КОНЕЧНОЗОННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ АКНС ИЕРАРХИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 2 (2021). С. 86-103.

УДК 517.957

Посвящается светлой памяти Алексея, Борисовича Шабата -одного из главных создателей современной теории классических интегрируемых систем,

КОНЕЧНОЗОННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ АКНС ИЕРАРХИИ

А.О. СМИРНОВ, В.Б. МАТВЕЕВ

Аннотация. Нелинейные нелокальные модели существуют во многих областях физики. Наиболее известными из них являются модели, обладающие РТ-симметрией. Кроме РТ-симметричных моделей активно исследуются нелокальные модели с обратным временем и/или координатой. Другие виды нелокальностей встречаются намного реже. Как правило, в работах, посвященых нелинейным нелокальным уравнениям, рассматриваются солитонные или квази-рациональные решения одного из этих уравнений. В представленной нами работе рассмотрены нелокальные симметрии, которым удовлетворяют все уравнения из иерархии Абловица-Каупа-Ньюэлла-Сигура. На основании свойств решений, удовлетворяющих нелокальным редукциям уравнений из иерархии АКНС, предложена модификация тэта-функциональной формулы для функции Бейкера-Ахиезера. Найдены условия на параметры спектральных кривых, ассоциированных с многофазными решениями, не имеющих экспоненциального роста на бесконечности. Показано, что при выполнении данных условий происходит разделение переменных. Большинство утверждений нашей работы является верным и для солитонных и квази-рациональных решений, поскольку они являются предельными случаями многофазных.

Ключевые слова: уравнение НШ, иерархия АКНС, нелокальное уравнение, РТ симметрия, конечнозонное решение, спектральная кривая, тэта функция.

Mathematics Subject Classification: 37К10, 35Q55, 35Q60

Введение

Нелинейные нелокальные модели возникают во многих областях физики. Наиболее известными из них являются модели, обладающие РТ-симметрией. Для общего представления о роли РТ-симметрии в широком круге физических задач, связанных со спектральной теорией неэрмитовых операторов с вещественными спектрами, ее проявлениями в теории нелинейных волн в различных физических средах и, в частности, в теории нелокальных интегрируемых систем, можно рекомендовать обзор [1] и недавнюю книгу [2].

После появления работ Абловица и Мусслнманн [3]- [8] резко увеличилось внимание к решениям нелокальных интегрируемых нелинейных уравнения (см., например, [9]- [30]). Как правило, в этих работах для построения решений авторы использовали преобразование Дарбу или метод Хироты, Естественно, встал вопрос о возможности построения решений нелокальных интегрируемых уравнений методом конечнозонного интегрирования. Первые наши результаты по теории конечнозонных решений нелокальных интегрируемых

А.О. Smirnov, Y.В. Matveev, Finite-gap solutions of nonlocal equations in Ablowitz-Kaup-Newell-Segur hierarchy.

© Смирнов А.О., Матвеев В.Б. 2021.

Исследования были выполнены при финансовой поддержке РФФИ (грант №19-01-00734) и Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (соглашение № FSRF-2020-0004).

Поступила 15 марта 2021 г.

уравнений из АКНС иерархии были опубликованы в работах [31]- [33], В настоящей работе мы подводим итоги наших исследований по данной теме.

Представленная работа состоит из пяти разделов, В первым разделе, следуя [34], [35], мы выводим уравнения из АКНС иерархии и анализируем их симметрии. Второй раздел посвящен предлагаемой нами модификации функции Бейкера-Ахиезера, За основу взята функция Бейкера-Ахиезера для классических вариантов нелинейного уравнения Шредин-гера [36]- [38], В заключение второго раздела приводятся формулы для конечнозонных решений, соответствующих предложенной нами функции Бейкера-Ахиезера, В разделе 3 исследованы свойства конечнозонных решений, построенных по трем классам спектральных кривых с антиголоморфной инволюцией, В общем случае конечнозонные решения, построенные по спектральным кривым с антиголоморной инволюцией, имеют экспоненциальный рост/убывание при стремлении значений независимых аргументов к положительной/отрицательной бесконечности, В связи с этим на спектральные кривые наложено дополнительное условие в виде наличия голоморфной инволюции, В разделах 4 и 5 показано, как наличие данной голоморфной инволюции влияет на параметры построенных в разделе 2 конечнозонных решений нелокальных уравнений АКНС иерархии, В частности, в разделе 5 показано, что наличие голоморфной инволюции приводит к разделению переменных: каждая тэта-функция конечнозонного решения является суммой, составленной из произведений двух тэта-функций меньшей размерности, В аргументе одной из меньших тэта-функций будут присутствовать времена с нечетным индексом ¿1,£з,..., в аргументе второй - переменная х и времена с четным индексом ¿2,^4,... ■ Также в разделе 5 приведены примеры выражающихся через одномерные тэта-функции . тух зонных решений нелокальных уравнений АКНС иерархии,

1. Уравнения из АКНС иерархии

Хорошо известно, что уравнения из АКНС иерархии [39] получаются как результат совместного рассмотрения уравнений

'фл = ЯФ,

х ' (1.1) Фъ = V Ф, { ;

!

V = - * к (Р,д) г пк (р,д) ( .

где (см., например, [34], [35])

Я := М + Я0, VI :=2Ш + V?, ^к+1 := 2А^к + Я0к+1, к ^ 1, (1.2)

' := (■- 0) • Я0 := (4 'О) ■ <ЬЗ)

то = ( -гкРк (р, д) гк-1Нк (р, д) чг к-1Ск(р, д) гкРк(р, д)

Из уравнения

(Фх) гк = (Ф*к )х

вытекают следующие рекуррентные соотношения на функции Рк(р, д), Нк(р, д) ъ Ск(р, д):

Н1(р, д) = -Рх, 01(р, д) = -(Рк(р, я))х = -рСк(р, д) - дНк(Р, д), Нк+1 (Р, я) = 2рРк(Р, д) + (Нк(Р, д))х , Ск+1(Р, Я) = -2чРк(р, д) - (Ск(р, я))х .

