CC BY
26
Квантовая и статистическая физика
УДК 537.611.44
Об одной нелинейной модели упругих негейзенберговских ферромагнетиков с биквадратичным спиновым обменом
Ю. П. Рыбаков*, Н. С. Серикбаев1, К. Мырзакул^ Ф. К. Рахимов t, Р. Мырзакулов*
* Кафедра теоретической физики, Российский университет дружбы народов, Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 * Физико-технический институт HAH PK, Казахстан, 480082, Алма-Ата * Лаборатория теоретической физики им. H.H. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Россия, 141980, Дубна, Московская обл.
E-mail: [email protected], [email protected]
Теоретические исследования нелинейных процессов в магнетиках опираются на ряд интегрируемых нелинейных моделей: нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), уравнение синус-Гордона, уравнение Ландау-Лифшица (УЛЛ) и др. УЛЛ и его различные редукции, включая НУШ и уравнение синус-Гордона, при различных физических допущениях, описывают магнетики, не принимая во внимание флуктуации магнитной кристаллической решетки («жесткие» магнетики). Иными словами, рассматривается чисто спиновая подсистема, не принимая во внимание ее взаимодействие с фононной подсистемой. Однако при некоторых физических условиях влияние фононной подсистемы может оказаться сравнимым с влиянием спиновой подсистемы. Поэтому оказывается необходимым учесть взаимодействие спиновой и фононной подсистем. В результате мы получаем так называемые маг-нитоупругие или спин-фононные системы, описываемые обобщенными УЛЛ с некоторыми потенциалами и самосогласованными потенциалами (УЛЛ-СП), Мы даем вывод и представляем список УЛЛ с потенциалами и самосогласованными потенциалами, которые описывают упругие магнетики. Изучается дифференциальная геометрия двумерных поверхностей, связанных с этими уравнениями. Соответствующие уравнения Гаусса—Майнарди—Кодацци по существу и составляют обобщенное НУШ с некоторым потенциалом. Эти НУШ эквивалентны в смысле Лакшманана (¿-эквивалентны) данному обобщенному УЛЛ. Используя L-эквивалентность, доказывается интегрируемость одного из этих уравнений УЛЛ-СП. Представлен новый класс двумерных поверхностей, задаваемых формулами, являющимися обобщениями хорошо известных формул Лельевра и Шиффа. Эти поверхности связаны с двумерными спиновыми системами, которые являются стационарными вариантами (2+ 1)-мерных УЛЛ.
1. Введение
Магнетики представляют собой удобную лабораторию по экспериментальному и теоретическому исследованию нелинейных явлений солитонного типа. В настоящее время существуют многочисленные экспериментальные результаты, свидетельствующие о солитонных возбуждениях различного типа в магнетиках [1,2]. При анализе локализованных возбуждений в магнетиках используются сложные
Работа выполнена при поддержке гранта НП «Университеты России» (№ 01.01.035).
негейзенберговские модели неинтегрируемого типа [3-7]. С другой стороны, теоретические исследования нелинейных процессов в магнетиках опираются на ряд интегрируемых нелинейных уравнений — нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), уравнение sine-Гордона, уравнение Ландау-Лифщица (УЛЛ) и т.д. [8-13]. УЛЛ имеет вид [14]
Sf = SASra + SAJS. (1)
В то же время характерный представитель обобщенных УЛЛ с самосогласованными потенциалами (УЛЛ-СП), которые рассматриваются в данной работе, может быть записан так:
St = S A SIX 4- S A JS + uSx , (2а)
putt = г%ихх + а(и2)хх + (Зихххх + A(S^)XX , (26)
которое является так называемым уравнением M-XXXV [11,12].
В (1) и (2) S = (Si, £¡2, S3) является спиновым вектором (вектором намагниченности), причем S2 = 1, А —обычное векторное произведение, J = diag(Ji, J2, J3) и Jk являются константами анизотропии, и —скалярная действительная функция (потенциал), р, а, (3, vq, А — действительные константы.
УЛЛ (1) имеет наиболее универсальный характер в том смысле, что НУШ и уравнение sine-Гордона получаются из него как предельные случаи, при определенных физических приближениях [10], [14].
Систему типа (2) мы называем УЛЛ-СП. Потенциал удовлетворяет дополнительному уравнению, в нашем случае уравнению (26). Если речь идет об отдельных уравнениях типа (2а), мы называем их УЛЛ с потенциалом, т.е. в этом случае потенциал — это некоторая заданная вещественная скалярная функция и для нее нет дополнительных уравнений типа (26).
