CC BY
6Нелинейная динамика. 2013. Т. 9. № 3. С. 389-407. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru
УДК: 517.957 MSC 2010: 35Q53
Трехфазные решения нелинейного уравнения Шрёдингера в эллиптических функциях
А. О. Смирнов, Г. М. Головачёв
Построены трехфазные конечнозонные решения фокусирующего нелинейного уравнения Шрёдингера и уравнения Кадомцева-Петвиашвили-1 с поведением почти-периодических «странных волн». Изучена зависимость параметров решения от параметров спектральной кривой.
Ключевые слова: волны-убийцы, странные волны, нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение КП, уравнение Хироты, тэта-функция, редукция, накрытие
Введение
В настоящее время одной из актуальных задач нелинейной физики является исследование проблемы возникновения «волн-убийц» (rogue waves) или «странных волн» (freak waves). В отличие от солитонов, являющихся распространяющимися с постоянной скоростью незатухающими уединенными волнами, «странные волны» представляют собой локальный кратковременный рост амплитуды или «волны, появляющиеся ниоткуда и исчезающие без следа» [1]. Хотя «волны-убийцы» обнаружены в моделях, относящихся к различным областям физики (см., например, [2]), основные области их появления — это гидродинамика [3-7] и нелинейная оптика [8, 9]. Обычно при изучении «странных волн» в главном приближении рассматривают фокусирующее нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ)
а при выборе точных решений обращаются к рациональным решениям, получающимся в результате преобразования Дарбу и его обобщений [10-16]. Точные решения, отличающиеся от рациональных, упоминаются довольно редко [8, 17-19]. При учете более тонких эффектов
Получено 3 марта 2013 года После доработки 31 мая 2013 года
Смирнов Александр Олегович alsmir@guap.ru
Головачёв Григорий Михайлович ggolovachev@yandex.ги
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (ГУАП) 190000, Россия, г. Санкт-Петербург, Большая Морская ул., д. 67
Ф + Фxx + 2 \ф\2 ф = 0,
(1)
[4, 5, 8, 19-24] уравнения отличаются от НУШ дополнительными слагаемыми, приводящими к неинтегрируемости уравнения и, соответственно, к невозможности построения некоторых классов решений.
Вместе с тем, существуют ситуации, когда этими дополнительными слагаемыми можно пренебречь [8, 19, 24], ограничить свое рассмотрение уравнением (1), которое является интегрируемым, и рассмотреть присущие интегрируемым уравнениям классы решений, такие как многофазные периодические решения. С одной стороны, в натурных экспериментах ряда авторов [6, 7, 9] наблюдались волны, по своим характеристикам близкие к рациональным решениям. С другой стороны, в работах [19, 24] показано, что начальные данные, полученные в рамках проекта JONSWAP (Joint Nord Sea Wave Project), могут быть использованы для построения 6-фазного решения НУШ. Вполне возможно, что если бы авторы работ [6, 7, 9] могли сравнить экспериментальные данные с характеристиками многофазных решений, они также получили бы относительно хорошее совпадение, особенно в тех случаях, когда периоды решетки значительно превосходят размеры бассейна.
Естественно, если рассматривать волны на поверхности воды, то вряд ли стоит ожидать возникновения периодических «волн-убийц». Однако в нелинейной оптике вполне возможно создание ситуаций, приводящих к возникновению «странных волн», образующих решетку «световых точек» в планарном волноводе. В связи с этим обратим внимание на работы [12-15], в которых у рациональных решений НУШ параметры выбраны таким образом, что «странные волны» образуют симметричные конфигурации на плоскости XOZ. Кроме того, единичные «волны-убийцы» могут быть получены в результате синхронизации фаз многофазного решения с большим числом несоизмеримых фаз.
Многофазные конечнозонные решения строятся с помощью метода «конечнозонного (алгебро-геометрического) интегрирования» [25-27], связанного, прежде всего, с именами Дубровина, Новикова, Лакса, Матвеева, Итса, Кричевера (см., например, [28-34]) и их учеников. Интересующихся подробностями возникновения метода отошлем к обзору [35]. Отметим, что рациональные [10-14, 16] и периодические по x гомоклинические решения [18, 19, 24, 36-38], которые обычно получают с помощью многократных преобразований Дарбу или Бэклунда, могут быть получены также и полным или частичным вырождением многофазных решений [25]. Например, как показано в [39], хорошо известные солитон Перегрина и бризеры Ахмедиева и Ма [3, 8, 40] могут быть получены вырождением двухзонного двоякопериодического решения. Нетрудно понять, что в результате вырождений конечно-зонных решений с большим числом фаз можно получать и более сложные рациональные и квазирациональные решения (в частности, те, которые приведены в работах [7, 10-15]).
В настоящей работе строятся и исследуются имеющие поведение «странных волн» трех-зонные (трехфазные) решения уравнения (1) и других, связанных с ним, интегрируемых нелинейных уравнений.
1. Конечнозонные многофазные решения нелинейного уравнения Шрёдингера
Нелинейные дифференциальные уравнения, интегрируемые методами алгебраической геометрии, могут быть получены как условие совместности системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений со спектральным параметром [25-27]. В частности, рассмотрев уравнения [26, 41, 42]
yx = иг,
(1.1a)
Уг = ЯУ, (1.1Ь)
У = ЖУ, (1.1с)
где
и = -л (г 0 1 + ( 0 гф
\0 -г) \-гф 0 V = 2ЛИ + Яо, Ж = 4Л2 И + 2ЛЖо + Жь
из соотношений (Ух)г = (Уг)х и (Ух)г = (У)х получаем так называемые «уравнения нулевой кривизны»
иг - ях + ИЯ - ЯИ = 0 и иг - жх + ИЖ - ЖИ = 0, (1.2)
которые должны выполняться при всех значениях спектрального параметра Л. Из равенств (1.2) следует, что матрицы Яо, Жо, Ж1 имеют вид
Ж = = I -гфф -фх 1, ж = ( фхф - ффх 2гф2ф - гфхх | (1.3)
-фх гфф) \-2гфф2 + гфхх ффх - фхф
и что, соответственно, Ж = 2ЛЯ + Ж1. Кроме специального вида матриц (1.3) условия (1.2) приводят к дополнительным соотношениям, которыми являются расщепленное нелинейное уравнение Шрёдингера
гфг + фхх - 2ф2ф = 0, (1 4)
гфг - фхх + 2фф2 = 0
и расщепленное модифицированное уравнение Кортевега де Фриза
фг + фххх - бфффх = 0,
(1.5)
+ фххх - бфффх = 0.
