Дискретные интегрируемые уравнения и специальные функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 3 (2017). С. 119-131.

УДК 517.58, 517.923, 517.925, 517.929, 517.538, 519.116

ДИСКРЕТНЫЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

В.Ю. НОВОКШЕНОВ

Аннотация. На основе метода матричной задачи Римана предложена универсальная схема построения классических специальных функций, удовлетворяющих разностным уравнениям. К таким спецфункциям относятся гамма- и дзета-функции, ортогональные полиномы и другие классы функций с соотношениями рекурренции. Показано, что разностные уравнения для этих функций представляют собой условия совместности пар Лакса, возникающих из решений задачи Римана. При этом интегральные представления решений классической задачи Римана о сопряжении аналитических функций на контуре комплексной плоскости обобщены на случай дискретных мер, то есть на бесконечные последовательности точек на комплексной плоскости. Установлено, что такое обобщение позволяет обслужить ряд нелинейных разностных уравнений, обладающих свойством интегрируемости в смысле теории солитонов.

Решения указанных задач Римана позволяют воспроизвести аналитические свойства классических спецфункций, изложенные в справочниках, а также описать ряд новых функций, претендующих на роль специальных. К таковым, в частности, относятся разностные уравнения Пенлеве. Приведен пример применения разностного уравнения Пенлеве второго типа к задаче представления симметрической группы.

Ключевые слова: Специальные функции, задача Римана, изомонодромные деформации, ортогональные полиномы, рекуррентные соотношения, гамма функция, дзета функция Римана, дискретные уравнения Пенлеве, асимптотические разложения, интегральные представления.

Mathematics Subject Classification: ЗЗС05, ЗЗС12, 34М55, 34М40, 34Е20, 34М60

В работе [18] рассмотрена схема описания классических специальных функций, основанная на матричной задаче Римана. Было показано, что такие функции, удовлетворяющие обыкновенным дифференциальным уравнениям, допускают представления в терминах решения некоторой задачи Римана, то есть задачи о восстановлении аналитической функции по ее граничным значениям. Тем самым проверялось свойство интегрируемости соответствующего дифференциального уравнения, понимаемое в смысле теории солитонов [1], [26]. Другое понимание свойства интегрируемости как вычисление значения функции в точке по ее глобальному поведению подразумевает наличие интегрального представления этой функции. По сути, метод задачи Римана демонстрирует эквивалентность этих двух определений интегрируемости [6], [15]. Функциями, попадающими под такое понимание интегрируемости, являются, например, гипергеометрические и эллиптические функции. Однако, в справочниках (см., например, [7], [14], [27]) имеются другие специальные функции, которые не удовлетворяют никакому дифференциальному уравнению. К таковым

V.Yu. Novokshenov, Discrete integrable equations and special functions. © Новокшенов В.Ю. 2017.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №17-11-01004). Поступила 1 июля 2017 г.

относятся гамма- и дзета-функции и их обобщения, возникающие в теории чисел, комбинаторике и теории представления групп. Каким образом можно распространить метод задачи Римана на эти специальные функции?

В данной статье делается попытка ответить на этот вопрос. Ключевым здесь является то обстоятельство, что имеется то или иное дискретное уравнение, которому удовлетворяют специальные функции. Оказывается, что эти уравнения также можно уложить в схему теории солитонов, А именно, для каждого дискретного уравнения предъявляется пара Лакса из двух линейных уравнений, условием совместности которых служит данное уравнение. Эта пара Лакса, в свою очередь, строится на основе некоторой спектральной задачи для матричных операторов. Уравнения пары Лакса здесь являются дискретными по спектральному параметру, где дифференцирование заменено на разностный оператор или оператор другого дискретного преобразования. Ниже в §2 будет показано, как эти операторы строятся естественным образом из решений подходящей задачи Римана,

Следует отметить специфику задач Римана для дискретного случая. Здесь задача сопряжения граничных значений на непрерывном контуре в комплексной плоскости заменяется заданием вычетов мероморфной функции на дискретном множестве точек, В теории солитонов аналогом этой задачи служит восстановление собственных функций по дискретному спектру заданного оператора, что эквивалентно решению уравнений «одевающей» цепочки для N-солитонного решения [22], В нашем случае такого ряда цепочка нелинейных уравнений возникает из дискретной задачи Римана и обладает всеми свойствами интегрируемости, присущими дифференциальным уравнениям. Ниже в §3 этот подход будет проиллюстрирован на примере дискретного уравнения Пенлеве второго типа, В заключение кратко рассматривается приложение этого уравнения в комбинаторике с целью подчеркнуть тот факт, что «дискретный трансцендент Пенлеве» служит новой нелинейной специальной функцией,