В частности,

^1(Р, Я) = РЯ, н2 (р, я) = 2р2д - рхх,

^2(р, я) = - 2д2р + дхх, Р2(р, д) = РхЯ - рдх,

Нз(р, д) = брдрх - Рххх, д) = 6рддх - Яххх,

Рз(р, д) = рдхх + дрхх -РхЯх - 3р2д21

на(р, д) = - 6р3д2 + 6щр2х + 4ррхЯх + 8рдрхх + 2р2дхх - Рхххх,

д) = &р2д3 - 6р(?х - 4дрхЯх - 8ряяхх - 2д2рхх + Чхххх,

д) = - брд2рх + бр2ддх - ЧхРхх + РхЧхх + дрххх - рчххх,

Нъ{р, д) = - 30р2д2рх + 10р2хЯх + 20урхРхх + ЮрЯхРхх

+ ЮрРхЯхх + Юрдр ххх Рххххх 1

д) = - 30р2д2дх + 10рхдх + ЩЯхРхх + ЩрхЯхх

+ 20рдхдхх + Юрдд ххх дххххх1

о о 0 0 00 О О

Ръ(р, д) = 10р д - 5д Рх - 5р дх - 10рд рхх - 10р ддхх + Рххдхх

дхРххх Рхдххх + дрхххх + рдхххх-

Нетрудно показать, что функции Рк (р,д), Нк (р,д) и Ск (р,д) обладают следующими свойствами [34], [35]

Рк(д,р) = (-1)к-1Рк(р,д), Рк(-Р, -д) = Рк(р,д), Ок+Лр, д) = (-1)кНк+г(д,р), Нк+г(-р, -д) = -Нк+г(р, д)

(1.5)

и

\к-1

Рк {р\х=-х 1 я\х=-х) = -)к-1 рк (Р, 0)\х=-х 1

Ск (р\х=-х 1 д\х=-х) = (-1)к Ок(р,д)\х=-х, (1-6)

Нк (р\х=-х 1д\х=-х) = (-1)к Нк (РА)\х=-х ■

Следствием условий совместности также являются интегрируемые нелинейные эволюционные уравнения АКНС иерархии, которые имеют вид

Рч = -гкНк+1 (р, д), дч = -гкСк+1 (р, д)

или

Ргк + гкНк+1(р} д) = 01 дгк + (-г)кНк+^р) = 0. (1.7)

В наших обозначениях классические интегрируемые нелинейные уравнения имеют следующий вид:

1. фокусирующее нелинейное уравнение Шредингера

ърн - Н2(р, -р*) = 0;

2. дефокусирующее нелинейное уравнение Шредингера

грн - Н2(р,р*) = 0;

3. действительное модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза

Ръ - Н3(Р, ±Р) = 0;

4. уравнение Лакшманана-Порсециана-Даниеля ( [40-42], I = -13)

грг - НА(р, -р*) = 0.

2. Функция Бейкера-Ахиезера для нелокальных уравнений

Сделаем в уравнениях (1.2) замену спектрального параметра А ^ гА:

Я :=г\,1 + Я0, Vl :=2г\Я + Щ?, Vk+l :=2г\Щк + V0к+1, к^ 1. (2.1)

Нетрудно понять, что условия совместности пар Лакса (1.1) при этом не изменятся, хотя поменяются условия вещественности, а также редукции, содержащие операцию комплексного сопряжения.

Следуя [36], [37] (см. также [34], [35], [43]- [45]) зададим гиперэллиптическую кривую г = {(ХА)} рода д

Г

X2 =

2д+2 2д+2

П (А -А,) + ^ Х]^2я+2

3=1 3=1

-

Хз е К.

(2.2)

Выберем па Г канонический базис циклов ^ = (а 1,... ,ад, Ь1, . . . , Ьд) с матрицей индексов пересечения

' О Г -I О

Со

(-0).

Г

Щ = ^ СзкХд-к

к=1

ЯХ

X '

ЯЛ, = 5,

з = ° кз,

к,] = 1,...,д

ак

с матрицей периодов

Вкз

, к,] = 1,

,

Вь = В, 1т(В) > 0.

(2.3)

(2.4)

(2.5)

Построим по матрице периодов (/-мерную тэта-функцию с характеристиками ^, £ е К [46]- [51]:

©[Л*; С](р|В) = ^ ехр{тгг(т + (т + ц) + 2ш(т + ^(р + С)},

шежэ

©[0; 0](р|В) = 0(р|В) = 0(р),

где р е С9, суммирование проходит по целочисленной (/-мерной решетке.

Г

и третьего — ш0(Р), рода с асимптотикой в бесконечно удалеиных точках Т±\

(2.6)

Пз(Г)

ак

Пз(Т) = ± ((2гУ~1^ -Кз + 0{\-1)) ,

и0(Т) = т (1пА - 1пК0 + 0 (А-1)) , X = ± (Ай+1 + 0 (А* )) ,

Я^з = Ф Яш0 = 0,

ак

к = l'...'g' V ->■ Т±,

' ' ' <Х 1

(2.7)

(2.8)

Обозначим через 2кг Уз векторы Ь-периодов абелевых интегралов второго рода Пз(Р).

Следуя [36], [37] и [38], зададим однозначную от точки Те Г векторную функцию Бейкера-Ахиезера

Ч' ■ -1=й?: 5

(2.9)

где х = (х^^ Ь21... У,

«Г = °Ли(Х)> {«СР. х)} .

^ ■ х) = ^ % % )+UZС0Х)) + А) ехр + «(V, х))} .

