CC BY
22Нелинейная динамика. 2015. Т. 11. № 2. С. 219-240. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru
ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ
УДК: 517.957
М8С 2010: 35Q55, 37К10
Квазирациональные решения нелинейного уравнения Шрёдингера
В. Б. Матвеев, Ф. Дюбард, А. О. Смирнов
Рассматривается метод построения квазирациональных решений нелинейного уравнения Шрёдингера, уравнения Кадомцева-Петвиашвили и некоторых других интегрируемых нелинейных уравнений. Приводятся примеры решений ранга 2 и 3.
Ключевые слова: волны-убийцы, странные волны, нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение КП, преобразование Дарбу
Введение
В этой статье мы обсуждаем мультибризерные (multi-rogue) волны, являющиеся решениями фокусирующего нелинейного уравнения Шрёдингера (НШ)
iut + uxx + 2\u\2u = 0, (0.1) уравнения Кадомцева-Петвиашвили-I (КП-I)
(4vt + 6vvx + Vxxx)x = 3vyy (0.2) и некоторых других интегрируемых нелинейных уравнений.
Получено 25 октября 2014 года После доработки 17 января 2015 года
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 14-01-00589_а).
Матвеев Владимир Борисович [email protected] Смирнов Александр Олегович [email protected]
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (ГУАП) 190000, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Морская, д. 67 Дюбард Филипп [email protected]
Department of Mathematics and Applied Mathematics, University of Cape Town, South Africa _НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА. 2015. T. 11. №2. С. 219-240
В последнее время было осознано, что простейшей и наиболее универсальной моделью для описания возникновения экстремальных волн в океане или оптическом волокне являются именно эти уравнения. Начиная с 1968 года уравнение (0.1) используется при описании распространения на поверхности океана слабо нелинейных квазимонохроматических волновых пакетов с относительно большой крутизной фронтов [1]. Приложения этого уравнения к задачам нелинейной оптики были известны еще раньше [2]. Поскольку уравнение (0.1) является моделью первого приближения, то оно появляется при моделировании многих слабо нелинейных явлений. Область применения этого уравнения чрезвычайно широка и, помимо упомянутых выше, включает в себя физику плазмы [3], теорию финансовых рынков [4], теорию Бозе-конденсатов и многое другое.
Одной из особенностей уравнения (0.1) является наличие модуляционной неустойчивости, приводящей к возникновению так называемых «странных волн» (в гидродинамике известных под названием «волн-убийц») [5]. Эти волны представляют собой локализованные в пространстве и времени всплески амплитуды. В последние 20 лет сначала в гидродинамике, а затем в нелинейной оптике эти волны были объектом многочисленных теоретических и экспериментальных исследований [6]. Такое внимание к проблеме «волн-убийц» объясняется, в частности, убытками от разрушения «волнами-убийцами» нефтяных платформ, танкеров, контейнеровозов и других крупнотоннажных судов.
Существует множество более сложных моделей, которые дают более точное описание «странных волн» [6]. Эти модели условно можно разбить на два класса. К некоторым моделям, как и к уравнению (0.1), можно применять аналитические методы. Другие модели являются неинтегрируемыми и могут быть решены только численными методами. К аналитическим методам, применяемым для решения интегрируемых нелинейных уравнений, относятся метод обратной задачи рассеяния, метод конечнозонного интегрирования [7], метод задачи Римана, метод преобразования Дарбу [8], метод Хироты. В настоящей работе используются формулы, полученные методом преобразования Дарбу.
В основу метода преобразования Дарбу положена его короткая заметка 1882 года, в которой была указана процедура получения бесконечной серии новых одномерных уравнений Шрёдингера и их решений исходя из произвольно выбранного исходного уравнения. При этом решения новых уравнений выражаются в терминах решений исходного уравнения, соответствующих различным значениям спектрального параметра, при помощи простых детерминантных формул, найденных в 1954 году английским математиком Крамом. В работах одного из авторов [9-11] было предложено широкое обобщение этой идеи, названное им методом преобразований Дарбу. Метод преобразований Дарбу позволяет находить широкие классы точных решений линейных дифференциальных уравнений и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, допускающих представление Лакса. В своей первоначальной формулировке этот метод был применен к бесконечной иерархии уравнений Кадомцева-Петвиашвили (КП-1) и ее некоммутативным и разностным аналогам [9-11]. Дальнейшее развитие этого метода, включающее в себя, в частности, результаты работ [12-14], содержится в широко цитируемой монографии [8] и обзорной статье [15], а также в тысячах новых публикаций, которые мы не будем здесь цитировать за недостатком места.
Решения уравнения (0.1) обладают фундаментальным свойством трансляционной, масштабной, галилеевой и фазовой инвариантности: вместе с решением и(х, Ь) решениями уравнения (0.1) являются также функции
и(х — х0,Ь — Ь0), ди(д2х,дЬ), д> 0,
(0.3) (0.4)
u(x,t) — u(x - Vt,t)exp(iVx/2 - iV2t/4), V e R, (0.5)
u(x, t) — eixu(x, t), x e R. (0.6)
Уравнение (0.1) обладает простейшими, не зависящими от x, решениями p(t) типа простой волны: u(t) = exp(2it), |u(t)| = 1. В дальнейшем мы будем интересоваться рациональными модуляциями этого решения, то есть решениями вида
u(x,t) = R(x,t)exp(2it), R(x,t) — 1 при x2 + t2 — то,
где R(x, t) — рациональная функция, числитель и знаменатель которой представляют собой полиномы степени n(n + 1) от x и t. Целое положительное число n мы называем рангом решения. При этом сам рациональный множитель R(x, t) автоматически удовлетворяет уравнению Гросса-Питаевского:
iRt + 2R(|R|2 - B2) + Rxx = 0, IRI = |u|. (0.7)
Переход к более общим квазирациональным решениям осуществляется тривиальным применением пространственных и временных трансляций (0.3), а также масштабных (0.4), га-лилеевых (0.5) и фазовых (0.6) преобразований. В период с 1983 года по 2010 год деятельность по описанию квазирациональных решений насчитывала небольшое число важных событий.
В 1983 году английский математик Хоуэлл Перегрин нашел квазирациональное решение уравнения (0.1) следующего вида [16]:
u(x,t) := (l - 4 —L-^—^j x := 2x, T := 41 (0.8)
Это решение единственно с точностью до деформаций его при помощи преобразований, упомянутых в начале раздела. Его абсолютная величина имеет единственный локальный максимум в точке х = 0, t = 0 (|u(0, 0)| = 3) и два минимума. При x2 + t2 — то второе слагаемое в скобке стремится к нулю и, следовательно,
u(x,t) ~ e2lt, |u| —1 при x2 + t2 — то.
Решение Перегрина, график которого показан на рисунке 1, представляет собой пример волны, амплитуда которой достигает единственного резкого максимума высоты 3 в единственной точке пространства-времени и, таким образом, хорошо соответствует свойству волн-убийц возникать ниоткуда и затем исчезать бесследно [17], которое часто закладывают в их определение.
