CC BY
17
К вопросу о связях между интегрируемыми иерархиями
12. Yurov A. V. BLP dissipative structures in plane // Phys. Lett. A. 1999. Vol. 262. P. 445-452.
13. Leble S. B., Yurov A. V. Reduction Restrictions of Darboux and Laplace Transformations for the Goursat Equation // Journal of Mathematical Physics. 2002. Vol. 43, № 2. P. 1095-1105.
14. Yurov V. A., Yurov A. V. The Cauchy problem for the generalized hyperbolic Novikov-Veselov equation. arXiv:1509.06078 [nlin.SI].
Об авторах
Артем Валерианович Юров — д-р физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.
E-mail: [email protected]
Алла Александровна Юрова — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининградский государственный технический университет, Калининград.
E-mail: [email protected]
About the authors
Prof. Artyom Yurov, I. Kant Baltic federal university, Kaliningrad.
E-mail: [email protected]
Dr Alla Yurova, ass. prof., I. Kant Baltic federal university, State Tehnical University, Kaliningrad.
E-mail: [email protected]
УДК 51:53
Р. В. Чириков, В. А. Юров ИМПАКТОННОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ВИХРЕВОЙ НИТИ
Показан новый метод построения точных решений, описывающих форму вихревых нитей и основанный на применении бинарного преобразования Дарбу к решениям нелинейного уравнения Шрёдингера. Построен новый тип решений — импактон — и вычислены кривизна и кручение соответствующей вихревой нити.
A new way of construction of exact solutions describing the shape and the dynamics of vortex filaments is described. The new method is based on application of a binary Darboux transformation to the solutions of the nonlinear Schrödinger equation. A new type of solutions is constructed: the impacton. The explicit form of the curvature and torsion of corresponding vortex filament are calculated.
Ключевые слова: вихревые нити, нелинейное уравнение Шрёдингера, преобразование Дарбу, импактон.
Key words: vortex filament, nonlinear Schrödinger equation, impacton.
53
© Чириков Р. В., Юров В. А., 2017
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 1. С. 53 — 58.
54
Введение
Среди наиболее интересных и важных теоретических задач в гидродинамике можно выделить проблему аналитического исследования геометрии вихревого движения жидкости. При этом одним из ключевых объектов такого исследования по праву являются вихревые нити.
Напомним несколько основных понятий. Вихревой линией называют линию, касательная к которой в каждой точке сонаправлена с вихревым вектором ю = V х V . Совокупность вихревых линий, проходящих через произвольную замкнутую кривую, образуют поверхность вихревой трубки. Наконец, вихревую трубку с инфинитезимальной площадью сечения называют вихревой нитью [1].
Вихревая нить представляет собой некоторую кривую г(х, Ь), где г — векторная функция, Ь — время, а роль переменной х обычно играет параметр длины дуги кривой (так называемая натуральная параметризация). Если эта кривая обладает непрерывной второй частной производной по переменной х, то в каждой точке этой кривой можно определить следующую тройку единичных векторов:
дг
1) касательный вектор Т = —;
дх
2) главную нормаль N (единичный вектор, сонаправленный со второй частной производной от г по х);
3) бинормаль кривой В, образующую с Т и N правую тройку векторов. При этом векторы Т, N и В удовлетворяют уравнениям Серре — Френе [2]:
дт=дв^-у.в - кт, (1)
дв дх дх
где функции к = к(х, Ь) и % = %(х, Ь) играют роли кривизны и кручения вихревой нити соответственно.
Удивительно, но система уравнений (1) для вихревой нити может быть сведена к одному уравнению: нелинейному уравнению Шрёдин-гера (НУШ):
щ + ихх + 2 |и|2 и = 0, (2)
где
1 ( х \
и(х, Ь) =—к(х, Ь) • ехр I г1й' %(Ь)
2 V 0
Предположим, что мы нашли решение уравнения (2) вида
и = иг + ¡и1.
Тогда кривизна и кручение соответствующей вихревой нити могут быть вычислены по следующим элементарным формулам:
к = 2| и |= 2л/иг2 + щ2, % = — агйап Iи 1. (3)
дх V и )
Таким образом, задача построения аналитического описания динамики вихревой нити полностью сводится к задаче построения точных решений НУШ (2).