С этими двумя системами нелинейных дифференциальных уравнений непосредственно связаны еще две. Дифференцируя равенства (1.4) по х и подставляя их в (1.5), получаем расщепленное модифицированное двумерное нелинейное уравнение Шрёдингера в конусных координатах [43]
гфг + фхг + 2г(ффх - ффх)ф = 0, ^
гфг - фхг + 2г(ффх - ффх)ф = 0,
а решениями расщепленного интегрируемого уравнения Хироты (а € М)
гфг + фхх - 2ф2ф - га(фххх - бфффх) = 0, ^
гфг - фхх + 2фф2 - га(фххх - бфффх) = 0
являются функции ф(х,Ь, -аЬ) и ф(х,Ь, -аЬ), где ф(х,г,Ь) и ф(х,г,Ь) суть решения систем (1.4) и (1.5).
Системы нелинейных дифференциальных уравнений (1.4), (1.5) являются первыми двумя интегрируемыми системами из бесконечной иерархии таких систем, называемой АКНС-иерархией [26]. Одной из особенностей конечнозонных многофазных решений интегрируемых нелинейных уравнений является тот факт, что в некотором смысле они являются решением всей иерархии. Из уравнений (1.4) редукциями ф = получают стандартные формы нелинейного уравнения Шрёдингера, одной из которых (при ф = — ф) является уравнение (1) [34, 41, 44]. Также при ф = —ф из системы (1.7) получается интегрируемое уравнение Хироты [16, 45-47]
%фг + фхх +2 \ф\2 ф - 1а(фххх + 6\ф\2 фх) = 0. (1.8)
Конечнозонные (алгебро-геометрические) решения систем (1.4), (1.5) строятся по гиперэллиптической кривой Г = {(х,А)} рода д [26, 42]:
2д+2
Г: X2 = П(А - ^),
3 = 1
точки ветвления которой (А = А^, ] = 1,...,2д + 2) являются краями зон спектра оператора Дирака (1.1а). Бесконечно удаленной точке спектра соответствуют две различные точки кривой Г. В случае ф = —ф кривая Г должна быть инвариантна относительно антиголоморфной инволюции т\: (х, А) —(х, А), причем 1т(А./) ф 0:
9+1 2д+2
Г: X2 = П А - А, К А А?) = А2" + ^ Хз^9+2~3, \, = 0- (1-9)
3=1 3=1
Следуя стандартной процедуре построения конечнозонных решений [25, 34, 42], вы-
%g ,bl,...,bg )
берем на Г канонический базис циклов Y = (ai, ■■■,ag ,bi,..., bg) с матрицей индексов
пересечения
€„ = ( 0 ' \ 7 0у
Для выполнения условия ф = —ф необходимо [25, 34], чтобы при антиголоморфной инволюции т\ этот базис циклов преобразовывался по правилу
т1а = -а, ?1Ь = Ь + К а. (1.10)
Каноническому базису циклов соответствует нормированный базис голоморфных дифференциалов
(р dUj = 5kj, k,j = l,...,g. (1.11)
Jak
Хорошо известно (см., например, [34, 48]), что матрица периодов кривой Г
Bkj =/ dUj, k,j = 1,...,g, (1.12)
есть симметричная матрица с положительно определенной мнимой частью.
Построим по матрице периодов д-мерную тэта-функцию Римана с характеристиками П, С € Мд [34, 48, 49]:
в[пг; Сг](р|£)= ^ ехр{пг(т + п)гВ(т + п) + 2тп(т + п)г(р + С)},
теъя (1.13)
в[0г; 0г](р|В) = в(р|В),
где р € Сд, суммирование проходит по целочисленной д-мерной решетке.
Определим также на Г нормированные абелевы интегралы второго (^(Р), ^(Р), Оэ(Р)) и третьего (шо(Р)), рода с асимптотикой в бесконечно удаленных точках :
= ® (Ю.2 = ® = Ф Лшо = 0, к = 1,...,д,
ак За^ 3 ак 3ак
^(Р) = тг (л - К1 + о {Л-1)), Р^г^,
^(Р) = Тг (2Л2 - К2 + о (Л-1)), ,
^з(Р) = Тг(4Л3 - Кз + О (\-1)), ,
ио(Р) = Т (1пЛ - 1пКо + О (Л-1)), , X = ± (Лд+1 + О(Лд)),
ОО •
Обозначим через 2пги, 2жг\, 2пгW векторы Ь-периодов абелевых интегралов второго рода ^(Р), ^2(Р), ^з(Р) соответственно.1
Теорема 1 ([25, 42]). Функция
У (Р, х, г, Ь) = ( у1(Р, х, г, Ь) У1(тоР, х, г, Ь) \У2(Р,х,г,Ь) у2(тоР,х,г,Ь) 1
где то — гиперэллиптическая инволюция, то: (X, Л) ^ (-Х,Л),
_ е(щу) + Ух + + х)в(г)
х ехр{^(Р)х + ^(Р)г + Пз(Р)Ь + гФ(х, г, Ь)},
®(и(г) + \1х + Vг + wí +д-х)в(г-д) у2(г,х,г,г)-р _ Х)6(Ш + Уг + лу* + г) х
х ехр{^(Р)х + ^(Р)г + Пз(Р)Ь - гФ(х, г, Ь) + шо(Р)}, (1.14)
при любом р = 0 и при любых г и Ь будет являться собственной функцией оператора Дирака (1.1а) с потенциалом
, 2Ко в(Z)в(Ux + V* + Wí + Z - Д)
(1.15)
, , в(Z - Д)в(их + V* + Wt + Z + Д) г
ф{х>г) =2рКо-е(г)е(ш + уг + ту* + г)-ехр Ь^М)},
1 Отметим, что в работах [25, 34] используется иная нормировка голоморфных дифференциалов (1.11) и соответственным образом модифицированные определения тэта-функции и векторов и, V, W.