1. Задачи Римана и лаксовы пары

Задача Римана на контуре. Начнем с традиционной задачи Римана, в которой выбирается ориентированный гельдеровекий контур Г на комплексной плоскости А, который, возможно, имеет точки самопересечения и более одной связной компоненты. На контуре Г задается N х N обратимая матрица G = G(А), называемая матрицей скачка. Решение задачи Римана, заданное парой (Г, G), состоит в определении N х N-матричнозначной функции Y(А) € Mat (N, C), удовлетворяющей условиям

1) Y(А) кусочно-аналитична в областях А € C \ Г и существуют ее пределы на контуре Г

Y± (А) = lim Y (А').

Л' ^А Л'е±сторо на€\Г

2) На контуре Г det G(A) = 0 и выполняется соотношение скачка

Y+(A) = Y- (A)G(A).

3) Y(А) стремится к единичной матрице I на бесконечности А ^ го,

В скалярном случае N =1 задача Римана 1) - 3) решается явно. Действительно, при G( А) = 0

1nY+(A) = 1nY-(A)+1nG(A).

Аддитивная задача о скачке вида у+( А) = у- ( А) + <?( А) с условием у( А) ^ 0 на бесконечности решается в явном виде с помощью интеграла Коши

= £ / Йа*

Г

Условие 2) вытекает из формулы Сохоцкого-Племеля о граничных значениях интеграла Коши (см., например, [11]). Более того, задача Римна 1) - 3) допускает явное решение в абелевом случае, когда С(А^С(А2) = С(А2)С(А^ для всех А1 и А2 на контуре Г, Это решение дается формулой

^ / у-Ц. «

Таким образом, формула (1) верна при условии нулевого индекса матрицы скачка, т.е. Д1п С| г = 0, В случае ненулевого индекса формула (1) модифицируется домножением на полином степени не выше значения индекса [11], В этом случае решение задачи Римана неединственно и имеет конечное число линейно независимых решений,

В неабелевом случае при N > 1, когда матрицы С(А1) и С(А2) не коммутируют па Г

дачи Римана, Тем не менее, теоремы существования и единственности имеют место для широкого класса матриц скачка. Например, достаточным условием однозначной разрешимости задачи Римана является положительная определенность матрицы С(А) [4], В общем случае задача Римана 1) - 3) сводится к решению системы сингулярных интегральных уравнений на компоненты матрицы У (А) [11], Этот подход полезен не только для доказательства разрешимости, но и для оценок нормы матрицы У (А) и анализа ее асимптотического поведения,

В приложениях матрица скачка зависит от дополнительных параметров. Здесь мы ограничимся случаем N = 2 и одного скалярного параметра ж, причем

С(А,ж) =ер(х'х)азБе_р(х'х)°3, ^ = ^ Д) , (2)

где 5 — постоянная по А и ж матрица, а р — скалярный полипом от А и ж, Тогда решение задачи Римана 1)-3) также зависит от параметра х. Вводя новые матрицы Ф(А, ж) = У (А, х получим задачу Римана

1') Ф(А, ж) кусочно-аналитнчна по А при А € С \ Г

2') Ф+(А,ж) = Ф_(А,ж)5, А € Г.

3') Ф(А,ж) ^ ер(х'х)аз, А Рассмотрим логарифмические производные

А(А,ж) = ФлФ-1, и (А,ж) = ФжФ-1. (3)

Из условия 2') следует (5 — постоянная матрица!)

А+(А,ж) = (Ф-)л^Ф;1 = (Ф-)лФ-1 = ^_(А,ж),

^+(А,ж) = (Ф-)^Ф-1 = (Ф_)ЖФ_1 = [/_(А,ж), А € Г. (4)

Следовательно, А и и аналнтпчны по А во всей комплексной плоскости, С другой стороны, из условия 3') вытекает, что на бесконечности эти матрицы имеют полиномиальный рост

А(А,ж) ^ рл(А,ж)а3, и (А, ж) ^ рж(А,ж)а3, А ^ го,

По теореме Лиувилля матрицы А и и являются матричными полиномами по А степеней degр\ и degрх соответственно. Таким образом, матрица Ф(А,ж) удовлетворяет переопределенной системе дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами

(пара Лакса)

' ФА = АФ

!

