CC BY
5
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 4 (2018). С. 92-102.
УДК 517.925
РЕШЕНИЯ АНАЛОГОВ ВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ИЗОМОНОДРОМНОЙ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМОЙ Н2+1+1+1
В.А. ПАВЛЕНКО, Б.И. СУЛЕЙМАНОВ
Аннотация. Строятся совместные решения двух аналогов временных уравнений Шредингера, определяемых гамильтонианами H"^+l+l+l(s\,S2,qi,q2,Pi,P2) (к = 1, 2) системы Н2+1+1+1. Данная система является первым представителем известной иерархии вырождений изомонодромной системы Гарнье, описанной X. Кимурой в 1986 году. (Посредством явного преобразования данное вырождение может быть сведено к симметричной гамильтоновой системе. В построениях нашей статьи мы существенно опираемся на матричные линейные уравнения метода измонодромных деформаций для этой эквивалентной симметричной системы, выписанных в 2012 году в статье X. Кава-ками, А. Накамуры и X. Сакая.) Данные аналоги уравнений Шредингера представляют собой линейные эволюционные уравнения с временами si и s2, каждое из которых зависит от двух пространственных переменных. Из канонических временных уравнений Шредингера они получаются после формальной замены постоянной Планка на —2пг. В терминах решений соответствующих линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений метода изомонодромных деформаций, условием совместности которых является гамильтонова система Н2+1+1+1) решения данных аналогов уравнений Шредингера строятся явно. Обсуждаются перспективы построения подобных решений аналогов временных уравнений Шредингера, соответствующих гамильтонианам всей иерархии вырождений системы Гарнье.
Ключевые слова: гамильтоновы системы, уравнение Шредингера, уравнения Пен-леве, метод изомонодроных деформаций.
Mathematics Subject Classification: 34М56, 35Q41
1. Введение
Наряду с шестью классическими обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) Пенлеве вида q"t = fj (s, q,q's) (j = 1,..., 6), которые интегрируемы методом изомонодромных деформаций (ИДМ) [5], [27], нарастающий интерес современных исследователей вызывают и нелинейные ОДУ более высокого порядка, также допускающие применение ИДМ.
На сегодня известен [8], [9], [21] конечный список совместных пар гамильтоновых систем
оду
(о,)'.к = (HSk)'Pi, (Рз)'Sk = -(HSk)'qj (к = 1, 2) (j = 1, 2) (1)
с гамильтонианами HSk(s1, s2,q1,q2,p1,p2), каждое из которых есть условие совместности двух линейных систем ОДУ вида
K'fc = LSk V, (2)
К = AV, (3)
V.A. Pavlenko, B.I. Suleimanov, Solutions to analogues of non-stationary Schrodinger
equations defined by isomonodromic hamilton system h2+1+1+1,
©Павленко В.А., Сулейманов Б.И. 2018. Поступила 1 августа 2018 г.
где квадратные матрицы Ь3к и А (матрица А одна и та же для обоих гамильтоновых
дой из систем (1) в виде такого условия совместности и лежит в основе применения к ним ИДМ [27], Соответствующие пары линейных систем (2), (3) называются матричными Ь — А парами ИДМ, а решения ОДУ, являющихся условием совместности таких пар, -изомонодромными,
К их числу относятся и решения иерархии гамильтоновых вырождений системы Гарнье, выписанной "в известной статье X. Кимуры [10]. Представители этой иерархии допускают запись в нескольких эквивалентных формах - в том числе в форме совместных пар гамильтоновых систем (1), определяемых квадратичными по импульсам р\, р2 и полиномиальными по координатам д\, д2 различными парами гамильтонианаов Н3к(^з2,д\, д2,Р1,р2), [9], [21], [22].
В работе [31] было показано, что для одной из полиномиальных форм самой системы Гарнье в терминах решений систем ИДМ (2), (3), выписанных в статьях [9], [21] и в разделе 3.3 статьи [31], с помощью явных замен могут быть построены решения двух совместных между собой линейных эволюционных уравнений. Эти эволюционные уравнения символически могут быть представлены в виде (е = 1)
д Ф д д
= Н"к(8ь ^ ^ P, —£^ —£др)Ф (к =1, 2), (4)
где правые части определятся гамильтонианами Н3к = Нсагувк(в 1, в2,д\, д2,р\,р2) той формы полиномиальной системы Гарнье, изомонодромные решения которых как раз и являют-
Ь — А
3.3 [31]. Из соответствующих квантовомеханических временных уравнений Шредингера вида (4), зависящих от постоянной Планка к = 2ттН = — 2п%£, данные эволюционные урав-
[36] решения таких совместных аналогов уравнений Шредингера с е = 5/54 были построены для совместных гамильтоновых систем, которые эквивалентны последнему представителю в иерархии вырождений системы Гарнье из статьи [10] - так называемой системе Н 9/2. Естественным кажется предположение о том, что подобные построения решений
могут быть осуществлены и для всех представителей данной иерархии вырождений.
