- 3вржж - 3(sx + is2 + is(pfq))px - (sxx - s3 - 6s2(p4q) + 6s(p4q)2)p
- 3is(sx + (q^) - 2(p*qx))p, G3 = iqXxx - 3(p*q^)q - 3(q*p^)qx + 3i(piq)(q* p)q + 3i(p4q)2q^
+ 3 s q^ + 3(sx - is2 - is(ptq))qx + (sxx - s3 - 6s2(p*q) + 6s(p*q)2)q
- 3is(sx + (р^ж) - 2(q*pa))q.
3. Интегрируемые эволюционные нелинейные уравнения Зададим второе уравнение нары Лакса уравнением
гФЬк = Wk Ф,
где Wk = V2k + SkJ, dtks = dxSk-
Тогда из условия совместности нары Лакса вытекают следующие интегрируемые нелинейные эволюционные уравнения
pifc = «Hk+i - iskp, qtk = «Gk+i + isk q. Из уравнений (3.2), (2.4) вытекают следующие соотношения
\ (pq) = dx(Tk).
Следовательно, в уравнениях (3.2) можно положить
s = a(p*q), Sk = aTk, (3.3)
где а есть некоторое действительное число. Уравнения ( ) имеют наиболее простой вид в трех случаях: при а = 0 а = 1 и а = 2. Полагая а = 0, имеем
(3.1)
(3.2)
и
р - рхх + 2i(p q^p - 2(р q) р = 0, iqt! + qxx + 2i(qtpx)q + 2(p*q)2q = 0
pi2 + pxxx - ^pU^p - 3«(piq;c)p;c + 3(piq)(p^q)p + 3(p*q)2p*
qt2 + qxxx + 3i(p*q;c)q + 3i(qip;c)q;c + 3(p4q)(q*p)q + 3(piq)2q;c = 0.
(3.4)
0,
В этом случае уравнение (3,4) является векторной формой уравнения Герджикова — Ива-
(3.5)
(3.6)
нова.
При а = 1 эволюционные уравнения (3.2) принимают следующий вид
Фи - рхх - 2i(ptq)px = 0, iqt! + q^ - 2«(piq)q;c = 0 и
pt2 + рххх + 3г(р^)рлл + 3г(р^)рж - 3(p*q)2p = 0, qt2 + qxxx - 3i(p*q)qxx - - 3(p*q)2q = 0.
Нетрудно видеть, что уравнение (3.5) является векторным уравнением Чепь — Ли — Лью Уравнения (3.2) при а = 2 имеют вид
Фи - рхх - 2i(ptq)px - 2z(pq%p = 0, iqt! + q^ - 2«(piq)q;c - 2i(pq4^q = 0
и
pt2 + рххх + 6г(р* q)pra + 3i(piqa; )рж + 6г(р^)рж + 3г(р^ж)р
- 15(р^)2р. - 12(piq)(piq,)p - 3(р^)(р^)р = 0,
qt2 + qxxx - 6i(p*q)qxx - 3i(qip;c)q;c - 6i(q;cpi)q;c - 3i(p*q;c)q
- 15(piq)2q,c - 12(piq)(qip,c)q - 3(ptq)(ptqx)q = 0.
Соответственно, уравнение (3.6) является новым вариантом векторного уравнения Kayna — Ныоэлла,
4. Стационарные уравнения
Из уравнения (1.1) кроме рекуррентных соотношений вытекают также стационарные уравнения, которым удовлетворяют многофазные решения:
(гдХ + [К0, R + aJ\) + J] Ck [гдХ-k + [K-k, R + sJ\)
k=i
+ гcndxR + cn+i (%dxQ + [Q,R + sJ\) + [Jn, R] = 0
n-2
r0 i ГТ/0 D , Tl | ГТ/0 гл l\ I „ S- а т/0 i П/0 D i „л i ГТ/0
(г 4К-1 + [К°-1, я + + $]) + £С (1дХ-!-к + [К0-!-,, я + 8.] + [К0-,, $])
к=1
+ сга—1 [гдхЯ + [V?, д) + сп (гдхЯ + 3[<д, .]) + [3П} = 0.
Заметим, что поскольку структуры матриц зависят от четности, то скалярные формы стационарных уравнений также зависят от четности. Условия совместности этих двух матричных уравнений приводит к ограничениям на постоянные ск.