Одним из наиболее интересных решений такого рода являются так называемые «волны-убийцы» (rogue waves): решения типа бризеров, локализованные одновременно по пространственной и временной переменным. В частности, решения такого рода оказываются ответственными за процесс формирования океанических линз [3].
С решениями типа «волн-убийц» связана также одна давняя загадка: дело в том, что стандартные методы «размножения» волн типа преобразования Дарбу [4] оказываются здесь неприменимыми и дают только тривиальные (нулевые) решения. Вплоть до недавнего времени этот факт рассматривался как особенность решений типа «волн-убийц» и как возможное указание на то, что «мультиволн убийц» просто не существует. Наконец, в 2010 году это было опровергнуто в работе [5], где были впервые построены решения типа P-бризеров. Недостаток предложенного в [5] метода заключался в том, что для построения искомых решений авторам потребовалось перейти от НУШ к уравнению Кадомцева — Петвиашвили первого типа (КП-I). Однако в работе [6] нами был предложен более простой метод, не требующий нахождения затравочных решений других уравнений, кроме НУШ, и позволяющий не только строить все известные на настоящий момент P-бризеры, но и совершенно новый класс решений, названных нами импактонами и описывающих процесс зарождения короткоживущей «волны-убийцы» вследствие столкновения двух симметричных регулярных бегущих волн типа позитонов.
Ключевой идеей предложенного в [6] метода является применение преобразования Дарбу, но не классического, а бинарного.
Преобразование Дарбу и импактон
В качестве первого шага запишем пару Лакса для НУШ (2):
Тх = гст3ТА + iUT, Т( = 2гст3ТА2 + 2iUTA + WТ, (4)
где
(1 0 ) (0 U, ст3 =1 I, U = 1 I, W = 3 10 -1Г I и 0 1
( I |2 - А
v -Ux Ф12 /
, А = Г 0
1 0 ц
Помимо (4) допустима и альтернативная пара Лакса (матрица М задается аналогично матрице Л, но не обязательно совпадает с ней):
Фх = МФстд - ¡ФИ, Ф( = -2М2Фст3 + 21МФЦ - ФW. (5)
Примем для простоты
Ф = ¥+, М = -Л+
55
56
и введем замкнутую один-форму О такую, что
ФТ = г(МО + ОЛ), Ох = ФстхТ, О, = 2/(ФхТ - ФТх) - 2ФЦТ = 2(Фст3ТЛ -МФст3Т) + 2ФЦТ .
Теперь предположим, что для некоторых Л1 и М1 нам известны решения (4) и (5): Т и Ф1 соответственно. Введя вспомогательные функции
х = т1л1т];1, ст = Ф-1 МФ
мы получаем два преобразования Дарбу. Первое — из Т1:
Ф ^ ф( +:) = П(Ф, ТХ)Т-1, Ф1 ^ Ф( +ч = П(ФТХ)Т-1,
Т^Т( +ч =ТЛ-хТ, и ^и(+ч =и + [ст3, т] = и + 2ст3 т, (6)
№ ^ +ч = № + 2г(и(+:)т-ти) = а3(и(х+1) -г(и(+4)2).
Второе — на базе Ф1:
Т^Т(-1) =Ф-1П(Ф1, Т),
№ ^ №(+1) = № + 2г(и(+1)т-ти) = а3(и(х+1) - г(и(+1))2),
Т1 ^ Т(-1) = Ф-1О(Ф 1, Т1), Ф ^ Ф(-1) = МФ-Фст,
и ^ и(-1) = и + [ст3, ст].
(7)
Последовательно комбинируя (6) и (7), мы приходим к искомому бинарному преобразованию Дарбу
и (+1,-1) = и( +1) +[ст3, ст( +1) ],
ст
(+1) = (ф<+1))-1 М1Ф(1+1) = Т1О-1(Ф 1, Т 1)М1О(Ф 1, Т 1)Т-1
что может быть переписано в виде
и( +1,-1) = и + [ст3, т + ст( +1) ] = и - г [ст3, ви ], (8)
вц =Т1П-1(Ф 1, Т1)Ф 1, (9)
причем можно показать, что порядок взятия «положительных» и «отрицательных» преобразований Дарбу неважен.