УЛЛ (1) и его различные модификации, в том числе НУШ и уравнение sine-Гордона, при различных физических допущениях описывают магнетики без учета колебания магнитной кристаллической решетки («жесткие» магнетики), т.е. рассматривается чисто спиновая подсистема без учета её взаимодействия с фонон-ной подсистемой. Вместе с тем, при определенных физических условиях вклад фононной подсистемы в динамику и термодинамику магнетика может оказаться сравнимым с вкладом спиновой подсистемы. В этом случае необходимо учитывать взаимодействия между спиновыми и упругими подсистемами [15]. В результате мы получаем так называемые магнитоупругие, или, по другой терминологии, спин-фононные системы, которые являются некоторыми обобщенными УЛЛ с потенциалами и с самосогласованными потенциалами. В порядке сравнения с чисто спиновой системой (1) выше мы привели одну из таких магнитоупругих систем, УЛЛ-СП (2).
Одни из интересных подклассов нелинейных дифференциальных уравнений составляют уравнения типа Ландау-Лифшица, которые согласно принятой в литературе терминологии мы будем часто называть также спиновыми системами [8,9]. Связь спиновых систем и дифференциально-геометрических (ДГ) поверхностей ранее исследовалась многими авторами в (1 + 1)-размерности (см., например, [21,22]). В работах [19-22] была изучена взаимосвязь геометрии поверхностей и кривых и многомерных интегрируемых спиновых систем (см. также книги [8,9]).
Данная работа посвящена исследованию геометрии и интегрируемости различных обобщенных УЛЛ, в основном с потенциалами и самосогласованными потенциалами типа (2). При этом мы ограничиваемся рассмотрением случая (1-И)-размерности.
2. Вывод уравнения Ландау-Лифшица для упругих
ферромагнетиков
В этом разделе мы дадим вывод непрерывных нелинейных уравнений ферромагнетиков исходя из соответствующего классического аналога квантовой модели Гейзенберга ферромагнитных спиновых цепочек.
Рассмотрим классический аналог квантовой модели Гейзенберга ферромагнитной спиновой цепочки с учетом колебаний решетки
N
Й = ' + «С85« ■ 8«+1)2] + , (3)
га=1
где Зп — 7„(|дп+1 а в качестве гамильтониана фононной подсистемы возьмем потенциал цепочки Тоды
N 2
г
, 12 то
п= 1
Здесь <7„, рп, т являются координатой, импульсом и массой п-го узла соответственно.
Уравнение движения, соответствующее спиновому гамильтониану (3), есть
3 ^
/3,7=1 дЬп
Яги = {Яп, Н} = (56)
('Рп
Рт = {Рп,Н} = , (5в)
ОЧп
или
— 8Т1 Л («/„^^„^х + 7„8п+1) +
+ к8„ Л [(8„_1 • 8„)8„_1 + (8„ • 8п+1)8п+1],
(6а)
(7а)
Чт = — , (66)
т,
Рпг = е-^-'-О - е^-ь'"«») + + (6
дцп д(1„
Таким образом, мы окончательно имеем
= 8П Л (<7„_18п_1 + ЗпЗп+1
+ к8„ Л [(8П_1 • 8„)8„_1 + • 8п+1)8„+1],
™ -(д„-о„_1) Лчг,+1-ч„) , д(3„-18п-18„)
тЯпи — е ~ е Н--«--1--^-• (76)
Щп ОЯп
Найдем непрерывный предел системы (7) для следующего выбора выражения для обменного интеграла ,/„ = 3' — 3"ях, где 3', 3" — некоторые константы. После некоторых простых вычислений и масштабных преобразований получим
З^К^ + д-гОвЛвЛл:, (8а)
рии = 1%ихх + а(и2)хх + /3ихххх + , (86)
где /х, и, уо. о» А, р являются вещественными постоянными, и = Система (8) является связанной системой уравнений Ландау-Лифшица и Буссинеска, которая описывает упругие ферромагнетики с учетом колебаний кристаллической решетки в ангармоническом приближении. Если учитывать колебания кристаллической решетки в гармоническом приближении, то а = в = 0 и вместо (8) получим систему
= {(г^ + д-и^лЗЛ
(9а)
putt = U0UXX + A(Sx)xa; . (96)
Отметим, что системы (8) и (9) являются частными случаями изотропных уравнений M-XLIII и M-XLIV соответственно. Если учитывать анизотропию магнитного кристалла, то, например, вместо уравнений (8) получаем следующую систему уравнений
St - {(vSl + р- и)S Л Sx}x + S Л JS , (10a)
put.t = "о «и + a(u2)xx + /Зихххх + A(S^)XX . (106)
В гармоническом пределе спиновая система (10) принимает форму
St = {(«/S^ + р - U)S Л Sx}x + S Л JS , (lia)
putt = VqUxx + A(S^.)XX . (116)
3. Теория двумерных поверхностей
Приведем необходимые факты из классической ДГ двумерных поверхностей и переформулируем их в удобном для нас виде.
