Двухзонные 3-эллиптические решения уравнений Буссинеска и Кортевега-де Фриза Текст научной статьи по специальности «Математика»

Нелинейная динамика. 2011. Т. 7. № 2. С. 239-256. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru

УДК: 517.957 М8С 2010: 35Q53

Двухзонные 3-эллиптические решения уравнений Буссинеска и Кортевега—де Фриза

А. О. Смирнов, Г. М. Головачёв, Е. Г. Амосёнок

Исследовано поведение двухзонных эллиптических решений уравнений Буссинеска и КдФ, построенных по п-листному накрытию над тором (п ^ 3). Показано, что форма двухзонного решения зависит от п, а не от типа нелинейного волнового уравнения.

Ключевые слова: солитон, уравнение Буссинеска, уравнение КдФ, тэта-функция, редукция, накрытие

Введение

До середины 60-х годов прошлого века изучение нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных осуществлялось, в основном, по четырем направлениям: а) теоремы существования и единственности; б) построение решений нелинейных уравнений со слабой нелинейностью методами теории возмущений; в) изучение некоторых классов автомодельных решений; г) численное моделирование. В настоящее время наряду с этими методами для широкого класса нелинейных эволюционных уравнений также используется «метод обратной задачи рассеяния» (МОЗР) и его модификация — «метод конечнозонного (алгебро-геометрического) интегрирования». Начало этим методам положила работа американских физиков Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [1], опубликованная в 1967 году, в ней было описано решение уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) в терминах прямой и обратной задачи рассеяния для оператора Шрёдингера с быстроубывающим потенциалом. В 1968 году Лакс [2] формализовал результаты этой работы и ввел понятие Ь-А-пары:

Получено 28 апреля 2011 года После доработки 23 июня 2011 года

Смирнов Александр Олегович [email protected]

Головачёв Григорий Михайлович ggolovachev@yandex.^

Амосёнок Евгений Геннадьевич [email protected]

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (ГУАП) 190000, Россия, г. Санкт-Петербург, Большая Морская ул., д. 67

уравнение КдФ стало интерпретироваться как условие совместности системы двух линейных дифференциальных уравнений

( Ьф = Еф,

\ дф = Аф,

где Ь — оператор Шрёдингера с быстроубывающим потенциалом. В 1971 году Гарднер [3] доказал гамильтоновость уравнений, допускающих представление Лакса, а Захаров и Фаддеев — их полную интегрируемость [4]. В том же году в работе Захарова и Шабата [5] МОЗР был применен к нелинейному уравнению Шрёдингера, допускающему представление «нулевой кривзны»

Г дх ф = иф,

\ дгф = Уф.

Тем самым была доказана неуникальность уравнения КдФ, и метод стал бурно развиваться как вширь, так и вглубь.

В 1974 году работами Новикова [6] и Лакса [7] было заложено новое направление в МОЗР — нахождение периодических и почти периодических решений уравнений типа КдФ. Становление этого направления, получившего название «метод конечнозонного (алгебро-геометрического) интегрирования», связано, прежде всего, с именами Дубровина, Новикова, Матвеева, Итса и Кричевера (см., напр., [8-12]). Несмотря на явные формулы для конечнозонных решений, широкое их использование затруднялось тем, что: а) они выражаются через тэта-функции Римана, представляющие собой многомерные ряды Фурье; б) параметрами решения являются периоды абелевых дифференциалов, определенных на некоторой алгебраической кривой, называемой спектральной. В связи с этим с начала 80-х годов в работах Белоколоса, Энольского, Бабича, Бобенко, Матвеева и Смирнова (одного из авторов) начал развиваться метод редукции д-зонных решений интегрируемых нелинейных уравнений к решениям, выражающимся через тэта-функции меньшей размерности (см., напр., [13] и библиографию там).

В настоящей работе мы рассмотрим такие хорошо известные уравнения, используемые для описания распространения волн на мелкой воде, как уравнение Кортевега-де Фриза

4и1 = иххх + 6иих (1)

и уравнение Буссинеска

Зитт + (иххх + 6иих)х = 0. (2)

Оба этих уравнения имеют алгебро-геометрические решения [11, 12], и поэтому, с нашей точки зрения, является интересным вопрос, что сильнее влияет на форму волнового процесса — какой-нибудь из параметров кривой, используемой для построения решений, или тип нелинейного волнового уравнения. Напомним, что уравнение Кортевега-де Фриза описывает распространение волны в одну сторону, в то время как уравнение Буссинеска является простейшим нелинейным волновым уравнением, описывающим распространение волн в обоих направлениях. Поскольку по кривым алгебраического рода д = 2 можно построить решения обоих уравнений [12, 14], то такие кривые наиболее естественно использовать для получения ответа на данный вопрос.