(5)

Фх = U Ф. V

Условием совместности системы (5) является уравнение

А, - UÄ + [А, U] = 0. (6)

Это уравнение распадается на конечный набор матричных уравнений на коэффициенты при каждой степени А, что, в свою очередь, дает уравнения на скалярные функции от х. При подходящем выборе пары (Г, G) на этом пути можно получить дифференциальные уравнения для спецфункций, а также их интегральные представления,

Г

Г = {А | arg к = ^/2 + 2^/3}, к = 0,1, 2, полином р(А, х) = 8А3/3 + Ах, а матрицу S в формуле (2) в виде ([9], глава 3)

(0 ?) ■

получим явное решение задачи Римана 1) - 3) в виде

Sfc = ( 1 1 ) , So + «1 + «2 = 0,

У (А, х) = (0 у(А1х)) , у(А, х) = J so У +s ij +S 2 J \ ^ГА^.

I Го Г1 Г2 ) При этом уравнение (6) эквивалентно уравнению Эйри и" = хм на функцию

и(х) = - Hm Ау(А,х) = < s0 j +s 1 J + s2 J > е^'^ф..

I Го Г1 Г2 )

Ниже в §2 будут приведены примеры использования задачи Римана 1) - 3) для других специальных функций.

Дискретная задача Римана. Нелинейные разностные уравнения для специальных функций требуют другой версии задачи Римана, Следуя работам А, Бородина [2], [3], определим дискретную задачу Римана следующим образом.

Пусть Е - некоторое счетное множество точек на комплексной плоскости А G C, имеющее единственную предельную точку на бесконечности. Пусть Н(А) - матричная функция на Е, Н : Е ^ Mat(N, C),

Будем говорить, что матричнозначная функция У : C \ Е ^ Mat(^, C) с простыми полюсами в точках х G Е является решением дискретной задачи Римана (Е, Н), если выполняются следующие условия:

1° У (А) аналитичн а в C \ Е и имеет простые полюсы в точках Е,

2° ResA=;c У (А) = lim (У (А)Н (х)) , х G Е,

3° У (А) ^ I при А ^ го, Н( А)

Заметим, что данная постановка дискретной задачи Римана выше очень похожа на чисто солнтонный случай в обратной задаче рассеяния [26], часть III, Обозначим

Z' = Z + 1 = I..., - 3, -1,1, 3,... 1 = Z', и Z' , 2 \ ' 2' 2'2'2' J +

где Z'+ = { 1, §hz- = {..., - §, - §}.

Рассмотрим построение пары Лакса для задачи 1°-3° в частном случае N = 2 и

Efc = {M + 1,fc + 2,...} , к G Z'.

H (ж)

'0 -

г2(-+1 )

0

Г2(—2 )

0

же Z+

ж G Z'

(7)

В статье [2] доказано, что существует единственное решение задачи (Ек, #), Следуя [3] докажем, что для любого п € 2к существует постоянная нильпотентная матрица Ап,

Аг,

fan qn\ Рп J

Рп T'nQn

и функции ап, Ьп, ап6п = 1, такие что

А,

WA)= I +

('+¿У

Щ (А - 1)

к

-1

А — п/

(А — 2 ) 0

Кг(А),

(8)

(9)

0

к(А — 1 )-1

) = С"

L(A — 1 — Рп) -Ьп

аг 0

)

WA). (10)

Действительно, поскольку Н те зависит от п, мы видим, что 1^(А) и удовлетво-

ряют одному и тому же условию скачка на Еп, Однако, Уп+1 имеет лишний полюс в точке (п) = Еп+1 \ Еп, Следовательно, отношение Уга+1Уга-1 имеет один полюс в точке А = п. Обозначая вычет в этой точке через Ап, мы заключаем, что функция

Уп+1(А)Уп-1(А) —

Аг,

А — п

является целой. Вычисляя асимптотику в окрестности А = го, получаем по теореме Ли-увилля, что эта функция тождественно равна /, что доказывает первое уравнение. Далее, из того, что Уп = Уп+1 = 1, следует + Ап/(А — и)) = 1. Отсюда заключаем,

что Ап нпльпотентна.