Рассмотрим двумерную гладкую поверхность в трехмерном евклидовом пространстве R3 с локальными координатами х и t. Пусть r(x, i) есть радиус-вектор поверхности. Первая и вторая квадратичные формы поверхности задаются формулами
I = dr2 — Edx2 + 2Fdxdt + Gdt2 , (12a)
II = d2r • n = Ldx2 + 2Mdxdt + Ndt2 . (126)
Здесь по определению
E = gn=rl, F = .912 = 321 = r* • rt, G = g22 = rt , (13a)
L = rxx n, M = rtx ■ n, N = rtt-n, (136)
rx Art |rx A rt|
(14)
есть единичный вектор нормали к поверхности. Уравнения Гаусса-Вейнгартена (УГВ) имеет вид
тхх = Т[пгх + Г2пг1 + Ьп, (15а)
гху = Г}2гх + Г?2г( + Мп, (156)
туу = Г^2гх + Г^2Г( + ЛГп, (15в)
Пх = Р}тх + Р2г1, (15г)
п, - Я]гт + Р|г(. (15д)
где коэффициенты связи Г^, Ь, М, N и Р/ задаются в терминах коэффициентов фундаментальных форм. Введем подвижный ортогональный базис на поверхности (базис Картана)
гт
©1 = , е2 = п, е3 = е!Ле2. (16)
Отсюда получим
где д ~ ЕС - В ортогональном базисе (16) система УГВ (15) принимает
вид
(17а)
(176)
где
/0 к -а) 1 ° Шз
А = -к 0 т В - (х>з 0 си1
и —т 0 V ^2 0 /
(18)
Здесь
Ь
Те'
1 )
и>!
2 !
<¿2
12 1
Г2
м
7Ё'
(¿3
(19а) (196)
Заметим, что при а — 0 первое уравнение УГВ (17) совпадает с уравнением Серре-Френе для пространственных кривых. В этом случае система (17) описывает движущиеся, или деформированные кривые. Условия совместности уравнений (17) есть уравнения Гаусса-Майнарди-Кодацци (УГМК)
или в терминах элементов
Вх + [А,В} = 0,
Ь - ^Зх + тш2 - аи)1 , о~г. — Ы2х + ки 1 - тыз , П = + аи;з - ки>2 ■
(20)
(21а) (216) (21 в)
В следующем разделе мы рассмотрим интегрируемые и неинтегрируемые редукции УГВ (17) и УГМК (21) на основе единого спинового подхода к НДУЧП (см., например, [19-22]). Ключевым элементом этого подхода является следующее отождествление
в = в! . (22) Теперь найдем эквивалент Лакшманана (Ь-эквивалент спиновой системы).
4. ¿-эквивалент спиновой системы
Используя УГВ (17) и УГМК (21), мы покажем, как найти ¿-эквивалент (номерной спиновой системы (9). Следует заметить, что данный подход позволяет одновременно с нахождением ¿-эквивалента также идентифицировать соответствующую поверхность. Иными словами, например, если ¿-эквивалент интегрируем, то интегрируемы соответствующие спиновая система и поверхность, и наоборот.
Определение 1. Поверхность называется интегрируемой, если интегрируема соответствующая ей система УГМК (21).
Итак рассмотрим уравнение M-XLIV, которое описывает нелинейное взаимодействие спиновой (S) и решеточной (и) подсистем. Для нахождения L-эквивалента (9), как в предыдущих случаях, мы используем отождествление (22). Это дает нам выражения для нужных нам коэффициентов УГВ (17). Из уравнения (196) с учетом (22) получаем
to2 = —кх — ат + ист, (23а)
— <*х — кт + ик . (236)
Снова считая т = и + fx, где f(x, t, А) — вещественная функция и А —спектральный параметр, находим
Wl=/t-8?±i( к2 + а2). (24)
Далее положим / = const. Соответствующая система УГМК (21) в терминах функции
ip = ia — к, г; — -и (после простых масштабных преобразований) примет вид
2 2
iy>t + 4>хх - 277 М f + ivx<p + v <Р - 0, (25а)
vt- 277(M2)I = 0. (256)
5. APPENDIX В. A list of some spin-phonon (magnetoelastic) models
Now we would like to present the list of some spin-phonon systems. Some of these systems are integrable, for example, the systems XXIV, XXVI and XXVIII.