Здесь г3 - нормирующие множители, А — вектор абелевых голоморфных интегралов, вычисленных вдоль пути, соединяющего точки V- и Т+., и не пересекающего ни один из базисных циклов,

А = и(Р+) - и(V-) и(х) = У1х + £ У+%. 1

3>1

«(V1 х) = х«г(Т) + ^ ^ «+1(Р),

>1

Z0 Е Са - вектор, задающий начальную фазу. Нормирующие множители

= е(и(у+) - Zo)

г1(х) = г, I ехр 1 К1х 1 / ,К3+1

-®(и(V+) - Zo + и(х))

в(и(У-) - Zo) ''в(Ы(V-) - Zo + и(х) + А)

г 2(х) = -г/ , , л ^ ех^ ^^ /

ехр |к1х + ^ К^+1 ^ | 1

К1х - ^ К3+1*3 \ >1

находим из асимптотики вектор-функции (2,9) в окрестности бесконечно удаленных точек :

ф(Р 1 х) = ( р1 + а+(х)Л-3 ) ехр \хХ + у; г3 (2г)3Л3+Л 1

+ а+(х)Л-3^ ехр |хЛ + (2г)3Л3+11 ф(У 1 х) = Л-1 (^2(х) + ^+(х)Л-3^ ех^|хЛ + 13(2г)3Л3+^ ? У^У— 1 ф(У 1 х) = (х) + |>"(х)Л-^ ехр |-хЛ - 13(2г)3Л3+^ 1 У ^ У— 1

ф(р 1 х) = Л + (х)Л-3^ ехр |-хЛ - ^ 13(й)^11 1 У ^ У—.

Теорема 2.1. Алгебро-геометрические решения уравнений АКНС иерархии, построенные по функции Бейкера-Ахиезера (2,9), имеют вид

р(х) = в(Ы) - ^ + и(х) - А) ^ШМ}

р(х)= Р2 е(и(у—) - Zo + и(х)) ехр{2ф(х)}'

д(х) = ^Zo + и(тхт)+ А) ехр{-2Ф(х)}1 '

2гР2К в(Ы(У—) - Zo + и(х) + А) Ар, в(Ы(У—) - Zo + и(х))

где

А ™ = К* + ^

3. Алгебро-геометрические решения, построенные по спектральной

кривой с антиинволюцией Пусть канонический базис циклов преобразуется при антиголоморфной инволюции

Га :(х,\) ^ (х*,Х*) (3.1)

по следующим формулам (аа = ±1)

Та* =(Га&, Tab = -(Га(Ъ + К а). (3.2)

Введем обозначения

Ajm = ф\д~т~, Взт =!\°-т х J bj х

Тогда матрица коэффициентов нормированных голоморфных дифференциалов (2.3) и матрица периодов (2.5) равны

С = (А*)-1, В = ВС* = ВА-1.

Из уравнения

du = rdu,

Jt£ Jl

где l есть произвольный путь па Г а du - произвольный абелев дифференциал, следует, что

,.dX\ f i^n-mdX

Та

хд-тdX = af хд-т dX = ^а А х ^ а j х

Следовательно, А* = оаАш С * = оаС. Поступая аналогично с интегралами по Ь-циклам, получаем

В* = —(7 а (В + К Д) ил и В * = -В -К

и

Re(B) = — 2к. (3.3)

Обобщая эти формулы па произвольный путь l, имеем

QldU^ dU. (3.4)

Из билинейных соотношений Римана (см., например, [38], [46], [49]) следует, что

_2к ■ к-1 f)kij.

Vk = Res(Uj (V )dQk) — Res(Uj (V )dQk) '

(A3m)* = £ (Xg-mdX)* = i та(\д-т

' aaJ

1*

ч ( k — 1)!

Соответственно,

?+=0

к- 1 к

(Ук) = (-1)к-1<7аУк. (3.5)

Из равенств (П ¡(Р))* = (-1)з-1Пз(та'Р) и таТ:±± = следует, что

К* = (-1)з-1Кз и Ф*(х) = -Ф(Тх),

где Ткт = (-1)к5кш-Рассмотрим 4 типа спектральных кривых с инволюцией (3.1), (3.2).

1. Все точки ветвления не лежат на действительной оси, 1ш(Л2й+2) = 0, 7а = -1, Ке(В) = 0 при д > 1, (например, рис. 1).

2. Только часть точек ветвления не лежит на действительной оси, 7а = -1, Ке(В) = 0 при д > 1, (например, рис. 2).

3, Все точки ветвления лежат на действительной оси: 1ш(Л3) = 0, 7а = -1, Ке(В) (рис, 3),

4, Все точки ветвления лежат на действительной оси: 1ш(Л3) = 0, 7а = 1, Ке(В) (рис, 4),

Во всех четырех случаях будем считать, что

0 0

(■V

г-Р

г-Р

П,(Р)

в«3

'Р2д + 2

Ш„(У )

вш0

'Р2д + 2

и (V)

ш.

>Р2д + 2

Следовательно, во всех четырех случаях выполняются условия

«3( то V) = -«(V) ш„( Т„т) = -шо(Р ) и (т„Т) = -Ы (V),

и (V— ) = -и (V—) и и (V— )=1-^

где т0 есть гиперэллиптичеекая инволюция, т0 : (х? Л) ^ (-ХтЛ).

В случае 1 выполняется условие та'Р2д+2 = 'Р2д+1. Поэтому из уравнения (3,4) и соотношения таТ± = вытекают следующие равенства

(и (V— ))* (и (V- ))*

гР+

'^2д+2

гР-'Р2д + 2

гТ+ Г~Р2д + 2

«а вЫ = (Га Ш + Оаи (V— )

^2д + 1 ^~Р2д + 1

гР— гР 2д + 2

<7а вЫ = <7а Ш + 7аЫ (V- ).

(3.6)

'Р2д + 1

'Р2д+1

*

*

!шЛА

Л1

а 1

Л

Л2к— 1

ак

Л

2д+1

ЯеЛ

Л2

Л

2д+2

ь

1

Рис. 1. Случай 1

Заметим, что пути интегрирования в уравнениях (3.6) принадлежат разным листам двулистной поверхности Г. Поэтому в случае 1

д 1

А* = вЫ + 7аД = е - А ми Ие(Д) = -<

к=^ак 2

где = 1, ] = 1}... }д.

Также в данном случае выполняется равенство

/г Р \* Г Р Г тар Л Р2д+2

(шо(Р ))* = { вшо\ = Та(вшо) = I вш„ = / вш„ + .о( ТаТ)

\^Р2д + 2 ) ^Р

Р2д+2 Р2д+1 *>Р2д+1

где путь интегрирования, соединяющий точки гР2д+1 и гР2д+2, не пересекает базисные цик-

Г Р2д + 2

лы. Вычисляя интеграл / Яшо, получаем

Следовательно,

гР 2д + 2 1

сЬ0 = -

'Р2д + 1 2

1

I

\к=1 ^

Яшо + 2п{Кез(с1шо ) ) = -тг1.