Заметим, что условие 2° означает, что фун кция У (А) имеет существенную особенность на бесконечности. Действительно, функция с полюсами, накапливающимися к бесконечности, не может иметь регулярную асимптотику. Для того чтобы условие было корректным, нужно потребовать, например, равномерную асимптотику на последовательности окружностей |А| = ак, ак ^ +го.

Для того чтобы гарантировать единственность решений дискретной задачи Римана, рассматриваемой ниже в §3, будем предполагать, что существует последовательность расЕ

и мы будем требовать, чтобы решение У (А) имело нужную асимптотику па этих контурах. Вычислим, с учетом этих замечаний, асимптотику Уп(А) па бесконечности. Из условия 3° следует, что

Кг(А) = I + ^ А-1 + 0(А-2), А ^ го,

(П)

7п ^п

с некоторыми константами ап,...,

Для вывода уравнения (10) разделим слева на матрицу Уп+1(А) и докажем, что его левая часть

'х-1(А — 1 ) 0 \ -1 ч 0 к(А — 2)-1у Уп+1(А)

является полиномом по А,

Щ(А — 1)

(12)

2х

к

0

0

0

2х

к

В силу (11) асимптотика матрицы (12) имеет вид

( '+(": (к-1(Л-1) 0)( Ч^ М Л-10+■

= к-1 [ Д — 2 + — —+ О^Д-1)

V 0 ) (

Обозначим ага = —к-1,5га+1, Ьга = —к-17га, сга = ага+1 — ап. Тогда из теоремы Лиувилля следует, что выражение (12) равно

к 1( Д — 1 — сп) а„

(к :( А - : - С:) аЛ

V - 0) '

О

В заключение покажем, что с: = р: и а:Ь: = 1, Второе равенство следует из того факта, что определитель У:(А) равен 1. Чтобы доказать, что с: = р:, подставим (9) в только что доказанное соотношение (10), Получаем

*<А - 1) (К_1(А- 1) к(А - 2)-:) = (к-1(А-:- С:) +(а -Т1 £ 4))™.

Сравнивая асимптотику матричных элементов (• )11 в этом равенстве, заключаем, что : = :

2. Линейные разностные уравнения

Как было замечено во Введении, имеется много специальных функций, не удовлетворяющих какому-либо дифференциальному уравнению. Что в этом случае служит свойством интегрируемости таких функций? Проиллюстрируем это свойство на трех примерах. Гамма-функция. Определим «усеченную» гамма-функцию следующим образом

TW = ¿j (1 - Г(ж + 1) = h J

С

где А, ж) = А - ж lnA, и контур интегрирования Г охватывает положительную полуось с обходом по часовой стрелке. Определим абелеву задачу Римана 1) - 3) при N = 2 на Г

/1 р-0(А,я)\

G(A,x)=(J 1 j.

Ее решение сводится к двум скалярным задачам сопряжения аналитических функций и дается явной формулой

- ,1 г е-^^

Y (А,ж)-' -

(11 ^фЛ

1оС 1 )

ч0 1

Соответствующая пара Лакса выписывается в терминах Ф-функции (см, [16]

Ф( А, ж) = Y (А, х)е-б(л>^з/2Л

А = Фл(А,ж)Ф-1(А,ж) = -f + Л (Х/2 -Х/Х^ , и = ф(а, ж + 1)ф-1 (Л, ж) = -VA (0 71ж)) + ^ (0 71ж)) ,

где условие совместности имеет вид

их = А(А,ж + 1)^ - ^А(А,ж). Последнее распадается на цепочку тождеств и одно нетривиальное разностное уравнение

7 (ж + 1) = (ж + 1)т(ж), которое влечет определяющее уравнений для гамма-функции

Г(ж + 1) = жГ(ж).