В настоящей статье такие решения при е = 1 строятся для первого из вырождений системы Гарнье, называемого системой Н2+1+1+1, Одна из эквивалентных форм этой системы представляется парой совместных между собой гамильтоновых систем (1), определяемых гамильтонианами (7, к, к^ - произвольные постоянные)
в ?Нв1 = д1—в1)р21+2 д^2Р1Р2+<?2—$2)р2—р 1[(ко+02—1) <?2+К1<?1( д1 —5^+7 +7 (я 1—
— Р2 [(К + Ко — 1)+ %1(^ — 52) — 7(52 — 1)+ Щ1, (5)
К.2 — ^ = + *.2,2 — ^„ + (,2,2 — ^ — + ^^) ,2 —
— Р1 [( «1 + Ко — 1) ?1?2 + @20_1 (Я_2 — ^ — 7( 52 — 1) ^ ] —
—Р2 (( «0 — 1)32(0_2 — 1) + К1^(д2 — 52) + 02(д2 — 1)(д2 — в2) + 52 -1) (02^1 + 7^2^ + кд2.
(6)
Совместные решения пары уравнений вида (4) с е = 1, предъявляемые в данной статье, соответствуют именно этой паре гамильтонианов. Данные решения явным образом будут
Ь— А
которых как раз являются гамильтоновы системы ОДУ (1) с гамильтонианами (5), (6).
Замечание 1, Для самих шести ОДУ Пеилеве в [33], [34] было показано, что в терминах решений V соответствующих пар линейных уравнений ИДМ
Вп (г, ,т,_Х,Х'т), 2
выписанных Р, Гарнье в классической работе [5], явным образом могут быть построены решения шести эволюционных уравнений
= Р (г,, г, Х, К V; = В (п, г, Х, К) ^ - В (11,1,Х,Х-) V,
д Ф и( = н (
Правые части этих эволюционных уравнений определяются гамильтонианами Hj(тр)
нпямн соответствующего уравнения Пенлеве, В последние 10 лет тема связей уравнений ИДМ с эволюционными уравнениями квантовой механики (а после работы [29] и квантовой теории поля) получила развитие во множестве других работ - см., например, [1] - [4], [6], [7], [И] - [20], [24Ь [25], [26], [28]- [31], [35], [37] - [39].
Замечание 2. В статье [31] было высказано мнение, что после обобщения известной [9], [10] процедуры последовательного вырождения членов иерархии системы Гарнье на квантовый уровень, из результатов [31] автоматически могут быть получены совместные решения пар уравнений вида (4) для всех представителей этой иерархии. Однако, как уже отмечалось в [32], на этом пути имеются трудности, связанные с тем, что для части из последовательных вырождений, приведенных в [9], [10], задейетвуютея комбинации координат и импульсов.
2. Различные формы системы Н2+1+1+1 и уравнения ИДМ для этой системы
2.1. Система Н2+1+1+1 в статье [10] выписана в двух формах - в приведенной выше форме двух совместных гамильтоновых систем (1) с полиномиальными гамильтонианами (5), (6) и в форме совместных гамильтоновых систем
дХк дК^ дцк дК^
д дц^ д дХк
где гамильтонианы КДп, т2, Х1, Х2, ^2) задаются формулами
и,к = 1, 2), (7)
2
^ ( Х1 - 1)(Х2 - 1) /л ЛМЛ чг 2 Т1 «1 - 1 02 ,
К1 = {——гт (Хк-1)(Хк - -(уП2+ *—т-^+
п(Т2 - 1)( Х2 - Х1) 1 Хк (Хк - 1)2 Хк - 1 Хк - Т2
Хк (Хк - 1)], ^ ^
К (Х1 - т2)(Х2 - г2) ^( л)кХ (Х 1)2[м2 («0 1Т1 + «1 + °2 - 1 )(( +
К2 = —г^—гт 2^(-1) Хк(Хк -1) - (т~ -п—+ \—т + ^-)^к+
Т2(т2 - 1)2( х1 - х2) Хк (Хк - 1)2 Хк - 1 Хк - т2
Хк(Хк - 1)] ^ ^
К2
ком.) Эти две пары гамильтоновых систем связаны [10] друг с другом симплектическим преобразованием
( х1 - 1)( х2 - 1) ( х1 - т2)( х2 - т2) 1 т2
(11 =---^-, 92 = --^-, = — , 5 2 = --. ю)
1( 2 - 1) 2( 2 - 1)2 1 2 - 1
Позднее Ю, Саеано в статье [22] указал бирациональное еимплектичеекое преобразование
Р1 = — , Р2 = — — , Я1 = Я1 (р 1Я1 + 'Р2Я2 — "), Q2 = Р2Я1, Ь = —, Ь2 = —, (11)
1 1 1 1
где
Ко + К1 + 92 + а — 1 . .