+ > о

!ш(1пК0) = - 11ш (ш0(V) - (ш0(V))*) 2г

гТ

1 I'

- + —11ш = -+-кп, п е {0; 1;-1}

2 2 г Таг 2

К2 = - | К

Выбирая начальную фазу Z0 так, что выполняется условие

(Ы(Т+) - Zо)* = и(Т+) - Zо + ВМ + N М,N е Ъд, N = -(КеВ)М,

имеем

*, Р (х

(х) = -2%А*р1 0((Ы(У+) - Zо)* + и(Ух) + А - е) е

2

0((Ы (Р+) - Zо)* + и (Ах))

кг М4е

А 1

Кор2

2тМ41шА

д(.!х).

(3.7)

Таким образом, при |р21 = \ Ар1К-1 ехр{^М* 1шА}| функции (2.10), построенные по гиперэллиптической кривой, обладающей инволюцией (3.1), (3.2) и удовлетворяющей условиям 1ш(Аз-) = 0, 7а = -1, являются алгебро-геометричеекими решениями нелокальных уравнений АКНС иерархии с редукцией д(х) = 7р*(.1х), где

7 = - ехр{^гМ*е}.

(3.8)

1шАА

а1

—\ ак

А

А2к— 1

И,еА

А1

А2

А

2 к

А

2д+1

А

2д+2

Рис. 2. Случай 2

К

формулы

0*(р1В ) = 0(р* + а|В), где (в)з- = Кзз/2^ вытекает что спектральная кривая данного типа не может быть использована для построения нелокальных редукций многофазных решений из иерархии АКНС.

2

2

В случае 3 выполняется условие raV2g+2 = V2g+2, и поэтому

(U (V+ ))* = -U (V+), (U (V- ))* = -U (V-) и А* = -А,

и

Ыг ))*

/ duo) = \JV2g + 2 J JV

V j-TaV

Ta(duo) = duo = uo( TaV).

~P2g + 2 JP2g + 2

Рис. 3. Случай 3

Соответственно,

1 i f'P

Im(lnKo) = — lim (uo(V) — (uo(V))*) = — lim du0 = nn, n E {0; 1; -1}

2 г 2г r^r+JTar

или K2 = iKol2.

Выбирая начальную фазу Z0 так, что выполняется условие

(U(V+) - Zo)* = U(V+) - Zo + BM, M e Z, (3.9)

имеем

= -2iA*р* в((Ы(V+) - Zo)* + U(Jx) + A) р_2ФЫх)

Р (X) — , о

v ; р* е((и(v+) - Zo)* + и(Jx))

= Apl ЧшА ( fx)

= Kop2 6 q(JX)-

Таким образом, при lp2l = |Ap1K-1 exp{nM(ImA}| функции (2.10), построенные по гиперэллиптической кривой, обладающей инволюцией (3.1), (3.2) и удовлетворяющей условиям, Re(B) = 0 Im(Aj) = 0, являются алгебро-геометричеекими решениями нелокальных уравнений АКНС иерархии с редукцией q(x) = p*(Jx).

Для случая 4 снова выполняется условие raV2g+2 = У2д+2, но поскольку aa = 1, то

(U(V+ ))* = и(V+), (U(V-))* = и(V-) и А* = А.

Аналогично случаю 3 выполняются равенства

/ ГТ \ rP i-TaP

(wo(P ))* =\ duoj = Ta(duo)= duo = uo (TaV)

\J'P2g + 2 / JP2g + 2 J ^2g + 2

И

1 1 Г

Im(lnKo) = — lim (uo(V) - (uo(V))*) = — lim duo = nn, n E {0; 1;-1} 2г 2г v^v+JTav

<Ь1 С л г 1ша' 1 - ,яеа

а1 1 а2 1 ч v > 1 1 у а2д+1 а2д+2

Рис. 4. Случай 4

или К2 — 1К012.

Выбирая начальную фазу Z0 так, что выполняется условие

(Ы(Г+) - Zo)* — -(Ы(Г+) - Zo) + N N е Ъа, (3.10)

имеем

_ -2гА*р1 e(N - (и(У+) - Zo + и(Зх) + А)) ^-2ф{Тх)

р ( X) --,/4 о

Р* e(N - (и(Т+) - Zo + и(Зх)))

Ар \ 2

Кop2

д(Зх).

Таким образом, при |р21 — \Ар\К-^ функции (2.10), построенные по гиперэллиптической кривой, обладающей инволюцией (3.1), (3.2) и удовлетворяющей условиям 1ш(Л2й+2) — 0, являются алгебро-геометричеекими решениями нелокальных уравнений АКНС иерархии с редукцией д(х) — р*(,1х).

4. Решения, построенные по спектральной кривой

с голоморфной инволюцией

К сожалению, алгебро-геометричеекие решения (2.10), построенные по гиперэллиптической кривой (2.2), обладающей инволюцией (3.1), (3.2) при К^-1 — 0 имеют экспоненциальный рост по соответствующим переменным. Этого можно избежать, если использовать гиперэллиптические кривые с голоморфной инволюцией

ТН :(х,Л) ^ (х, -Л). (4.1)

Легко видеть, что во всех четырех рассмотренных случаях базисы циклов преобразуются по правилу

тна — 5а, гнЬ — Qa + КЬ, тнГ+ — , где (см., например, [38], [52])

вК — I и QRt — RQt.

Вычисляя периоды голоморфных дифференциалов (V) — (тНР), имеем

[ Щ (V) — [ вы, — ^ вкт ! щ — ,

V ак " Ткак т=1 ат

! Ш, (V) — ¿ С,т\ Рн(ля-т — ¿ С,т(-1)9+1-тЛкт — (АЗС*)

¿ак т=1 ^ак V Х / т=1

где

Зтп — ( 1)9 $тп- (4-2)

Соответственно, вЫ — 5в^, а матрицы в и З подобны,

5 — (С1 )-1ЗС1 и 5 — СЗС-1.