удовлетворяющим (1.4), (1.5). Здесь Д — вектор абелевых голоморфных интегралов, вычисленных вдоль пути,, соединяющего точки и Р+ и не пересекающего ни один из базисных циклов,
Д = и(Р+) - Ы(Т-), Ф(х, г, г) = К1Х + К2Х + К3Ь,
g
X = K + £U(Pj), Z = U(P+) - X,
j=1
K — вектор римановых констант [34, 48-50], Pj, j = 1,...,g — неспециальный дивизор. При выполнении условия (1.9) выполняются равенство
|/|2 , е(ш + vz + wt + z - д)в(ш + vz + wt + z + д)
^ ="4A°-в2(иж + Wi + Vz + Z)- (L16)
и ограничения вещественности на параметры решения
Im U = Im V = Im W = Im Z = 0, K02 < 0.
Недавно один из авторов2, анализируя работы [10, 11], заинтересовался указанной там связью между рациональными решениями фокусирующего нелинейного уравнения Шрё-дингера и уравнения КП-I. В результате проведенных исследований оказалось [51, 52], что функция u(x,z,t) = —2фф, построенная по любым функциям ф(x,z,t) и ф(х,г,Ь), являющимся одновременно решениями уравнений (1.4) и (1.5), удовлетворяет уравнению Кадомцева-Петвиашвили-I (КП-I)
3uzz = (4ut + uxxx + 6uux)x. (1.17)
Нетрудно понять, что при ф = это решение будет вещественным:
u(x,z,t) = ^2 \ф\2 .
Отметим, что по решениям дефокусирующего (ф = ф) нелинейного уравнения Шрёдингера можно строить не только всюду отрицательные решения уравнения (1.17), поскольку для
любого решения u(x,z,t) уравнения (1.17) и для любой постоянной Со функция
2
v(x, z, t) = и(х — Cot, z, t) H—Co
3
также является решением уравнения (1.17).
Напомним также, что по любому решению уравнения КП-I можно по формуле [53-55]
( z2t
w(x,z,t) = и ( X + —,zt,t
построить решение цилиндрического уравнения КП-I (цКП-I)
Щр- = ^4 wt + wxxx + 6wwx + • (L18)
Таким образом, строя многофазное конечнозонное решение уравнения (1), мы одновременно получаем решения уравнений (1.8), (1.17), (1.18) и редукций систем (1.5), (1.6):
фг + Фxxx + 6\ф\2 фx = 0, гфг + Фxz — 4\ф\2 (arg ф)xф = 0.
2А. О. Смирнов
2. Особенности трехфазных решений
В случае д = 3 базис голоморфных дифференциалов определяется по формуле [25, 34]
Шк = •! <"/, | Л"' + <"/,2 Л + о..:) —•
X
(2.1)
где
С = (At) 1, Дт =
1 3— т
(IX X .
Из равенства / йш = / г*йш, где I — произвольный путь на кривой Г, следует, что
Ьг Jг
-£- = $ А3-^ = у т? (V' ) =
аа аА
= ф л3""1— = - / Л3"т— = -А
X
X
]т-
Т1аз
Поскольку А = —А, то С = —С. Проводя аналогичные рассуждения с интегралами по 6-циклам, получаем
_ 1
(2.2)
В =-В- К или Но В —К.
2
Из билинейных соотношений Римана (см., например, [25, 34, 48]) следует, что координаты векторов и, V, W имеют вид
ит. — г
ут — 2Ъ
йТЛт (1Ыт
«- =0 «+=
-ч ю £ СрЫт
2 +
д?Ыт
V # 3 «- =0
где £± = 1 /Л — локальные параметры в окрестности бесконечно удаленных точек V, Вычисляя производные, получаем равенства
Цт = -2гвт1, Ут = 2гХ\Ст\ - 4гСт2, Шт = г(4Х2 - 3х1)Ст1 + 4гХ1Ст2 - 8гСт3,
±
ОО •
или
2
-2 2X1 4X2 - 3х1
(и, V, W) = гС
0 -4 0 0
4X1 8
(2.3)
/
Из (2.3) вытекает, что векторы И, V, W действительны, линейно независимы и образуют базис в М3. Следовательно, любой вектор из М3 может быть представлен в виде линейной
комбинации этих векторов. В частности, это относится к векторам периодов трехмерной тэта-функции е^ = (1, 0, 0), е2, = (0,1, 0), е3 = (0, 0,1):
ек = хки + гиУ + Т^.
Следовательно, амплитуда (1.16) трехфазного решения уравнения (1) будет периодической функцией в трехмерном пространстве
1Ф1 (х + Хк,г + Як, Ь + Тк) = 1Ф1 (х, г, Ь)
и, в случае решения в виде «волны-убийцы», максимумы ее амплитуды будут находиться в вершинах трехмерной решетки с образующими (Хк, Як, Тк). Эти образующие могут быть найдены обращением матрицы (и, V, W):
( \ Xi X2 X3
Zi Z2 Z3 Ti T2 Тз
(U, V, W)
-1
^1/2 xi/4 X2/4 - xi/16^ 0 1/4 0 0
Xi/8 1/8
A4.