у=--^-, и(и + а) = к,
которое пару гамнльтоновых систем (1), (5), (6) сводит к паре совместных гамильтоновых систем
дQk дЩ. дРк дЩ. ,
д| = ж, ж =— тн£ °■к=1-2) (12)
с другими полиномиальными гамильтонианами Н^.. При условии отличия от нуля поето-
Рг ^ 7Р%, Qi ^ ^, и ^ 7и во всех вышеприведенных формулах без ограничения общности можно считать, что
7 =1.
При таком значении 7 гамильтонианы Н^. задаются формулами
= Ql —1)2Р2+^1Р1+(в ?——1) Р1—(в0+—1)Р1—еЧ?^ — 1)+
+ Р2Q2(Ql — 1)(Р^1 — Р1 — е1) — —V(Рl(Ql — Q2) — 01)(Р2^1 — Q2) + &), (13)
1 — 2
№ =Q2 ^2 — 1)2Р22 + t2Q2Р2 + (9 2 — — 1) Р2 — (90 + д?^ — 1) Р2 — 9*9 2^2 — 1) +
+ —1)(Р^2 — Р2 — еь) + (Р1^1 — Q2) — е1)^^ — Q2) + в*), (14)
1 — 2
где постоянные в0, 9\ 9\ в?, 92? удовлетворяют так называемому соотношению Фукса-Хукухары
в0 + в1 + в* + в? + 92? = 0.
Данные гамильтонианы получаются друг из друга заменами ^ о Q1 о Q2, Р1 о Р2, 91 о 9\
2.2, На решениях уравнений (12) с гамильтонианми (13),(14) совместна [9] система линейных ОДУ
±2
Н
Т =( - + Л + -Ак + А? V = АУ,
ац \ V V-1 ц— ^ ? I
' ь2 А '
1
Аг_
)
^ = + В1 + ц—2 = ^ (15)
С = —1—2у =
с коэффициентами
А =( Р^1 + Р2Q2 + ^0 + —П(Р^1 + Р2Q2 + А0 ^ 1 (РlQl + Р2Q2 + 90 + 0?) — Р^1 — Р2Q2 — 92? )
91 — Р^1 иРЛ А =( 9* — Р2Q2 иР2 ' ^ (91 — Р^) Р^1) , А V ^ (0t — Р2Q2) Р2Q2/
00
А = 0 0
Е = /0 0\ д 0 (Ас + А1 + Л)к\
Е \0 ^ , Д = ¿1 у (Ас + А1 + А4)21 0 )'
зависящими также от совместного решения линейных ОДУ следующих линейных ОДУ;
и и
= -(РЛЯг -1)2 - т -1) + - 0°°), и[2 = -(Р2(д2 -1)2 - д\я2 -1)).