Name of equation Equation of motion
The M-LVII equation 2iSt = [S,Sxx]+u[S,<r3]
The M-LVI equation 2 iSt = [S, STX] + «S3 [5, с 3]
The M-LV equation 2iSt = {(fJ&l-u + m)\S,Sx]}x
The M-LIV equation 2iSt = n\S, Sxxxx1 + 2{(pS2 - u + m)[S, Sx]}x
The M-LIII equation 2iSt = [S, Sxxl + 2iuSx
Here vo, p, A, n, m, a, b, a, (3, p, h are constants, u, v — scalar functions (potentials), [,]({,}) —commutator (anticommutator), S = S • a, S2 — /, S^ — Six + +
Name of equation Equation of motion
The M-XLVIII equation 2 iSt = [S,Sxx}+uS3[S,a3\ putt = VqUxx + A(S|)XX
The M-XLVII equation 2iSt = [S,Sxx] + uS3[S,<j3] putt = VqUxx + a (u2)xx + (3uxxxx + A(Sf)xx
The M-XLVI equation 2iSt = \S,Sxx\+uSz\S,oz] щ + ux + \{S$)X = 0
The M-XLV equation 2iSt = [S, Sxx] + uS3¡S, аз] щ + ux + a(u2)x + ¡3uxxx + A(S|)X = 0
Name of equation Equation of motion
The M-XLIV equation 2iSt = {(iiS2x-u + m)[S,Sx]}x putt = vluxx +
The M-XLIII equation 2iSt = {(p,S2x-u + m){S,Sx}}x putt = i/fiuxx + a(u2)xx + (iuxxxx + \{Sl)xx
The M-XLII equation 2iSt^{(pS2x-u + m)[S,Sx]}x Ut + ux + A(S l)x = 0
The M-XLI equation 2iSt = {(tiSl-u + m)[S,Sx]}x ut + ux + a(u2)x + f3uxxx + A(S2)X = 0
Name of equation Equation of motion
The M-LXIX equation St = j&i-VSl - u2Sx + uS A Sx) + SAJS ux — v\/S2 — u2 щ = -S ■ (St A Sx)
The M-LXX equation St == S Л Sxx + H A S Hi = HA SXx
Name of equation Equation of motion
The M-V equation tSt = i[S, Sxx] + f [S2, (52)и], S3 = Se osp(2|1)
Name of equation Equation of motion
The M-LXXVII equation St = nS A Sxxxx + 2{{ц\ф\2 + m)S A Sx}x гфг + Фхх + AS2хф = 0
The M-LXXVIII equation St = nS A Sxxxx + 2{{»\ф\2 + m)S A Sx}x гфг + Фхх + М82хф)х = 0
The M-LXXIX equation St = nS A Sxxxx + 2{(р\ф\2 + m)S A Sx}x гфг + Фхх + AS 2хфх = 0
Name of equation Equation of motion
The M-UI equation 2 tSt^[S,Sxx]+u[S,<y3} puu = "ouxx + A (S3)xx
The M-LI equation 2tSt = [S,Sxx}+u[S,a3} Putt =■ VqUxx + a(u2)xx + (iuxxxx + A (S3)xx
The M-L equation 2iSt = [S,Sxx] + u[S,(T3\ Ut + Ux + A(53)x = 0
The M-XLIX equation 2iSt = [S,Sxx]+u[S,<r3] Ut + ux + a(u2)x + j3uxxx + А(5з)х = 0
№те о! еяиа!к>п Еяиа1к>п оГ motion
ТЬе М-ХЬ ециа^оп = [5,+ 2{(^2Х -и + т)[5,5Х]}Х риа - Ь%ихх + А(82)хх
ТЬе М-ХХХ1Х еч^юп 2= [5,5ахкг] + - и + т)[5, Бх}}х рии = ^ихх + а(и2)хх + ¡Зихххх + А(82)хх
ТЬе М-ХХХУШ equation 2гБг - + 2{(^ - и + т)[5, 5Х]}Х щ + ис + \iSDx = 0
ТЬе М-ХХХУН еяиа^оп 2г& = + 2{(р81 -и + т)[5,5*]}* щ + их + а(и2)х + ¡3 иххх + А(82)х = 0
№те о[ ециа^оп ЕяиаШп оГ тоШп
ТЬе М-ХХХУ1 еяиаКоп 2»54 = [5, Бхх\ + 2 ш5х рии = и$ихх + А(82)хх