Поскольку R = (S1 и S2 = /, то R = S

Интегрируя голоморфные дифференциалы по Ь-циклам, имеем

i Щ (V) = [ dUj = ^ ((Qkm f dUj + Rkm i duj\ = (Q + RB)kj, Jbk Jrhbk m=1 \ ^ am Jbm J

I dUj (V) = ) mi dUm = (BS )kj, Jbk m=1 Jbk

BS = Q + RB. (4.3)

или

Транспонируя равенство (4.3), имеем

в1 в = д1 + вRt ми Rв = д1 + вв.

Следовательно, Qt = —Q. Вычисляя действительную часть равенства (4.3), получаем

д = (ЯеВ- & (ЯеВ)

и

= & (ВеВ)в - (ВеВ) = QtS.

Заметим, что из асимптотики функции %(А) в окрестности бесконечно удаленных точек следует, что:

• если д - нечетное, то тьР^ =

• если д - четное, то т^Р^ =

Следовательно,

гРЗо гРЗо ГТкР+

& А =2 = 2 тнШ = 2 Ш

Р2д+2 ^Р2д+2 ¿Р1 ^ ^

=2 [ 29+2 Ш + 2Ы) = (-1)а+1А - 2Ы(Т1).

Введем обозначения: Пj(V) = ПП ^(тьР). Эти интегралы обладают следующим свойствами:

/ dQj = / dQj = ^^ Skm dQj = 0,

J ak J That m=1 *> am

Qj(V) = ± {(2i)j-1(-X)j — Kj + О (A"1)) , .

Поскольку абелев интеграл ^j(V) = Qj(V) — (—1)jQj(V) не имеет особенностей и имеет нулевые а-периоды, то он является постоянной величиной. Из асимптотики ^j (V) в бесконечно удаленных точках

^(V) = Т {(—I)3 — 1) К3 + О (А-1) ,

следует, что ^^(V) = 0 ^¿('Р) = ), К2]-1 = 0.

Таким образом, многофазные решения (2.10), построенные по гиперэллиптической кривой (2.2) с инволюциями (3.1), (4.1) не имеют экспоненциального роста. Вычисляя Ь-периоды абелевых интегралов второго рода, получаем

(У3)к = ^ I А^ = I ^

2- ]Tj (Qkm £ dQj + Rkm Jb dQj^ = (RVj)k,

(^)к = ~

1

2кг

ЯП =(~-1Г / сПз = (-1)з(Уз)к.

Следовательно, векторы Уз являются собственными векторами матрицы К КУз = (-1)зУз или

& Уз = (-1)зУз. (4.5)

Однофазные решения нелокальных уравнений из АКНС иерархии были рассмотрены нами в работах [31]- [33]. Поэтому далее мы будем считать, что д > 1.

В случае 1 выполняется равенство Ке(Взк) = (¡)зк - 1)/2.1 а элементы матриц преобразования циклов при инволюции ти равны:

Б1к = (-1)й, Бзк = (-1)д+16з,д+2-к, 3 = 2,... ,д, к=1,...,д,

Язк = (-1)й(1 - $1к), 3,к =1,...^, (&Я)зк = 1 - ■

(4.6)

В частности, при д = 2

Б

(0 Л) ^ «=(- 0)

^еВ = - 2 (0 0)

а при д = 3

Б

-1 -1 -Г 0 0 1 010

Я

0 -1 -1 1 0 0 1 0 0

1

011

КеВ = — 1 0 1

2 Ч 1 0.

А

БА=(-1)9+1 (А + (В - 1)е1),

где е1 = (1, 0,..., 0).

Можно показать, что при четном д условие (3.7) выполняется только для М е 2Ъа. удовлетворяет редукции

Я(х) = -Р* (Ах).

Вместе с тем, при нечетном д существуют начальные фазы Z0 для обоих видов редукций:

д(х) = ±р * (Тх).

В случае 3 элементы матрицы Б определяются формулой (4.6), а также выполняются равенства:

Ке(В,к) = 0, Язк = 0, БА=(-1)°+1 (А + Ве1).

Нетрудно показать, что в случае 3 при любом М е Ъа и при начальной фазе Z0, удовлетворяющей условию (3.9), решение (2.10), построенное по кривой (2.2), (3.1), (4.1), удовлетворяет редукции

Я(х) = Р*(Ах).

В случае 4

Ке(Взк) = 0, Язк = 0, Бзк = (-1)й +1-к, 3,к =1'■■■'g' Б*А = (-1)а+1 (А - е),

(4.7)

и при любом N е Ъа и при начальной фазе Z0, удовлетворяющей условию (3.10), решение (2.10), построенное по кривой (2.2), (3.1), (4.1), удовлетворяет редукции

д(х) = р*(Зх).

5. Редукция алгебро-геометрического решения к тэта-функциям

меньшей размерности

5.1. Общие положения. Из уравнения (4,3) следует, что матрица периодов В удовле-товряет уравнению

В = в*ВЗ — вд. (5.1)

Следуя [52], рассмотрим матрицу Т, Т*к Е Z, удовлетворяющую условию

в = Т,Т-1, (5.2)

где матрица , определяется формулой (4.2).

В первом и третьем случаях, когда матрица в определяется условиями (4.6), из урав-

Т

£

т=2

Т

тк

— 1)к-1 - 1)Т-1к,

Тд+2-,к = (—1)кТ*к, ¿ = 2,...,д, к =1,...,д.

Т

Т\к = 1, к = 1,..., д.

Остальные элементы матрицы Т определим следующим образом. Если д = 2т, т Е N то

Т],2к = — ^,т+к — ^,т+2-к, Т3,2к-1 = ^,т+к — ^,т+2-к, 3 = 2}

Если д = 2т + 1, т Е N то Т^ = 0,

Т],2к = — ^,т+1+к — ^,т+2-к,

Т],2к+1 = ,т+1+к — $],т+2-к, 3 = 2} . . . , 9) Из свойств определителя следует, что detТ = (—2)т.

Т

, , к = 1 , . . . , т.

= 1 , . . . , т.