/
Поскольку трехфазное решение ф(х,г,Ьо) уравнения (1) зависит от двух координат х и г и параметризуется третьей координатой Ь = Ьо, то величина амплитуды этого решения зависит от того, насколько далеко от плоскости Ь = Ьо находятся вершины данной трехмерной решетки. Следовательно, в отличие от случая двухфазного решения [56, 57], где изменение начальной фазы Z приводило к тривиальному сдвигу решения по плоскости XOZ, амплитуда трехфазного решения (1.15) уравнения (1) зависит от выбора начальной фазы Wtо + Z несколько более сложным образом (рис. 4). Если же рассматривать трехфазные решения уравнения КП-1, то их поведение можно описать следующим образом (рис. 2): через момент времени АЬ = Тк поверхность решения и(х, г) воспроизводит себя со сдвигом на плоскости XOZ на вектор (Хк, Як).
3. Гиперэллиптическая кривая рода g = 3 с двумя инволюциями
Для того чтобы воспользоваться матричным аналогом теоремы Аппеля [58] и выразить конечнозонное решение через эллиптические функции, потребуем от спектральной кривой Г (1.9) инвариантности относительно дополнительных голоморфных инволюций
Т2 :(X,A) ^ (X,-А) и тз : (x, А) ^ (c4A"4x, <?A-i).
Нетрудно проверить, что, в частности, данным условиям удовлетворяет кривая (0 < a < b,
с = Vab, <р < 7г/2):
Гз: X2 = (А4 - 2a2A2 cos 2^ + a4)(A4 - 2b2A2 cos 2^ + b4),
, 2 2x (3.1)
Xi = 0, X2 = -2(a + b2) cos 2ip. Выберем на Гз базисы циклов, как показано на рисунке 1.
Ьх
Г
Ъ2
Ьз
ае
«1
«2
а3н
Ш
Ье'1*
Рис. 1. Кривая Г3.
Нетрудно проверить, что антиголоморфная инволюция т\ преобразует базисы циклов по правилу (1.10) с матрицей
/ \
К =
0 1 1 1 0 1
V1 1
и что голоморфные автоморфизмы т^ (] = 2, 3) преобразуют базис циклов по правилу
( \ ( \
й! й1
а2 = М3 й2 ,
йз йз
\ / \ ( \
Ь1 Ь1 й1
Ь2 = (М|)-1 Ь2 + Ь й2
\Ьз) Ьз йз
(3.2)
где
111
М2 =
Мз =
0 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0 -1 -1 —1у
¿2 =
Ьз
—1 —Л
1 0 0
V1 0 0 \ \
0 0 1 0 0 1 —1 —1 0 у
Поскольку автоморфизмы т^ (] = 2, 3) являются инволюциями, то соответствующие матрицы М и Ь удовлетворяют условиям
М2 = I, МЬ = - ЬМ, Ь = - Ь.
тз
Из перестановочности инволюций Г2 и гз вытекает перестановочность матриц М2 и М3, а также матриц ,12 и Jз, где — матрица преобразования ненормированных голоморфных дифференциалов
V
гй
Л 1
(IX X
= ,к
,2 =
( \
-10 0 0 1 0 0 0 -1 у
,3 =
(л2)
сIX
Л X '
1
/ 2\ -е2
0 0
0 -1 0
-е -2 0 0
Из (3.2) следует, что матрицы С и В удовлетворяют условиям
С,к = МкС, В = МкВМк - МкЬк,
(3.3)
а из соотношений (2.2), (3.3) вытекает, что матрица В имеет следующую структуру (Ьь Ь2, 63 еМ):
+ 63) гЬх - 1/2 ¿63 - 1/2^
гЬх - 1/2 ¿(Ьх + 62) гб2 - 1/2 . (3.4)
^гб3 - 1/2 ¿62 - 1/2 ¿(62 +
Из (3.3) и структуры матрицы В (3.4) следует, что ее мнимая часть может быть диа-гонализована с помощью матрицы Т [58]:
В=
Т=
( \
1 -1 1
1 1 -1
-1 1 1
/
то есть что является верным равенство Т1ВТ = В' + А', где
Л„ - - \
В' =
4гЬ1 0 0
0 4гЬ2 0 У 0 0 4гЬ3у
1
' 1 -1 -Л
А' = ——Т*КТ = 2
-1 1 -1 -1 -1 1
(3.5)
/
Также из (3.3) следует, что матрица С имеет вид (И,е е^к = 0)
2
С31 + С21 0 (е31 - С21 )е2
С=
V
е21 е31 е32
е32 -е21е 2
2
С31 е-
(3.6)
/
Применяя матричную версию теоремы Аппеля [58], получаем, что трехмерная тэта-функция, используемая в решении (1.16), может быть выражена через эллиптические
функции:
e(p|£ ) = f (Ръм) =
= Mpilhi )^э(рз|^з) + $4(pilhl)'&l(p2lh2)'&l(p3lh3)+
+ ^i(pi|hi)^4 (P2|h2)^i(p3|h3) + ^i(pi|hi)^i(p2|h2)^4(^3|h3), (3.7)
где pj = pj + Pj+i — Pj+2, Pj+3 = Pj, hj = exp(-4nbj). Функции fij(p|h) — это эллиптические тэта-функции Якоби [59]:
те
i2
fii(p | h) = 2 1)m-ih(m-i/2) sin[(2m — 1)np],
m=i те
§2(p | h) = 2 h(m-i/2)2 cos[(2m — 1)np],
m=i
те
^(p | h) = 1 + 2 ^ hm2 cos(2mnp),
m=i те
fi4(p | h) = 1 + 2 ^ (—1)mhm2 cos(2mnp).
