Матричные аналоги первого уравнения Пенлеве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 4 (2011). С. 21-27.

УДК 517.9

МАТРИЧНЫЕ АНАЛОГИ ПЕРВОГО УРАВНЕНИЯ ПЕНЛЕВЕ

С.П. БАЛАНДИН, И.Ю. ЧЕРДАНЦЕВ

Аннотация. Ранее Баландиным и Соколовым были получены и изучены на обладание свойством Пенлеве матричные аналоги первого и второго трансцендентных уравнений Пенлеве. В данной работе исследованы обобщения первого уравнения Пенлеве на интегрируемость по тесту Пенлеве-Ковалевской. В результате получены достаточные условия интегрируемости для обобщенных матричных аналогов первого уравнения Пе-нлеве. Существенную роль в нахождении этих критериев сыграло разложение матриц на блоки. Полученные результаты согласуются с ранее проведенными исследованиями частных случаев рассмотренных нами уравнений.

Ключевые слова: интегрируемость, тест Пенлеве, матричные уравнения.

В конце XIX века школой Пенлеве были исследованы обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка на факт отсутствия у их общих решений подвижных критических точек. Был составлен большой список таких уравнений, среди которых были и шесть существенно новых, например,

где штрихи означают дифференцирование по переменной г, а а — произвольный параметр. Их принято называть первым и вторым трансцендентными уравнениями Пенлеве. Эти уравнения являются объектом интенсивных исследований, чему в немалой степени способствуют их приложения в математической физике. В физических приложениях естественным образом также возникают и матричные аналоги уравнений Пенлеве [1].

В дальнейшем дифференциальное уравнение будем называть интегрируемым в смысле Пенлеве (Пенлеве-Ковалевской), если у него имеется общее решение в виде формального ряда Лорана:

к=0

где п — некоторое натуральное, г0 — произвольно.

В работе [2] были предложены и исследованы на интегрируемость по тесту Пенлеве — Ковалевской матричные аналоги указанных уравнений:

в алгебре п х п матриц, где А, В, С — постоянные матрицы. Оказалось, что критерием интегрируемости является условие В = Е, С = аЕ, т.е. две матрицы из трех отличаются от единичной матрицы Е лишь скалярным множителем. Заметим, что в отличие от скалярного случая, матричное уравнение (2) содержит произвольный постоянный параметр

S.P. Balandin, I.Yu. Cherdantzev, The matrix analogs of the first PainlevE equations.

© Баландин С.П., Черданцев И.Ю. 2011.

Поступила 25 июля 2011 г.

1. Введение

и" = 6и2 + z,

и" = 2и3 + zu + а,

(1)

U" = 6U2 + zB + А, U" = 2U3 + zU + С

А и не сводится к уравнению U" = 6U2 + zE, указанному, например, в статье [3]. Позже уравнение (2) было обобщено с помощью коммутатора матриц

V" = 6V2 + [G, V] + zB + А

и исследовано авторами [4] в алгебрах квадратных матриц. В данной статье рассматриваются новые интегрируемые обобщения матричного уравнения (2) в той же алгебре n х п матриц вида

i

и” = 6и2 + 60 (аки + ftk)zк, (3)

к=0

где греческие буквы обозначают произвольные постоянные п х п матрицы, и уравнения еще более общего вида

и" = 6и2 + 60(a(z)u + fî(z), (4)

где a(z), [3(z) — произвольные матричные функции, которые аналитичны во всей комплексной плоскости.

Следуя тесту Пенлеве-Ковалевской, мы приходим к последовательности соотношений на матричные коэффициенты рядов Лорана, в которые раскладываются искомые решения уравнений (3),(4). При этом, для интегрируемости уравнения в смысле Пенлеве, требуется, чтобы полученные ряды Лорана зависили от 2п2 произвольных констант.

2. Ограничения на коэффициенты ак и рк

Матричный интегрируемый аналог первого скалярного уравнения Пенлеве, рассмотренный в работе [2], имел вид (2) при условии B=E. Будем исследовать на интегрируемость в смысле Пенлеве обобщение вида (3). К нему преобразованием вида и ^ и + S(Z) сводится более общее уравнение, содержащее слагаемые Щкzк.