ТЬе М-ХХХУ еяиаНоп 2г3г={3,3хх} + 2т3х рии = г/о ихх + а(и2)хх + (Зихххх + А^)^
ТЬе М-ХХХ1У еяиаНоп 2iSt - [5,5Х1] + 2ш5х щ + их + А(8Х)Х = 0
ТЬе М-ХХХШ еяиа^оп 2= [5,5"хх] + 2 гивх щ + их + а(и2)х + /Зиххх + Ц32х)х = 0
Name о! еяиа1юп Еяиа^оп о{ тоШп
ТЬе М-ЬХХ1 еяиа^оп - Э Л 8ХХ + а 0|28х + Э Л 78 гфг + Фхх + А Б2хф = 0
ТЬе М-ЬХХН еяиаКоп = 8 Л 8ХХ + а#|28х + в Л ./в гфг + Фхх + А(Э 2хф)х = 0
ТЬе М-ЕХХШ еяиаиоп Э, = Б А 8ХХ + а\ф\2Бх + Б Л 78 1 Фг + Фхх + \&хФх = 0
Name ^ еяиаиоп ЕяиаНоп о! тоМоп
ТЬе М-ЦШУ еяиа1юп = {(р-\Ф\2 + пг)8 Л 8Х}Х + Э Л ./в гфг + Фхх + А820 = 0
ТЬе М-ЬХХУ еяиаШп = {(р\ф\2 + т)в Л вхЬ + в Л гфг + Фхх + А(8 2хф)х = 0
ТЬе М-ЬХХУ! ея^юп - {{р\ф\2 + т)в Л в*}* + в Л гФг + фхх + А &хфх = 0
Литература
1. Беннер X., Калиникос Б.А., Ковшинков Н.Г., Костылев М.П. // Письма в ЖЭТФ. - 2000. - Т. 72. - С. 306.
2. Изюмов Ю.А. // УФН. - 1988. - Т. 155. - С. 553.
3. Rybakov Yu. P. // Bulletin of the Peoples' Friendship University of Russia (PFUR). Mathematics. - 1995. - No 2(2). - P. 35-41.
4. Рыбаков Ю.П. // Итоги науки и техники. Классическая теореия поля и теория гравитации. Т. 2. - М.: ВИНИТИ, 1991. - С. 56-111.
5. Rybakov Yu. P., Schvatchka А.В. // JINR preprint Д17-84-407. - Dubna: JINR, 1984. - P. 108.
6. Rybakov Yu. P., Jimenez R. Ochoa // Bulletin PFU. Physics. - 1997. - No 5(1).
- P. 51-53; 1998. - No 6(1). - P. 57-59; 1998. - No 7(1). - P. 16-18.
7. Rybakov Yu. P., Jimenez R. Ochoa // Applied Nonlinear Dynamics. — 2001. — Vol. 9, No 4/5. - P. 155-161.
8. Mikhailov A. V. Integrable Magnetic Models. In: Solitons. Eds. S.E.Trullinger, V.E.Zakharov, V.L.Pokrovsky. Elsevier, 1986.
9. Гутшабаш E. Ш. // Письма в ЖЭТФ. - 2003. - Т. 78, Вып. 11. - С. 1257-1262.
10. Makhankov V. G., Myrzakulov R., Makhankov А. V. // Phys.Scripta. — 1987. — Vol. 35. - P. 233.
11. Myrzakulov R., Daniel M„ Amuda R. // Physica A. - 1997. - Vol. 234. — P. 715.
12. Sklyanin E. K. On complete integrability of the Landau-Lifshitz equation. Preprint LOMI E-3-79. - Leningrad, 1979.
13. Myrzakulov R., Vijayalakshmi S., Nugmanova G. N., Lakshmanan M. // Phys. Lett. A. - 1997. - Vol. 233. - P. 391.
14. Myrzakulov R., Vijayalakshmi S., Syzdykova R. N., Lakshmanan M. // J. Math. Phys. - 1998. - Vol. 39. - P. 2122.
15. Lakshmanan M., Vijayalakshmi S., Danlybaeva A. K., Myrzakulov R. // J. Math. Phys. - 1998. - Vol. 39. - P. 3765.
16. Myrzakulov R., Nugmanova G. N., Syzdykova R. N. // J. Phys. A: Math. Gen.
- 1998. - Vol. 31. - P. 9535.