Далее, вспомнив, что новая матрица и( +1,-1) должна оставаться эрмитовой, т. е. что
(и(+1,-1))+ = и (+1'-1),
наложим дополнительные условия редукции. Нетрудно показать, что эти условия должны иметь вид
Т1 = 1, Л1 = [0 -
Ф2 ) V0 -
Предположим теперь, что нас интересует вид решения НУШ (8), построенного на базе нулевого затравочного решения и = 0. Это означает, что
Фа = С ехр(-г(ах + 2(а2 - р2 )Ь) + р%), Ф2 = С2 ехр(-¡(ах + 2(а2 - р2 )Ь) - р%),
где - = а + ¡р, — = а - ¡р, ' = х + 4аЬ, С1, С2 е Я, а элементы вспомогательной матрицы О оказываются равными
_ 1
П12 = с - 2х - 8—Ь = П21, П22 = -О11 = рсо8Ь(2р%).
Используя теперь (8) и (9), после несложных вычислений мы приходим к окончательной формуле: импактону вида
( ( сОпи(2реЛ 1
4е-2й
и(+1'-1) =-
8рЬсо8Ь(2р%) + ¡I 2'81пЬ(2р%)- со8Ь(2р'
р
р^ВД'^ + 4('2 + 1бр2Ь2)
9 = ах + 2(а2 -р2)Ь.
Для того чтобы воспользоваться формулой (3) и вычислить соответствующие кривизну и кручение вихревой нити, полезно сначала вычислить модуль импактона:
64р2Ь2 со8Ь2(2рх) +I2х 81пЪ(2рх) - со8:Ь(2рх) |и(+1'-1)|2 = 16-Ц-р-.
р!со8Ь(2рх) ^ + 4( х2 + 16р2Ь2)
Тогда искомые значения кривизны к и кручения % принимают окончательный вид
к = -
ч2
64р2Ь2со8Ь2(2рх) + | 2х 81пЪ(2рх) - со8^(2рх)
4со8Ь2(2рх) , г л^г-гу
р:
% =
- +16( х2 + 16р2Ь2)
—(2х ЬапВДх) --
8рЬ V р
57
Заключение
Нами был продемонстрирован новый способ построения точных решений, описывающих кривизну и кручение вихревой нити, основанный на сведении уравнений Френе — Серре к нелинейному
58
уравнению Шрёдингера и использующий в качестве основного ингредиента бинарное преобразование Дарбу. Нами также было показано, что в случае решений типа «волны-убийцы» предложенный метод позволяет не ограничиваться первыми итерациями преобразования Дарбу и приводит к новым типам решений, названными нами импактонами.
В заключение отметим, что знание параметров к и % может быть использовано для вычисления вида искомой кривой г(х, £), поскольку уравнения Серре — Френе эквивалентны уравнению Риккати [7]:
Г+г *
f + Щ + 2 ixC1 - f2 ) = где £ = Г = 1
1/12
Список литературы
1. Валландер С. В. Лекции по гидроаэромеханике. Л., 1978.
2. Голованов Н. Н. Геометрическое моделирование. М., 2002.
3. Yurova A. A. A hidden life of Peregrine's soliton: rouge waves in the oceanic depths // International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. 2014. Vol. 11. P. 1450057:1-15.
4. Matveev V.B., Salle M.A. Darboux Transformation and Solitons. Berlin ; Heidelberg, 1991.
5. Dubard P., Gaillard P., Klein C., Matveev V. On multi-rogue wave solutions of the NLS equation and positon solutions of the KdV equation'// Eur. Phys. J. Spec. Top. 2010. Vol. 185. P. 247—258.
6. Yurov A. V., Yurov V.A. The Landau-Lifshitz equation, the NLS, and the magnetic rogue wave as a by-product of two colliding regular "positons", Arxiv: 1701.04903.
7. Lamb G. L. Elements of soliton theory // John Wiley & Sons. 1980.
Об авторах
Роман Викторович Чириков — асп., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.
E-mail: [email protected]
Валериан Артемович Юров — канд. физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник, Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.
E-mail: [email protected]
About the authors
Roman Chirikov, PhD student, I. Kant Baltic federal university, Kaliningrad.
E-mail: [email protected]
Dr Valerian Yurov, leading researcher, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.
E-mail: [email protected]