В связи с этим в работе строятся и сравниваются периодические по х (редуцированные) двухзонные решения уравнений Буссинеска (2) и Кортевега-де Фриза (1). В качестве исходных данных для построения решений используются:

1. алгебраическая кривая Г3 = {(х, А)} [13, 15, 16]:

г3 : X2 = (А2 — 3д2)Ц(А — 3ез), (3)

3 = 1

ассоциированная с двухзонным потенциалом Ламе

и(х) = 6р(х)

оператора Шрёдингера

фхх — и(х)ф = Еф, где р(х) — эллиптическая функция Вейерштрасса [17]

з

(р\а))2 = 4П(р(а) — ) = 4р3(а) — д2р(а) — gз,

3 = 1

2. и кривая

Г2 : х2 = (А2 — 1)(А2 — а2)(А2 — Ь2), 1 <а<Ь, (4)

обладающая голоморфной инволюцией (х, А) ^ (х, —А). Все вычисления для кривой Г2 выполнены в работе [18].

Как будет показано ниже, на характер редуцированных двухзонных решений сильнее всего влияет такая характеристика, как число листов у отображения спектральной кривой на эллиптическую, в терминах которой эти решения выражаются, тогда как от вида уравнения зависят только соотношения между числовыми параметрами решения.

1. Конечнозонные решения уравнений Буссинеска и Кортевега—де Фриза

Следуя Кричеверу [11, 12, 14], рассмотрим алгебраическую кривую Г рода д с выделенной точкой на ней. Выберем на Г канонический базис циклов = (аі, ...,ад,Ь\,...,Ьд) с матрицей индексов пересечения

/ „ Л

Со =

0 I

\—1 °у

Ему соответствует нормированный базис голоморфных дифференциалов

й Ц = Ькз, к,] = 1,...,д. (5)

Хорошо известно, что матрица периодов кривой Г

Бку = А йЦ, к,] = 1,...,д, (6)

есть симметричная матрица с положительно определенной мнимой частью.

Построим по матрице периодов д-мерную тэта-функцию с характеристиками п, С € е Мд [12, 19]:

0[п*; С*](р|В)= ^2 ехр{пг(т + п)*В(т + п) + 2пг(т + п)*(р + С)},

теЪд (7)

©[0*; 0*](р|В) = 0(р|В),

где р е Сд, суммирование проходит по целочисленной д-мерной решетке.

Определим также на Г нормированные абелевы интегралы второго рода 0^ (V), Ре Г, имеющие единственный полюс в выделенной точке 2:

П3(Р)=С3--тгсЛ + 0(е), V^Q, (8)

_3_с^ ,

¿ + 1

й&] = 0, к = 1,...,д, (9)

ак

где £ — локальный параметр в окрестности 2. Из билинейных соотношений Римана следует, что 6-периоды интегралов 0^(Р) связаны с интегралами ит(Р) соотношениями

—Ц ф dVLj = -----\r—U„

2т Jbm U - 1)! d£>

, m = (10)

5=0

Отметим, что в работе [12] используется иная нормировка голоморфных дифференциалов и соответственным образом модифицированные формулы (7), (10).

Пусть функция Ф(Р,х,т,Ь) удовлетворяет следующим условиям (аксиомам Бейкера-Ахиезера):

1. Ф(Р, х, т, Ь) есть однозначная функция от точки V кривой Г, мероморфная на Г, за исключением точки 2, и имеющая д простых полюсов в точках , которые образуют дивизор общего положения;

2. Ф(Р, 0, 0, 0) = 1;

3. в точке Р^ функция Ф(Р, х,т, Ь) имеет существенную особенность вида

Ф(Р, x, т, t) = exp {х{ 1 + т£ 2 +1£ 3} х il + ^ фт(х,г,Ь)Ст ), P ^ Q.

\ m=1 /

Тогда она этими условиями определяется однозначно и может быть построена по формуле

Ф(Р , х, т, t) = exp {xQ1(P) + тQ2(P) + Шз(Р)} х

^ @(U{P) - U(Q) + Ш + Vr + Wi + Z)0(Z)

X @(U{P) - U(Q) + Z)0(U.t + Vr + Wi + Z) ’

где

Z = U(Q) -K-J2U(Pj), j=i

2niU, 2niV, 2niW — векторы 6-периодов интегралов 0i,2,3(P) соответственно, K — вектор римановых констант [12, 20, 21].