Дзета-функция Римана. Так же как и выше, начнем с интегрального представления для ^-функции [27]

1 те

1г(-V(ж) = -^ + ш(А-1)Аf-3¿А + / ш(А)АI-1^А,

\2/ жж — 1 ,/ ,/

0 1

где

те

ы(А) = ^ е-™2л = 1 (0а(О|»А) — 1)

2> 1

2

п=1

а 0а(^|к) = ^теж%кт +2тхт — тета-функция Якоби от аргумента ж с модулем к [7] Соотношение Римана для ^-функции

--1 г (|) с (*) = 12 г(1^)с (1 —

переписывается в терминах функции

1 те

£(ж) = У ш(А-1)АI-2^А + I ш(А)АI-МА 01

в виде разностного уравнения

€(ж) = С(1 — ж), ^ = 0, ж = 1. (13)

Следуя [15], составим контур Г как объединение отрезков Г1 = [0,1] и Г2 = [1, с естественной ориентацией и выберем матрицу скачка в виде

1 2™Ш(А-1)АI-2^ д е ^

(14)

1 2^(А)А ^ ■ "

С(А,ж)

Л 2-(А)А', д е Г2.

В силу абелевости задачи Римана (Г1 иГ2, С) ее решен ие У (А, ж) существует и единственно. Для получения соответствующей пары Лакса определим Ф-функцию следующим образом

'1 0

Ф(А,ж) = У (А,ж)А( ? - 8 , аа = —

Тогда для матрицы Ф справедливы уравнения

ааФ (^,5 — ж) аз = А(А,ж)Ф(А,ж),

Ф(А,в + 2) = и (А,ж)Ф(А,ж), ^

где матрицы А и и имеют вид

и (д,х) = (Л —

Уравнения лакеовой пары (15) вытекают из оценок «логарифмических производных»

а3Ф , 5 — х^а3Ф-1(Л,х) и Ф(Л,х + 2)Ф-1(Л,х).

Последние, в свою очередь, следуют из инвариантности матриц скачка (14) относительно сдвига х м х + 2 и модулярного преобразования тета-константы 03 (0|г/Л) = л/Л#3(0|гЛ) (см, [7], [15]), Условие совместности пары Лакса (15) имеет вид

1, 3 — х^ х + 2)и(Л, х)А-1(Л, х) = /,

что эквивалентно разностному уравнению (13),

Ортогональные полиномы. Выберем в качестве контура Г вещественную ось с естественной ориентацией Г = М, Матрицу скачка положим в виде

С(Л)=(^ 27Г7(л)) , Л

е Г,

01

где

ш(Л) = е-у(л), V(Л) = ^ , ^ > 0. (16)

.7 = 1

Рассмотрим задачу Римана (Г, С), где условие нормировки 3) заменено на следующее

/д-п 0 \

У (ЛИ Л0 ДП) м /, Л м го, п е (17)

В работе А, Фокаса, А, Итеа и А, Кптаева [8] доказано, что эта задача имеет единственное решение при любом п е Более того, это решение может быть представлено в виде

/ о \

р (Л) [

Уп(Л)

Л — ^

-о

оо

1 1 [ Рга-1(и)Ц^)ф

■рга-1(Л)

^п-1 ^п-1 У Л — ^

-о

(18)

где { Рп}00=1 _ семейство полиномов вида

Рп(Л) = Лп + а„ ,п— 1 Лп-1 + ...+

Из формулировки задачи Римана нетрудно вывести свойства этих полиномов, В частности, они ортогональны на вещественной оси с весом и>(Л) = е-у(л):

о

У Р„(Л)Рт(ЛМЛ)^Л = Мпт. (19)

-о

Для доказательства формулы (19) выпишем асимптотику на бесконечности из условия (17)

У„(Л) = {/ + т<га)Л-1 + О(Л-2)}(ЛП Д) , Л м го, (20)

так что

А)22 = А"га + 0(А"га"

1 f Рга_^ß)w(ß)<iß

hn-1 J А — ß

ип

— оо

Рга_ 1(ßMß) + ß +... + ^га + ...^ dß.

АЛ,га_! J га~^ V А А"

Отсюда следует

оо оо

hn-1 = J Рга_ 1(ß)w(ß)ß^1 <iß, 0= У Рга_ 1(ß)w(ß)ßfcdß, 0 <п — 2,

-о -о

что доказывает равенство (19),

Для ортогональных полиномов справедливо линейное рекуррентное соотношение, связывающее полиномы с номерами п — 1, п и п +1 [25], Его можно рассматривать как уравнение по п для семейства полиномов, ортогональных с заданным весом.