В частности, из рекуррентных уравнений (2.4) вытекают следующие условия вещественности. Если q = ар*, оде а = ±1, то
= — аН*к, р* = Р^ Т* = Тк.
Эти условия приводят к следующей симметрии матриц (А):
И ( А))1 = У2°к (А*), И-1(А))1 = —а^_1(А*).
Здесь | есть эрмитово сопряжение. Заметим также, что выполняются аналогичные соотношения для матриц Я:
. = з, = —ад, Я = я.
Из данных соотношений симметрии следует, что каждое стационарное уравнение разбивается на две части, каждая из которых преобразуется но своему правилу. Следовательно, одна из этих частей тождественно равна нулю. Нетрудно понять, что это ведет к равенству нулю всех коэффициентов с нечетными индексами. Поэтому /2к-1 = 0, а матрицы Мп(Х) удовлетворяют следующим условиям
(М2к (Л))1 = М2к (Л*), ^^(А))1 = -аМ2к-1(Х*). (4.1)
Второй набор стационарных уравнений вытекает из условия постоянства коэффициентов уравнения спектральной кривой. Напомним, что спектральная кривая является характеристическим уравнением матрицы Мп(Х):
Г : Щр, X) = - Мп(Л)) = 0
Щ/1,Х)= /л3 + А(Х)/л + В(Х) = 0, (4.2)
п+2
Л(Х) = -1 А2п+4 - А2п+2 + V ЛкХ2п+4
3 3
Уо^л 2С2 л2п+2 I ^^ Л л 2п+4-2к
к=2
В(Л) = 2 А3п+6 + — А3п+4 + У Вк А3п+6-2 к. 27 9 —/
к>2
Напомним также, что коэффициенты Лк и Вк являются дополнительными интегралами многофазных решений. При этом старшие коэффициенты Лк и Вк при п > 1 связаны следующими равенствами
В2 + 3А = 14 В3 + 3Л +1С2Д2 = -274 (4-3)
Из условий ( ) следует, что дискриминант многочлена 'Я-(^) является многочлен ом от А степени 6п + 4. Поскольку на кривой ( ) в общем случае располагаются три различные бесконечно удаленные точки Р12'3
\п
»(V) = у (-2А2 - 2С2 + (3^2 + с2)А-2 + 0(А-4)) , V ^ ^,
№) = у (Д2 + с2 ± /т^-1 + °(Л-2^ , Т ^
Г
случае кривая ( ) имеет 6п + 4 точек ветвления. Используя формулу Римана — Гурвица, получаем что в общем случае род спектральной кривой равен д = 3п.
При четных п кривая ( ) обладает голоморфной инволюцией т^ : (^,Х) ^ -А). При нечетных п голоморфная инволюция кривой ( ) имеет вид т^ : (^,Х) ^ -А). Из условий (4.1) следует, что спектральная кривая (4.2) обладает ангиголоморфиой инволюцией:
• та : (у, X) ^ (у*, А*) при четных щ
• та : (у, X) ^ (-а^*, А*) при нечетных п.
5. Случай п =1 При п = 1 матрица М имеет вид (с1 = 0 и 31 = 0)
М = VI + съУ_ 1.
Стационарные уравнения в этом случае имеют вид
д2ср1 + г(с2 - - + 2з)дх'р1 - грхд2^хР2 + ((с2 + в)(2р1д1 + 2р2д2 - в) + гЗх)р1 = 0, д2хр2 + г(с2 - - 2р2д2 + 2з)дхР2 - гр2ЯгдхРг + ((с2 + з)(2рм! + 2'р2Я2 - э) + гвх)р2 = 0, д^ - ъ(с2 - 2р^1 - р2<?2 + 2з)дхд1 + %Р2Я\дхЯ2 + ((с2 + з)(2р^1 + 2р2д2 - в) - 1вх)д1 = 0, д2сд2 - г(с2 - Ргдг - 2^2 + 2з)дхд2 +
+ ((с2 + я)(2р1д1 + 2р2^2 - - 13х)д2 = 0.
(5.1)
Следуя |23|. |26|. |31| сделаем в уравнениях (5.1) замену
' „ = фЦехр {-/, * = ^ехр {/
где и, "
—- ¿х 2м,-
}
и
р,д^ т, = р,дхд, - д,дхрПосле упрощения получаем
= гс5 + г(с2 - щ - и2 + 2в)и1, ^2 = гс& + г(с2 - и1 - щ + 2з)и2
2и1д1и1 - (дх:и1)2 + (с2 - 2(с5 + с6) + 4с2«2 + 3и^)и1
(5.2)
(5.3)
(5.4)
+ (4С2 + 6м2)М? + 3и\ - с5, 2М2^хМ2 - (дхЩ)2 + (с2 - 2(С5 + Сб) + 4С2«1 + 3м1)м2 + (4С2 + 6«1)м2 + 3и\ - сб.