Теорема 1 ([11]). Функция Ф^, х, т, t) является решением системы линейных дифференциальных уравнений

дТ ф = д2хф + пф, (11а)

дьф = rfx + |идхф + ^|г/,т + ф, (11Ъ)

где

п(х,т,t) = 2дХ ln0(Ux + Vт + Wt + Z\B) + c1, (12а)

w(x, т, t) = |дхдт In 0(U.t + Vr + Wi + Z\B) + c2. (126)

Следствие 4 ([11]). Условием совместности уравнений системы (11) является уравнение Кадомцева-Петвиашвили (КП):

( 4

I Щ- — g )

I 13

Щ = Wt ~^иххх + —UUX.

Теорема 2 ([11]). Если на кривой Г существует мероморфная функция E(P) с единственным полюсом второго порядка в Q, тогда, выбрав локальный параметр окрестности этой точки в виде £ = [E(P)]_1^2, получим независимость решения (12) от т (V = 0). Таким образом, решение уравнения КП

ukdv(х, t) = 2дХ ln 0(Ux + Wt + Z\B) + c1

будет решением уравнения Кортевега-де Фриза (1).

Теорема 3 ([11]). Если же на кривой Г существует мероморфная функция ¡j,(P)

с единственным полюсом третьего порядка в Q, тогда,, выбрав локальный параметр окрестности этой точки в виде £ = [^(P)]_1^3, получим независимость решения (12) от t (W = = 0). Таким образом, решение уравнения КП

Ubsq(х, т) = 2d2 ln 0(Ux + Vт + Z\B) + c1

будет решением уравнения Буссинеска (2).

2. Алгебраическая кривая рода g = 2, 3-листно накрывающая эллиптические

Рассмотрим алгебраическую кривую (3). Для удобства введем обозначения

е1 = а, е3 = —Ь, а,Ь > 0, (13а)

g2 = 4(а2 + Ь2 — аЬ), g3 = 4аЬ(а — Ь). (13Ь)

Для определенности, мы будем считать, что Ь > а.

Ґ К «і л «2

Ґ >

Ґ N Ґ * ^

—V ¿92 С3е1 СО 1 ^-Зез Л<ь. )

I V,

і

Рис. 1. Алгебраическая кривая Г2.

В этих обозначениях кривая Г3 имеет вид

Г3: х2 = (А + 3а)(А — 3Ь)(А + 3Ь — 3а)(А2 — 12(а2 + Ь2 — аЬ)).

(14)

Выберем на Г3 канонический базис циклов, как изображено на рисунке 1.

Хорошо известно [13, 15, 16, 20, 21], что есть два отображения этой кривой на эллиптические — о 1: Г3 ^ Г0 и о2 : Г3 ^ Г0, где

Го: (р'(а))2 = 4П(Р(а) — ез) = 4р3(а) — 92р(а) — дз,

3 = 1

3

г2: (р'(в))2 = 4П(.Р(в) — ез) = 4Р3(в) — 92р(Й — дз,

3 = 1

(15)

(16)

___ О _ іл ч і--

Є2 = “2^3, е-1,3 = ± |^2у3^2-

Отображения (Го и а2 задаются следующими формулами:

9

3

р(а) =

А3 + 27д3

р'(а) =

2(А — 6а)(А + 6Ь)(А + 6а — 6Ь)х

9(А2 — 3д2) ’ ^ 27(А2 — 3д2)2

р\Р) = 2 ^А2 - X-

р(/3) — А3 — |^А + |</з

(17)

(18)

Отображения кривых (17), (18) порождают следующие отображения базисов циклов, изображенных на рисунках 2 и 3:

1. аоао = а1, аоа2 = а1, аоЬо = Ь1, аоЬ2 = 2Ьо;

2. а2ао = —2а2, а2а2 = а2, а2Ьо = —Ь2, а2Ь2 = Ь2.

Запишем эти соотношения в матричном виде

а

( \

а1

а2

Ь1

Ь2

^1 -2 0 0 ^

110 0 0 0 1 —1

у0 0 2 1

а1 а1

а

Ь1

Ь2

/■ * > а

> N

ч к У

V . . !

ис. 2. Алгебраическая кривая .

ь2 2

> а

с > N

1 &

Рис. 3. Алгебраическая кривая Г2.

Следуя работе [22], введем в рассмотрение матрицы

Я =

'1 —2^

Р

V1 Ч

^0 0^

V0 0У

Е

V0 °У

1 -1

2 1

Легко видеть, что выполняются все нужные для редукции соотношения на эти матрицы:

= Я1 Б, ЕР = РгЕ, БгЕ — ЯгР = п1, (19)

где I — единичная матрица, а п = 3 — число листов накрытий.

Отображения (17), (18) также порождают следующие отображения голоморфных абелевых дифференциалов [13, 15, 16, 20, 21]:

ЗА з

а*(1,а = — <1\, <т*<1р = — (IX

2Х 2х

Из выбора базисов циклов на Гд и Г2 следует, что выполняются следующие равенства:

йа = —2и', ф йа = 2и,

1 Л1

<р й/З = —2со', ® йв = 2со.