Следующим важным этапом было открытие нового квазирационального решения ранга 2 или, как мы его называем, Р2-бризера, сделанное в 1985 году в работе Ахмедиева, Елеонского и Кулагина [18]. Данное решение описывается формулой, аналогичной предыдущей, в которой полиномы, стоящие в числителе и в знаменателе рационального фактора решения, имеют степень 6 по каждой из переменных x и t. Максимум абсолютной величины этого решения равен 5 и имеется еще 4 значительно меньших локальных максимумов. Открытие этого изолированного, но очень важного решения поставило вопрос об описании более широких семейств квазирациональных решений.
Годом позже работы [18] в работе Елеонского, Кричевера и Кулагина [19] возникла первая общая формула для квазирациональных решений уравнения (0.1), содержавшая первую
3 2 1 О
1 3 2
-4^ -3\ -2
Рис. 1. Солитон Перегрина.
общую конструкцию этих решений произвольного ранга. В отличие от предыдущих работ, полученные в ней решения ранга п зависели от 2п вещественных параметров, первые два из которых соответствовали пространственным и временным трансляциям, а остальные параметры были нетривиальны. Работа эта, несмотря на правильность общей стратегии и всех формул, исключая специальный выбор некоторых «сигнатур» т^ (их точные определения даны ниже), не была, однако, как следует осознана вплоть до самого последнего времени (до 2010 года). В частности, в течение 25 лет оставалось невыясненным, можно ли получить формулу для р^-бризера как редукцию решений ранга 2 из [19].
Лишь в 2009 году Ахмедиев, Анкевич и Сото-Креспо [20], применяя метод преобразований Дарбу, построили изолированное решение ранга 3, то есть Рз-бризер с асимптотической амплитудой 1, в котором рациональный фактор представлял отношение двух полиномов 12-й степени по х и Ь и максимумом абсолютной величины, равным 7. В этой работе и в серии последующих работ они выдвинули гипотезу о существовании бесконечной серии высших перегриновских бризеров — Рп-бризеров с асимптотической амплитудой 1 и максимумом абсолютной величины, равном 2п + 1. Однако сами они не смогли продвинуться в подтверждении этой гипотезы за пределы ранга 3. В 2010 году им удалось лишь явно описать Р4(х, 0). Вопрос о соотношении их решений с формулами работы [19] также оставался открытым до самого последнего времени.
В 2010 один из авторов этой работы (В.Б.Матвеев) выдвинул широкую программу исследования квазирациональных решений уравнения (0.1). В данной работе мы представляем основные результаты, полученные в ходе реализации этой программы, в том числе и полученные в последнее время.
1. Основные формулы
Пусть п есть натуральное число. Следуя [19], мы определяем полиномы д2п(к) и Ф(к) следующими формулами:
(1.1)
2п
В> 0
(1.2)
где коэффициенты щ Е R, а mj удовлетворяют соотношениям
0 ^ mj ^ 2n — 1, mi = 2n — mj. (1.3)
В частности, эти условия выполняются при выборе mj = j — 1. Всюду ниже мы используем именно этот выбор mj. В работе [19] этот последний выбор был заменен соотношением mj = j, не удовлетворяющим общим условиям (1.3)1. Рассмотрим теперь функцию f, определяемую формулой
f(k,x,t) :=6ХР+ f * + *(*)) (1.4)
q2n(k)
и при любом значении параметра к являющуюся решением линейного нестационарного уравнения Шрёдингера с нулевым потенциалом
—ift = fxx. (1.5)
Нетрудно проверить, что функции fi,..., f2n, определяемые формулами
fj{x,t) : Df Ч-(к..г.1), „. Dk := ^^jjfy 3 = '.....(| g)
fn+j(x,t) := ^-if(k,x,t)\k=-B,
также являются решениями уравнения (1.5).
Обозначим через Wi, W2 определители Вронского, составленные из функций fj и f, определенных выше,
Wi := W (fi, ...,fn) = det A, Aij = dX-1 fj, W2 := W (fi, ...,fn,f). Теорема 1. Функция
Unix, t) := {-irq2,MBl-2ne^B4^f- (1.7)
описывает семейство решений уравнения (0.1), зависящее от 2n +1 вещественных параметров ^i,..., щп, B.
Будем называть это решение квазирациональным решением ранга n. В обозначениях, не использующих определителей Вронского, это решение было впервые получено в работе [19]. При n = 1 оно совпадает с так называемым бризером Перегрина или, как мы будем называть его для краткости, Pi-бризером [16].
2. Нестационарное линейное уравнение Шрёдингера и уравнение Кадомцева —Петвиашвили-I
Система Лакса для уравнения Кадомцева-Петвиашвили-I (КП-I) имеет вид
— гфу = фхх + v(x,y,t)ф, (2.1)
— 40t = #ххх + 6уфх + 3w(x, y, t)^. (2.2)
хОбщий анализ условий (1.3), уточняющий результаты [19], и дальнейшие комментарии по этому поводу содержатся в диссертации Ф. Дюбарда [21].
Первое из уравнений этой системы есть нестационарное линейное уравнение Шрёдингера с потенциалом v(x,y), в котором роль времени играет переменная y, тогда как t является параметром. Уравнение КП-I является условием совместности вышеописанной системы Лакса. По отношению к этому уравнению x и у являются пространственными переменными, а t — временной переменной.
Пусть v(x,y,t) — любое решение уравнения КП-I (0.2), а fi,..., fn, f — линейно независимые решения системы (2.1), (2.2). Тогда имеет место следующий результат2
Теорема 2. Функция
удовлетворяет системе (2.1), (2.2) с потенциалом
Vn(x,y,t) := v(x,y,t) + 23l ln W (fi,...,fn). (2.4)
При этом функция vn(x,y,t) является новым решением уравнения КП-I (0.2).
В частности, это верно при v(x,y,t) =0 и w = 0. Очевидно, что функции f, fj, j = 1,...,2n, определенные формулами (1.6), удовлетворяют системе Лакса (2.1)-(2.2) с v = 0, w = 0 при условии, что мы заменим t на y и ^>3 на -t. Отсюда мы получаем следующий результат.
Теорема 3. Последовательность функций
v2n (x, y, t) := 2dl log wfi,..., f2n), fj (x, y, t) := f \t=y^3=-t, (2.5)
где
fj(x,y,t) := fj\t=y^3=-t,
а fj определены в (1.6), является семейством вещественных рациональных (как функция от x, y и t) решений уравнения КП-I. Эти решения удовлетворяют соотношению
оо
J v2n(x, y, t) dx = 0. (2.6)
-о
Решения (2.5) также являются рациональными функциями от 2n — 1 параметров ^1,^2, Щ,..., ^2n ■
Данные решения уравнения КП-I являются вещественными гладкими функциями в силу обнаруженного нами следующего важного соотношения, которое мы называем соответствием НШ-КП:
Теорема 4. Решение (2.5) может быть также записано в виде
v2n = 2 (|Un\2 — Б2), Un(x, y, t) := Un(x,t,^i ,...,^2n )Ly>,3=-t. (2.7)
Соответственно, функция v2n(x,y,t) удовлетворяет неравенству
v2n > — 2B2. (2.8)
2 Работы [9] и [15] содержат более общие результаты, непосредственно приложимые к некоммутативным иерархиям уравнений КП-1 и КП-П и их различным редукциям.
