CC BY
10
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 12. № 2 (2020). С. 49-54.
УДК 517.951, 517.957
ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ОДНОЙ СПИНОВОЙ СИСТЕМЫ И ДВУХКОМПОНЕНТНОГО УРАВНЕНИЯ КАМАССЫ-ХОЛМА
А.Г. ТАЙШИЕВА, Т.Р. МЫРЗАКУЛ, Г.Н. НУГМАНОВА
Аннотация. Работа посвящена исследованию эквивалентности двухкомпонентного уравнения Камассы-Холма (УКХ) и спиновой системы, являющееся обобщением уравнения ферромагнетика Гейзенберга. Известно, что эквивалентность между нелинейными интегрируемыми уравнениями дает возможность расширенного поиска их различных точных решений. Для УКХ применим метод обратной задачи рассеяния через систему линейных дифференциальных уравнений в частных призводных со скалярными коэффициентами. В отличие от УКХ, коэффициенты линейных систем, соответствующих спиновым уравнениям, связаны с симметричными матричными представлениями Лакса. Поэтому при установлении эквивалентности между выше упомянутыми уравнениями возникают дополнительные сложности. Исходя из этого, нами предлагается матричное представление Лакса для УКХ в симметрическом пространстве. Используя этот результат, установлена калибровочная эквивалентность между двухкомпонент-ным УКХ и спиновой системой. Показана связь между их решениями.
Ключевые слова: двухкомпонентное уравнение Камассы-Холма, матричное представление Лакса, спиновая система, калибровочная эквивалентность.
Mathematics Subject Classification: 35С08, 35Q51
1. Введение
Теория многокомпонентных интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений привлекла в последнее время немалое количество исследователей в области теории солитонов 111-|2|. Одним из таких моделей является двухкомпонентное УКХ, которое берет начало с классического интегрируемого УКХ вида [3]
'U'fc I fb Wxxt I — 2 ^^хх I WWххх, ^ 1 • 1 ^
где и — и(х, t) — скорость волны на мелководье в н аправлении ^ак - константа связи.
В работах [4]-[6] показаны, что УКХ (1.1) обладает большинством важных свойств, характерных интегрируемым уравнениям.
2. Двухкомпонентное УКХ
Объектом нашего исследования является двухкомпонентное УКХ, которое приведено в работе [7]. Оно выглядит следующим образом:
mt + итх + 2 тих — ррх — 0, (2.1)
Pt + (ри)х — 0, (2.2)
A.G. Tayshieva, Г.Н. Myrzakul, G.N. Nugmanova, On equivalence of one spin system and
two-component kamass-holm equation.
© Тайшиева А.Г., Мырзакул T.P., Нугманова Г.Н. 2020.
Работа выполнена при финансовой поддержке МОП РК (Договор N132 от 12.03.2018). Поступила 10 декабря 2019 г.
где u = u(x, t), р = р(х, t) and m = m(x, t) = u — uxx + k2 - действительные функции от x
VKM (2,l)-(2,2) разрешимо методом обратной задачи рассеяния через представление Лакса [7]
= Q —m\ + р2Х^ Ф, (2.3)
Ф = — (^^ + u) Ф + Цф, М
где А — спектральный параметр, Ф(А;х,t) = (ф\,ф2)т.
3. Матричное представление Лакса двухкомпонентного УКХ
Основной результат данного пункта сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема 3.1. Представление Лакса для, двухкомпонентного УКХ (2.1)-(2.2) в симметрическом пространстве su(n + 1)/s(u(1) ф u(n)) при п = 2 задается в виде
Фх = Ф, (3.1)
Ф* = ^Ф, (3.2)
где
" — (тХ+>Х=< ¡¡) • С-3)
/ и+их__^ J__ц\ \
V — 2 4А2, 2Л ил I (Ч /П
^ ^ -итХ + ^ -^ир2 ^ - • ^
Доказательство. Из условий совместности системы (3,1)-(3,2), матрицы и1(х,Ь,Х) и V1(x,t,Х) удовлетворяют условию нулевой кривизны
"1* -VI* + ["1, VI] — 0. (3.5)
Перепишем уравнение (3.5) в компонентах и1^1 пары:
( -1 Х\ / ^ - 4^2 -иХ \ _
\тХ + р2Х3 г ^ -итХ + \ - Х3ир2 ^ - х
- (-+итХ - Щ2 + Хир2 2Л 0 ) - (3'6)
( 1 \( 0 Х\ (0 \
+ и - 2X2) \-Хт-Х3р2 0) 0 - Щ^] —0. Приравнивая соответствующие элементы вторых строк и первых столбцов матриц в уравнении (3.6), получим
\ \ з I ''хх I иХхх / \ \ \ Хтг + 2Х ррг---Х--+ (ит)хХ - Хррх+
+ 2иррхХ3 + ихр2Х3 + т + + ихх - итХ+ (3.7)
2 Х
+^ - Хир2 + ^и + их - (Хт + Х3р2) — 0.