.¡о? Л2

Соответственно, нормированные эллиптические голоморфные дифференциалы имеют вид

ЛЛо = — -—- йа, ЛЛо = — тргт й/З.

2и' 2и'

При этом 6-периоды этих дифференциалов имеют вид

Во = <£ (11Ао =----Во =

Л1 и'

Рассмотрим на Г3 нормированные голоморфные абелевы дифференциалы

сШо =

ио'

. АйА йА АйА йА

(Ш1 = /п--------------Ь/12------, (111-2 = /21---------Ь/22------•

Х Х Х Х

(20)

Вычисляя а-периоды этих дифференциалов с помощью отображений циклов и эллиптических дифференциалов, получаем матрицу Р

( 1 1 \

4£'

1

1

\ 2ш' 4ш V

Проинтегрировав дифференциалы йЫз (20) по 6-циклам кривой Г3, находим матрицу В:

(Во + Во)/3 (2Во — Во)/3

В =

у(2Во — Во)/3 (4Во + Во)/3у

Теорема 4 ([22]). Пусть выполняются условия (19), и пусть Р = Q = 0. Тогда

0(р|В) = ^ 0[п*(к); 0](Б*р|Б*ВБ), (21)

к€29 (5)

где п(к) = Б_1к, суммирование к £ Zg(5) означает конечную сумму по к £ Zg: 0 ^ < (Б_1к) 3 < 1, число слагаемых в сумме равно |ёе1 Б|.

Нетрудно видеть, что матрица, стоящая в правой части равенства (21), является диагональной

. (3Во 0 ^

Б*ВБ = _ ,

\ 0 3Во)

и поэтому двумерная тэта-функция 0(р|В) может быть представлена в виде суммы трех слагаемых, каждое из которых является произведением двух одномерных тэта-функций с аргументами (Б*р)1 и (Б*р)2.

3. Периодическое решение уравнения Буссинеска

Рассмотрим произвольную точку Ро = (Хо, Ао) кривой Г3, не являющуюся точкой ветвления. Отметим, что на Г3 существует также точка р = (—Хо, Ао). Разложим в окрестности точки Ро функцию х по степеням (Л — Ао):

ГС

Х = Хо + £ Хз (Л — Ао), Р^Ро- (22)

3 = 1

Подставляя (22) в (14) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (Л — Ао), нетрудно выразить коэффициенты Хз через а, 6 и Ао.

Из уравнения (14) кривой Г3 вытекает, что в окрестности точки Р^ функция Х имеет симметричное разложение

ГС

Х = —Хо — ^ Хз (Л — Ао)3, Р^Ро - (23)

з=1

Из (23) следует, что

Х + Хо + Х1(А — Ао) + Х2(А — Ао)2 + Х3(А — Ао)3 = о(А — Ао)3, Р ^ Р'о-Поэтому функция

Х + Хо + Х1(А — Ао) + Х2 (А — Ао)2 + Х3(А — Ао )3

ц,(Р ) =

2хо (А — Ао)3

(24)

не имеет полюса в точке Р'о. Также эта функция не имеет полюса в бесконечно удаленной точке РГС = (то, то), поскольку в ее окрестности

М^) = Ц + 0(Л“1/2),

Следовательно, функция /л(Р) имеет единственный полюс в точке Ро вида ^{'Р) = --------------------ГТТ Н 77““—+

п \ уз + пх\ у2 + *2 ' , + — + 0(Л - Ао).

(А — Ао) Хо(А — Ао) Хо(А — Ао) Хо

(25)

Поскольку для построения решения уравнения Буссинеска функция /л(Р) должна иметь асимптотику [11, 14]

М7>) = £з+0(1), (26)

где £ — локальный параметр, то £ = А — Ао. Рассматривая совместно асимптотики (25), (26) и (22), получаем следующие разложения А и Х по локальному параметру £:

а = ао + £ + тг^2 + #^3 + 0(£4), 3Хо 3Хо

X = Хо + Ы + Х1 + 3X2X0 е2 + 0(£3). 3Хо

(27)

(28)

равны, соответственно:

и0

V,

о=

(27), (28)

( 1 \

4сУ А0

1 1 Хо

\2с7, /

( 14 \

4ш' 3Хо

1

V 2и? /

4£5' 1 1

_и

4 £'/

Хо

+

Х1

Аи'

3хо

\4и5'/

2

Естественно, при таком выборе локального параметра также выполняется равенство Wо = = 0. Индекс 0 указывает на то, что в роли выделенной точки 2 взята точка Ро. Из выражений для Б*ио и Б* V0,

Б *и,

о=

/ 3 Ао \

4хо^'

3

Б ÍV1

о=

( 3(3X0 - А0Х1) \

4Хо^;

Х1

V 4X0^'/

V 4х2ш' /

2

следует, что для построения периодического по координате решения уравнения Буссинеска нужно положить Ао =0. При этом

*0 = 184/06(6 -о)(«2 + 62 -об), = 54<«2 + Ь2 ~ а^)2

Хо

(29)

Б *и,

о=

о=

■ 4^'Хо

( 9 \

4^'Хо Х1

V 4^Хо/

Поскольку Х1 = 0, то периодическое по координате решение уравнения Буссинеска не будет периодическим по времени.