Имеет место следующая общая гипотеза: максимальное значение функции \un(x,t)| в классе квазирациональных решений ранга n с асимптотической магнитудой Б описывается формулой
maxx t,pi.... , V2n£R \Un(x,t,<pi,.. .,$2n)| = B(2n + 1). (2.9)
Решение, для которого параметры ф,..., ф2n выбраны таким образом, что этот максимум реализуется при некоторых x и t, обозначается Pn(x,t) и называется Pn-бризером или пе-регриновским бризером ранга n.
Гипотеза существования бесконечной иерархии Р^бризеров была впервые высказана Ахмедиевым и подтверждена им и его соавторами для n ^ 3 (см., например, [20])3. В настоящее время эта гипотеза проверена для n ^ 10 в работах Гайарда [39], хотя общее доказательство по-прежнему отсутствует. Современная строгая формулировка этой гипотезы была предложена Матвеевым. Эта формулировка исходит из того, что следует начинать с аналитического описания всего класса квазирациональных решений с фиксированной асимптотической магнитудой 1 на бесконечности. Матвеев и Дюбард [22, 24] показали, что в общем положении абсолютная величина этих (комплексных) решений имеет n(n + 1)/2 максимумов высоты близкой к 3, то есть к высоте магнитуды Pi-бризеров, и (при любых значениях параметров) n(n +1) минимумов. При специальном выборе параметров (трудность которого существенно зависит от удачного выбора параметризации) возникает решение, имеющее один очень высокий максимум высоты 2n + 1 и n(n + 1) — 1 локальных максимумов очень незначительной высоты и (как и в остальных случаях) n(n + 1) локальных минимумов магнитуды. Это последнее решение и есть Р^бризер. Эти оценки числа максимумов, в отличие от минимумов, не являются абсолютно универсальными, как будет объяснено ниже на примере решений ранга 2 и 3.
Заметим, что во всех этих случаях в принципе можно ограничиться, без потери общности, анализом решений уравнения НШ с асимптотической магнитудой 1. Действительно, масштабное преобразование
u(x,t) — Bu(Bx,B2t)
переводит решения с асимптотической магнитудой 1 в решения с асимптотической магни-тудой B.
Если описанная гипотеза верна применительно к уравнению НШ для всех рангов n, то, в силу соответствия НШ-КП, соответствующий абсолютный максимум решения (2.5) уравнения КП-I описывается формулой
maxx,y,teR v(x,y,t) = 8B2n(n + 1), (2.10)
то есть его значение равно числу максимумов (пиков) решения общего положения ранга n, помноженному на 16B2. Последний фактор есть ни что иное, как образ Pi-бризера в соответствии НШ-КП.
3Сама формулировка была при этом недостаточно четкой. В ней отсутствовало описание всего класса квазирациоанльных многопараметрических решений уравнения НШ, специальными редукциями которых являются Pn-бризеры, и, таким образом, отсутствовал общий механизм их получения.
3. Редукция к нелинейному уравнению Шрёдингера
Согласно теореме 2, функция
ф(х, Ь, к) :
= ИМ/,...../,„./)
(3.1)
удовлетворяет уравнению
гфг + фхх + Уф = 0
(3.2)
с потенциалом
у(х,Ь) := 2дХ log W (/1,...,/2п).
(3.3)
Отметим, что это верно и для выражения
Яа(х,Ь) := Сф(х,Ь, 0).
(3.4)
Этот общий результат верен всегда, если функции /у являются решениями уравнения (1.5). Отметим, что Яа — рациональное решение уравнения (3.2). Специальный выбор /у и правильный выбор постоянной С позволяет нам свести уравнение (3.2) к уравнению (0.1).
Теорема 5. Пусть С = егх^2П(0)В1_2п. Тогда V и Я, определяемые формулами (3.3) и (3.4), удовлетворяют соотношению
Наше доказательство этого утверждения приведено в работе [22]4.
4. Решения ранга 1 и 2
В этом разделе мы полагаем, что В = 1, V = 0, % = 0. Переход к общему выбору этих (вещественных) параметров легко осуществляется при помощи масштабного (0.4), галиле-евского (0.5) и фазового (0.6) преобразований соответственно.
Фазовые параметры ф1 и ф2 имеют смысл пространственного и временного сдвига соответственно. Поэтому мы можем подобрать их значения так, чтобы получить наиболее компактный вид формул. Среди 2п + 2 параметров %, Вф1,..., ф2п лишь 2п — 2 параметров, а именно фз,..., ф2п, имеют нетривиальное влияние на вид графика магнитуды решений.
В случае ранга п = 1 это означает, что с точностью до упомянутых выше тривиальных преобразований решение, описываемое формулой (1.7), единственно. При выборе ф1 = 0 и ф2 = л/3/4 мы получаем классическое решение (0.8), найденное Перегрином. График его абсолютной величины как функции от х и Ь представлен на рисунке 1.
Случай ранга п = 2 является первым, в котором мы получаем семейство квазирациональных решений, зависящих от четырех параметров, в том числе от двух нетривиальных
4Наше доказательство этого утверждения совпадает с приведенным в [19] с точностью до модификации обозначений. Доказательство гладкости полученных решений (1.7) в [19] излишне сложно. Оно прямо вытекает из самой структуры фокусирующего уравнения НШ и мероморфности обсуждаемых решений как функций от х и совпадает с доказательством гладкости, проведенным в [23] для класса тригонометрических многофазных решений.
V = 2 (|Я|2 — В2).
параметров ^>3, ^>4. Мы уже объяснили выше, что параметр ^>3 связан с уравнением КП-I. Для удобства записи полагаем Lp\ = 3<£>з и iß2 = + (3 + \/5) sin(-/r/5)/4 и переходим от пары параметров {^>3,^4} к новым параметрам {а, ß}, определяемым формулами
а := 48^>3,
ß := 4(5 + л/5) sin(7r/5) - 96<£>4-В терминах этих новых параметров решение ранга 2 принимает вид
u2(x, t,a,ß) = 1 — 12
С(2ж, 4i) + -¿Я(2ж, 4t) Q{2х, 4i)
(4-1)
где
G(X, T) := X4 + 6(T2 + 1)X2 + 4aX + 5T4 + 18T2 — 4ßT — 3, H(X, T) := TX4 + 2(T3 — 3T + ß)X2 + 4aTX + T5 + 2T3 —
— 2ßT2 — 15T + 2ß, Q(X, T) := (1 + X2 + T2)3 — 4aX3 — 12(2T2 — ßT — 2)X2+ + 4(3a(T2 + 1)X + 6T4 — ßT3 + 24T2 — 9ßT+ + а2 + ß2 + 2).