Здесь с5 и сб являются постоянными интегрирования. Заметим, что уравнения ( ) не содержат функции в и полностью совпадают с уравнениями (23) из работы [ ], Коэффициенты уравнения сиектралыюй кривой (4.2) в данном сну чае имеют вид
1
2о
Л(А) = - - Аб - ^ А4 + Л2А2 + Лэ, В(А) = 27 А9 + А7 + В2А5 + ВэХэ + В4Х,
(5.5)
где
2=
э
с2 + ЗС5 + 3Сб 3 :
(дхЩ)2 (дхЩ)2 , 1
4и1
+
4и2
+ 4 («э + иЭ) + 7(2^2 + 3и2)и21 ^(2С2 + 3и1)и,
4
4
+ С2 «1^2 +
С2 — 2с5 — 2сб
/ , \ , с2 , с2 С2 (с5 + С6)
(И1 + И2) + 45Г + 4^62--2—
2
2с2 + 3с5 + 3сб 9 ;
» _ 1 Л , 2сЭ , С2(С5 + Сб)
Вэ = - 3Лэ + + 3 ,
С2 . ^(дхЩ)2 и^дхщ)2 1
В4 = --2Лэ -
3 4и1
22 с5«2 сб«1 1
. + й(^хП1)(дхи2)
4^2 2
4и1 4и2 2
+ т: с5^б.
4
Нетрудно видеть, что коэффициенты (5,5) уравнения спектральной кривой (4,2) также не зависят от функционального параметра 5, Следовательно, амплитуды решений векторных форм производного нелинейного уравнения Шрёдипгера не зависят от конкретного тина уравнения. Соответственно, от тина уравнения также не зависят коэффициенты уравнений спектральных кривых многофазных решений уравнений (3,6), (3,5) и (3,4), Напомним, что аналогичным свойством обладают решения скалярных форм производного нелинейного уравнения Шрёдипгера |28|,
Поскольку стационарные уравнения ( ) переходят одно в другое при замене и1 о и2, а коэффициенты ( ) инвариантны относительно замены (и1, с5) о (и2, сб), то перейдем от функций и1, и2 к функциям и,у.
и = и1 + и2, V = и1 — и2. (5.6)
В новых обозначениях уравнения (5,4) и коэффициенты (5,5) имеют вид |23|:
ид2хУ + уд^и — (дхи)(дху) + (с2 — 2( с5 + сб) + 4 с2и + 3и2)иу + сб — с2 = 0, 2и д2хи + 2у д2хУ — (дх и)2 — (дху )2 + (с2 — 2( С5 + с6) + 4 С2и + 3и2)(у2 + и2) (5.7) — 2( с5 + с!) = 0.
н
Лэ = ^(и + С2)(и2 + с2и — 2( С5 + Сб))
+ (2( с5 + с2) + (джи)2 + (д^ )2 )и — 2( с5 — с2 + (дя и)(дхУ ))у + 4(и2 — V2) ;
Сг . ((С5 + Сб)2 + (джи)>2 + ((С5 — Сб)2 + (дху )2)и2
(5.8)
#4 = - "Мэ -
3 3 4(и2 — V2)
(с5 — сб + (дхи)(дху ))иу
2( и2 — 2)
Использование соотношений (5.8) позволяет нам перейти от уравнений (5.7) к следующим равенствам:
д2хи = —2и3 — 3 С2и2 — (с2 — 2( С5 + Сб))и + 2Лэ + С2( С5 + Сб) (5.9)
\2 , о^2 <л(„ , „ \ , л„ „. 1 9„.2\„.2
(5.10)
6у д2ху — 3(дху )2 + 3( с2 — 2( с5 + сб) + 4с2и + 3и2) у2 — 12^4 — 4С2Л3 — 3( С5 — Сб)2 = 0. Интегрируя (5.9), имеем
(дхи)2 = —и4 — 2 С2П3 — (с2 — 2( С5 + Сб))и2 + (4Лэ + 2 С2( С5 + Сб))и + с?, (5.11)
где с7 € М есть постоянная интегрирования. Следовательно, и(х) есть эллиптическая функция с простыми полюсами или ее вырождение. Поскольку уравнение (5.11) является
и
Ьк имеет вид
и(х, и) = и(х + 01 (г к)).