Применив формулу (21) с

П(к) £

2/3 1/3

0/ \1/3/ \2/3

и воспользовавшись соотношением

©[?у;0](р|Ь) = л/г Ь—1 ехр(— тЬ 1р2)^з{— рЬ 1 — г)\ — Ь 1),

(30)

являющимся следствием равенств

0[п; 0](р|Ь) = ехр(пгЬп2 + 27ггрп)$3(р + Ь^Ь),

^з(р|Ь) = л/г Ь—1 ехр(—7ггЬ_1р2)1?з(— рЬ-1| — Ь-1),

получаем следующее утверждение для решения уравнения Буссинеска.

Теорема 1. Периодическое решение уравнения Буссинеска (2), построенное по кривой (14), имеет вид

Щзд(х, т) = 2дХ 1п

Ь)^[г2 + ^--^

Ь +

X-, Т2

Ь +

+

3п1

4 шш 'х

2 + с1,о - (31)

Здесь Х1, %2 — фазы решения,

4 х2 ( )' ( ш'

Х1 = 4йХо, Т1 = -иХ о, Т2 = 12ш^, Ь = —, Ь = —.

3 Х1 3ш 3ш

При соизмеримости периодов Т1 и Т2 решение (31) будет периодическим не только по координате х, но и по времени т.

Чтобы вычислить постоянную С1;о, рассмотрим абелев дифференциал второго рода

и

0

с единственным полюсом первого порядка в точке Ро = (хо, 0). Непосредственные вычисления 6-периодов этого дифференциала приводят к тому же волновому вектору, что и дифференцирование голоморфных дифференциалов. Здесь г( — период соответствующей (-функции Вейерштрасса [17]. Вычисляя асимптотику этого дифференциала в окрестности

полюса, получаем, что

с1,0 =

3г/' 243а6(6 - а) + 6x0X2 + 4x1

2 ш'х0

18x0

3пі

+ с1,о =

1

216а6(6 - а)(а2 + 62 - а6)ш 36(а2 + 62 -

В последнем переходе мы подставили Х1 и Хо, а также учли, что

27а6(6 — а)+ х1

Х2 =

2Хо

и что (см. [17])

Пі

(а2 + 62 — а,6)2 648а,2 62( 6 — а,)2'

и

2

4. Периодическое решение уравнения Кортевега—де Фриза

Возьмем теперь в качестве выделенной точки 2 бесконечно удаленную точку Рж = = (то, то). Поскольку эта точка является точкой ветвления гиперэллиптической кривой Г3, то локальный параметр е в окрестности этой точки можно выбрать таким образом, чтобы выполнялось равенство

А = 4, Г^Гоо. (33)

е2

Из уравнения поверхности (14) следует, что функция Х в окрестности точки Рж имеет асимптотику вида

Л ж

\ У,!',1' '• Г^Гоо. (34)

3 =0

Нетрудно видеть, что при данном выборе локального параметра е выполняется равенство Е(Р) = А.

Дифференцируя дифференциалы !и) по локальному параметру е, получаем 6-периоды нормированных абелевых интегралов второго рода с единственным полюсом в точке Рж:

и

2ш'

1

V,

0, WR

ш'

( Л_ \

2и'

1

\~2СУ)

причем

Б *ис

Б1 Wc

(35)

2ш'.

0

3

Из равенств (35) вытекает хорошо известный факт (см. [13, 15, 16]), что решение конечнозонного уравнения КдФ, построенное по поверхности Г3 и выделенной точке , является периодическим по координате и по времени.

Проводя редукцию тэта-функции и переходя к эллиптическим тэта-функциям, получаем следующее утверждение для 3-эллиптического решения уравнения Кортевега-де Фриза.