Для вывода этого рекуррентного соотношения рассмотрим «логарифмическую производную»

^га(А) = Yn+1 (А)У- 1(А). Очевидно, в силу явных формул (16) и (18) Un (z) аналитична во всей комплексной плоскости, Установим асимптотику ига(А) на бесконечности, В силу асимптотики (20) матрица Un имеет следующее асимптотическое разложение

ига(А)=Уга+1(А)Уга" 1(А) = ^ 1 0НИ+1)(0 0) — (1 0)т1га) + ... Таким образом, при А ^ го

^1 = (0 + (ХЛ —0") ч, ^ »4га) = (£ £)•

По теореме Лиувилля

ига(А) = (А + йга+1 — йга —М ,

\ Сга+1 0 J

что дает разностное уравнение на матричный элемент (• )11

Ьп

Рга+1(А) = АРга(А) + (йга+1 — йга)Рга(А) — Т-Рга-1 ( А).

^га-1

Окончательно, рекуррентное соотношение имеет вид

Рга+1 (А) + (ага — А) Рга (А) + РПРП— 1 (А) = 0, (21)

где

ага = йга — йга+1 = lim [А1-га(Кга(А)) 11 — А"га(Уга+1(А))и] ,

ßra = 7"^ = lim А2(Уга(А))12(Уга(А))21. Дга_ 1 А^о

■>'.га

ьга-

,-А2

В частном случае весовой функции и>(А) = е л получаются полиномы Эрмита (см, [5], глава 3),

Рга(А) = Яга(А) = (-1Гел2 —е"л2.

В этом случае задача Римана позволяет вычислить и обосновать асимптотики полиномов Эрмита при п ^ го (см, [5], глава 7), Это вычисление воспроизводит формулы

1

Планшереля-Ротаха [21], причем метод «асимптотического раздевания» задачи Римана в [6] годится для других классов полиномов [19],

Заметим в заключение, что в случае экспоненциального веса (16) с параметрами £ = {£ 1,..., £} коэффициенты ага и в рекуррентном соотношении (21) становятся функ-

Например, в случае

V (А) = ^ + * А2

для коэффициента справедливо уравнение Пенлеве четвертого типа

«2 1

ии = — +--(3«2 + — п — 1))(«2 + + и +1),

2« 2«

где и(г) = ^п- 1 [17].

3. Нелинейные разностные уравнения

Уравнение с1РП. Применим дискретную задачу Римана, рассмотренную в §1, для вывода дискретного аналога второго уравнения Пенлеве (с1РП), Решения классического дифференциального уравнения Пенлеве II по праву вошли в состав «нелинейных» специальных функций (см, [9]) благодаря большому числу приложений в различных задачах математики и физики. Ниже будет показано, что решения дискретного уравнения с1РП также достойны статуса специальных функций.

Следуя статье [2] и поставленной в §1 дискретной задаче Римана 1°-3° на множестве Е&

А

1 в (10) и подставляя правую часть (10) в правую часть (9), получаем

У+ (А) = (' + А-п-?,')

1\-1

хУга+1(А о к-1(А + 1)) .

п А

часть (10), получаем

У-(А) = Г<А—С Р"+'* 'Т)(' + А-П)

—Ьга+1 0 у у А — п,

2)-1 о '

о к-1( А + 2)

хУп+1 (А + 1)(К(А + 2) , 1

Сравнивая эти два соотношения, получим условие совместности для пары Лакса (9), (10) (к-1(А + 2 — р„) аЛ _ /к-1(А + 2 — Рп+1) Оп+Л Л , ^п+1 ^

1' + А-пМ —Ьп о) = 1 —Ьп+1 о Н'+а-пГ

Это соотношение является аналогом уравнения (6), полученного путем перекрестного дифференцирования уравнений пары Лакса в §1,

Из матричного уравнения (22) легко получить скалярные уравнения на переменные рга и гга, А именно, вычисление асимптотик и элементов (• )12 и (• )21 в равенстве (22) при А ^ го дает соотношения

!