Постоянная связана с постоянной с7 с помощью следующего соотношения
1 1/ ч2 1 „
О4 = 4 С7 + С5 + Сб) — 3 С2Л3.
Следуя [23], сделаем в уравнении (5.10) замену V = ди. После упрощения с использованием соотношений (5.7), (5.9), (5.10) и (5.11) имеем следующее дифференциальное уравнение на функцию и
2 = С7^ + 2(4 - С2^ С7 - 2(4 + сб) .
2
Интегрируя ( ) при с7 = 0, получаем
£ = + ^)2 - *2} ((С5 - Сз)2 - .2) 81П + с|-_с|,
к2 к2
где дх9 = ±и-\ к2 = -с7.
При с7 = 0 уравнение (5,12) имеет вид
2 = 2(с! - ДО - 2(3 + с2).
и2
Интегрируя ( ) при с5 = сб, имеем
С2 + С2 2 2 ^2
5 2 + (с2 - сб)17. (5,15)
С5 Сб 2
Из формул (5,13) и (5,15) следует, что зависимость функции и от переменных Ьк имеет вид д(х,гк) = ь(в(х,Ьк)), где в(х,Ьк) = 0(х + 01 )) + Ф2(Ьк)■ Поскольку дискриминант многочлена 'Я-(^) при п =1 равен
-С7Л10 - (2Лэ(с5 + Сб) + С2(С5 + Сб)2 + 3С2С7)Л8 + . . . ,
то при с7 = 0 род спектральной кривой равен д = 3, Это утверждение является верным, если кривая является связной и невырожденной. Т.е. при с7 = 0 спектральная кривая имеет род д = 3 (или является вырождением кривой рода д = 3) и, в тоже самое время, соответствующее решение является двухфазным. Первая фаза содержит ф1(Ьк), а вторая —
Ф2^к )■
Поскольку при с7 = 0 дискриминат равен
-(2Лэ + С2(С5 + сб))(с5 + Сб)Л8 + . . . ,
то при Лэ = -с2(с5 + сб)/2 спектральная кривая имеет род д = 2 (или является вырождением кривой рода д = 2). Заметим, что при с7 = 0 выполняется уел овне с2 = с5, поскольку в противном случае уравнение (5,14) не имеет вещественных решений. Или же можно сказать, что при с2 = с5 выполняется уел овне с7 = 0, Из формулы (5,15) следует, что при с7 = 0 возникает нелинейный «резонанс», когда периодические колебания функции у трансформируются в её квадратичный рост.
При с7 = 0 и Лэ = -с2(с5 + сб)/2 уравнение (5,11) имеет вид
(дхи)2 = М2(2(С5 + Сб) - (и + С2)2).
Т.е. в этом случае функция и выражается через элементарные функции
И =созЬ(аЛ МЫ , " = ^2(С5 + Сб - С2) - С2.
При этом род соответствующей спектральной кривой равен д =1,
Таким образом, процедура построения простейших нетривиальных решений векторных производных форм нелинейного уравнения Шрёдингера состоит из следующих этапов
• Выбираем функцию и(х), удовлетворяющую уравнению ( ), и постоянные с2, с5, Сб, С7 И Лэ.
• По функции и(х) и постоянным, используя формулу ( ), находим функции 9(х) и ь(х).
• Если с7 = 0 т0 функцию и находим из уравнения (5.15).
• Зная функ ции и(х) и у(х), находим функ цию у(х) = у(х)и(х).
•
щ = 2(и + V) = ^(1 + Ъ)и, П2 = 2(и - V) = 2(1 - ь)и.
• Далее по формуле ( ) находим и^(х) и т2(х). Только в этот момент появляются различия в решениях разных вариантов векторных производных форм нелинейного уравнения Шрёдингера,
• Затем по формулам ( ) находим р^ (х) и (х). При этом в аргументах экспонент у функций р^ и после вычисления интегралов появляются дополнительные слагаемые, зависящие от переменных
• Конкретные значения функций фт (£к) находятся из уравнений ( ),
Примеры простейших нетривиальных решений векторного производного нелинейного уравнения Шрёдингера при в = 0 приведены в работе [23], Вместе с тем решения, соответствующие п =1, имеют общие свойства, которые не зависят от вида решения, В частности, как нами было получено выше, спектральная кривая задается уравнениями (4,2), (5,5),
Ао = -
Во
4 + 3( С5 + С6) 3 : 2с2 + 3( С5 + Сб)
9 '
В3 = -±Д 3 + ^ + С2( "5 + С6) #3 = 3Лз +27+ 3 ' 1 1 2 1 #4 = 4С7 + С5 + Сб) - 3С2Л3.