(4-2)
При а = в = 0 это решение совпадает с Р2-бризером, для которого максимум магниту-ды равен 5 и достигается в точке х = £ = 0. Для достаточно малых значений а2 + в2 решение очень близко к Р^-бризеру. Формулы (4.1), (4.2) показывают, что решение П2(х,Ь, а, в) может рассматриваться как двухпараметрическая квадратичная деформация Р^-бризера. Если хотя бы один (или оба) из параметров а, в достаточно велик, то решение имеет общую форму, соответствующую трем взаимодействующим волнам-убийцам. График абсолютной величины этого решения имеет три резко выраженных максимума в пространстве-времени (х,£), и высота максимумов близка к высоте перегриновского Р[-бризера.
Эти два случая хорошо иллюстрируются графиками на рисунках 2 и 3. При промежуточных значениях параметров возможно слияние двух из этих максимумов в один максимум большей высоты и тем самым возможно образование решения с двумя максимумами.
Рис. 2. Амплитуда решения ранга 2 (4.1) для а = 0 и в = 0 (слева) и для а = 0 и в = 3 (справа).
Ж
_
2 3 4
4 -3 ^ А ^ 4
Рис. 3. Амплитуда решения ранга 2 (4.1) для а = 6 и в = 0 (слева) и для а = 5 и в = 5 (справа).
Запись решения с помощью формул (4.1), (4.2) впервые была представлена в [21, 22, 24]5. Она очень важна, так впервые показала что, в отличие от Р1-бризера, открытого Перегрином, его высшие аналоги не изолированы, а составляют часть многопараметрического семейства решений с очень интересными свойствами.
Формула (4.1), в частности, содержит бесконечное множество решений, полученных малыми вариациями параметров а, в в окрестности нуля. Эти решения по своим экстремальным свойствам оказываются сколь угодно близки к Р2-бризеру, что создает дополнительные возможности для гидродинамических и оптических экспериментов и показывает определенный вид его устойчивости. Формула (4.1) также дает ясный ответ на вопрос, поставленный работой Ахмедиева, Елеонского и Кулагина [25] почти 30 лет назад: каким образом погрузить р2-бризер в более широкое семейство квазирациональных решений уравнения НШ?
Решение П2(х,Ь, а, в) стремится к простой волне в2и, когда а2 + в2 стремится к бесконечности. Таким образом, простая волна, то есть решение ранга 0, может быть интерпретировано как предел трехбризерного решения при а2 + в2 ^ го. Ниже мы покажем, что поведение решений высших рангов при больших значениях параметров более разнообразно.
5. Решения ранга 2 уравнений, связанных с нелинейным уравнением Шрёдингера
Для построения решений этих уравнений воспользуемся другой параметризацией. Введем новые обозначения
X = 2х + 6фэ, Т = 4£ + 8^4,
л/2
8
<Р1 = 0, = ^ (/з + ^5 + /5 - х/б),
Уз = ¿7, У4 = ^ + -Т?(\/5 + Л/5 + 2\/5-Л/5
96' 192 48
и функцию
5В [21, 24] параметры были определены слегка иначе. Они пропорциональны использованным здесь с целью максимального сокращения длины формул.
Рис. 4. Решение уравнения КП-1 (0.2) для £ = —1 (слева) и для £ = 0 (справа).
-10
Рис. 5. Решение уравнения КП-1 (0.2) для £ =1 (слева) и для £ = 2 (справа).
где
С(Х, Т, У, Z) =(Х2 + 3Т2 + 3)2 — 4Т4 + 2ХУ + 2TZ — 12,
Н(X, Т, У, Z) =Т(X2 + Т2 + 1)2 + 2ХУТ + Z(Т2 — X2 — 1) — 8Т(X2 + 2),
Q(X, Т, У, Z) =(X2 + Т2 + 1)3 + У2 + 2XY(3Т2 — X2 + 3) + Z2 + 2TZ(T2 — 3X2 + 9) +
+ 24Т4 — 24Т2 X2 + 96Т2 + 24X2 + 8.
Отметим, что функция 42^^, 0^) является четной функцией относительно X, а ь^^, Т, У, 0) — четной относительно Т.
В новых обозначениях решением уравнения НШ (0.1) будет функция %2(2х, 4Ь,У.^), а решение уравнения КП-1 (0.2) имеет вид
ь(х,у,Ь) = 2(1^2(2х — бг, 4у, — 96í,Z)|2 — 1).
(5.2)
Графики решения (5.2) при Z = 0 в различные моменты времени Ь изображены на рисунках 4 и 5. Динамика решения уравнения КП-1 ранга 2 при Z = 0 описывается достаточно простым образом: три пика прибегают из бесконечности в одну точку и затем разбегаются, продолжая свое движение дальше.
Заметим, что функция
иткс1у (х, у) = Ь2(2х — 12у, Т, —96у, Z)
удовлетворяет следующему за уравнением НШ интегрируемому уравнению из АКНС-иерар-хии [26], иногда называемому модифицированным уравнением Кортевега-де Фриза (мКдФ)
иу + пххх + 6\п\2пх = 0. (5.3)
Отметим, что обычное уравнение мКдФ не содержит знака модуля и у него рассматриваются только вещественные решения. На рисунках 6 и 7 изображено решение (х, у) при некоторых значениях параметров Т и 2.
Легко видеть, что есть существенное различие в поведении квазирациональных решений уравнений (0.1) и (5.3). Решение ранга 2 уравнения (5.3), в отличие от аналогичного решения уравнения НШ (0.1), не является локализованным на плоскости. Вернее, оно локализовано в окрестности прямой х — 2у = 0.
Кроме того, нетрудно проверить, что функция
ЩрЛ(х, г) = и2(2х, Т + 24,г, У, 192г)е
является решением третьего уравнения из АКНС-иерархии
гиг + ихххх + 8\и\2 ихх + 2и2 иХх + 6иХ и* + 4и\их\2 + 6|и|4 и = 0, (5.4)
которое иногда называют обобщенным нелинейным уравнением Шрёдингера [27-30] или уравнением Лакшманана-Порсециана-Даниеля [31].
Рис. 6. Амплитуда решения уравнения (5.3) для Т = 0 и 2 = 0 (слева) и для Т =1 и 2 = 0 (справа).
г^^оГГоГГГв 2 ' У
Рис. 7. Амплитуда решения уравнения (5.3) для Т = 0 и 2 = 5 (слева) и для Т =1 и 2 = 5 (справа).
Графики решения щра(х, г) уравнения (5.4) при различных значениях параметров изображены на рисунках 8 и 9. Анализ этих графиков показывает, что за счет вхождения переменной г во вторую фазу поведение решения уравнения (5.4) слабо отличается от соответствующего решения уравнения НШ (0.1).