Ч ¿2
Легко видеть, что замена
г = ехр((г]и + вс 1п т] + в1 1п(г] - 1) + в* 1п(г]и - ¿2) - 011п Ь)/2)У,
совместные системы ИДМ (15) переводит в эквивалентные им совместные системы
щ = + £ + ^ + Аг)у = Аг
( аЛ
, л 42 А \ л
Ц = ( Ещ + д1 + = иг, (16)
1А, -эг _ н =
"£7
Э ¿2 ^ '
с матрицами - коэффициентами
А = ( Р&1 + Р2Я2 + £ + 0? -и(Р&1 + Р2Я2 + в?)\
0 V- (Р1Я1 + Р2^2 + 0С + 0°°) -Р1^1 - Р2Я2 - в2 - 0?) ,
( Т - Р^1 -Р1 ) А = ( § - Р2Я2 -Р2 N Л-{в1 -Р&1) Р& - , А V02 (^-Р2^2) Р2Я2 - 2)
А° = (-01 I) , Е2 = (^ 0 ,
22
имеющими нулевой след. Именно эта матричная форма уравнений ИДМ для системы Н2+1+1+1 будет использована в этой статье для построения решений соответствующих эволюционных уравнений вида (4),
3. Построение решений аналогов временных уравнения Шредингера
3.1. Прежде всего по совместному фундаментальному решению г линейных систем ОДУ (16) образуем 2 х 2 матрицу
м = г-1(11,12, о г (11,12, п). (17)
Данная матрица удовлетворяет сразу двум скалярных пространственно двумерным эво-
1
м = у(у -1)« - 1)(у¿1 -12) м„ ас - 1)(си - ю(г1 -1) м„ +
м = ^ 1 - *2)(< -V) м- - Ьа 1 - Ю(С- „) м«+
| ь(ги¿2^пЖ + ФЪt2,(,Я)М + . , Р Р п п )м ^
+-ттг-ГГТ7-\-+ 31(г 1,^Х,У,и,Р1,Р2,Я1,Я2)м, 18)
Ш1 - г2)(С - •ф
в котором функции Ь, с и д1 имеют следующий вид
&« - 'ц) = 2 - С2 - 4 (г] + 2(2Г1 + 20 - 12(7]3 + 2(2г1 - (V2 - С - V2 + С + У - 2^), с(С - Ч) = СШ2 - V2 - 4(г] + 2(V2 + 2'п) - ¿2 (С3 + 2 (г]2 - ^ - С - V2 + С + У - 2^),
о = (в0)Н2(( — 1)(у — 1) ■ (в 1)2(С¥2 — 2 (гцъ1 + к(( + Г]) — ь) (в<)2(( — 1)(п — 1)1112 + 91 4 (1 — 12) 4« — 1)(Г] — 1) 1 — 12) 4(^1 — ¿2)(^1 — ¿2)(* 1 — 12)
+ МС — 1)(у — № 1 (( + у) — 12) 11(90 + 0* + 20?)« — 1)(у — 1) + е1((( + г] — (у) 11 — ь) _ 4(11 — 12) 2(11 — 12) 2(11 — 12)
2(А0)п(А1)п + ^0)12^1)21 + (АОЦ^Ц 2(Л1) 11(^1) 11 + (А^^ц + (А^ц^ц
--Р1Q1,
1 1 - 2 2
'П('П — 1)(01 — — Ь)., — 1)«*1 — t2)('ntl — 12)
№(« 2 — «К — ч) 11 №(( 2 — (,ж — ч) с<+
+120^—^жfa>ч>11—<2)(Д + >+9*{t")м (!»)
с коэффициентом
(00)2(С¿1 — t2)(vtl —12) (в 1)2(Си —12)^1 — Ь) , (вь)2(г2(г] — 21МV + *2(С + V — 1))* 1
12
02 =----1--
4С77(^2 — ¿1) ¿1*2 4« —1)(/7—1)(*2 —¿1) Ы2 4((и — 12)(г]11 — 12) 12 (12 —и)
+ Ш + V — 1)(С Ь — ¿2)(^1 — ¿2) + в1 + 20?°)« ь — ¿2)(^1 — ¿2) + 0^ 2(С + ?? — 1)— Ы п)
412(12 — 11) 212(12 — 11) 212(12 — 11)
2(А0)п(А4)11 + (^0)12(^1)21 + (Л)и 2(а44)и(А41)п + (ЛЬЙ^ц + (А^ц^Ь
— Р2(42.
2 2 1 3.2. Далее осуществим замену
Ж = Ь)М,
где функция $ удовлетворяет двум непротиворечивым равенствам
8, = 2(а40)п(А41)и + (^40)12(^41)21 + (А0 )Ц (А4_1 ) 12 + 2(^4^)11(^41)11 + (А^А^ц + (Л^А^ц + 11 ^ Ь1 — Ь 2
+ Р&1,
С 2(а40)
11(А0п + (А0)12(А4)21 + (А0)21(Аг)12 2(А44)11(А41)11 + (^^Ц^^Ц + (А44)21(А41)12 2 2 2 1
+ Р2Q2.