m=i
4. Анализ решения
Из формулы для редукции тэта-функции (3.7) и значений векторов периодов (2.3) получаем следующую формулу для квадрата абсолютной величины трехфазного решения (1.16) фокусирующего нелинейного уравнения Шрёдингера:
|Щ|2 = —4K02f (kix + Kit + Si,k2z + Ó2, k3x + K3Í + 83) x
x f (kix + Kit — 8i,k2z — 82, k3x + K3t — 83) x
x {f (kix + Kit, k2z, k3x + K3t)}-2, (4.1)
где функция f (pi,p2,p3) задается равенством (3.7),
ki = —4ic2i, k2 = —8ÍC32, k3 = —4ic3i, Ki = — 2ki (X2 + 2c2), K3 = —2k3(X2 — 2c2).
Вычисление параметров решения через эллиптические интегралы вынесено в приложение.
Из (4.1) следует, что функция Щ периодична по z и почти-периодична по x и t. Кроме того, существуют значения
1 / ab \ 1 / —ab
Vi = 2 arccos у V3 = r2 arceos
для которых будет выполняться равенство Ki =0 или K3 = 0, и, соответственно, решение уравнения КП-I будет периодическим по t.
Для определенности будем считать, что ф > п/4. Характерный вид трехфазного решения уравнения КП-I для этого случая изображен на рисунках 2 и 3.
Рис. 2. Решение уравнения КП-!.
4 = 0
28 14 О
О
0.5
4 * *
8 Ю
4 = 0
______—г—ГПГГГ \ \
1.5 т у
А
8 Ю
Рис. 3. Крупный план решения.
Решение, изображенное на рисунках 2 и 3, построено при кс = л/Ь/а, = 1.3, с = 1, ф = 0.4п. Зависимость от Ь данного решения можно определить следующим образом: пики медленно движутся вправо, а длинноволновая огибающая — влево.
На крупном плане хорошо видно, что пики решения образуют две одинаковые прямоугольные решетки, вершины каждой из которых лежат в центрах прямоугольников периодов другой. Нетрудно видеть, что решение является периодическим по г и что почти-периодичность по х заключается в изменении величины амплитуды решения в зависимости от х-координаты узла решетки.
Изучение вопроса о зависимости параметров решения от параметров его спектральной кривой привело к следующим выводам (2 =1/ |к2|, = 1/ \ |, Tj = 1/ \ |):
• период решения 2 растет при уменьшении е, кс и при увеличении ф;
• периоды Х1,Т1 (первая фаза) и Х3,Т3 (третья фаза) растут при уменьшении е или кс;
• периоды Х1,Т1 растут при увеличении ф;
• период Х3 слабо зависит от ф, немного возрастая только вблизи значения ф = п/2;
• период Т3 имеет разрыв второго рода при 2ф = агссо8(-аЬ/(а2 + Ь2)), вдали от разрыва почти не меняясь;
• параметры hj, от которых зависит крутизна и амплитуда решения, не зависят от е при фиксированных кс и ф;
• параметры h2, hз растут при кс ^ 1, в то время как hl убывает;
• параметры Н\, Нз растут при р — п/2;
• зависимость параметра от р заметна только вблизи кс = 1, при этом Н2 растет с уменьшением р.
Поскольку = л/и/2, то рисунки 2 и 3 одновременно показывают характерное поведение абсолютной величины трехфазного решения нелинейного уравнения Шрёдингера при некоторых значениях параметра Ь. График трехфазного решения нелинейного уравнения Шрёдингера при г = 1.5 и некоторых значениях параметра Ь показан на рисунке 4.
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1
0.5
°-0
* = 0, г = 1.5
£ = 0.4, г = 1.5
-5
0
х
10
Рис. 4. Решение нелинейного уравнения Шрёдингера при 2 = —5.
Заключительные замечания
Отметим, что периодичность решения по г является следствием симметрии кривой (следствием условия Х1 = 0 в равенстве (2.3)). Поэтому, просто сдвинув точки ветвления кривой вдоль действительной оси, из исходного периодического по г решения можно получить решение уже почти-периодическое по всем трем переменным. В этом случае решетки перестанут быть прямоугольными, но при этом вершины одной из решеток останутся в центре параллелограмма периодов другой.
Опыт работы с многофазными решениями [60, 61] указывает на то, что число решеток связано с числом листов накрывающего отображения: то есть рассмотрев какую-либо алгебраическую кривую рода д, п-листно (п > 2) накрывающую эллиптическую, можно построить д-фазное почти-периодическое решение уравнения КПЛ, пики которого будут находиться в вершинах п четрехугольных решеток, сдвинутых друг относительно друга на п-ую часть периода. В то же время из опыта работы с двухфазными решениями уравнения (1) [56, 57] вытекает, что, взяв значения угла р < п/4, мы получили бы решение с менее выраженными и более пологими пиками.
Авторы благодарят проф. В. Б. Матвеева за внимание к работе и полезные обсуждения.
Приложение. Вычисление параметров трехфазных решений
Поскольку на Гз заданы голоморфные инволюции То,Т2, то она накрывает две другие кривые: Г1 = Г3/Т2 рода д = 1 (рис. 5),
Г1: Х+ = (Ь2 — 2а2Ьсов2р + а4)(Ь2 — 2Ь2Ьсов2р + Ь4), (4.2)
и Г2 = Гз/(Т2То) рода д = 2 (рис. 6),
Г2: х- = Ь(Ь2 — 2а2Ь сов2р + а4)(Ь2 — 2Ь2Ь сов2р + Ь4), (4.3)
где
t = \ , Х+ = X, Х- = хА
dt ^ ^ х+ х х— х х— х
ti
h
к
dt
bi
m
té
t2
t2
dt
mt
Рис. 5. Кривая Г1.
