CC BY
20
УДК 519.688
АС. МАЗМАНИШВИЛИ
Национальный Научный Центр "ХФТИ" НАНУ
Д.В. ЛАПТЕВ
Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАНУ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ДИССИПАТИВНЫХ КВАЗИБРИЗЕРОВ В ОБОБЩЁННОЙ МОДЕЛИ ОДНОМЕРНОЙ РЕШЁТКИ ХИРОТЫ
Сильно возбужденные состояния в низкоразмерных кристаллах могут быть описаны в рамках теории солитонов, которым сопоставляются точные решения уравнений в частных производных. В то же время число интегрируемых нелинейных решеток крайне мало. Более 40 лет назад Р. Хиротой для самодуальных уравнений сети были найдены точные многосолитонные решения. Им также было показано, что эти нелинейные уравнения эквивалентны уравнениям колебаний одномерного кристалла, в котором сила взаимодействия между соседними атомами пропорциональна тангенсу разности их смещений. Для такой нелинейной решетки Хироты М.М. Богданом были получены точные решения для дискретных бризеров, представляющих собой связанные состояния солитон-антисолитонной пары, и рассчитаны физически важные интегралы движения - импульс, энергия и поток энергии солитонов. В данной работе численно моделируется динамика нелинейных локализованных колебаний - дискретных бризеров и квазибризеров одноатомной и двухатомной ангармонической цепочке. Основываясь на методе Рунге-Кутты 4-го порядка, разработан алгоритм решения уравнения обобщённой решётки Хироты. Показана устойчивость дискретных квазибризеров в обобщённой решётке Хироты при малых диссипациях. При этом происходят незначительные изменения со временем формы и физических характеристик, таких как амплитуда, частота и скорость огибающей квазибризера. Характерные времена таких изменений намного больше периода осцил-ляций квазибризера. При больших коэффициентах диссипации наблюдается излучение квазибризером линейных волн и резкое его затухание. Для системы двухатомной цепочки Хироты, состоящей из чередующихся лёгких и тяжёлых атомов, получен дискретный квазибризер, который представляет собой колеблющийся лёгкий атом, находящийся между двумя тяжёлыми атомами, и совершающий колебания с примерно постоянной амплитудой и частотой. Массивные атомы при этом практически неподвижны. Частота колеблющегося лёгкого атома лежит выше оптической ветви фононных колебаний двухатомной цепочки.
Ключевые слова: уравнение решётки Хироты, атомная цепочка, дискретные бризеры, квазибризеры.
О.С. МАЗМАН1ШВ1Л1
Нацюнальний Науковий Центр "ХФТ1" НАНУ
д.в. лАптев
Фiзико-технiчний шститут низьких температур iм. Б.1. Веркша НАНУ
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМ1КИ ДИСИПАТИВНИХ КВАЗ1БРИЗЕР1В В УЗАГАЛЬНЕНШ МОДЕЛ1 ОДНОВИМ1РНО1 РЕШ1ТКИ Х1РОТИ
Сильно збудженi стани в низьковимiрних кристалах можуть бути описанi в рамках теорИ солто-нiв, яким зiставляються точнi розв'язки рiвнянь в частинних похiдних. У той же час кшьюсть iнтегрова-них нелiнiйних решiток вкрай мала. Понад 40 роюв тому Р. Хiротою для самодуальних рiвнянь мережi були знайденi точнi багатосолiтоннi розв'язки. Ним також було показано, що ц нелiнiйнi рiвняння еквiвалентнi рiвнянням коливань одновимiрного кристала, в якому сила взаемоди мiж сусiднiми атомами пропорцшна тангенсу рiзницi Их зсувiв. Для тако! нелттно! решiтки Хiроти М.М. Богданом було отримано точт розв 'язки для дискретних бризерiв, що представляють собою зв'язаш стани солiтон-антисолiтонних пар, i розраховано ф1зично важливi iнтеграли руху - iмпульс, енергiя i потк енергИ солiтонiв. У дант роботi чи-сельно моделюеться динамжа нелтшних локал1зованих коливань - дискретних бризерiв i квазiбризерiв одноатомного i двоатомного ангармотйного ланцюжку атомiв. Грунтуючись на методi Рунге-Кутти 4-го порядку, розроблено алгоритм розв'язку рiвняння узагальнено! решiтки Хiроти. Показана стшюсть дискретних квазiбризерiв в узагальненш решiтцi Хiроти при мало! дисипацИ. При цьому вiдбуваються