Эта замена связывает решения уравнения (18), (19) с решениями эволюционных уравнений
= у(у — 1)(С — 1)(уЬ — Ь2) _ С(С — 1)(СЬ1 — Ь2)(у — 1)х ,, + ^ ^1 — г2){<;-п) 11 1 — 12)(( — г]) «+
&(* 1, ¿2,С, + с(11, Ь,(, Г]Щ
^-+ 9а('1, '2,(, ^ (20)
= у(у — 1)«и — г2)(у 11 — 12) _ ас — 1)(01 — 12)^1 —12)
^ 2 +.-/-.Л/-. у 11 _____12
(2 (г] — С — у)(( 11 — 12)(г] Ь — 12) гМг 2 — 11)(С — 'Ц)2
+-ттт:-7ТТТ-^-( Ш + Ш1) + ъ (21)
которые зависят от функций
(вс)%(( - 1)(г] - 1) , (в 1)2(С^ - 2 (пи + и(( + у) - ¿2) (дУ(( - 1)(п - 1)11*2 +
а3 =--1-----+
У3 4(^ 1 - 12) 4« - 1)('П - 1)1 - 12) 4(^1 - ¿2)(^1 - ¿2)(* 1 - ¿2)
+Ш -1)(у -1)(* 1« + у) - ь) ь(вс + Р + 2в°°)(с - 1)(у - 1) + е1((( + г] -(у)¿1 - ¿2)
4(11 - ¿2) 2(11 - ¿2) 2(11 - ¿2) ,
= (0с)2(С ¿1 - t2)(r]tl - ¿2) (в 1)2(С и - ¿2)(^1 - ¿2) + (^)2(^2С ту- 21М Г] + г 2(С + у - 1))11 94 4 (г](¿2 - ¿1)М2 4« - 1)(Г] - 1)(Ь2 - Ь)М2 4(^1 - ¿2)(^1 - ¿2)¿2(¿2 - ¿1) + ¿1« + V - 1)«¿1 - t2)(r]tl - ¿2) (вС + А1 + 20°°)«¿1 - ¿2)(^1 - ¿2) + 2(С + Г? - 1) - ¿1С
4¿2(£2 - ¿1) 2^2 - ¿1) 2^2 - ь) .
Последняя пара уравнений уже не содержит зависимости от ^ и Р^. 3.3. Переход в уравнениях (20), (21) к независимым переменным
, t2 С л п = ¿1, т2 = 7-7", х = 7-7, У
2 - 1 - 1 - 1 и последующая замена (с^ - постоянные)
Ш =(у - х)((х - 1)(у - 1)) С1 (ху) С2 ((х - Т2)(у - Т2)) С3 (Г2) Сз(2с2 + 1)( Г2 - 1)^1+^ / (п.^.х.у) ф, где
1 1 1 + - 2( 1 + 2) 1 2 ( 1 + 2 + 3) 1
/(ТЬ r2,х, у) = —-- + —-- + ----- + ---+
2(х - 1) 2(у - 1) 2(Т2 - 1) Т2 - 1
+ (с2 - с2 - с2 - (в1)2/4)Г21п п + (-с2 + с3 + (0с)2/4 + (А1)2/4)1п п
2 - 1 2 - 1
переводят их в пару уравнений
( )ф/ =У(У - 1)2(х - 1)(У - Г2) / (2С1 + 1 + 2^+1 + 2^3 + 1 ^
Т1(Т2 ) 71 у-х + Лу- 1+ У + у-Ъ (у- 1)2у7
х(х - 1)2(у - 1)(х - 7-2) /ф// + ф/ /2С1 + 1 + 2С2 + 1 + 2С3 + 1 П \ \ +
у-х Ч х - 1 х х - т2 (х - 1)2//
+ д5( п, Т2,х, у)Ф, (22)
Т2(Т2_1)2 ф =х(х - ><х - (^++^+- ^))
2 у-х \ Х\х - 1 х х - т2 (х - 1)2УУ
у(у - 1)2(х - Т2)(у - Т2) Л,, , 1Т(/ (2С1 + 2 1 2С2 + 1 2С3 П
Ф! + ф' ^^ + + ^^^ +
У-х \ уу Л У- 1 У У- т2 (У- 1)2,
+ 9б(П, Т2,х, у)ф. (23)
Здесь функции д5 и д6 имеют вид
95 = ((С1 + С2 + С3 + 1)2 - (в 1)2/4)(х - 1)(у - 1) +
1ЧЛ. -П , (С2 - (0С)2/4)^2(х + У - 1)
4 х
+ (в° - в°° - 2 С1) П (Т2(х + у) -ху - 2 Т2 + 1) + (^ - с2)( Г2 - 1)2(хУ - Г2)
2(х - 1)(у - 1) (х - Т2)(у - Т 2)
(72 — 1)( т2(ху — 1)(Х — п)(у — 72))
4(х — 1)2(у — 1)2
— ((С1 + С2 + Сз + 1)2 — (в1)2 / 4)(х — Т2)(у — Т2) +
+
9?