Нетрудно видеть, что формальное решение в виде ряда Лорана (1) для уравнения (3) имеет вид:

и = Uo(z - Z0)-2 + U\(z - Zo)-1 + U2 + ... (5)

Сначала рассмотрим случай z0 = 0, т.е., ряд

и = u0z-2 + u1z-1 + и2 + • • • + Uk zk-2 + ... (6)

Подставляя этот ряд в уравнение (3), получим

œ œ к

(к — 2)(к — 3)Ukzк 4 = 6 ^^у(У ] UiUk-i)zk 4 + (7)

к=0 к=0 г=0

œ к—2 1+4

+60 aiUk—2—i)zк—4 + 60 ^ ¡3k—4Zk—4,

к=2 г=0 к=4

что приводит к цепочке соотношений на матричные коэффициенты ик. В частности, сравнивая коэффициенты при z-4, получим

ul = Uo, (8)

т.е. и0 является идемпотентом (проектором). Остальные соотношения, как предложено в работе [2], удобно записать с помощью линейного оператора

L(X) = uoX + Xuo :

(3L - Е)т = 0 (9)

L(u2) = —u\ — 10a0w0 (10)

L(u3) = —(и1щ + щи1) — 10a0u1 — 10a1u0 (11)

(6L - XjE)uj = fj[uo,... .uj—1],j > :3, (12)

где

\ = (з — 2)(з — 3).

Поскольку

(X) = и0Х + 2щ Хио + Хи0

и

L3 (X) = и3 X + 3и0Хщ + 3щХи0 + Хи3,

то простое вычисление, с учетом соотношения (8), показывает, что оператор Ь удовлетворяет уравнению Ь3 — 3Ь2 + 2Ь = 0. Следовательно, его спектр состоит из собственных чисел 0, 1 и 2, а коэффициенты щ, Щ, и3, и5, и6 определяются с точностью до произвольных постоянных, число которых должно равняться 2п2 — 1, поскольку для того чтобы уравнение (3) обладало свойством Пенлеве, его решение (5) в виде ряда Лорана должно зависеть от 2п2 произвольных констант, а г0 — ещё одна произвольная константа решения (5). Поясним это подробнее.

Из условия (8) следует (см., например, [5, § 25, Теорема 1] ), что младший коэффициент приводится к жордановой форме

щ = т{ о“ 0 )т-1' (13)

где Т — невырожденная матрица, а Ек — единичная матрица порядка к. Временно будем считать, что и0 имеет блочный вид:

“»={їк о ) . (14)

На самом деле, при этом мы теряем произвол в 2к(п — к) произвольных констант — см. ниже (22). Но эти произвольные постоянные могут быть выбраны так, что и0 имеет вид (13) и тогда для того, чтобы уравнение (3) обладало свойством Пенлеве, необходимо, чтобы ряд (6) имел ещё 2п2 — 2к(п — к) — 1 произвольных постоянных.

Для дальнейших рассмотрений, удобно представлять все матрицы в том же блочном виде. Тогда любая матрица X разбивается на аналогичные по размеру блоки:

/ ч 1

/ /V»0 ґу»ь

-гг- /

У хг хт

где хв, Xі, хг и хт — блоки рамера к х к, к х (п — к), (п — к) х к и (п — к) х (п — к) соответсвенно. В этой записи оператор Ь действует по формуле

2хв х1

І (і — 5Ы ° ^ — 2)— — 3)и™ • , • • • 'Щ-1^ І > ° (15)

В результате, соотношения (9)—(12) примут вид:

(3 + 1)(3 — 6)и° І(І — Ъ)и)

4 (3 — 2)(3 — 3)- 3

Здесь

Р\(и0) = 0, ^2(и0,щ) = 6(и\ + 1°а0и0), Р3(и0,щ,щ) = ¿»((щщ + щщ) + 1°а0Щ + 1°а\и0).

Из (15) сразу видно, что при значениях і равных 2, 3, 5 и 6 в соответствующих блоках левой части этого уравенения появляются нули, и, следовательно, соответствующий блок матрицы будет произвольным. В правой части также должны получиться нули в этих же блоках. Это налагает ограничения на матричные коэффициенты исходного уравнения (3). При других значениях і матрицы определяются однозначно по правой части.

Условие (9) дает равенство нулю всех элементов щ, поскольку 1 не принадлежит спектру оператора Ь(Х).

Для матриц и2, и3 получаем одинаковую блочную структуру

и2, = —Ъа0,иг2 = —1°а0,и12 = °,и™ = р, (16)

и3 = —5а\,иг3 = — 1°а[ ,и13 = °,и£ = р, (17)

где р и р — произвольные блоки. Таким образом, и2,и3 содержат в левом нижнем блоке произвольные матрицы р и р соответственно.

Уравнение (15) для и4 разрешимо однозначно, т.к. при і = 4 все коэффициенты в левой части (15) отличны от нуля, а само уравнение принимает вид:

/ —Ю^-5 —4и1 \

( 4и14 2и™ ) = 6(иіиз + и“2 + щщ) + 6°(аои2 + о\и\ + 02щ) + 6°$о,

Учитывая, что щ = °, получаем:

—6а32 + 15(а0)2 + 6°а10аг0 —

I — 1 ^

и\ = — 15а10р — 15 Р0

її = —15а?; + 15°а0^а0 + 15ра0 — 15$0 и™ = 3°а£р + 3р2 + 3°Р0?,

где р = и™. Переходя к следующему соотношению для матрицы и5 в уравнении (15) с учётом того, что и\ = 0, имеем соотношение

° 5 6ит ^ — 6(+и2и3 + щщ) + 6°(а0Щ + 0\Ч2 + 0:340) + 6°^\. (18)

В результате получаем, что блоки иг5 и и15 произвольны. Согласование левой и правой частей (18) в этих блоках приводит к следующим ограничениям на матричные коэффициенты уравнения (3):

а\р + а10р + = °,

—аг3 + 1()а?а0 + 1()а™а[ + ро0 + ра\ — [3 [ = °.