Т.е. при = 1 уравнение спектральной кривой зависит от постоянных Л3, с2' с7 и (с5 + с6). Из уравнения (5,11) вытекает, что от этих же постоянных зависит и уравнение на функцию и(х). Заметим, что эти постоянные находятся однозначно из уравнения ( ), Отметим также, что пять коэффициентов уравнения спектральной кривой определяются этими четырьмя постоянными и, соответственно, как нетрудно проверить, связаны уравнением
Лз + 3#з + (4Л2 + 3Бо)\/ 3 Л + #2
V
1
0.
(5.16)
Т.е. решениям стационарных уравнений (5,1) соответствуют не все кривые вида (4,2), (5,5), а только те, коэффициенты которых удовлетворяют условию (5,16),
Напомним, что в работе |23| мы указывали па возможность геометрического подхода к анализу простейших нетривиальных решений векторных уравнений. Геометрическая интерпретация заключается в следующем. Пусть
и Ч = ор*, гДе О
Р1 = |р| е-1 0С8(ф)'
±1. Тогда имеем
р2 = |р| евш(ф)
и1 = РЩ1 = о |Р|2 осе2(ф)' щ = р2д2 = о |р|2 вт2(ф)
и
и = и1 + и2 = о |р|2 ' V = и1 — и2 = о |р|2 осв(2ф)'
г; = у/и = осв(2 ф) < 1.
Если же редукция имеет вид
1
*
а'р 1'
2
*
аР 2'
(5.17)
то «угол» ф становится чисто мнимым ф = {ф, оде ф Е К. Т.е. «ориентация» вектора р определяется функцией у = освЬ(2ф) > 1. Таким образом, если у < 1, то решение удовлетворяет редукции ч = ор*. Если у > 1, то редукция решения удовлетворяет соотношению
(5,17), При v = 1 вторая компонента вектора р отсутствует (и2 = 0), Знак редукдни а определяется знаком и:
а = sign(u).
Таким образом, при п =1 уравнения на спектральную кривую и на длину вектора определяются одними и теми же постоянными. Следовательно, но уравнению спектральной кривой можно однозначно определить уравнение, которому удовлетворяет длина вектора решения, В то же время, как следует из уравнения (5,13), направление вектора зависит от длины вектора и от постоянных с7, (с5 + с6), (с5 — с6), Следовательно, в случае п = 1 направление вектора решения зависит от дополнительного параметра (с5 — с6), который нельзя определить но уравнению спектральной кривой. Из уравнения (5,13) следует, что при с7 = 0 вектор решения колеблется вокруг направления, задающегося равенством
- (С5 — С6)(С5 + Се) cos(2 00) = ^0 =--.
7
5— 6
тора решения.
Иногда решения векторных уравнений строят но решениям скалярных уравнений но правилу р2 = трi, q2 = ±т*q\. Знак ' —' соответствует редукции (5,17), В этом случае
, | ,2 ~ 1Т М
и2 = ± |т| и1 И V =-:-— = const.
1 ± | т2 |
Из уравнения (5,13) следует, что при с7 = 0 функция у является постоянной в одном из двух случаев:
С7 = — (С5 + Се)2 и С7 = — (С5 — Се)2.
Если с7 = — (с5 + с6)2, то уравнение спектральной кривой имеет вид
V — ^ - ^а) L2 + Qa» + ¡С2А) Ц
2 4 1 \
-9 Л6 - 4с2а4 - -(с2 + 9(С5 + Сб))Л2 + аЛ = 0.
Т.е. в этом случае спектральная кривая распадается па две компоненты, одна из которых является рациональной кривой. Род второй компоненты равен 2, В этом случае направление вектора решения определяется уравнением
^ ^ С5 - Сб Сб , . ,2
V = у0 =- или — = ± |га| .
С5 + Сб С5
Длина вектора решения в этом случае может быть как эллиптической функцией, так и ее вырождением.