17. Martina L., Myrzakul Kur., Myrzakulov R., Soliani G. // J. Math. Phys. — 2001.
- Vol. 42. - P. 1397.
18. Martina L., Kozhamkulov T. A., Myrzakul Kur., Myrzakulov R. Integrable Heisenberg ferromagnets and soliton geometry of curves and surfaces. In: Nonlinear Physics: Theory and Experiment. II. Eds. M.J.Ablowitz, M.Boiti, F.Pempinelli, B.Prinari. — Singapore: World Scientific, 2003.
19. Lakshmanan M. Geometrical interpretation of (2+l)-dimensional integrable nonlinear evolution equations and localized solutions. Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach. Report/40/97.ps, - P. 9.
20. Gutshabash E. Sh. Some note on Ishimori's magnet model. In: Problems of Quantum Field Theory and Statistical Physics. Part 17. "Zapiski Nauchnykh Seminarov POM1". - 2002. - Vol. 291. - P. 155. E-preprint: nlin.SI/0302002.
- 2003.
21. Estevez P. G., Hernaez G. A. Lax pair, Darboux Transformations and solitonic solutions for a (2+l)-dimensional nonlinear Schrodinger equation. E-preprint: solv-int/9910005.
22. Chou K. S., Qu C. Z. // J. Phys. Soc. Jpn. - 2002. - Vol. 71. - P. 1039.
23. Гутшабаш E. Ш. Обобщенное преобразование Дарбу в модели магнетика Ишимори на фоне спиральных структур // Письма в ЖЭТФ. — 2003. — Т. 78.
- С. 1257. In: Problems of Quantum Field Theory and Statistical Physics. Part 17. "Zapiski Nauchnykh Seminarov POMI". - 2002. - Vol. 291. - P. 155. E-preprint: nlin.SI/0302002. - 2003.
24. Kozhamkulov T. A., Serikbaev N. S., Koshkinbaev A. D., Myrzakul Kur., Caiymbetova S. K., Rahimov F. K., Myrzakulov R. On some nonlinear models of magnets. Preprint JINR PI7-2003-171, - Dubna, Russia, 2003.
UDC 537.611.44
On the Nonlinear Models of Elastic Nonheisenberg Ferromagnets with Biquadratic Spin Exchange
Yu. P.Rybakov % N. S.Serikbaev^, Kur. Myrzakul1, F. K. Rahimovt, R.
Myrzakulov *
* Department of Theoretical Physics, Peoples' Friendship University of Russia, 117198, Moscow, Russia, 6, Miklukho-Maklaya str. * Physical and Technical Institue MAS RK, Kazakhstan, 480082, Alma-Ata * Laboratory of Theoretical Physics named after N.N. Bogolubov, Joint Institute for Nuclear Research, 141980, Dubna, Russia E-mail: [email protected], [email protected]
Theoretical investigations of nonlinear processes in magnets lean on a lot of integrable nonlinear models: the nonlinear Schrodinger equation (NLSE), the sine-Gordon equation, the Landau-Lifshitz equation (LLE) etc. LLE and its various reductions, including NLSE and the sine-Gordon equation at various physical assumptions, describe magnets without taking into account fluctuation of a magnetic crystal lattice ("rigid" magnets). In other words the purely spin subsystem is considered without taking into account its interaction with the phonon subsystem. However under certain physical conditions the influence of the phonon subsystem can appear to be comparable with that of the spin subsystem. Therefore it is necessary to take into account the interaction between spin and phonon subsystems. As a result we obtain the so called magnetoe-tastic or spin-phonon systems, which are described by the generalized Landau-Lifshitz equations (LLE) with potentials and with a self-consistent potentials (LLE-SP). We consider the derivation and present a list of the generalized LLE with potentials and with self-consistent potentials which describe elastic magnets. The differential geometry of two-dimensional surfaces related with these equations is investigated. The corresponding Gauss-Mainardi-Codazzi equations are in fact a generalized NLSE with a potential. These NLSE are Lakshmanan equivalent (L-equivalent) to the given generalized LLE. Using this Lakshmanan equivalence, the integrability of one of these LLE-SP is proved. A new class of two-dimensional surfaces generated by formulas which are generalizations of the well known Lelieuvre and Schief formulas is presented. These surfaces are connected with two-dimensional spin systems which are stationary versions of the (2+l)-dimensional LLE.