%
Рис. 6. Кривая Г2.
Здесь ¿1 = Ь2в2г1р, ¿2 = а2в2г1р. Для определенности будем считать, что ф > п/4 и 2ф> п/2. Накрывающие отображения порождают следующие отображения базисов циклов:
(а1 а2 а3 Ь1 Ь2 Ь3) ^ ^ (а1 а2 а2 Ь1 Ь2 Ь2) ,
где
—1 1 0 0 —2 0
S= 1 0 —1 , p = 0 0 2
V1 0 1 0 0 —2j
/ > / \
—1 1 0 0 0 0
Q= 0 0 —1 , R = 1 1 1
V0 0 1 1 1 —1>
Напомним, что проверить правильность вычисления матриц S, P, Q, R можно с помощью соотношений [25, 62]
SlQ = QlS, RtP = PlR, SfR — QlP = nl,
где I — единичная матрица, n = 2 — число листов накрытий.
Наличие инволюции Т3 приводит к тому, что Г2 в свою очередь накрывает две эллиптические кривые (рис. 7, 8; s1 = (a2 + b2) cos 2ip + i(b2 — a2) sin 2ip)
Г±: v\ = (s ± 2c2)(s2 — 2(a2 + b2)scos2^ + a4 + b4 + 2a2b2 cos4^), (4.4)
и
где
в = Ь +
=
Ь ±с2
йв
(Ь Т с2)йЬ 2(Л2 т с2)йЛ
Г Ь2 Х- Х
Отображения Г2 на Г± порождают следующие отображения базисов циклов:
1 1 -1 1,
а+ а
1 1 -1 1
'Ь+ Ь
Непосредственные вычисления с помощью формул связи между циклами и дифференциалами дают следующие значения для коэффициентов матриц С (3.6) и В (3.4):
1
с21 = гЬ1 =
2(«1-2 А)' С32 2а2' С31 2(а3-2/53)'
а1
2(а1 — 2в1):
где
1 йв
а+
ь+
гь2 =
«2 = 2
1
А
2а2:
1
аз
(М Х+'
2 I Х+
ь1
гьз =
аз = 2?1Г>
а— 1 йв
2(аз — 2вз)'
1 йв
вз =
2 ] у-
ь
4
с
2
а
1
—>
—>
2
а
2
1
Рис. 7. Кривая Г+. Рис. 8. Кривая Г_.
Сводя контурные интегралы к определенным, имеем
те
йв
а1
—2с2
йв
а3 = -
л/(8-81)(8-81)(8-2С2У
2с2
-2c2
f ds
a i — 2pi = г
V(s-si)(s-si)(-2c2 -s)'
о
2c2
f ds
a3 - '2ps = г
V(s-si)(s-si)(2c2 -s)
-г^(А2 + 1)(А2 + к2) } dt
a-2 = — '
A2C2-B2 у -i2)(i -i2):
\f(A
fh =
-1
^(A2 + l)(A2+k2) f dt
A2C2-B2 J V(fc2-i2)(i2-l)' гДе = ), !j = Im(ij))
(Tii -n2)2 +if+i'i + VD
k =
2X1X2
Б = (№ - ^2)2 + (Х1 - Х2)2)((^1 - П2)2 + (Х1 + Х2)2),
х2(Р-1)(7г1-7г2) 2 (7г1-7г2)2 + (х1-х2л)2' В2 = Х2 - А2^2, С2 = -^2 - А2Х2.
Вычисление сдвигов фаз ^ при Z = 0 приводит к следующим выражениям:
1 1 Г йЬ
д2= 2 +'гЬ2 +
2а2/ \/{t-W-h){t-t2){t-h)
1 sJ(A2 + l)(A2+k2) -f dt
= - + 2-ib2 - '
2 а2(А2С2-Б2) J y(i2 + fc2)(i2 + 1)
0
Поскольку коэффициент выражается через интегралы по всем трем эллиптическим кривым и соответствующая формула очень громоздкая, то мы ее не приводим.
и
Список литературы
[1] Akhmediev N., Ankiewicz A., Taki M. Waves that appear from nowhere and disappear without a trace // Phys. Lett. A, 2009, vol.373, pp.675-678.
[2] Discussion & debate: Rogue waves — towards a unifying concept? // Eur. Phys. J. Special Topics, vol.185, no. 1 / N. Akhmediev, E. Pelinovsky (Eds.). Berlin: Springer, 2010. 266 pp.
[3] Peregrine D. H. Water waves, nonlinear Schrodinger equations and their solutions //J. Aust. Math. Soc. Ser. B, 1983, vol.25, pp. 16-43.
[4] Dyachenko A.I., Zakharov V.E. On the formation of freak waves on the surface of deep water // Письма в ЖЭТФ, 2008, т. 88, №5, с. 356-359.
[5] Захаров В.Е., Шамин Р. В. О вероятности возникновения волн-убийц // Письма в ЖЭТФ, 2010, т. 91, №2, с. 68-71.
[6] Chabchoub A., Hoffmann N., Akhmediev N. Rogue waves observation in a water wave tank // Phys. Rev. Lett., 2011, vol. 106, no. 20, 204502, 4 pp.
[7] Chabchoub A., Hoffmann N., Onorato M., Akhmediev N. Super rogue waves: Observation of a higherorder breather in water waves // Phys. Rev. X, 2012, vol. 2, no. 1, 011015, 6 pp.