2
0
2, 2с1
— в? — 27с)П(х — Т2)(у — П) , ((в0)2/4 — с2)Г2(х + у — п)
2(х — 1)(у — 1)
Полагая теперь
? — ?,
з
+
+ с2 — ( в 0)2/4 +
х
(<3 — (в')2/4)( п — 1)2(ху — г2) (х — Т2 )(у — п) '
2 , К
( 1 + 2 + 1)2,
К1 — 2 С1 = —^—,
2
К0 — 1
2 1
Сз
получаем, что пару эволюционных уравнений (22), (23) за счет справедливости соотношений
д д д д
—х — = 1 7ТУ — У 7Г = 1 д х х д д
символически можно записать в виде следующих аналогов временных уравнений Шре-дингера (е = 1)
дФ д д
£^Г = Кг3 (T2,Х,У, —£"7Г"", —£7Г")Ф 0' = 1, 2),
д Тп
д х д
(24)
определяемых гамильтонианами (8), (9) гамильтоновой системы (7), 3.4. Если в этой паре эволюционных уравнений осуществить замены
(х — 1)(у — 1) (х — п)(у — п) г =--;---, р =
1( 2 — 1)
( 2 — 1)2
(25)
представляющие собой квантовые аналоги двух первых частей симпликтнческого преобразования (10), и от времен ^ - согласно тому же преобразованию (10) - перейти к временам 5 то данные аналоги уравнений Шредингера перейдут в уравнения
в = ?2(г — 81)Ф1г + 2г 2 рф^ + гр(р — 5 2)Ф';р + ФЦ( К0 + 02 — 1) г2 + К1Г ( Г — + +(г — ^)] +
" РР
+ ФР[( К1 + К0 — 1)гр + 02Г (р — 52) — (52 — 1)р] + КГ Ф,
82(в2 — 1)Ф'в2 = Т2рФ1 + 2гр(р — 82)Ф% + (р(р — 1)(р — 52) + ФРр+
+ ФЦ( К1 + К0 — 1)гр + 02Г (р — 52) — (52 — 1)р] + + ФР (( К0 — 1)р(р — 1) + К1 р(р — 52) + в2(р — 1)(р — 52) + (02Г + р^ + крФ.
Эта же пара уравнений за счет справедливости операторных соотношений
д д 1 д д 1 дг дг , дрр р др
символически может быть записана в виде аналогов временных уравнений Шредингера (4) с е = 1, определяемых полиномиальными гамильтонианами (5) и (6),
4. Выводы
Построенные решения уравнений аналогов временных уравнений Шредингера (4) и (24) выражены через решения Z матричных L — А пар ИДМ (16), явным образом зависящих от решений нелинейных гамильтоновых систем ОДУ(12) с гамильтонианами (13),(14), Посредством известных симпликтических преобразований (10) и (11) решения этих гамильтоновых систем могут быть выражены как через решения гамильтоновых систем (1) с полиномиальными гамильтонианами (5), (6), так и через решения гамильтоновых систем (7) с гамильтонианами (8), (9), Таким образом, описанные решения этих аналогов уравнений Шредингера двойственным образом связаны с соответствующими классическими гамильтоновыми системами.