Т,

д+1-з,к

( — 1)к-%

к .

Определим элементы матрицы Т следующим образом. Если д = 2т, т Е N то Т*к = 1 при 1 ^ j ^ т, 1 ^ к ^ 2(т +1 — ]), Т*к = 0 при 1 < ] ^ т, 2(т +1 — ]) < к ^ 2т, т = 1, Т*к = (—1)к-1 при т < ] ^ 2т, 1 ^ к ^ 2(] — т), Т*к = 0 при т < ] < 2т, 2(] — т) < к ^ 2т, т = 1. Если д = 2т + 1, т Е N то

Т3к = 1 при 1 ^ ^ т, 1 ^ к ^ 2(т — з) + 3,

Т3к = 0 при 1< ^ т, 2(т — з) + ?> < к ^ 2т +1, т = 1 ,

Т3к = (— -1)к-1 при т < ] ^ 2т +1, 1 ^ к ^ 2(] — т) — 1,

Т*к = 0 при т < ] < 2т + 1, 2(] — т) ^ к ^ 2т + 1.

В этом случае также выполняется равенство detТ = (—2)т. Введем обозначения

В = Т (ИшВ)Т, А = Т (КеВ )Т, V3 = ТУ*.

Из уравнений (4.5), (5.1) и (5.2) вытекают следующие соотношения

В = ,1В,1, АУ* = (—1УУ\ (А)зк Е Z.

(5.3)

Заменяя порядок суммирования в формуле многомерной тэта-функции с матрицой В, получаем (см, [52])

0(рВ) = ^ ^^{ЩА^^щ^(к). ^(к)](ТрВ + В), кежэ (т)

где суммирование к € 1Р (Т) означает конечную сумму по к к € Ъа, 0 ^ Т-1к < 1, И - диагональная матрица, Djj = А^^, 'п(к) = Т-1к, £(к) = (А -И)^(к). Число слагаемых в сумме равно При этом, поскольку выполняются соотношения (5,3), матрица В

имеет блочную структуру и тэта-функция

0[^(к); С(к)](Тр|В + И)

может быть представлена в виде произведений двух тэта-функций меньшей размерности, Таккже из соотношений (5,3) следует, что в аргументе одной из тэта-функций будут присутствовать времена с нечетным индексом Ь1, ¿3,..., во втором - переменная х и времена с четным индексом Ь2, £ 4,...

В заключение раздела приведем примеры представления двухфазных решений нелокальных уравнений из АКНС иерахии через одномерные тэта-функции,

5.2. Двухфазное решение. Случай 1. Вычисления, проведенные для спектральной кривой

X2 = (А2 + с2) (А4 - 2(а2 - Ъ2)\2 + (а2 + Ь2)2) , а,Ь,с € К, (5.4)

дают следующие формулы

В = ( 21/31 г/31 - 1/2\ д = (1/2 - гМ В \г31 - 1/2 г/2 ), Д ^ 1/2 + 182),

v2j_л / 0

1 = ( 0 \ V2j =(2^) 2 -1 2

где 3j, 8j, Vj € К. Следовательно,

В = (21/1 0 \ -г =(0 Л

В ^ 0 4г/2 - 21З1) , А ^ 12) , ( 0 )

-2 2 -1

^ ^ ^ ^ • V • ^

Нетрудно проверить, что соответствующая двумерная тэта-функция

В

¡3(х) = 0 ^Z + V1х + Vj+1 ^ + вД В^

= в[0;0](р 112г31)в[0;0](р214г32 - 21/1) + в[1/2; 1/2](р 112г31)в[1/2; 1/2](р214г3 - ВД, где 5 € {-1; 0; 1}, и(Г+) - Zo = Z = (х2) € К2,

Р1 = г1 + 2 + - гЗЛ ,

j>l ^ '

р2 = г1 - 2х2 - 2гЬ1х - 2г ^ v2j+lt2j -в + З1 + 2г62 |

1 2

^ 2

допускает следующие редукции

/*(х) = МЗх), Г*(х) = ¡-1(Тх), Г_ 1(х) = Ш'х). (5.5)

Следовательно, решение (2,10) уравнений иерархии АКНС, построенное по кривой (5,4), при любых г\, г2 Е К удовлетворяет редукции

Я*(х) = —Р (?х).

5.3. Двухфазное решение. Случай 3. Вычисления, проведенные для спектральной кривой

X2 = (А2 — а2)(Х2 — Ъ2)(\2 — с2), а,Ь,с Е К, (5.6)

дают следующие формулы

В = № ^, Д = (-у2>-1 = ( 0 V у« = у Р гРУ \1S2J \W2j-l) \У2, )

где р, 83, V, Е К, Следовательно,

В =(2^1 0 \ ^ =(0 0\

В V 0 4x^2 — 2грг) , А =\00)

0 \ Ъ 2, 23

V 23-1 =( 0 А у 23

\—2гУ2з-гУ V 0

Нетрудно проверить, что соответствующая двумерная тэта-функция

В

¡3(х) =е^2 + V1* + у3+н, +за в^

=в[0;0](р г\2г^ )в[0;0](Р2\4г^2 — 2г^) + в[1/2;0](р ,\2г^ )в[1/2;0](р2\т — 2г^), где в Е { — 1; 0; 1}, Ы(Г+) — Ъ0 = 2 = (гъ г2) Е К2,

Р1 = Х1 + 2^2 2,-1 — г 3>1

Р2 = г1 — 2 г2 — 2г — 2г ^ У23+^23 — г в (Р1 + 2 82),

3>1

допускает редукции (5,5), Следовательно, решение (2,10) уравнений иерархии АКНС, построенное по кривой (5,6) , при любых г2 Е К удовлетворяет редукции

д*(х) =р(3'х).