Если с7 = -(с5 - с6)2, то спектральная кривая при с5 = с6 является кривой рода 3 или ее вырождением. По-видимому, это связано с тем, что уравнение спектральной кривой не зависит от параметра (с5 - с6). Длина вектора решения в этом случае также может быть как эллиптической функцией, так и ее вырождением, а направление определяется равенством
^ ^ С5 + С6 С6 . ,2
V = у0 =- или — = ^ |га| .
5- 6 5
Т.е., в отличие от системы Мапакова |1| и векторного уравнения Кунду — Экхауса |26|, построение решений векторных уравнений но решениям их скалярных аналогов не всегда приводит к распаду спектральной кривой па отдельные компоненты,
В заключение данного раздела отметим, что при с7 = 0 у вектора решения пропадают зависящие от 02(^) колебания его направления, поскольку в этом случае ориентация вектора решения определяется формулой (5,15),
6. Динамика многофазных решений
Теперь естественным образом встает вопрос, насколько общим является геометрический подход. Можно ли его применить к более сложным решениям? В данном раздело мы постараемся ответить на этот вопрос.
Рассмотрим вместо соотношений (5,2) следующие равенства
р3 (х,$ = (М)е^ (х'4), % (х,1) = (х,г)е-газ (х'4). (6.1)
После подстановки выражений (6,1) в уравнения (3,2) при £ = ^ и после упрощения (без использования стационарных уравнений) имеем
д^ и = дх((2з — и)и + гт),
гдх ,дхго (6.2)
ллс - - '
ди V = 2здхд — у + I- х
и и
Здесь
т = + 4^2, П) = — -Ш2. Из соотношений (5.2) следует, что дха.у = {т^/(2и^), Выражения для д^а^ имеют очень громоздкий вид. Поэтому мы их опустим,
В случае 5 = а(р*я) = аи (векторные производные уравнения НШ) уравнения (6,2) принимают вид
д^ и = дх((2а — 1)и2 + г,ш),
^ п п — дхго
(6.3)
о^ V = 2аиохь--V +--.
и и
Т.е. динамика длины вектора определяется самой длиной вектора и дополнительной функцией 'ш, сложность которой возрастает с номером п. Вместе с тем, направление вектора зависит от самого направления, длины вектора и дополнительных функций т и {д. При п = 1 из уравнений (5.3) вытекают следующие равенства
= г(с5 + се) + г(с2 + (2а — 1)и)и,
ги = г(с5 — сб) + г(с2 + (2а — 1)и)ии.
Следовательно, при п =1 уравнения (6.3) имеют вид
дн и = —с2дхи, д1г V = (и — с2 )дхд.
Т.е., при п =1 длина вектора каждого решения любого векторного производного уравнения НШ зависит от аргумента (х — сг^). Вместе с тем, его ориентация меняется более сложным образом.
В случае £ = ¿2 динамика длины решения описывается следующей формулой
Я о Ло 2 о 2ч , О- , 3(и}2 — + ™2)
Ог2и =Ох\ (35 — 2и )и + Згвчи +--——-—-
\ 4и(у2 — 1) .
—
+ —
4и 4(1 — г?)
Т.е., если эволюция вектора задается вторым уравнением иерархии, то эволюция длины вектора зависит, в том числе, от его направления. Однако, поскольку при п =1 направление вектора зависит от его длины, то эволюция вектора решения в случае п =1 также принимает достаточно простой вид
дЬ2 и = (с2 — 2(с5 + се ))дхи,
д12 V = (с2 — 2(с5 + се) — 2с2и)дх V.
Следовательно, при п = 1 и £ = ¿2 длина вектора решения также зависит от аргумента в виде линейной комбинации переменных (х + (с2 - 2(с5 + с6))Ь2), Эволюция ориентации решения снова определяется более сложным образом. При упрощении уравнений эволюции были использованы соотношения (5,9), (5,11), (5,12) и (6,4),
7. Заключительные замечания
Упрощение уравнений (6,2) и (6,5) при п =1 указывает, что если для других значений п функции ш, V и у будут, как и в случае п = 1, выражаться только через функцию и, то эволюция длины вектора решения также будет зависеть только от самой длины и не будет зависеть от ориентации решения. Тогда геометрическая интерпретация решения бу-
п = 1 п = 2
п = 2
ца мопдромии, стационарные уравнения и уравнение спектральной кривой будут в этом
п = 2
до д = 6 и появление элементов матрицы 32 в стационарных уравнениях могут внести дополнительные варианты поведения вектора решения.