незначм зм^ ни з часом форми i фгзичних характеристик, таких як амплтуда, частота i швидюсть огинаючо! квазiбри-зера. Характернi часи таких змт набагато бiльшi перiоду осциляцт квазiбризера. При великих коефiцiен-тах дисипацИ спостер^аеться випромiнювання квазiбризером лiнiйних хвиль i р1зке його загасання. Для си-стеми двоатомного ланцюжка Хiроти, що складаеться з чергуючих легких i важких атомiв, отриманий дискретний квазiбризер, який являе собою легкий атом, що знаходиться мiж двома важкими атомами, i здтснюе коливання з приблизно постшною амплтудою i частотою. Масивнi атоми при цьому практично не рухаються. Частота коливань легкого атома лежить вище оптично! гшки фононних коливань двоатом-ного ланцюжка.
Ключовi слова: рiвняння рештки Xipomu, атомний ланцюг, дискретт бризери, Kea3i6pu3epu.
^S. MAZMANISHVILI
National Science Center "Kharkov Institute of Physics & Technology" NASU
D.V. LAPTEV
B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering NASU
MATHEMATICAL MODELING OF THE DYNAMICS OF DISSIPATIVE QUASIBRITHERS IN THE GENERALIZED MODEL OF THE ONE-DIMENSIONAL HIROTA LATTICE
Strongly excited states in low-dimensional crystals can be described within the framework of the theory of solitons, as the exact solutions of integrable partial differential equations. At the same time, the number of integrable nonlinear lattices is extremely small. More than 40 years ago, R. Hirota has found the exact multi-soliton solutions for the system of self-dual network equations. He has also showed that these nonlinear equations are equivalent to the equations of a one-dimensional crystal oscillations, in which the interaction force between neighboring atoms is proportional to the tangent of the difference of their displacements. M.M. Bogdan has obtained the exact discrete breathers solutions for the nonlinear Hirota lattice equation, which are bound states of soliton-antisoliton pairs, and physically important integrals of motion - the momentum, energy, and energy flux of solitons were calculated. The explicit expressions for moving discrete breathers made possible to describe analytically the interaction of these excitations with each other and with other excitations of the system. It is known that in exactly integrable equations solitons in motion retain their individuality and their interaction reduces in the case of kinks and antikinks to additional shifts of the centers of mass, and in the case of breathers also to phase shifts of their oscillations in time. In this paper, the dynamics of nonlinear localized oscillations - discrete breathers and quasibreathers - is modeled numerically for a monatomic and diatomic anharmonic chain of atoms. Based on the fourth-order Runge-Kutta method, an algorithm for solving the Hirota generalized lattice equation is developed. The stability of discrete quasibreathers in the generalized Hirota lattice for small dissipations is shown. During the evolution there are minor changes in form and physical characteristics over time, such as the amplitude, frequency, and speed of the envelope of the quasibreather. The characteristic times for such changes are much larger than the quasibreather period of oscillations. At large dissipation coefficients, a quasibreather emits the linear waves and its damping is abrupt. For a system of a diatomic Hirota chain consisting of alternating light and heavy atoms, a discrete quasibreather is obtained, which is an oscillating light atom located between two heavy atoms, oscillating with approximately constant amplitude and frequency. Massive atoms are practically immobile in this case. The frequency of an oscillating light atom lies above the optical branch of the phonon spectrum of a diatomic chain.
Keywords: Hirota lattice equation, atomic chain, discrete breathers, quasibreathers.