5.4. Двухфазное решение. Случай 4. Вычисления, проведенные для спектральной кривой (5,6) дают следующие формулы

В = (%2 , Д= (1 — Ч У^3-1 = (—23-1\ у23 = Ы.Л

V Р1 гМ \ ^2 Г V ^23-1 ) \iV23J

где Р3,83, У3 Е К, Следовательно,

Ъ = (2г(132 + Р1) 0 \ -г = (0 0\ В = ^ 0 2г(Р2 — Р1)) , А = ^0 0) ,

=и-0,у23=(27}

Нетрудно проверить, что соответствующая двумерная тэта-функция

¡3(х) =е^2 + V1* + у3+1 г3 + 8Д в^

=9[0;0](р 1\2г(Р2 + Р1))6[0;0](р 2\2г(^2 — Р1)) + в[1/2; 0](р 1 \2г(02 + РШ1/2; 0](Р2\2г(Р2 — Р1)),

где s G { —1; 0; 1} U(Р+ ) - Zo = iZ, где Z = (zu G R2,

Pi = i Zi + i Z2 + 2 v2jh j-1 + S, j>i

P2 = г zi - i Z2 - 2v ix - 2^2 v2j+ihj + s (1 - 2 62),

j>i

допускает редукции (5,5), Следовательно, решение (2,10) уравнений иерархии АКНС, построенное по кривой (5,6) при втором выборе базиса циклов, для любых zi, z2 G R также удовлетворяет редукции

q*(x) =p(J'x).

Заключительные замечания

Для построения решений только одного из нелокальных уравнений из АКНС иерархии можно взять любое решение локальных уравнений АКНС иерархии, удовлетворяющее условиям

p(-x, 0, 0,... ) =p(x, 0, 0,... ), q*(x) = ap(x), x, tk G R, a = ±1. Тогда, в частности, функции

p(x,t,i Т2,Т3 ,гТ4,... ), q(x,t,iT2,T3,iT4,... ), Тк G R будут решениями РТ-еимметричного нелинейного уравнения Шредингера

q*(x) = ар (Jx).

Заметим, что именно таким условиям удовлетворяют волны-убийцы, построенные в работах [27], [29], Вместе с тем, функции

p(x,Ti,iT2,t,iT4,... ), q(x,Ti ,iT2,t,iT4,... ), Тк G R

будут являться решениями РТ-еимметричного уравнения Лакшманана-Пореециана-Даниеля,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. V. Konotop, J. Yang, D. Zezulin. Nonlinear waves in PT-symmetric system,s // Rev. Modern Phvs. 88, 035002, (2016).

2. D. Christodoulides, J. Yang, editors. Parity-time symmetry and its applications. V. 280 of Springer Tracts in Modern Physics. Springer. 2018.

3. M.J. Ablowitz, Z.H. Musslimani. Integrable nonlocal nonlinear Schrddinger equation // Phvs. Rev. Let. 110, 064105 (2013).

4. M.J. Ablowitz, Z.H. Musslimani. Integrable discrete PT symmetric model // Phvs. Rev. E. 90:3, 032912 (2014).

5. M.J. Ablowitz, Z.H. Musslimani. Inverse scattering transform for the integrable nonlocal nonlinear Schrodinger equation// Nonlinearitv. 29:3, 915-946 (2016).

6. M.J. Ablowitz, Z.H. Musslimani. Integrable nonlocal nonlinear equations // Stud. Appl. Math. 139:1, 7-59 (2017).

7. T.P. Horikis, M.J. Ablowitz. Rogue waves in nonlocal media // Phvs. Rev. E. 95:4, 042211 (2017).

8. M.J. Ablowitz, B.F. Feng, X.D. Luo, Z.H. Musslimani. Reverse space-time nonlocal Sine-Gordon/Sinh-Gordon equations with nonzero boundary conditions // Stud. Appl. Math. (2018).

9. V.S. Gerdjikov, G.G. Grahovski, R.I. Ivanov. The N-wave equations with PT symmetry // Theor. Math. Phvs. 188:3, 1305-1321 (2016).

10. D.Y. Liu, W.R. Sun. Rational solutions for the nonlocal sixth-order nonlinear Schrddinger equation // Appl. Math. Lett. 84, 63-69 (2018).

11. H.Q. Zhang, M. Gao. Rational soliton solutions in the parity-time-symmetric nonlocal coupled nonlinear Schrddinger equations // Comm. Nonlin. Sci. and Num. Sim. 63, 253-260 (2018).

12. Z.X. Zhou. Darboux transformations and global solutions for a nonlocal derivative nonlinear Schrodinger equation // Commun Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 62, 480-488 (2018).

13. Y. Cao, B. Malomed, J. He. Two (2+1)-dimensional integrable nonlocal nonlinear Schrodinger equations: Breather, rational and semi-rational solutions // Chaos, Solitons and Fractals. 114, 99-107 (2018).

14. B. Yang, Y. Chen. Reductions of Darboux transformations for the PT-symmetric nonlocal Davey-Stewartson equations // Appl. Math. Lett. 82, 43-49 (2018).

15. Z.J. Yang, S.M. Zhang, X.L. Li, Z.G. Pang. Variable sinh-Gaussian solitons in nonlocal nonlinear Schrodinger equation // Appl. Math. Lett. 82, 64-70 (2018).

16. K. Manikandan, Priva N. Vishnu, M. Senthilvelan, R. Sankaranaravanan. Deformation of dark solitons in a PT-invariant variable coefficients nonlocal nonlinear Schrodinger equation // Chaos. 28:8, 083103 (2018).

17. J. Rao, Y. Zhang, A. Fokas, J. He. Rogue waves of the nonlocal Davey-Stewartson I equation // Nonlinearitv. 31:9, 4090-4107 (2018).

18. X.Y. Tang, Z.F. Liang, X.Z. Hao. Nonlinear waves of a nonlocal modified KdV equation in the atmospheric and oceanic dynamical system, // Commun Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 60, 62-71 (2018).

19. K. Chen, X. Deng, S. Lou, D.J. Zhang. Solutions of nonlocal equations reduced from the AKNS hierarchy // Stud. Appl. Math. 141:1, 113-141 (2018).

20. W. Liu, X. Li. General soliton solutions to a (2+1)-dimensional nonlocal nonlinear Schrodinger equation with zero and nonzero boundary conditions // Nonlinear Dynamics. 93:2, 721-731 (2018).

21. P. Vinayagam, R. Radha, U. A1 Khawaja, L. Ling. New classes of solutions in the coupled PT symmetric nonlocal nonlinear Schrodinger equations with four wave mixing // Commun Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 59, 387-395 (2018).