Теорема 2. Периодическое решение уравнения Кортевега-де Фриза (1), построенное по кривой (14), имеет вид

ик^(х,і) = 2дХ 1п

$3 [zl +

Х2

+ $3 ¿1 +

Ь $3 ¿2 +

І

Т3

Ь +

Х2

Ь +

ь ) 03 ( -2 + - \

+ + Сі,00) (36)

шш'

где Х‘2 = 2ио, Тз = 2ио, Ь = —, Ь =

3ш 3 ш

Для вычисления постоянной С1ж рассмотрим абелев дифференциал второго рода

(Ш 1,оо = (^р(а) + сіа + сі^

2Х

3(Х2 - 12(а2 + 62 - а6))

(37)

с единственным полюсом первого порядка в точке Рж. Вычисляя асимптотику этого дифференциала в окрестности полюса, получаем, что

6П 3пг 6п

^1,оо — 7" 211’о и - -\- С\ оо — 211’о,

шш'

Сс>

где Ьо = 0 — коэффициент асимптотики (34) функции Х в окрестности точки То

X

X

5. Главная часть 3-эллиптических решений

Положив а = 2, 6 = 3 и вычисляя периоды решений, получаем, что при данном выборе параметров кривой решение (31) уравнения Буссинеска периодично по координате с периодом Х1 ~ 64 и почти периодично по времени с периодами Т ~ 157 и Т2 ~ 987 (рис. 4).

Вместе с тем, решение (36) уравнения КдФ, построенное по той же самой кривой, периодично по координате с периодом Х2 ~ 2 и периодично по времени с периодом Т3 ~ 0.3 (рис. 5).

Может показаться, что решения уравнений Кортевега-де Фриза и Буссинеска можно отличить друг от друга по значениям амплитуд и периодов решений, но заметим, что в выборе функций ц,(Р) и Е(Р) есть некоторый произвол. Функции

Д(Р) = К>(Р) + к2, и Е(Р) = КЕ (Р) + к4,

где к — постоянные, также являются мероморфными функциями с единственными полюсами требуемых порядков. Изменение функций ^(Р) и Е(Р) приводит к изменению локальных параметров £ и е:

1 к3 1 К2

= -То- + >¿2) ^о = То" + х4)

Е £3 Е £2

Рис. 4. Решение (31) уравнения Буссинеска для а = 2, 6 = 3, г\ = Х2 = 0.

Рис. 5. Решение (36) уравнения КдФ для а = 2, 6 = 3, Х1 = Х2 = 0.

или

« = - - + о(П, ? = ^ - -V +

к1 3к4 к3 2к3

Как было показано в [14], такая замена локальных параметров приводит к следующему преобразованию решений уравнений Буссинеска и Кортевега-де Фриза:

Щзд(х,Т) = К^Щзд(к^Х, К^Т),

™ I 3 + ,.34 ^ 1

«Ыг-ОМ) = ЩПкА, уХзХ + + -Х4-

Соответственно, при к = Х1/Х2 ~ 30 решение иьвд(х, т) уравнения Буссинеска будет иметь периоды и амплитуду одного порядка с решением и,к^(х,Ь) уравнения Кортевега-де Фриза, т. е. по значениям периодов и амплитуд разделить решения различных уравнений довольно трудно.

При этом очевидно, что двухзонные 3-эллиптические решения уравнений Буссинеска и Кортевега-де Фриза (рис. 4, 5) схожи между собой и внешне сильно отличаются от двухзонного 2-эллиптического решения уравнения Буссинеска, найденного в [18] (рис. 6).

Чтобы объяснить влияние п на вид решения, рассмотрим выражение

гН3(р,я) = ^з(p|b)^з(q\Ь) + $3(р — 2/3| Ь)$3 (я — 1/3|Е) + $3(р — 1/3|Ь)$3 (я — 2/3|Ь)

и, воспользовавшись формулой

$3(р|Ь) = ^ ехр(пгЬш2 + 2п1рш),

тЕХ

4—1 Kj V—’ V.J» О V./ w

У f\ CD fp] w : О V..y» o' r\ K.J Í.

5 0 o' ; JO О 4.^ 0 C) O; 0 o' (

1 0 v: О /■“S •-.У 0 .0 o' 0 '0; 0 i

) o' /"4 i"\ V-»/ О o' /“\ : o' t\ o'* 0 (

"V r\ 'O /■"Ч O' O r\ '■■.J 0 w 0 и 0 r\ X

o' 0 o' rS О r\ kj o’ ó JO /"4 О (

/•"N 0 Г*Ч у О /■'% 0 /*■■4 ”0 0 ;gj V...' с

\ .. . r\. .. . .. . ...... /л

10

10

Рис. 6. 2-эллиптическое решение уравнения Буссинеска.

перейдем к суммированию по бесконечной двумерной решетке. Вынося под знаком суммирования общий множитель за скобку, получаем следующее равенство:

th3 (p,q) = Е exp {ni(bm2 + bn2) + 2ni(pm + qn)}x

m,n£Z

( f 4nim 2nin 1 f 2nim 4nin \ \

Ч1+еХРГ“----------— j+e4>| 3----3-jj

3 3 J ‘ i 3 3 J,

Переходя во втором множителе к тригонометрическим функциям, преобразуем выражение к виду

^ ________________ / )

th3(p, q) = У'' exp{7n(bm2 + bn2) + 2ттг(рпг + qn)} х I 1 + 2 cos ir(m + n) cos------

3

m,n£Z

При упрощении мы учли, что sin n(m + n) = 0.