Поскольку уравнения (0.1), (5.3), (5.4) инвариантны относительно сдвига по независимым переменным, то функция
Цг(х, г, у, г) = и2(2х — 12у, 4г + 24г, —96у, 192г)еш
является одновременно решением всех трех этих уравнений.
Комбинируя уравнение (0.1) и (5.3), получаем интегрируемое уравнение Хироты [31-34]
гиг + ихх + 2\и\2 и — га(иххх + 6 \ и \ 2 их) = 0, (5.5)
решение ранга 2 которого имеет вид
иыг (х, г) = и2(2х + 12аг, Т0 + 4г, У0 + 96аг, 2).
Графики решения уравнения Хироты (5.5) при а = 0.1 и некоторых значениях начальных фаз То, Уо и 2 изображены на рисунках 10 и 11.
г
Рис. 8. Амплитуда решения уравнения (5.4) для Т (справа).
-1
0 и У
-0.5
0 (слева) и для Т = 0 и У =10
-1
0.5
Рис. 9. Амплитуда решения уравнения (5.4) для Т = 5 и У = 0 (слева) и для Т = 5 и У = 50 (справа).
Рис. 10. Амплитуда решения уравнения (5.5) для То =0, Уо =0 и 2 = 0 (слева) и для То = 0, Уо = 5 и 2 = 0 (справа).
Рис. 11. Амплитуда решения уравнения (5.5) для То = 5, Уо =0 и 2 = 0 (слева) и для То = 0, Уо = 0 и 2 = 10 (справа).
Другим интегрируемым обобщением уравнения НШ является уравнение [30, 31]
iut + uxx + 2\u\2u — ia(uxxx + 6\u\2 ux) + + Y(uxxxx + 6^u* + 4u\ux\2 + 8uxx\u\2 + 2u*xxu2 + 6u\u\4) = 0.
Нетрудно понять, что, поскольку оно представляет собой комбинацию уравнений (0.1), (5.3) и (5.4), его решение ранга 2 имеет вид
ugnis = u2(2x + 12at, (4 + Y)t, 96at, 192Yt)e6iYt.
Графики этого решения мы не приводим, поскольку нет принципиальных отличий от графиков решений уравнений (0.1), (5.4) и (5.5).
6. Решения ранга 3
Фазовая параметризация (с помощью ф), описанная выше, трудна для нахождения значений фаз, описывающих Рп-бризеры высшего ранга. Как это было сделано в разделе 4, здесь мы вводим четыре новых существенных параметра а\, (3\, а2, @2. Фазовые параметры
мы выбираем следующим образом: = - 5^5,
sin(n/7)
= 2^4 - 3^6 +
4(1 - cos(n/7))'
768^3 = 26ai - а2, (6.1)
1920^4 = -4001 + в2 + 96(3 sin(n/7) + 8sin(2n/7) + 2 sin(3n/7)), 3840^5 = 10ai - a2,
7680^6 = -2001 + 02 + 32(4 sin(n/7) + 14 sin(2n/7) + sin(3n/7)).
Подставляя эти формулы в выражение (1.7) для n = 3, мы нашли при помощи длинных вычислений с использованием MAPLE следующую формулу для «волн-убийц» ранга 3:
u3(x,t,ai,f3i,a2, 02) = I 1 - 24- ^ - le , (6.2)
в которой
6
-10 I 1Г№2 I iw8
Сз(Х,Т) = X10 + 15(T2 + 1)X8 + Y, 9n(T )Xn,
n=0
6
Нз(Х, T) = TX10 + 5(T3 - 3T + 01 )X8 + Y hn(T)Xn,
n=0
7
Q3(X, T) = (1 + X2 + T2)6 - 20a1 X9 - 60(2T2 - 01T - 2)X8 +4 ^ Qn(T)Xn,
n=0
где
g6 = 50T4 - 60T2 + 8001T + 210, g5 = 120a1T2 - 18a2 + 300ab
g4 = 70T6 - 150T4 + 20001T3 + 450T2 + 3002T - 450 + 150a? - 5002,
g3 = 400a1T4 + (3000a1 - 60a2)T2 - 800a1 ftT - 600a1 - 60a2,
g2 = 45T8 + 420T6 + 6750T4 - (600001 - 18002)T3 - (300af - 90002 + 13500)T2 +
+ (360001 + 18002)T - 675 - 300a1 - 3000?, g1 = 280a1T6 + (150a2 - 2100a1 )T4 + 800a101T3 - (3600a1 - 540a2)T2 + + (12002a! + 1200a101 - 120a201)T - 200a102 - 900a1 - 90a2 - 200af, g0 = 11T10 + 495T8 - 12001T7 + 2190T6 - (4202 + 120001 )T5 + + (350a2 + 15002 - 7650)T4 + (660001 - 42002)T3 -
- (210002 + 2025 - 1200201 - 120a2a1 + 900a2)T2 + (200af 01 + 20003 - 9002)T + + 675 + 150a1 + 6a2 + 15002 + 602,
h6 = 10T5 - 140T3 + 4001T2 - 150T + 6001 - 502, h5 = 40a1 T3 + (60a1 - 18a2 )T + 40a101,
h4 = 10T7 - 210T5 + 5001T4 - 450T3 + 1502T2 - (5002 + 1350 - 150a2)T + + 15001 - 1502,
h3 = 80alT5 + (1000al - 20a2)T3 - 400alßlT2 - (1800al - 60a2)T +
+ 200alßl + 20ß2al - 20a2ßl, h2 = 5T9 - 60T7 + 1710T5 + (45ß2 - 2100ßl)T4 + (300ß? - 6300 - 100a2)T3 + + (1800ßl - 90ß2)T2 + (4725 + 300a? + 300ß2)T - 135ß2 - 100ß3 -
- 100a2ßl - 900ßl,
hl = 40alT7 + (30a2 - 1140al)T5 + 200alßlT4 - (2400al - 60a2)T3 +
+ (60ß2al - 60a2ßl + 600alßl)T2 - (900al + 450a2 + 200af + 200alß2)T + + 60a2ßl - 60ß2al,
h0 = T11 + 25T9 - 15ßlT8 - 870T7 + (40ßl - 7ß2)T6 + (70a2 - 9630 + 30ß?)T5 + + (5850ßl - 75ß2)T4 + (40ß2ßl + 40a2al - 2475 - 900a2 - 1300ß2)T3 + + (100a2ßl + 495ß2 + 100ß3)T2 + (6a2 + 4725 - 240a2al - 240ß2ßl + + 750ß2 + 6ß2 + 750a2)T - 20a2ß2 - 675ßl - 45ß2 - 100a2ßl - 100ß3 + + 40a2 al ßl + 20ß?ß2,
q7 = 3a2 - 30al,
q6 = -60T4 + 40ßlT3 + 120T2 - (15ß2 - 60ßl)T + 35ß2 + 15a2 + 580,
q5 = 30alT4 - (27a2 - 90al)T2 + 120alßlT - 27a2 + 540al,
q4 = 30ßlT5 - 360T4 + (15ß2 + 600ßl)T3 + (3360 + 225al - 75ß2)T2 +
+ (135ß2 - 1350ßl)T + 225ß2 - 30a2al + 525al - 30ß2ßl + 840, q3 = 40alT6 + (1950al - 15a2)T4 - 400alßlT3 + (90a2 + 4500al)T2 +