= а„+1 + к 1 <зп+1, = Ьга+1 + к 1 г„,

(23)

А = п

(Рп Чп ^ (к-1(п + 1 - Рп) аЛ = /к-1(п + 1 - Рп+1) Оп+Л /Рп+1 9п+1 \Гп -V \ -Ьп V V — п+1 0 / \Гп+1 --Рп+7 .

Матричный элемент (• )22 этого равенства совпадает с последним равенством (23), а элемент (•) 12 дает

ОпРп = К-1(А + 1 - Рп+1)Яп+1 - Оп+1 Рп+1. Умножая обе части на 6п+1; получаем (напомним, что ап+1 Ьп+1 = 1)

Обозначим

Ьп+1<ОпРп = -к 1(А + 1 - Рп+1)<ОпГп - Рп+1. (24)

5п °пГп7

п

тогда, умножая первое соотношение (23) на 6п+1; мы видим, что апЬп+1 = 1 - к 18п. Подставляя это выражение в (24), получаем

(Рп + Рп+1)(8п - к) = (п + вп. Используя нильпотентность матрицы Ап (8), имеем

р1+-1 = - 1п+1 Г'п+1 = (-Ьп+19п+1)(°п+1 Гп+1) = Зп вп+1.

Тем самым, для любого п € ^ получается система скалярных уравнений

(Рп + Рп+1)(8п - к) = (п + 5п, 2

Рп+1 5 п 5 п+1.

п

3 п кЖп

получим скалярное разностное уравнение

_ (п + ^ Жп

Жп+1 + Жп-1 — о 7Г~. У2^)

к(жп - 1)

Уравнение (25) называется уравнением с!РП или разностным уравнением Пенлеве II , (см, [3], [13], [24]), Покажем [20], что это уравнение переходит в дифференциальное уравнение Пенлеве II в пределе к ^ го. Введем непрерывную переменную £

£ = (п - 2к) к- 3

и предположим, что жп ~ (-1)пк-при к ^ го с некоторой гладкой функцией «( •), Тогда

Жп±1 = (-1)5+1к-3 («(*) ± к-3«'(г) + к-§и"(*) + 0(к-1)) ,

кп(+ = (-1)п+1 (2 + к-3^ + 1 к-1) к-!«(*) (1 + к-1«2(*) + 0(к-3))

= (-1)п+1к-1 (2«(*) + к-2(¿«(¿) + 2и3(£)) + 0(к-1)) .

Подставляя в (25) и переходя к пределу к ^ го, получаем

и"(г) = + 2и3(£),

что представляет собой частный случай уравнения Пенлеве II [9],

Представления симметрической группы. Пусть Бп - симметрическая группа степ п

натуральными числами 1, 2,..., п. Обозначим чсрез /га(о) длину наибольшей возрастающей последовательности подстановки о € а терез | • | - число элементов множества. Положим

{о | /га(о) < А;} ,

Pfc = I и!

и введем производящую функцию

2га

№(к) = й,

га=0

где х - некоторый комплексный параметр. Другое эквивалентное определение вытекает из алгоритма Робинсона-Шенстеда [10]. Возьмем все разбиения подстановки А = (Ai, А2,..., Аг) е 5|Л| такие, что |Ai| > ■ ■ ■ > |Аг| > 0 |Ai| < к и |А| = |Ai| + ■ ■ ■ + |Аг Обозначим через dim А размерность неприводимого представления симметрической группы S^i, тогда

Pi(к) = е-" Е

|Ax|<fc

где суммирование берётся по всем таким разбиениям А,

Вычисление функции (к) составляет важную задачу теории представлений симметрической группы, В работе [12] доказано, что эта функция может быть записана как тёплицев определитель

pfc(к) = е"к2 det[/г_,&=1, £ fm(m = eK(i+i-1). (26)

В статье [23] впервые была установлена связь функции (к) с решением уравнения dPII, Определим последовательность |жга}^=0 начальными условиями ж0 = — 1, ж1 = Д//0 с /j из (26) и рекуррентным соотношением

^«,+ 1 + ^га— 1 7 о TV , и > 1

К(^га — 1)

Тогда для любого к > 1 и к в общем положении справедливы рекуррентные соотношения

Pfc+1(K)Pfc— 1(к) =,2

Pi (к) = ^

Слова «в общем положении» здесь означают, что х не принадлежит множеству полюсов мероморфной функции = (к).