Остальные элементы будут тождественно равны нулю.
Х
компонентного УКХ - уравнение (2.1)
тг + 2ихт + итх - ррх — 0,
ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ОДНОЙ СПИНОВОЙ СИСТЕМБ1 И ДВУХКОМПОНЕНТНОГО.
51
коэффициенты при степени Л3 эквивалентны второму уравнению двухкомпонентного УКХ - уравнению (2,2)
Рг + (ир )х = 0,
а коэффиценты при степени Л-1 эквивалентны уравнению
т = и — ихх + С,
где С — интегральная постоянная, □
4. Обобщенное уравнение ферромагнетика Гейзенберга
В данном пункте приведем один из интегрируемых обобщенных уравнений ферромагнетика Гейзенберга (спиновую систему), который имеет вид
[А, Дй + (иАх)х] — ^-Ах — 4рРРхг = 0. (4.1)
р2
Здесь действительные функции и(х, ¿) и р(х, ¿) выражаются через 2 х 2 матричную функцию А(х, ¿) следующим образом:
и = 0.25р-2(1 — д2х)-1 ае^А2), (4.2)
2 1г(Ар + 2Ы(АХ)
Р =---, (4-3)
где Р = сопвЬ и
г = 0+5Р [А, А, + (и — 0.5Р-2)АХ]. (4.4)
их + ихх
А3 А-
Здесь А = I а+ а ) является матричным аналогом трехкомпонентного спинового
вектора (пли вектора намагниченности) А = (Аь А2, А3) с единичной длиной А2 = 1. А в терминах элементов матрицы А : А± = А1 ± %А2, А2 = I, где I = сИад(1,1).
Обобщенное уравнение ферромагнетика Гейзенберга (4.1) вкратце назовем уравнением Мырзакулова-СУ1 (УМ-СУ1) (в честь его автора), по аналогии работ [8]-[9].
Представление Лакса, соответствующее уравнению М-СУ1, выглядит следующим образом
Фж = и2 Ф, (4.5)
Ф, = ^Ф, (4.6)
где
и2 = (4р — 1) [А, А«] + (Л3 — Р2Л)р2г, (4.7)
4Р 4
^—¿)А+и (Л—Й[А- А*]+—4)Д А']+^
4Р2 4Л2) 4\Л р) 1 ' ^ \4Л 4 здесь V = Л(0.5 + р2и) — Л3и — 0.5р2Л-1
5. Калибровочная эквивалентность двухкомпонентного УКХ и УМ-CVI
В данном пункте установлена калибровочная связь между двухкомпонентным УКХ и УМ-CVI.
Теорема 5.1. Двухкомпонентное УКХ (2.1)-(2.2) с матричным представлением, Лак-са, (3.1)-(3.2) и спиновая система (4-1) с представлением, Лакса (4-5)-(4-6) являются, калибровочно эквивиалентными между собой.
Доказательство. Исходя из классической теории калибровочной эквивалентности (см. например [10]), доказательство теоремы 5.1 начнем с преобразования
Ф = 9-1Ф, 9 = Ф1\=р,
где Ф(А; х, í) является решением системы, соответствущей УМ-CVI (4.1), Ф(А;х, t) - решением системы, соответствущей двухкомпонентному УКХ (2.1)-(2.2) , а д(х, t) - произвольная 2 х 2 матричная функция, которая является решением системы (3.1)—(3.2) при
А = /
Производная от вектор-функции Ф по х равна
Фх = (д-1Ф)х = д-1 Фх - д-1 дхд-1 Ф = д-1 (U - дхд-1) Ф =
( А -Р) g-1(l (А3 -П р2д-1 (0 0) у] Ф. (5.1) Введем обозначение [10]
А = д-1°зд, (5.2)
1 о
(5.4)
(5.5)
где а3 = ^ 0 ^ - матрица Паули. Из (5.2) получим, что
Л. = {д-1°зд)х = д-1 [<гз,д.д-1] д = 2д-1 ^- ^Ър2 ^ д. (5.3)
Также имеем
|Л'Лх] = 4д-1 (^0т %V о) д.
и
д-1(т. О) д = 4в Л.лх1_в2^.
С учетом (5.4) и (5.5), из (5.1) находим, что
и2 = _ [Л, Лх] + (А3 _ р2г, (5.6)
-1 (О
где г = д 1 I 1 0 I д.
Таким образом, мы выразили через спиновую матрицу Л некомую 2 х 2-матрицу и2, которая является коэффициентом уравнения (4.5).