Но надо подчеркнуть, что вопрос о подобных аналогах уравнений Шредингера, соответ-евующих гамильтоновых систем, которые представлены различными формами системы H2+1+1+1j результаты данной статьи окончательно не закрывают, В частности, авторам не удалось построить решения каких-либо аналогов временных уравнений Шредингера, соответствующих гамильтонианам (13),(14), То же самое касается серии других эквивалентных им гамильтановых систем, описанных в статье [22],
В построениях данной статьи очень важную роль сыграла замена (17), Такая же замена ранее с успехом была применена в статьях [31], [32] и [36], в которых строились решения аналогов временных уравнений Шредингера, определяемых гамильтонианами самой системы Гарнье, а также некоторых из других ее вырождений, (Еще раньше в других целях эта замена использовалась Д.П, Новиковым [29], Сам Д, П, Новиков обращает внимание на сходство данной замены с формулой (2,3,36) в [23]), Тем самым, для случая системы ff2+1+1+1 показана оправданность предположения статьи [32] о том, что эта замена должна помочь и при построении аналогов временных уравнений Шредингера, которые определяются гамильтонианами всех вырождений системы Гарнье,
Помимо такой замены полезно также иметь ввиду возможность осуществления замен, которые являются квантовыми аналогами известных классических преобразований. Такая замена, например, оказалась весьма полезной в конструкциях [31] (см, в [31] формулы (46) и (56)), В настоящей работе подобную замену-аналог описывает формула (25),
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. A. Bloemendal, В. Virag Limits of spiked random matrices I // Probability Theory and Related Fields. 2013. V. 156 No. 3-4. P. 795-825.
2. A. Bloemendal, B. Virag Limits of spiked random matrices II // arXiv: 1109.3704. 2011. / Ann. Probab. 2016.44:4, 2726-2769.
3. R. Conte Generalized Bonnet surfaces and Lax pairs of PVI //J. Math. Phvs. 2017. V. 58. No. 10. 103508. 31 PP.
4. R. Conte, I. Dornic The master Painlevé VI heat equation // C. R. Math. Acad. Sei. Paris. 2014. V. 352. No. 10. P. 803-806.
5. R. Gamier Sur des equations différentielles du troisième, ordre dont l'integrale generale est uniforme et sur une classe d'équations nouvelles d'ordre supérieur dont l'integrale generale a ses points critiques fixes // Ann. Sei. Ecole Normale Sup (3). 1912. V. 29. P. 1-126.
6. T. Grava, A Its., A. Kapaev, F. Mezzadri On the Tracy-Widomß Distribution for ß = 6 // SIGMA. 2016. V. 12. 105. 26 PP.
7. A.M. Grundland, D. Riglioni Classical-quantum correspondence for shape-invariant system,s //J. Phvs. A. 2015. V. 48. No. 24. P. 245201-245215.
8. H. Kawakami, A. Nakamura, H. Sakai, Toward a classification of ^-dimensional Painleve-type equations // //in "Algebraic and geometric aspects of integrable systems and random matrices", Proc. A MS special session, Boston, 2012. Contemp. Math. 593. Amer. Math. Soc. Providence, RI. 143- 162 (2013).
9. Н. Kawakami, A. Nakamura, Н. Sakai Degeneration scheme of 4--dimensional Painleve-type equations // arXiv:1209.3836 (2012).
10. H. Kimura The degeneration of the two dimensional Gamier system, and the polynomial Hamiltonian structure // Annali di Matematica pura et applicata IV. 1989. V. 155. No. 1. P. 25-74.
11. A.M. Levin, M.A. Olshanetskv, A.V. Zotov Planck Constant as Spectral Parameter in Integrable Systems and KZB Equations //Journal of High Energy Physics. 2014. V. 2014. 109. (29 PP). DOI: 10.1007/JHEP10(2014)109.
12. H. Nagova Hypergeometric solutions to Schrddinger equation for the quantum Painleve equations // J. Math. Phvs. 2011. V. 52. No. 8. 16 PP.
13. H. Nagova, Y. Yamada Symmetries of quantum Lax equations for the Painleve equations // Annales Henri Poincare. 2014. V. 15. No. 3. P. 313-344.
14. D.P. Novikov A monodromy problem and some functions connected with Painleve 6 // Intrenational Conference "Painleve equations and Related Topics". Proceedings of International Conference. St.-Petrsburg, Euler International Mathematical Institute. 2011. P. 118-121.
15. H. Rosengren Special polynomials related to the supersymmetric eight-vertex model. II. Schrddinger equation// arXiv:1312.5879, (2013).
16. H. Rosengren Special polynomials related to the supersymmetric eight-vertex model: a summary Commun. Math. Phvs. 2015. V. 349. No. 3. P. 1143-1170.
17. I. Rumanov Hard edge for beta-ensembles and Painleve III // Int. Math. Res. Not. 2014. No. 23. P. 6576-6617.
18. I. Rumanov Classical integrability for beta-ensembles and general Fokker-Planck equations //J. Math. Phvs. 2015. V. 56. No. 1. 16 PP.
19. I. Rumanov Beta ensembles, quantum Painleve equations and isomonodromy system,s //in "Algebraic and geometric aspects of integrable systems and random matrices", Proc. AMS special session, Boston, 2012. Contemp. Math. 593 . Amer. Math. Soc. Providence, RI. 125-155 (2013).