Другой вывод этого результата с помощью дискретной задачи Римана был приведен позднее в [2],

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. M.J. Ablowitz and Р.А. Clarkson Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering. Math. Soc. Lecture Notes Series, v. 149, Cambridge University Press, Cambridge, 1991.

2. A. Borodin Discrete gap probabilities and discrete Painleve equations // Duke Math. J. V. 117. No. 3. (2003) P. 1-54.

3. A. Borodin Isomonodromy transformations of linear system,s of difference equations. Ann. Math. V. 160. No. 3. (2004) P. 1141-1182.

4. K. Clancev and I. Gohberg Factorization of matrix functions and singular integral operators. Operator Theory: Advances and Applications, Vol. 3. Birkhauser Verlag, Basel, 1981.

5. P. Deift Orthogonal polynomials and random matrices: A Riemann-Hilbert approach. Courant Lecture Notes: New York Univ. NY, 1999.

6. P.A. Deift Integrable Systems and Combinatorial Theory // Notices of the Amer. Math. Soc. V. 47. No. 6. (2000) P. 631-640.

7. A. Erdelvi, W. Magnus, F. Oberhettinger and F. G. Tricomi Tables of Integral Transforms. Vol. I. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, 1954.

8. A.S. Fokas, A.R. Its, and A.V. Kitaev The Isomonodromy Approach to Matrix Models in 2D Quantum Gravity // Comm. Math. Phvs. V. 147 (1992) P. 395-430.

9. A.S. Fokas, A.R. Its, A.A. Kapaev and V.Yu. Novokshenov Painleve Transcendents. The RiemannHilbert Approach. Math. Surveys and Monographs, V. 128, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006.

10. Фултон У. Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии. М: Издательство МЦНМО, 2006.

11. F.D. Gakhov Boundary value problems. Dover Publications, 1990.

12. I.M. Gessel Symmetric functions and Precursiveness //J- Combin. Theory, Ser. A 53 (1990) P. 257-285.

13. B. Grammaticos, F. W. Nijhof, A. Ramani Discrete Painleve equations, The Painleve property // CRM Ser. Math. Phvs., Springer, New York, 1999, P. 413-516.

14. E.L. Ince Ordinary Differential Equations. Dover, New York, 1956.

15. A.R. Its The Riemann-Hilbert Problem and Integrable Systems // Notices of the Amer. Math. Soc., V. 50. No. 11. (2003) P. 1389-1400.

16. A.V. Kitaev Special functions of the isomonodromy type // Acta Appl. Math., V. 64 (2000). P. 132.

17. A.P. Magnus Painleve-t,ype differential equations for the recurrence coefficients of semi-classical orthogonal polynomials // J.Comput.Appl.Math. V. 57 (1995). P. 215-237.

18. V.Yu. Novokshenov The Riem,ann-Hilbert Problem, and Special Functions // In: „Geometric Methods in Physics", AIP Conf. Proc., V.208, (2008). P. 149-161.

19. Новокшенов В.Ю., Щелконогов А.А. Распределение нулей обобщенных полиномов Эрмита // Уфимский математический жур-нал, Т. 7. № 3 (2015). С. 57-69.

20. Y. Ohta, A. Ramani, В. Grammaticos, К. М. Tamizhmani From, discrete to continuous Painleve equations: a bilinear approach // Phvs. Lett. A V. 216. No. 6. (1996). P. 255-261.

21. M. Plancherel, W. Rotach Sur les valeurs asymptotiques des polynomes d'Hermite // Commentarii Math. Helvetici 1929. V. 1. P. 227-254.

22. A.B. Shabat The infinite-dimensional dressing dynamical system, // Inverse Problems, V. 8. No. 2. (1992) P. 303-308.

23. C.A. Tracy and H. Widom Random unitary matrices, permutations and Painleve // Comm. Math. Phvs. V.207. No. 3. (1999) P. 665-685.

24. H. Sakai Rational Surfaces Associated with Affine Root Systems and Geometry of the Painleve Equations // Comm. Math. Phvs. V.220. No. 1. (2001) P. 165-229.

25. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз. 1962.

26. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солит,оное и м,ет,од обратной задачи. М.: Наука. 1980.

27. Е.Т. Whittaker and G.N. Watson A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press, 1996.

Виктор Юрьевич Новокшенов, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: novik53@mail.ru