Далее, чтобы восстановить коэффициент уравнения (4.5), берем производную от Ф по
и
Фг = (д-1Ф)4 = д-1ф _ д-1 дгд-1Ф = д-1 _ дгд-1) Ф =
+
fj___]_\ TJ___^ П_ _А_\
V 4/52 4 А2) + |_8/3А 8/32 + V4 Ар)''
Р2Р2 ^ о2 2 ( 1 1\, ч Ар
1Г + Аи(5р Ч2а - Тр) (их + мхх) + ^
[А, Ах] + (5.7)
Z.
ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ОДНОЙ СПИНОВОЙ СИСТЕМЫ И ДВУХКОМПОНЕНТНОГО.
53
Также имеем, что
215 - UP)9. (5.8)
и
и
(5.9)
С учетом (5.8) и (5.9), из (5.7) находим, что V2 выражается через А в виде
- ¿)А +[(£ - ^ + (4х - i)
(5.10)
где $ = | — \3и — + ^/32и. Таким образом, получен коэффициент уравнения (4.6) нетрудно убедиться, что условие нулевой кривизны
. Теперь
Un -V2X + [^2,V2] = 0 с U2,V2 парами, определенными как (5.6) и (5.10), эквивалентно УМ-CVI (4.1).
Следствие 5.1. Если функции и(х, ¿) и р(х, ¿) являются решениями двухкомпонент-ного УКХ (2.1)-(2.2), а матричная функция А является решением УМ-СУ1 (4-1), тогда, их связь выражается, в виде (4-2) и (4.3).
В данной работе предложена матричная форма представления Лакса для двухкомпо-нентного УКХ в симметрическом пространстве 5и.(п + 1)/в(и(1) ф и(п)) для случая п = 2. Такого вида представление Лакса расширяет возможности исследования рассматриваемого нами уравнения. В частности, используя матричный вид представления Лакса для УКХ, нами установлена калибровочная эквивалентность этого уравнения к УМ-СУ1, и представлена связь между их решениями.
1. A. Mvrzakul, R. Myrzakulov Integrable geometric flows of interacting curves/surfaces, multilayer spin system,s and the vector nonlinear Schrodinger equation // Int. Jour. Geom. Meth. Mod. Phvs. 14:10, 1750136 (2017).
2. G. Nugmanova, A. Mvrzakul Integrability of the Two-Layer Spin System. // Geom., Integr. and Quant., Proc. XXth Int. Conf., Ed. by I. Mladenov. Sofia, 208-214 (2019).
3. R. Camassa, D.D. Holm An Integrable Shallow Water Equation with Peaked Solitons // Phvs. Rev. Lett. 71:11, 1661-1664 (1993).
4. R. Camassa, D. D. Holm, J. M. Hvman A New Integrable Shallow Water Equation // Adv. Appl. Mech, 31:1, 1-33 (1994).
5. A. Constantin, V. Gerdjikov, R.I. Ivanov Inverse Scattering Transform, for the Camassa-Holm equation // Inverse Problem 22:6, 2197-2207 (2006).
6. Балтаева И.И., Уразбоев Г.У. Об уравнении Камасса-Холма с самосогласованными источниками ¡I Уфимск. Магс.м. Журн. 3:2, 10-19 (2011).
6. Заключение
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
7. Юй-Цинь Яо, Е-Хуэй Хуань, Юнь-Бо Цзен Двухкомпонентное уравнение Камассы-Холма с самосогласованными ист,очникам,и и его многосолитонные решения. Теор. Мат. Физ. 162:1, 75-86 (2010).
8. Chen Chi, Zhou Zi-Xiang Darboux Tranformation and Exact Solutions of the Myrzakulov-I Equations // Chin. Phvs. Lett. 26:8, 080504 (2009).
9. Chen Hai, Zhou Zi-Xiang Darboux Transformation with a Double Spectral Parameter for the Myrzaku,lov-I Equation. Chin. Phvs. Lett., 31:12, 120504 (2014).
10. Захаров B.E., Тахтаджян Л.А. Эквивалентность нелинейного уравнения Шредингера и уравнения Ферромагнетика Гейзенберга. Теор. Мат. Физ. 38:1, 26-35 (1979).
Айгуль Галимжановна Тайшиева,
Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилева, ул. Сатпаева, 2,
Z05T8G1, г. Hvp-Султан, Казахстан E-mail: [email protected]
Толкынай Ратбайкызы Мырзакул,
Казахский национальный женский педагогический университет,
ул. Айтекеби, 99,
A15A4G6, г. Алматы, Казахстан
E-mail: [email protected]
Гулгасыл Нукарбаевна Нугманова,
Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилева, ул. Сатпаева, 2,
Z05T8G1, г. Hvp-Султан, Казахстан E-mail: [email protected]