Из инвариантности суммы относительно одновременной замены m ^ -m, n ^ —n следует, что

th3 (p,q) = E exp{ni(bm2 + bn2)} cos 2n(pm + qn) x

m,n£Z

x ^1 + 2 cos 7r(m + n) cos ~~t>)—(38)

Выражение, стоящее в скобках, обладает весьма примечательным свойством. Если m = = n (mod 3), то оно равно 3, а в ином случае — нулю.

Из-за сильно убывающих экспоненциальных множителей основную роль в решениях играют слагаемые с m = n = 0 и m = n = ±1:

th3(p, q) = 3 + 6eni(b+b) cos 2n(p + q) +_

Следовательно, главные части двухзонных 3-эллиптических решений уравнений Буссинеска и Кортевега-де Фриза будут иметь вид

f x T2 — Ti \ f x t

Щ----------------T И II, 2------------

1 \Хг ^ Т2Тг ) 2 \X2 T3

соответственно, причем на форму главных частей влияют все слагаемые двумерного ряда (38).

В отличие от случая 3-эллиптических решений, для 2-эллиптических решений соответствующая функция th(p,q) имеет вид (см. [18]):

th2(p,q) = ^3(p\b)^3(q\b) + ^4(p\b)^4(q\b),

где

$4(p\b) = exp(nibm2 + 2nipm + nim).

mEZ

Переходя к суммированию по двумерной решетке, имеем равенство

th2(p,q) = Е exp{ni(bm2 + bn2) + 2ni(pm + qn)} x (1 + exp{ni(m + n)}),

m,nEZ

которое можно переписать в виде

th2(p, q) = ^ exp{ni(bm2 + bn2) + 27ri(pm + qn)} (1 + (—1)m(—1)n).

m,nEZ

Отметим, что в этой сумме гармоники разной четности (n — m = 1 (mod 2)) обращаются в нуль.

Из инвариантности суммы относительно одновременной замены m ^ —m, n ^ —n следует, что

th2(p,q)= ^ exp{ni(bm2 + bn2)}cos2n(pm + qn)(1 + (—1)m(—1)n).

m,nEZ

Заменяя n ^ —n, имеем еще одну формулу для функции th2(p, q),

th2(p, q) = ^ exp{ni(bm2 + bn2)} cos2n(pm — qn)(1 + (—1)m(—1)n),

m,nEZ

из которой вытекает, что

th2(p, q) = E exp{ni(bm2 + bn2)}(cos2n(pm — qn) +cos2n(pm + qn)) x

m,nEZ

(39)

или

th2(p, q) = ^ exp{ni(bm2 + bn2)} cos(2npm)cos(2nqn)(1 + (—1)m(—1)n). (40)

m,nEZ

Таким образом, поскольку

th2(p, q) = 2 + 2eni(b+b-)(cos 2n(p — q)+ cos 2n(p + q)) + ... =

= 2 + 4e™(b+b) cos(2np) cos(2nq) + ...,

то 2-эллиптическое решение уравнения Буссинеска представляет собой нелинейную суперпозицию встречных волн или образуемых ими стоячих волн, что мы и видим на рисунке 6.

/1 + (-1)т(-1)"\

Известно [13, 15, 16], что не существует двухзонного 2-эллиптического решения уравнения КдФ, периодического по координате. Но, как было показано в работе [23], существуют два двухзонных 2-эллиптических периодических по времени решения уравнения КдФ. Нетрудно понять, что такие решения должны иметь вид

и выглядеть как перемещающиеся с постоянной скоростью «стоячие волны».

Заключительные замечания

Подводя итоги, заметим, что уже начиная с рода д = 3 должны появиться существенные различия в поведении конечнозонных решений уравнений Кортевега-де Фриза и Бус-синеска. Это связано, в первую очередь, с тем, что не существует кривой алгебраического рода д > 2, по которой одновременно можно построить решения обоих уравнений, поскольку решения уравнения Кортевега-де Фриза строятся по гиперэллиптическим кривым, а для построения решений уравнения Буссинеска (при д > 2) используются негиперэллиптические кривые.

Приложение. Значения параметров решения для а = 2, Ь = 3

Для случая а = 2, Ь = 3 имеем

или

7

ХО = 18л/42 и 116.7, XI = 2^42 и 23,

b w 0.25i, exp(nib) w 0.46,

b w 0.2i, exp(nib) w 0.54.

Авторы благодарят проф. В. Б. Матвеева за полезные обсуждения.