+ (60ß2al - 1800alßl - 60a2ßl)T - 450al + 100a3 + 100alß2 - 135a2, q2 = 60T8 + 3360T6 - (1620ßl - 27ß2)T5 + (225ß2 - 75a2 + 19560)T4 -
- (16200ßl - 270ß2)T3 + (450a2 - 9120 + 4050ß2)T2 +
+ (675ß2 + 2700ßl - 300ß3 - 300alßl)T + 3036 + 9a2 - 180a2al + + 225ß2 + 225a2 + 9ß2 - 180ß2ßl, ql = 15alT8 + (15a2 - 90al)T6 + 120alßlT5 + (405a2 - 5400al)T4 +
+ (3000alßl - 60a2ßl + 60ß2al)T3 + (1485a2 - 300alßl - 1350al - 300a3)T2 + + (540ß2al - 540a2ßl)T + 300a3 - 120alßlß2 - 60a2af + 135a2 + 60a2ß2 + + 300alß2 + 2025al, q0 = 30T10 - 5ßlT9 + 930T8 - (240ßl + 3ß2)T7 + (15ß? + 3820 + 35al)T6 + + (1710ßl - 153ß2)T5 + (30ß2ßl + 30a2al - 975ß2 + 35940 - 75a2)T4 + + (100ß3 + 100a2ßl + 135ß2 - 23400ßl)T3 + + (9ß2 + 23286 + 9a2 - 360ß2ßl - 360a2al + 4725a2 + 8325ß2)T2 + + (120a2alßl - 60a2ß2 - 1500a2ßl + 60ß2ß2 - 7425ßl - 675ß2 - 1500ß3)T + + 506 + 9ß2 + 100ß4 + 675al + 100a4 + 9a2 + 90ß2 ßl + 200alß2 + + 675ß2 +90a2al.
Параметры аj, вj выражаются через фазовые параметры следующим образом:
а1 = 48(^з -
а2 = 480(^з - 13^б),
01 = 96(4^6 - ^4) + 8(вт(7г/7) + 2 вт(2п/7) + вт(3п/7)),
02 = 1920(8^6 - Ы + 32(вт(п/7) - 4 вт(27г/7) + 4 вт(3п/7)).
Основное удобство новой параметризации состоит в том, что Рз-бризер описывается формулой
Рз(х,ь) = пз(х,г, о, о, о, 0),
то есть мы получаем его, просто полагая а1 = 01 = а2 = 02 = 0. Максимум абсолютной величины при этом достигается в точке х = 0, Ь = 0: |Рз(0, 0)| = 7. Отметим, что выбор параметров , соответствующий Рз-бризеру, выглядит намного сложнее:
= ^з = = 0, (Р4 = (3вт(п/7) + 8вт(2п/7) + 2вт(3п/7))/20, ^6 = (4вт(п/7) + 14 8т(2п/7) + вт(3п/7)/240, 8ш(п/7)
^2 = 2^4 - 3^6 +
4(1 - шз(п/7))'
Формулы, аналогичные вышеприведенным, но значительно более громоздкие, были получены в работе [22] для решений ранга 4. В этой работе также имеется доступ к фильмам, содержащим визуализации эволюций решений ранга 3 уравнения КП-1 (0.2), показывающих, как экстремальные «волны-убийцы» могут возникать в результате столкновения нескольких простых «волн-убийц».
Одно из преимуществ (а, 0)-параметризации решений состоит в возможности легко исследовать их асимптотику при больших значениях любого из параметров, предполагая, что х и Ь ограничены.
• Если а2 и 02 ограничены, то из(х, Ь, а1,01,а2,02) — в2и при а2 + 02 — то.
• Если а1 и 01 ограничены, то из(х, Ь, а1,01,а2,02) — Р1(х,Ь) при а2 + 02 — то.
• Если а1, 01, а2, 02 стремятся к бесконечности так, что 01 ~ Ьа1, а2 ~ саЦ, 02 ~ (1а\, то предельные значения из(х,Ь) решения из(х,Ь,а1 ,@1,а2,@2) в зависимости от г описываются следующими соотношениями:
из(х,Ь)1г<2 = е2и, из(х,Ь)1г>2 = щ(х,Ь), из(х,Ь)1г=2 = и1(х - х1,Ь - ¿1), где х1 и ¿1 определяются равенствами
_ 10(1 -Ь2)с + 20Ьс1 _ 10(1 - - 206с з(с2 + сг2) ' з(с2 + сг2) '
Таким образом установлено, что из содержит решения рангов 0 и 1, как соответствующие асимптотики при больших значениях правильно выбранных параметров.
Графики решений из(х,Ь,а1 , @1,а2,@2) при некоторых характерных выборах параметров показаны на рисунках 12 и 13.
Рис. 12. Амплитуда решения ранга 3 (6.2) для а\ и а2 = 02 = 10 (справа).
к I
->
/41
--1 0
_
3 4
01
а2
02 =0 (слева) и для а1 = 01 = 0
Рис. 13. Амплитуда решения ранга 3 (6.2) для а1
= а2 = 02 = 10 (справа).
а2 = 10 и 01 = 02 =0 (слева) и для а1 = 01
В заключение данного раздела отметим, что для квазирациональных решений ранга 3 можно ввести параметризацию, аналогичную параметризации раздела 5, позволяющую легко получать квазирациональные решения уравнений (5.3), (5.4), (5.5), а также двух следующих уравнений из АКНС-иерархии и их различных линейных комбинаций.
7. Некоторые свойства Рп-бризеров
Предполагая, что центральный максимум Рп-бризера ранга п совпадает с точкой (Х,Т) = (0,0) и что В = 1, Qn(х,Ь) > 0, а также что начальное значение Рп(Х, 0) вещественно, можно утверждать, что Рп-бризер имеет следующую структуру:
р, Л 0 , , 1ЛСп(Х,Т) + Шп(Х,Т)\ гТ/2 Рп(х, 1) = (1- 2п(п + 1)--^ е ,
где
Qn - (X2 + т2)п(п+1)/2, Нп - Т(X2 + т2)п(п+1)/2-1, X2 + Т2 - то, deg Qn(X, Т) = п(п + 1), deg Сп = п(п + 1) - 2,
Нп := ТЬп(Х,Т), degЬп = п(п + 1) - 2, Яп(0, 0) = 12п32(п-1)52(п-2) ... (2п - 1)2 > 0.
Отметим, что все полиномы Рп, Яп, Ьп являются четными функциями по X и Т:
Яп(х, Т) = Яп(-Х, Т) = Яп(X, -Т), Сп(х, Т) = Сп(-х, Т) = Сп(Х, -Т), Ьп(Х, Т) = Ьп(-Х, Т) = Ьп(Х, -Т).