Так как блоки р и р произвольны, то из этих ограничений следует, что

а0 = а[ = р[ = °, 00 = о\ = °, аг3 = —¡31. (19)

Блоки и5, и™ нам в дальнейшем не понадобятся, поэтому их не вычисляем. Последний произвольный блок возникает, как видно из (15), в матрице и6, а именно блок и^. В этом случае (15), с учетом того, что щ = °, можно записать в виде

( ° 6и1 \

( 6иг 6и6 } = 6(^^ + и,2иї + 4442) + 6°(о0иї + ОіЩ + 02^2 + 04и0~) + 6°^2. (20)

Принимая во внимание равенства (19), согласование левой и правой частей этого соотношения в блоке в приводит к следующему ограничению на матричные коэффициенты уравнения (3):

— 2о34 + 4о32 «0 + 5К )2 + 6о30о32 + 6а80Ро — 6@30а30 — 2[3* = °. (21)

Из (15) видно, что при j > ° остальные матрицы Uj решения (6) рекуррентно определяются через предыдущие.

Теперь покажем, что размер к блока в равен единице. Для этого заметим, что общее количество произвольных постоянных в формальном решении (6) (при произвольном числе к и и0 вида (14)) равно 2(п — к)2 + 2к(п — к) + к2, т.к. оно имеет произвольные блоки

и.

4

и™, и™, и15, иг5, и и'6. При этом, как уже говорилось (см. (13)), матрица и0 в общем случае имеет вид

гр ( Ек 0 \ гр-1

Щ=^0 0)т ,

где Т-произвольная невырожденная матрица, т.е. Т Е СЬ(п). Поскольку матрица

Ек 0

Р _ ,

Р 0 0

инвариантна относительно сопряжения блочно-диагональными матрицами

Sk 0

Я =

S ' 0 Sn-k

образующими замкнутую подгруппу Н размерности к2 + (п — к)2 в группе GL(n), то эта подгруппа будет стабилизатором матрицы Р [6, § 2.5]. Следовательно, и0 принадлежит орбите матрицы Р относительно сопряжения её элементами из GL(n), которая диффео-морфна множеству левых смежных классов GL(n)/Н. Следовательно, (см., например, [6, Theorem 2.1]), получаем, что и0 зависит от

п2 — (к2 + (п — к)2) = 2к(п — к) (22)

произвольных констант. Добавляя их, получим, что наше решение имеет

2(п — к)2 + 4 к(п — к) + к2 = 2п2 — к2

произвольных констант. Поскольку в решение в виде ряда Лорана должно входить также z0, т.е. ряд имет вид (5), получаем что к = 1. Таким образом, доказали, что блок s должен быть размера 1 х 1. Заметим, что тогда все блоки s коммутируют, следовательно, (21) упростится и примет вид

32 = —а4 + Ъа0)а!2 + 2(аі)2. (23)

Рассмотрим теперь решение в виде ряда Лорана по степеням z — z0. Для этого перераз-ложим матричные полиномы в правой части по степеням z — z0:

1 1 1

A(z) = 'S^j&kZk = A(Zo) + A'(Zo)(z — Zo) + 2^"(Z0^(z — Z0)2 + ' ' ' + ЦА^(Z0)(z — Zo')l

k=0

и аналогично для В (z) = ^2lk=03kZk. Тогда (3) запишется в виде

і

и" = 6и2 + 60 (аки + bk)(z — z0)k, (24)

к=0

где ак = jr\ A(k\z0), bk = jr\В(k')(z0). Применяя вышеописанный анализ, получим для новых матриц ак, Ьк те же ограничения, что и раньше. В частности,

а10 = Ъ\ = 0, а0 = 0 а3 = —Ъ\ = 0,

но поскольку

і і

ао = A(zo) = ^ ак(z — zo)k, h = B(zo)' = 3k(z — zo)k),

k=0 k=0

то, в силу произвольности z0, получаем, что все матрицы а0,... ,аі, Зі,... , Зі должны иметь нулевые элементы в блоках, помеченных индексами I и г, т.е. (напомним, что блок

s размера 1) первая строка и первый столбец состоят из нулей , за исключением их общего