Отметим также, что в настоящей работе не рассматривалась подробно зависимость ком-
следует, что эта зависимость имеет достаточно простой вид
Рз ( 5 )= Рз (0)ехр | -г J в(х) , qj ( 5 ) = qj (0)бхр|г J в(х) с1х^ . (7,1)
Формула (7,1) указывает па правильную интерпретацию уравнений (3,4)-(3,6) как векторных производных форм нелинейного уравнения Шрёдипгера, поскольку, как и в скалярном случае (см., например, |32|- |35|), существует калибровочное преобразование вида (7,1), переводящее одно уравнение в другое с сохранением амплитуды решения,
компонент решения, А поскольку информация по оптическим каналам передается с помощью комплексных кодов (см., например, |36|), то выбор уравнения, соответствующего данному конкретному волноводу, является очень важным.
Благодарности
А,О, Смирнов благодарит организаторов конференции «Спектральная теория, нелинейные задачи и приложения» (Репино, 9-10 декабря 2023) за возможность ознакомиться с проблемами, которые требуется решать дня корректной передачи информации по оптическим волноводам.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. А.О. Smirnov, V.S. Gcrdjikov, V.B. Matvccv. From generalized Fourier transforms to spectral curves for the. Manakov hierarchy. II. Spectral curves for the Manakov hierarchy /7 Eur. Phvs. .J. Plus. 135:561, 20 pp. (2020).
2. G. Zhang, L. Ling, Zh. Yan. Multi-component, nonlinear Schrodinger equations with nonzero boundary conditions: Higher-order vector Peregrine solitons and asymptotic estimates /7 .J. Nonlinear Sri. 31:81, 52 p. (2021).
3. J. Pu, Y. Chen. Data-driven vector localized waves and parameters discovery for Manakov system using deep learning approach /7 Chaos, Solitons & Fractals. 160, 112182 (2022).
4. D. Sinha. Integrable. local and non-local vector non-linear Schrodinger equation with balanced loss and gain /7 Phvs. Lett. A. 448, 128338, 7 p. (2022).
5. A. Gelash, A. Raskovalov. Vector breathers in the. Manakov system /7 Stud. Appl. Math. 150:3, 841 882 (2023).
6. G. Zhang, P. Huang, B.-F. Feng, С. Wu. Rogue waves and their patterns in the vector nonlinear Schrodinger equation //J. Nonlinear Sci. 33:116, 64 p. (2023).
7. S. Ghosh, P.K. Ghosh. Solvable limits of a class of generalized vector nonlocal nonlinear Schrodinger equation with balanced loss-gain // Phvs. Scr. 98:11, 115214 (2023).
8. D. Snee, Y.-P. Ma. Domain walls and vector solitons in the coupled nonlinear Schrodinger equation // J. Phvs. A, Math. Theor. 57:3, 035702, 25 p. (2024).
9. J.-V. Goossens, M.I. Yousefi, Y. Лаоиёп, H. Haffermann. Polarization-Division Multiplexing Based on the Nonlinear Fourier Transform // Opt. Express. 25:22, 26437-26452 (2017).
10. S. Gaiarin, A.M. Perego, E.P. da Silva, F. Da Ros, D. Zibar. Dual polarization nonlinear Fourier transform-based optical communication system, // Optica. 5:3, 263-270 (2018).
11. S. Civelli, S.K. Turitsvn, M. Secondini, J.E. Prilepskv. Polarization-multiplexed nonlinear inverse synthesis with standard and reduced-complexity NFT processing // Opt. Express. 26:13, 1736017377 (2018).
12. S. Gaiarin, A.M. Perego, E.P. da Silva, F. Da Ros, D. Zibar. Experimental demonstration of nonlinear frequency division multiplexing transmission with neural network receiver // Journal of Lightwave Technology. 38:23, 6465-6473 (2020).
13. B.J. Puttnam, G. Rademacher, R.S. Luis. Space-division multiplexing for optical fiber communications // Optica. 8:9, 1186-1203 (2021).
14. H.C. Morris, R.K. Dodd. The two component derivative nonlinear Schrodinger equation // Phvs. Scr. 20:3-4, 505-508 (1979).
15. A. Fordv. Derivative nonlinear Schrodinger equations and Hermitian symmetric spaces // J. Phvs. A. 17, 1235-1245 (1984).