20. I. Rumanov Painleve representation of Tracy-Widomp distribution for fj = 6 // Comm. Math. Phvs. 2016. V. 342. No. 3. P. 843-868.
21. H. Sakai, "Isomonodromic deformation and 4-dimensional Painleve-type equations" , preprint, University of Tokyo, Mathematical Scinces, Tokyo, (2010).
22. Y. Sasano, Symmetric Hamiltonian of the Gamier system, and its degenarate system, in two variables // arXiv:0706.0799v.5 (2011).
23. M. Sato, T. Miwa, M. Jimbo Holonomic quantum fields // Publ. Rims Kyoto Uiv. 1979. V. 15. No. 17. P. 201-278.
24. A. Zabrodin, A. Zotov Quantum, Painleve-Сalog его correspondence //J- Math. Phvs. 2012. V. 53. No. 7. 073507. 19 PP.
25. A. Zabrodin, A. Zotov Classical-quantum correspondence and functional relations for Painleve equations // Constr. Approx. 2015. V. 41. No. 3. P. 385-423.
26. Зотов А.В., Смирнов А.В. Модификация расслоений, эллиптические интегрируемые системы и связанные задачи // ТМФ. 2013. Т. 177. № 1. С. 3-67.
27. Итс А.Р., Капаев А.А., Новокшенов В.Ю., Фокас А.С. Трансценденты Пенлеве. Метод задачи Римана Москва-ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005, 728 с.
28. Левин A.M., Олынанецкий М.А., Зотов А.В. Классификация изомонодромных задач, на эллиптических кривых // УМН. 2014. Т.69. Вып. 1(415). С. 39-124.
29. Новиков Д.П. О системе Шлезингера с матрицами размера 2 х 2 и уравнении Белавина -Полякова - Замолодчикова // ТМФ. 2009. Т. 161. № 2. С. 191-203.
30. Новиков Д.П., Романовский Р.К., Садовничук С.Г. Некоторые новые методы конечнозонного интегрирования солит,онных уравнений Новосибирск: Наука, 2013, 251 с.
31. Новиков Д.П., Сулейманов Б.И. "Квантования" изомонодромной гам,илът,оновой системы Гарнье с двумя степенями свободы, // ТМФ. 2016. Т. 187. № 1. С. 39-57.
32. Павленко В.А., Сулейманов Б.И. «Квантования» изомонодромных гамильтоновых систем Н2+1. Уфимский математический журнал. 2017. Т. 9, Л*8 4. С. 100-110.
33. Сулейманов Б.И. Гамильтонова структура уравнений Пенлеве и метод изомонодромных деформаций // Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений. Уфа, Инт мат. 1988. С. 93-102.
34. Сулейманов Б.И. Гамильтоновость уравнений Пенлеве
и метод изомонодромных деформаций // Дифф. уравн. 1994. Т. 30. № 5. С. 791-796.
35. Сулейманов Б.И. "Квантования" второго уравнения Пенлеве и проблема эквивалентности его L,A пар // Теор. и мат. физ. 2008. Т. 156. № 3. С. 364-378.
36. Сулейманов Б.И. "Квантования," высших гамильтоновых аналогов уравнений Пенлеве I и II с двумя степеням,и свободы //Функциональный анализ и его приложения. 2014. Т. 48. Вып. 3. С. 52-62.
37. Сулейманов Б.И. Квантование некоторых автономных редукций уравнений Пенлеве и старая квантовая теория // Тезисы международной конференции, посвященной памяти И.Г.Петровского «23-е совместное заседание Московского математического общества и семинара имени И.Г.Петровского», Москва, 2011. С. 356-357.
38. Сулейманов Б.И. "Квантовая" линеаризация, уравнений Пенлеве как компонент,а, их L — А пар // Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4. № 2. С. 127-135.
39. Сулейманов Б.И. Квантовые аспекты интегрируемости третьего уравнения Пенлеве и решения временного уравнения Шредингера с потенциалом Морса // Уфимский математический журнал. 2016. Т. 8. № 3. С. 141-159.
Виктор Александрович Павленко, ФГБОУ ВО БГАУ, ул. 50-летия Октября, 34, 450001, г. Уфа, Россия E-mail: PVA100186@mail .ru
Булат Ирекович Сулейманов, Институт математики с ВЦ УФ! III РАН, ул.Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]