Список литературы

[1] Gardner C., Green I., Kruskal M., Miura R. A method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett., 1967, vol. 19, no. 19, pp. 1095-1098.

[2] Lax P. D. Integrals of non-linear equations of evolution and solitary waves // Comm. Pure Appl. Math., 1968, vol. 21, pp. 467-490.

[3] Gardner C. Korteweg-de Vries equation and generalization: IV. The Korteweg-de Vries equation as a Hamiltonian system // J. Math. Phys., 1971, vol. 12, pp. 1548-1551.

[4] Захаров В.Е., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега-де Фриза — вполне интегрируемая гамильтонова система // Функц. анализ и его прил., 1971, т. 5, вып. 4, с. 18-27.

[5] Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // ЖЭТФ, 1971, т. 61, вып. 1, с. 118-134.

[6] Новиков С. П. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза // Функц. анализ и его прил., 1974, т. 8, вып. 3, с. 54-66.

[7] Lax P. D. Periodic solutions of the KdV equations // Comm. Pure Appl. Math., 1975, vol. 28, no. 1, pp.141-188.

[8] Дубровин Б.А., Новиков С. П. Периодическая задача для уравнений Кортевега-де Фриза и Штурма-Лиувилля: их связь с алгебраической геометрией // Докл. АН СССР, 1974, т. 219, вып. 3, с. 19-22.

[9] Итс А. Р., Матвеев В. Б. Операторы Шрёдингера с конечнозонным спектром и N-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза // ТМФ, 1975, т. 23, вып. 1, с. 51-67.

10] Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков С. П. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия // УМН, 1976, т. 31, вып. 1, с. 55136.

11] Кричевер И. М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений // УМН, 1977, т. 32, вып. 6, с. 183-208.

12] Дубровин Б. А. Тэта-функции и нелинейные уравнения // УМН, 1981, т. 36, вып. 2, с. 11-80.

13] Belokolos E. D., Bobenko A. I., Enol’skii V. Z., Its A. R., Matveev V. B. Algebro-geometrical approach to nonlinear evolution equations. (Springer Ser. Nonlinear Dynamics.) Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1994. 320 pp.

14] Смирнов А. О. Двухзонные эллиптические решения уравнения Буссинеска // Матем. сб., 1999, т. 190, вып. 5, с. 139-157.

15] Белоколос Е.Д., Бобенко А. И., Матвеев В. Б., Энольский В.З. Алгебро-геометрические принципы суперпозиции конечнозонных решений интегрируемых нелинейных уравнений // УМН, 1986, т. 41, вып. 2, с. 3-42.

16] Smirnov, A.O. Finite-gap elliptic solutions of the KdV equation // Acta Appl. Math., 1994, vol. 36, nos. 1-2, pp. 125-166.

17] Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Гостехиздат, 1948. 291с.

18] Amosenok E.G., Smirnov A.O. Two-gap 2-elliptic solution of Boussinesq equation // Lett. Math. Phys., 2011, vol. 96, nos. 1-3, pp. 157-168.

19] Fay J. Theta functions on Riemann surfaces. (Lect. Notes in Math., vol. 352.) Berlin-New York: Springer, 1973. 137 pp.

20] Baker H. F. Abel’s theorem and the allied theory including the theory of the theta functions. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1897. 684 pp.

21] Krazer A. Lehrbuch der Thetafunktionen. Leipzig: Teubner, 1903. 509 pp.

22] Смирнов А. О. Конечнозонные решения абелевой цепочки Тоды рода 4 и 5 в эллиптических функциях // ТМФ, 1989, т. 78, вып. 1, с. 11-21.

[23] Смирнов А. О. Двухзонные эллиптические решения интегрируемых нелинейных уравнений // Матем. заметки, 1995, т. 58, вып. 1, с. 86-97.

Two-gap 3-elliptic solutions of the Boussinesq and the Korteweg-de Vries equations

Alexander O. Smirnov1, Grigory M. Golovachev2, Evgeniy G.Amosenok3

Saint Petersburg State University of Airspace Instrumentation (SUAI)

Bolshaya Morskaya st., 67, Saint Petersburg, 190000, Russia [email protected],[email protected],[email protected]

The behavior of the two-gap elliptic solutions of the Boussinesq and the KdV equations was

examined. These solutions were constructed by the n-sheet covering over a torus (n ^ 3). It was

shown that the shape of the two-gap elliptic solutions depends on n and doesn’t depend on the kind of the nonlinear wave equation.

MSC 2010: 35Q53

Keywords: soliton, Boussinesq equation, KdV equation, theta-function, reduction, covering Received April 28, 2011, accepted June 23, 2011

Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2011, vol. 7, no. 2, pp. 239-256 (Russian)