элемента. Структура коэффициентов ряда также сохраняется. Матрица 30 по-прежнему произвольна. Таким образом, на данный момент мы получили, что все перечисленные

выше матричные коэффициенты, кроме Ро, имеют блочно-диагональный вид и удовлетворяют соотношению

Ь*2 = —а4 + 5^оа2 + 2(<11)2' (25)

Таким образом, эти условия являются необходимыми и достаточными для существования решения в виде формального ряда Лорана (5), с и0 = Р. Это решение имеет 2п2 — 2(п — 1) произвольных констант, так как размер к блока в равен единице. Недостающие для свойства Пенлеве 2(п—1) произвольных констант зарабатываются рассмотрением решений в виде (5) с произвольной матрицей и0, удовлетворяющей уравнению и0 = и0 и ранга 1, поскольку блок в рамера 1.

Действительно, как следует из (22) при к = 1, множество таких матриц зависит от 2(п—1) произвольных параметров. Если теперь вместо решения и, начинавшегося с и0 = Р, рассмотрим решение и, у которого й0 произвольная матрица, удовлетворяющая равенству и2 = й0, то существует невырожденная матрица Т, сопряжением которой матрица и0 приводится к виду Р, но тогда, тем же преобразованием уравнение

й" = 6и2 + 60 (аки + )%к

к=0

перейдёт в уравение

и" = 6и2 + 60 ^ (ТакТ-1и + Т[ЗкТ-1)гк, к=о

в котором решение и начинается с и0 = Р. Тогда мы можем повторить все рассуждения, проведённые ранее, а значит, нулевые блоки остаются на тех же местах. Следовательно, матрицы ТакТ-1, при к > 0 и Т^кТ-1, при к > 1 необходимо должны быть блочно — диагональными, а поскольку Т произвольна, это возможно, только когда перечисленные матрицы скалярны, т.е. они отличаются от единичной матрицы лишь скалярным множителем.

Поскольку, как только что установили, ак = 1 А(к\%0), Ьк = 1В(к')(х0) являются скалярными матрицами, кроме Ь0, то (25) примет вид

1 в" = —— А(4) + - АА" + -(X )2. (26)

2 24 2 2{ ’ ' !

Теперь легко увидеть, что интегрируемое в смысле Пенлеве уравнение (3) после замены

и —— и — 5^ ^ ак % )Е к=о

приводится к виду

и" = 6и2 + р0 + р1гЕ,

где р0 — произвольная матрица, а р1 — произвольная константа. Заметим, что аналогичные рассуждения проходят и в случае, когда вместо матричных многочленов А(х) и В(г) рассматриваются матричные аналитические во всей плоскости функции а(г) и Р(г), т.е. уравнение (4).

3. Заключение

Нами были исследованы на интегрируемость обобщения матричных аналогов первого уравнения Пенлеве и установлены соответствующие необходимые и достаточные условия интегрируемости. Доказана

Теорема 1. Уравнение

и" = 6и2 + 60(a(z)u + ft(z), где a(z) и ft(z) — матричные аналитические во всей плоскости функции обладает решением в виде формального ряда Лорана

и = uo(z — zo)-2 + u\(z — zo)-1 + U2 + ...

зависящем от 2n2 произвольных констант•,, тогда и только тогда, когда a(z) и ft(z)-ft(0)

— скалярные матрицы, связанные соотношением

ft”(z)=- -1 a[A)(z)+5(a(z)2),,,

а ft(0) — произвольная матрица. Заменой

и ^ и — ba(z)E

это уравнение приводится к виду

и" = 6и2 + ft0 + ft1zE, где ft0 — произвольная матрица, а ft1 — произвольная константа.

Результаты полностью согласуются с ранее проведенными в [2] и [4] исследованиями частных случаев рассмотренных нами уравнений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Myers J. M. Derivation of a matrix Painleve equation germane to wave scattering by a broken corner. // Physica D. 1984. V. 11. P. 51-89.

2. Balandin S. P.,and Sokolov V. V., On the Painleve test for non- Abelian equations // Phys. Lett. A . 1998. V. 246. № 3-4. P. 267-272.

3. Inozemtzeva N. G., Sadovnikov B. I On exact solutions for some matrix equations // Regular and chaotic dynamics. 1998. Т. 3. № 1. С. 78-85.

4. Баландин С. П., Нечаева М. С. Об интегрируемости по Пенлеве неабелевых уравнений // Актуальные проблемы математики.Математические модели современного естествознания: Межвузовский научный сборник. 2004. С. 54-58.

5. Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. Москва. Наука. Физматлит. 1996. 304 с.

6. Kirillov A. An introduction to Lie groups and Lie algebras. Cambridges University Press. 2008. 230 p.

Сергей Павлович Баландин,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. К. Маркса, 12,

450000, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Игорь Юрьевич Черданцев,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]