16. T. Tsuchida, M. Wadati. New integrable system,s of derivative nonlinear Schrodinger equations with multiple components // Phvs. Lett., A 257:1-2, 53-64 (1999).
17. Т. Xu, B. Tian, C. Zhang, X.-H. Meng, X. Lu. Alfven solitons in the coupled derivative nonlinear Schrodinger system, with symbolic computation // J. Phvs. A, Math. Theor. 42:41, 415201, 14 p. (2009).
18. L. Ling, Q.P. Liu. Darboux transformation for a two-component derivative nonlinear Schrodinger equation // J. Phvs. A, Math. Theor. 43:43, 434023, 11 p. (2010).
19. B.L. Guo, L.M. Ling. Riemann Hilbert approach and N-soliton formula for coupled derivative Schrodinger equation // J. Math. Phvs. 53:7, 073506, 20 p. (2012).
20. H.N. Chan, B.A. Malomed, K.W. Chow, E. Ding. Rogue waves for a system, of coupled derivative nonlinear Schrodinger equations // Phvs. Rev. E 93:1, 012217, 10 p. (2016).
21. L. Guo, L. Wang, Y. Cheng, J. He. Higher-order rogue waves and modulation instability of the two-component derivative nonlinear Schrodinger equation // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 79, 104915, 20 p. (2019).
22. J. Wu. Integrability aspects and multi-soliton solutions of a new coupled Gerdjikov Ivanov derivative nonlinear Schrodinger equation // Nonlinear Dvn. 96:1, 789-800 (2019).
23. A.O. Smirnov, E.A. Frolov, L.L. Dmitrieva. On a hierarchy of vector derivative nonlinear Schrodinger equations // Symmetry. 16:1, 60 (2024).
24. A. Kundu. Landau-Lifshitz and higher-order nonlinear system,s gauge generated from nonlinear Schrddinger-type equations //J- Math. Phvs. 25:12, 3433-3438 (1984).
25. A. Kundu. Integrable Hierarchy of Higher Nonlinear Schrodinger Type Equations // SIGMA, Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 2, 078, 12 p. (2006).
26. A.O. Smirnov, A.A. Caplieva. Vector form of Kundu-Eckhaus equation and its simplest solutions / / Уфим. мат. ж. 15:3, 151-166 (2023).
27. Б.А. Дубровин. Матричные конечнозонные операторы // Итоги науки тех. Сер. Соврем, пробл. мат. 23, 33-78 (1983).
28. А.О. Smirnov. Spectral curves for the derivative nonlinear Schrodinger equations // Symmetry. 13:7, 1203, 18 p. (2021).
29. D. Rajeswari, A.S. Raja, S. Selvendran. Design and analysis of polarization splitter based on dual-core photonic crystal fiber // Optik. 144, 15-21 (2017).
30. N. Chen, X. Ding, L. Wang, Y. Xiao, WT. Guo, Y. Huang, L. Guo. Broadband Polarization Beam, Splitter Based on Silicon Dual-Core Photonic Crystal Fiber with Gold Layers Operating in Mid-Infrared Band // Plasmonics 19, 1939-1949 (2024).
31. A.O. Smirnov, E.A. Frolov. On a method for constructing solutions to equations of nonlinear optics. In: Wave Electronics and Its Application in Information and Telecommunication Systems, Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), St. Petersburg, 448-451 (2022).
32. M. Wadati, K. Sogo. Gauge transformations in soliton theory //J. Phvs. Soc. Jpn. 52, 394-398 (1983).
33. A. Kundu. Exact solutions to higher-order nonlinear equations through gauge transformation // Phvsica D 25, 399-406 (1987).
34. T. Tsuchida, M. Wadati. Complete integrability of derivative nonlinear Schrddinger-type equations // Inverse Probl. 15:5, 1363-1373 (1999).
35. B. Yang, J. Chen, J. Yang. Rogue Waves in the Generalized Derivative Nonlinear Schrddinger Equations //J. Nonlinear Sci. 30:6, 3027-3056 (2020).
36. A.JI. Делицын. Быстрые алгоритмы, решения обратной задачи рассеяния для системы уравнений Захарова-Шабата и их приложения // Мат. заметки 112:2, 198-217 (2022).
Александр Олегович Смирнов,
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, Большая Морская ул., 67А, 1900000, Санкт-Петербург, Россия E-mail: [email protected]
Степан Дмитриевич Шиловский, Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, Большая Морская ул., 67А, 1900000, Санкт-Петербург, Россия E-mail: [email protected]