Абсолютный максимум функции \Рп(Х, Т)| равен |Рп(0, 0)| = 2п + 1. Он всегда окружен п(п + 1) - 2 значительно меньшими локальными максимумами. Соответственно, общее число Хтах локальных максимумов \Рп(Х, Т)\ дается формулой Хтах = п(п + 1) -1, а число локальных минимумов всегда неизменно, = п(п + 1), и сохраняется для квази-
рациональных решений ранга п общего положения.
Величины Яп(0, 0) и Сп(0, 0) описываются следующими простыми формулами:
Я2п(0, 0) = -(2п + 1)С2п(0, 0), Я2п-1(0, 0) =(2п - 1)С2п-1 (0, 0), С2п-1(0, 0) > 0, С2п(0, 0) < 0, Уп ^ 1.
Из этих формул следует, что
Рп(0, 0) = (-1)п(2п + 1), п ^ 1.
Общего вида квазирациональные решения ранга п могут, как было показано в работах [22, 24, 35], описываться полиномиальными (по параметрам аз и вз) деформациями полиномов Яп, Нп и Сп. При этом, как хорошо видно из приведенных примеров, параметризацию можно выбрать так, что Рп-бризер соответствует приравниванию всех параметров нулю. Кроме того, фазы фз оказываются линейными комбинациями новых вещественных параметров аз и вз, 3 = 1,..., (п - 1), таким образом, что Яп(0, 0), Сп(0, 0), Нп(0, 0) становятся полиномами степени ^ (2п - 2) по отношению к аз и вз. Деформированные полиномы
Яп(х,г,а1 ,...,вп-1), Нп(х,г,а1 ,...,вп-1), Сп(х,г,а1,...,вп-1)
при конечных значениях параметров аз и вз всегда имеют тот же старший член асимптотики (когда Х2 + Т2 — ж), что и при их нулевых значениях. Иными словами, старший член асимптотики Рп-бризера и общего квазирационального решения ранга п, вырождающегося в Рп-бризер при нулевых значениях параметров, совпадают. Иными словами, при Х2 + Т2 — ж имеет место асимптотика:
+ е
X'2 + Т2
Следует отметить, что часть формул, упомянутых в этом разделе, подтверждена лишь для рангов п ^ 10, хотя их справедливость в общем случае не вызывает сомнения.
Заключительные замечания
Поскольку квазирациональные решения могут быть получены вырождением конечно-зонных (или алгебро-геометрических) решений, то свойства квазирациональных решений тесно связаны со свойствами соответствующих конечнозонных решений. Из того, что решение un зависит от 2п независимых фаз, следует, что соответствующее конечнозонное решение является 2п-фазным и спектральная кривая соответствующего алгебро-геометри-ческого решения un имеет род g = 2п. Из формул для решения un следует, что оно имеет п(п + 1)/2 простых полюсов в верхней полуплоскости и столько же — в нижней. Поэтому если соответствующее конечнозонное решение является эллиптическим, как в работе [36], то спектральная кривая п(п + 1)-листно накрывает эллиптическую. Отсюда получается, что квазирациональному решению ранга п = 2 соответствует четырехзонное эллиптическое решение, построенное по 6-листному накрытию тора, а решению ранга п = 3 — конечнозонное эллиптическое решение, построенное по 12-листному накрытию рода g = 6. Отметим также, что спектральная кривая
2n+1 2n
w2 = Ц (E - Ej) = E2n+1 сзE2n-j, сз e R, (7.1)
j=1 j=0
ассоциированная с п-зонным потенциалом Ламе, является п(п + 1)/2-листным накрытием тора, а соответствующее конечнозонное эллиптическое решение уравнения Кортевега-де Фриза имеет п(п + 1)/2 полюсов второго порядка [37]. Построим по кривой (7.1) спектральную кривую
2n+1
w2 = П ((Д - До)2 + ко - Ej), (7.2)
j=1
ассоциированную с 2п-зонным решением уравнения НШ (0.1). Здесь Хо, ко e R — произвольные постоянные, ко > max(Re Ej).
Нетрудно убедиться, что кривая (7.2) является п(п +1)-листным накрытием тора, и по ней можно построить эллиптическое решение уравнения НШ с п(п + 1) простыми полюсами. Таким образом, кривая (7.2) удовлетворяет перечисленным выше предположениям на кривую, ассоциированную с решением un. Нам кажется, что это не случайно, и вполне возможно, что вырождением эллиптического 2п-зонного решения, построенного по кривой (7.2), можно получить квазирациональное решение ранга п. Заметим, что для п = 1 это утверждение является верным [36]. Соответственно, по-видимому, из трехфазного решения уравнения НШ [38] невозможно получить гладкие квазирациональные решения в виде Р^бризеров. Однако хочется отметить, что данное трехфазное решение само по себе представляет достаточно большой интерес и может быть использовано, помимо прочего, и для построения довольно нетривиальных решений уравнения Хироты (5.5).
Список литературы
[1] Захаров В. Е. Стабильность периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости // Журн. прикл. мех. и техн. физ., 1968, т. 9, №2, с. 86-94.
[2] Chiao R., Garmire E., Townes C. H. Self-trapping of optical beams // Phys. Rev. Lett., 1964, vol. 13, no. 15, pp. 479-482.
[3] Кузнецов Е. А. Солитоны в параметрически нестабильной плазме // Докл. АН СССР, 1977, т. 236, № 1-3, с. 575.
[4] Yan Zh. Vector financial rogue waves // Phys. Lett. A, 2011, vol.375, no. 48, pp. 4274-4279.
[5] Ахмедиев Н. Н., Анкевич А. Солитоны: Нелинейные импульсы и пучки. Москва: Физматлит, 2003. 304 с.
[6] Discussion & debate: Rogue waves — towards a unifying concept? / N. Akhmediev, E. Pelinovsky (Eds.). (Eur. Phys. J. Special Topics, vol. 185.) Berlin: Springer, 2010. 266pp.
[7] Belokolos E. D., Bobenko A. I., Enol'skii V. Z., Its A. R., Matveev V. B. Algebro-geometric approach to nonlinear integrable equations. (Springer Ser. Nonlinear Dynamics.) Berlin: Springer, 1994. 337 pp.
[8] Matveev V. B., Salle M.A. Darboux transformations and solitons. (Springer Ser. Nonlinear Dynamics.) Berlin: Springer, 1991. 120 pp.
[9] Matveev V.B. Darboux transformation and explicit solutions of the Kadomtcev-Petviaschvily equation, depending on functional parameters // Lett. Math. Phys., 1979, vol. 3, no. 3, pp. 213-216.
[10] Matveev V.B. Darboux transformation and the explicit solutions of differential-difference and difference-difference evolution equation: 1 // Lett. Math. Phys., 1979, vol. 3, no. 3, pp. 217-222.