22. Y. Cao, J. Rao, D. Mihalache, J. He. Semi-rational solutions for the (2+1)-dimensional nonlocal Fokas system // Appl. Math. Lett. 80, 27-34 (2018).

23. C. Qian, J. Rao, D. Mihalache, J. He. Rational and semi-rational solutions of the y-nonlocal Davey-Stewartson I equation // Computers and Mathematics with Applications. 75:9, 3317-3330 (2018).

24. M. Gurses, A. Pekcan. Nonlocal modified KdV equations and their soliton solutions by Hirota method // Commun Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 67, 427-448 (2019).

25. Q. Zhang, Y. Zhang, R. Ye. Exact solutions of nonlocal Fokas-Lenells equation // Appl. Math. Lett. 98, 336-343 (2019).

26. V.S. Gerdjikov. On the integrability of Ablowitz-Ladik models with local and nonlocal reductions // Journal of Physics: Conference Series. 1205:1, 012015 (2019).

27. B. Yang, J. Yang. Rogue waves in the nonlocal PT-symmetric nonlinear Schrddinger equation // Lett. Math. Phvs. 109, 945-973 (2019).

28. J. Yang. General n-solitons and their dynamics in several nonlocal nonlinear Schrodinger equations // Phvs. Lett. A. 383, 328-337 (2019).

29. B. Yang, J. Yang. On general rogue waves in the parity-time-symmetric nonlinear Schrodinger equation // Preprint, arXiv:1903.06203, 19 pp. (2019).

30. Y. Yang, T. Suzuki, X. Cheng. Darboux transformations and exact solutions for the integrable nonlocal Lakshmanan-Porsezian-Daniel equation // Appl. Math. Lett. 99, 105998 (2020).

31. A.O. Smirnov, E.E. Aman. The simplest oscillating solutions of nonlocal nonlinear models // Journal of Physics: Conference Series. 1399:2, 022020 (2019).

32. A.O. Smirnov, E.E. Aman. One-phase elliptic solutions of the nonlocal nonlinear equations from AKNS hierarchy and their spectral curves // Journal of Physics: Conference Series. 1515:3, 032080 (2020).

33. V.B. Matveev, A.O. Smirnov. Multiphase solutions of nonlocal symmetric reductions of equations of the AKNS hierarchy: general analysis and simplest examples // Theor. Math. Phvs. 204:3, 1154-1165 (2020).

34. V.B. Matveev, А.О. Smirnov. AKNS hierarchy, MRW solutions, Pn breathers, and beyond // J. Math. Phvs. 59:9, 091419 (2018).

35. V.B. Matveev, A.O. Smirnov. Two-phase periodic solutions to the AKNS hierarchy equations // J. Math. Sci. 242:5, 722-741 (2019).

36. A.R. Its, V.P. Kotlvarov. On a class of solutions of the nonlinear Schrddinger equation // Dokl. Akad. Nauk Ukrain. SSR, Ser. A (Russian). 11, 965-968 (1976).

37. V.P. Kotlvarov. Periodic problem for the nonlinear Schrddinger equation // Preprint, arXiv:140L4445, 14pp. (2014).

38. E.D. Belokolos, A.I. Bobenko, V.Z. Enol'skii, A.R. Its, V.B. Matveev. Algebro-geometrical approach to nonlinear evolution equations. Springer Ser. Nonlinear Dynamics. Springer. 1994.

39. M.J. Ablowitz, D.J. Каир, А.С. Newell, H. Segur. The inverse scattering transform-Fourier analysis for nonlinear problems // Studies in Appl. Math. 53:4, 249-315 (1974).

40. M. Lakshmanan, K. Porsezian, M. Daniel. Effect of discreteness on the continuum limit of the Heisenberg spin chain // Phvs. Lett. A. 133:9, 483-488 (1988).

41. K. Porsezian, M. Daniel, M. Lakshmanan. On the integrability aspects of the one-dimensional classical continuum, isotropic Heisenberg spin chain //J- Math. Phvs. 33, 1807-1816 (1992).

42. M. Daniel, K. Porsezian, M. Lakshmanan. On the integrable m,odels of the higher order water wave equation // Phvs. Lett. A. 174:3, 237-240 (1993).

43. A.O Smirnov. Solution of a nonlinear Schrddinger equation in the form of two-phase freak waves // Theor. Math. Phvs. 173:1, 1403-1416 (2012).

44. A.O Smirnov. Periodic two-phase "rogue waves" // Math. Notes. 94:6, 897-907 (2013).

45. A.O Smirnov., S.G. Matveenko, S.K. Semenov, E.G. Semenova. Three-phase freak waves // SIGMA. 11, 032 (2015).

46. B.A. Dubrovin. Theta functions and non-linear equations. Russ. Math. Surv. 36:2, 11-92 (1981).

47. J.D. Fay. Theta-functions on Riemann surfaces. V. 352 of Lect. Notes in Math. Springer. 1973.

48. A. Krazer. Lehrbuch der Thetafunktionen. Teubner, Leipzig. 1903.

49. H.F. Baker. Abel's theorem and the allied theory including the theory of theta functions. Cambridge. 1897.

50. D. Mumford. Tata lectures on theta. I. V. 28 of Progress in Math. Birkhauser Boston Inc. Boston, MA. 1983.

51. D. Mumford. Tata lectures on theta. II. V. 43 of Progress in Math. Birkhauser Boston Inc. Boston, MA. 1984.

52. A.O. Smirnov. A m,at,rix analogue of the Appell theorem and reduction of multidimensional Riemann theta-functions // Math. USSR Sb. 61:2, 379-388 (1988).

Александр Олегович Смирнов,

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, ул. Большая Морская, 67А, 190000, г. Санкт-Петербург, Россия E-mail: alsmir@guap.ru

Владимир Борисович Матвеев,

Санкт-Петербургское отделение

Математического института им. В.А. Стеклова РАН,

Наб. р. Фонтанки, 27,

191023, г. Санкт-Петербург, Россия

E-mail: vladimir ,matveev9@gmail. com