[8] Ахмедиев Н. Н., Анкевич А. Солитоны: нелинейные импульсы и пучки. Москва: Физматлит,
[9] Kibler B., Fatome J., Finot C., Millot G., Dias F., Genty G., Akhmediev N., Dudley J. M. The Peregrine soliton in nonlinear fibre optics // Nature Phys., 2010, vol. 6, no. 10, pp. 790-795.
[10] Dubard P., Gaillard P., Klein C., Matveev V. B. On multi-rogue waves solutions of the focusing NLS equation and positon solutions of the KdV equation // Eur. Phys. J. Spec. Top., 2010, vol. 185, no. 1, pp. 247-258.
[11] Dubard P., Matveev V. B. Multi-rogue waves solutions to the focusing NLS equation and the KP-I equation // Nat. Hazards Earth Syst. Sci., 2011, vol. 11, pp. 667-672.
[12] Ankiewicz A., Kedzora D. J., Akhmediev N. Rogue waves triplets // Phys. Lett. A, 2011, vol.375, pp. 2782-2785.
[13] Kedzora D.J., Ankiewicz A., Akhmediev N. Circular rogue wave clusters // Phys. Rev. E, 2011, vol.84, no. 5, 056611, 7pp.
[14] Ohta Y., Yang J. General higer order rogue waves and their dynamics in the nonlinear Schrodinger equation // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 2012, vol.468, pp. 1716-1740.
[15] He J. S., Zhang H. R., Wang L. H., Porsezian K., Fokas A. S. Generating mechanism for higher-order rogue waves // Phys. Rev. E, 2013, vol.87, no. 5, 052914, 10 pp.
[16] Guo B., Ling L., Liu Q.P. Nonlinear Schrodinger equation: Generalized Darboux transformation and rogue wave solutions // Phys. Rev. E, 2012, vol.85, no. 2, 026607, 9 pp.
[17] Osborne A. R., Onorato M., Serio M. The nonlinear dynamics of rogue waves and holes in deep-water gravity wave trains // Phys. Lett. A, 2000, vol. 275, pp. 386-393.
[18] Calini A., Schober C. M. Homoclinic chaos increases the likelihood of rogue wave formation // Phys. Lett. A, 2002, vol. 298, pp. 335-349.
[19] Schober C. M. Melnikov analysis and inverse spectral analysis of rogue waves in deep water // Eur. J. Mech. B Fluids, 2006, vol.25, no. 5, pp. 602-620.
[20] Dysthe K. B. Note on a modification to the nonlinear Schrodinger equation for application to deep water waves // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 1979, vol. 369, pp. 105-114.
[21] Trulsen K., Dysthe K. B. A modified nonlinear Schrodinger equation for broader bandwidth gravity waves on deep water // Wave Motion, 1996, vol. 24, no. 3, pp. 281-289.
[22] Trulsen K., Kliakhandler I., Dysthe K. B., Velarde M. G. On weakly nonlinear modulation of waves on deep water // Phys. Fluids, 2000, vol. 12, no. 10, pp. 2433-2437.
[23] Saini A., Vyas V. M., Pandey S. N., Raju T. S., Panigrahi P. K. Traveling wave solutions to nonlinear Schroedinger equation with self-steepening and self-frequency shift, arXiv:0911.2788 (2009), 8pp.
[24] Islas A. L., Schober C. M. Predicting rogue waves in random oceanic sea states // Phys. Fluids, 2005, vol. 17, no. 3, 031701, 4 pp.
[25] Belokolos E. D., Bobenko A. I., Enol'skii V. Z., Its A.R., Mateveev V.B. Algebro-geometrical approach to nonlinear evolution equations. (Springer Ser. Nonlinear Dynamics.) Berlin: Springer, 1994. 350 pp.
[26] Gesztesy F., Holden H. Soliton equation and their algebro-geometric solutions: Vol. 1: (1 + 1)-dimensional continuous models. (Cambridge Stud. Adv. Math., vol.79.) Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2003. 505 pp.
2003. 304 с.
[27] Gesztesy F., Holden H., Michor J., Teschl G. Soliton equation and their algebro-geometric solutions: Vol.2: (1 + 1)-dimensional discrete models. (Cambridge Stud. Adv. Math., vol.114.) Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2008. 438 pp.
[28] Новиков С. П. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза: 1 // Функц. анализ и его прил., 1974, т. 8, №3, с. 54-66.
[29] Lax P. D. Periodic solutions of the KdV equations // Nonlinear wave motion: Proc. AMS-SIAM Summer Sem., Clarkson Coll. Tech., Potsdam, N.Y., 1972). (Lectures in Appl. Math., vol.15.) Providence, R. I., 1974. P. 85-96.
[30] Дубровин Б. А., Новиков С. П. Периодическая задача для уравнений Кортевега-де Фриза и Штурма-Лиувилля. Их связь с алгебраической геометрией // Докл. АН СССР, 1974, т. 219, №3, с. 531-534.
[31] Итс А. Р., Матвеев В. Б. Операторы Шрёдингера с конечнозонным спектром и п-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза // ТМФ, 1975, т. 23, №1, с. 51-68.
[32] Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков С. П. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия // УМН, 1976, т. 31, №1, с. 55-136.
[33] Кричевер И. М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений // УМН, 1977, т. 32, №6, с. 183-208.
[34] Дубровин Б. А. Тэта-функции и нелинейные уравнения // УМН, 1981, т. 36, №2, с. 11-80.
[35] Matveev V. B. 30 years of finite-gap integration theory // Philos. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 2008, vol. 366, no. 1867, pp. 837-875.
[36] McLaughlin D. W., Schober C.M. Chaotic and homoclinic behavior for numerical discretizations of the nonlinear Schrodinger equation // Phys. D, 1992, vol.57, nos. 3-4, pp.447-465.
[37] Ablowitz M.J., Schober C.M., Herbst B.M. Numerical chaos, roundoff errors, and homoclinic manifolds // Phys. Rev. Lett., 1993, vol.71, no. 17, pp. 2683-2686.