[11] Matveev V.B. Some comments on the rational solutions of the Zakharov-Schabat equations // Lett. Math. Phys., 1979, vol.3, no. 6, pp. 503-512.
[12] Matveev V. B., Salle M.A. Differential-difference evolution equation: 2. Darboux transformation for the Toda lattice // Lett. Math. Phys., 1979, vol.3, no. 5, pp. 425-429.
[13] Салль М. А. Преобразование Дарбу для неабелевых и нелокальных уравнений типа цепочки Тоды // ТМФ, 1982, т. 53, №2, c. 227-237.
[14] Салль М. А. L — A пары с рациональной зависимостью от спектральных параметров. Преобразование Дарбу // Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1987, т. 161, c. 72-75.
[15] Matveev V.B. Darboux transformations, covariance theorems and integrable systems // L. D. Faddeev's Seminar on Mathematical Physics / M. Semenov-Tian-Shansky (Ed.). (Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, vol.201.) Providence, R.I.: AMS, 2000. P. 179-209.
[16] Peregrine D.H. Water waves, nonlinear Schrodinger equations and their solutions //J. Austral. Math. Soc. Ser. B, 1983, vol. 25, no. 1, pp. 16-43.
[17] Akhmediev N., Ankiewicz A., Taki M. Waves that appear from nowhere and disappear without a trace // Phys. Lett. A, 2009, vol.373, no. 6, pp. 675-678.
[18] Ахмедиев Н. Н., Елеонский В. М., Кулагин Н. Е. Генерация периодической последовательности пикосекундных импульсов в оптическом волокне. Точные решения // ЖЭТФ, 1985, т. 89, №5, c. 1542-1551.
[19] Елеонский В. М., Кричевер И. М., Кулагин Н. Е. Рациональные многосолитонные решения нелинейного уравнения Шрёдингера // Докл. АН СССР, 1986, т. 287, №3, c. 606-610.
[20] Akhmediev N., Ankiewicz A., Soto-Crespo J. M. Rogue waves and rational solutions of the nonlinear Schrodinger equation // Phys. Rev. E, 2009, vol.80, no. 2, 026601, 9pp.
[21] Dubard P. Multi-rogue solutions to the focusing NLS equation: PhD Thesis, https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00625446 (2010).
[22] Dubard P., Matveev V. B. Multi-rogue waves solutions: From the NLS equation to the KP-I equation // Nonlinearity, 2013, vol.26, no. 12, R93-R125.
[23] Итс А. Р., Рыбин А. В., Салль М. А. К вопросу о точном интегрировании нелинейного уравнения Шрёдингера // ТМФ, 1988, т. 74, №1, c. 29-45.
[24] Dubard P., Matveev V. B. Multi-rogue waves solutions to the focusing NLS equation and the KP-I equation // Nat. Hazards Earth Syst. Sci., 2011, vol. 11, pp. 667-672.
[25] Ахмедиев Н. Н, Елеонский В. М., Кулагин Н. Е. Точные решения первого порядка нелинейного уравнения Шрёдингера // ТМФ, 1987, т. 72, №2, c. 183-196.
[26] Gesztesy F., Holden H. Soliton equation and their algebro-geometric solutions: Vol.1: (1 + 1)-dimensional continuous models. (Cambridge Stud. in Adv. Math., vol.79.) Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2003. 505 pp.
[27] Lakshmanan M., Porsezian K., Daniel M. Effect of discreteness on the continuum limit of the Heisenberg spin chain // Phys. Lett. A, 1988, vol. 133, no. 9, pp. 483-488.
[28] Porsezian K., Daniel M., Lakshmanan M. On the integrability aspects of the one-dimensional classical continuum isotropic Heisenberg spin chain //J. Math. Phys., 1992, vol. 33, no. 5, pp. 1807-1816.
[29] Daniel M., Porsezian K., Lakshmanan M. On the integrable models of the higher order water wave equation // Phys. Lett. A, 1993, vol. 174, no.3, pp. 237-240.
[30] Wang L.H., Porsezian K., He J. S. Breather and rogue wave solutions of a generalized nonlinear Schrodinger equation // Phys. Rev. E, 2013, vol.87, no. 5, 053202, 10 pp.
[31] Ankiewicz A., Akhmediev N. High-order integrable evolution equation and its soliton solutions // Phys. Lett. A, 2014, vol.378, no. 4, pp. 358-361.
[32] Hirota R. Exact envelope-soliton solutions of a nonlinear wave equation //J. Math. Phys., 1973, vol. 14, pp. 805-809.
[33] Dai Ch.-Q., Zhang J.-F. New solitons for the Hirota equation and generalized higher-order nonlinear Schrodinger equation with variable coefficients //J. Phys. A, 2006, vol. 39, no. 4, pp. 723-737.
[34] Ankiewicz A., Soto-Crespo J. M., Akhmediev N. Rogue waves and rational solutions of the Hirota equation // Phys. Rev. E(3), 2010, vol.81, no.4, 046602, 8pp.
[35] Dubard P., Gaillard P., Klein C., Matveev V. B. On multi-rogue waves solutions of the focusing NLS equation and positon solutions of the KdV equation // Discussion & debate: Rogue waves — towards a unifying concept? / N. Akhmediev, E. Pelinovsky (Eds.). (Eur. Phys. J. Special Topics, vol.185.) Berlin: Springer, 2010. P. 247-258.
[36] Смирнов А. О. Эллиптический бризер нелинейного уравнения Шрёдингера // Зап. научн. семин. ПОМИ, 2012, т. 398, c. 209-222.
[37] Smirnov A. O. Finite-gap elliptic solutions of the KdV equation // Acta Appl. Math., 1994, vol. 36, nos. 1-2, pp. 125-166.
[38] Смирнов А. О., Головачев Г. М. Трехфазные решения нелинейного уравнения Шрёдингера в эллиптических функциях // Нелинейная динамика, 2013, т. 9, №3, c. 389-407.
[39] Gaillard P., Gastineau M. Eighteen parameter deformations of the Peregrine breather of order ten solutions of the NLS equation // Int. J. Mod. Phys. C., 2015, vol.26, no. 02, 1550016, 14 pp.
Quasi-rational solutions of nonlinear Schrodinger equation
Vladimir B.Matveev1, Philippe Dubard2, Alexander O. Smirnov
1,3Saint Petersburg State University of Airspace Instrumentation (SUAI) Bolshaya Morskaya St. 67, Saint Petersburg, 190000, Russia
2Department of Mathematics and Applied Mathematics, University of Cape Town, South Africa [email protected], [email protected], [email protected]
The method for constructing quasi-rational solutions of the nonlinear Schrodinger equation, Kadomtsev - Petviashvili equation and some other integrable nonlinear equations is considered. Examples of range 2 and 3 solutions are given.
MSC 2010: 35Q55, 37K10
Keywords: rogue waves, freak waves, nonlinear Schrodinger equation, KP equation, Darboux transformation
Received October 25, 2014, accepted January 17, 2015
Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2015, vol. 11, no. 2, pp. 219-240 (Russian)