[38] Calini A., Ercolani N. M., McLaughlin D.W., Schober C.M. Mel'nikov analysis of numerically induced chaos in the nonlinear Schrodinger equation // Phys. D, 1996, vol. 89, nos. 3-4, pp. 227-260.
[39] Смирнов А. О. Эллиптический бризер нелинейного уравнения Шрёдингера // Зап. научн. сем. ПОМИ, 2012, т. 398, с. 209-222.
[40] Ma Y. C. The pertubed plane-wave solutons of the cubic Schrodinger equation // Stud. Appl. Math., 1979, vol. 60, pp. 43-58.
[41] Итс А. Р. «Изомонодромные» решения уравнений нулевой кривизны // Изв. АН СССР. Сер. Матем., 1985, т. 49, №3, с. 530-565.
[42] Смирнов А. О. Эллиптические решения нелинейного уравнения Шрёдингера и модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза // Матем. сб., 1994, т. 185, №8, с. 103-114.
[43] Kundu A., Mukherjee A., Naskar T. Modelling rogue waves through exact dynamical lump soliton controlled by ocean currents: Preprint, arXiv:1204.0916 (2012), 5pp.
[44] Итс А. Р. Обращение гиперэллиптических интегралов и интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений // Вестн. ЛГУ, Сер. Матем., механ., астрон., 1976, т. 7, №2, с. 39-46.
[45] Dai C. Q., Zhang J. F. New solitons for the Hirota equation and generalized higher-order nonlinear Schrodinger equation with variable coefficients //J. Phys. A, 2006, vol. 39, no. 4, pp. 723-737.
[46] Ankiewicz A., Soto-Crespo J. M., Akhmediev N. Rogue waves and rational solutions of the Hirota equation // Phys. Rev. E, 2010, vol.81, no.4, 046602, 8pp.
[47] Li C. Z., He J. S. Darboux transformation and positions of the inhomogeneous Hirota and the Maxwell-Bloch equation: Preprint, arXiv:1210.2501 (2012), 5pp.
[48] Бейкер Г. Ф. Абелевы функции. Теорема Абеля и связанная с ней теория тэта-функций. Москва: МЦНМО, 2008. 736 с.
[49] Fay J.D. Theta-functions on Riemann surfaces. (Lect. Notes in Math., vol.352.) Berlin: Springer, 1973. 137 pp.
[50] Krazer A. Lehrbuch der Thetafunktionen. Leipzig: Teubner, 1903. 509 pp.
[51] Смирнов А. О. Об одном семействе двухфазных решений уравнения Буссинеска: 1 // Научная сессия ГУАП: Сб. докл.: В 3 ч.: Ч. 1. Технические науки. СПб.: ГУАП, 2012. С. 219-223.
[52] Смирнов А. О. О простейшем рациональном решении уравнения Буссинеска // Математика и ее приложения: Межвуз. сб. научн. тр. СПб.: ГУРМФ, 2013. Т. 4, с. 58-64.
[53] Липовский В. Д., Матвеев В. Б., Смирнов А. О. О связи между уравнениями Кадомцева-Пет-виашвили и Джонсона // Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1986, т. 150, с. 70-75.
[54] Клейн К., Матвеев В. Б., Смирнов А. О. Цилиндрическое уравнение Кадомцева-Петвиашвили: старые и новые результаты // ТМФ, 2007, т. 152, №2, с. 304-320.
[55] Khusnutdinova K.R., Klein C., Matveev V. B., Smirnov A. O. On the integrable elliptic cylindrical Kadomtsev-Petviashvili equation // Chaos, 2013, vol.23, 013126, 13pp.
[56] Смирнов А. О. Решение нелинейного уравнения Шрёдингера в виде двухфазных странных волн // ТМФ, 2012, т. 173, №1, с. 89-103.
[57] Смирнов А. О. Периодические двухфазные «волны-убийцы» // Матем. заметки, 2013 (в печати).
[58] Смирнов А. О. Матричный аналог теоремы Аппеля и редукции многомерных тэта-функций Римана // Матем. сб., 1987, т. 175, №7, с. 382-391.
[59] Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. 2-е изд. Москва: Наука, 1970. 312 с.
[60] Amosenok E. G., Smirnov A. O. Two-gap 2-elliptic solution of Boussinesq equation // Lett. Math. Phys., 2011, vol.96, nos. 1-3, pp. 157-168.
[61] Смирнов А. О., Головачев Г. М., Амосенок Е. Г. Двухзонные 3-эллиптические решения уравнений Буссинеска и Кортевега-де Фриза // Нелинейная динамика, 2011, т. 7, №2, с. 239-256.
[62] Смирнов А. О. Конечнозонные решения абелевой цепочки Тоды рода 4 и 5 в эллиптических функциях // ТМФ, 1989, т. 78, №1, с. 11-21.
Constructed in the elliptic functions three-phase solutions for the nonlinear Schrodinger equation
Alexander O. Smirnov1, Grigory M. Golovachev2
1,2Saint Petersburg State University of Airspace Instrumentation (SUAI) Bolshaya Morskaya str. 67, Saint Petersburg, 190000, Russia 1alsmir@guap.ru, 2ggolovachev@yandex.ru
Three-phase finite-gap with behavior of almost-periodic freak waves solutions for the nonlinear Schrodinger and the KP-I equations were constructed. Dependencies of parameters of solutions from the parameters of spectral curve were studied.
MSC 2010: 35Q53
Keywords: rogue waves, freak waves, nonlinear Schrodinger equation, KP equation, Hirota equation, theta-function, reduction, covering
Received March 3, 2013, accepted May 31, 2013
Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2013, vol. 9, no. 3, pp. 389-407 (Russian)