В последние годы интенсивно изучаются нелинейные локализованные колебания - дискретные бри-зеры (или внутренние локализованные моды) в различных физических системах, таких как ангармонические цепочки атомов, оптические и оптоволоконные микрорезонаторы, системы джозефсоновских контактов, оптические и электрические линии передачи и другие [1]. В работах М.М. Богдана получены аналитические решения в виде дискретного бризера (ДБ) [2] для уравнения решётки Хироты [2-4], которые описывают динамику одномерного ангармонического кристалла с тангенциальной силой взаимодействия между ближайшими соседями. В настоящей работе численно исследуется эволюция дискретных квазибризеров [5] в обобщённой модели одномерной решётки Хироты [2, 4], состоящей из чередующихся атомов с разными массами и учитывающей такой физически важный эффект, как диссипация и внешняя накачка. В отличие от дискретных бризеров, квазибризеры являются не строго периодическими во времени динамическими объектами, хотя и локализованными в пространстве [5].
Наше рассмотрение начнём с точно решаемого уравнения, описывающего одномерный ангармонический кристалл с тангенциальным взаимодействием между ближайшими соседями, - уравнение решётки Хироты. Данное уравнение в безразмерных переменных имеет следующий вид [2, 3]:
Здесь обозначено: срп = срп (V) - смещения атомов из положений равновесия. Считаем, что пространственный индекс и временная переменная изменяются в следующих диапазонах: п =1,2,..., N, V = 0,..., ^тах. Уравнение (1) описывает одномерную цепочку атомов, в которой учитывается взаимодействие только между ближайшими соседями, причём сила взаимодействия пропорциональна тангенсу от разности смещений. В данной модели кинетическая часть имеет нестандартный вид. В пределе малых смеще-
Постановка задачи
Моделирование нелинейной динамики решётки Хироты
(1)
ний и скоростей атомов модель сводится к хорошо изученным моделям Ферми-Паста-Улама и модели одномерного кристалла с линейной силой взаимодействия между ближайшими соседями. В 2003 г. М.М. Богданом [2] было впервые получено точное решение уравнения (1) в виде движущегося дискретного
бризера:
Рп ) = аг^Б
2) со$>(кп -Ш + а) цп(к/2) еЬ/(п - Vt - пс)
~ . / ■ к с = 2еп — бШ —, 2 2'
т/ бь(/ 2) к V = —4 7 соб—. / 2 2 '
(2)
где с - частота заполнения и V - скорость огибающей дискретного бризера, при этом параметр к играет роль квазиволнового числа, а параметр / связан с амплитудой и эффективной шириной огибающей бризера, а, пс - начальная фаза колебаний и начальное положение центра масс бризера - произвольные вещественные константы. Решение (2) определяется двумя независимыми параметрами.
Точные решения уравнения (1) в виде солитон-солитонных, солитон-антисолитонных и бризерных сверхрешёток получены в [4].
Для моделирования рассматриваемых нелинейных цепочек атомов в данной работе был разработан алгоритм численного решения системы из 2N дифференциальных уравнений второго порядка, основанный на методе Рунге-Кутты 4-го порядка. В работе везде используются периодические граничные условия:
Ро =PN, PN+1 =(. (3)
Для проверки метода было рассмотрено уравнение (1) и в качестве начального условия было взято точное решение (2) при V = 0 .
На рис. 1 снизу приведены трёхмерные графики зависимостей смещений атомов в цепочке от времени и номера узла, а сверху - соответствующие этим случаям начальные условия.
1.6 1 4
0.8 о,е-0,1 -0,20,0-0,2
Рп(0)о,
0,20 ■ 0,15 0,10 ,05-0.00-0,05 -0,10-0.15 -0,20 ■0,25.
п
Ю ¿0 30 40 „ 50
Рис. 1. Динамика ангармонической цепочки.
Параметры: п = 25 , / = 0.8 ; слева: к = 0.01, а = 0 , справа: к = П, а = П/3
Были взяты следующие значения параметров: количество атомов N = 50, время счёта ^ах = 10 , / = 0.8 (близкие к единице значения этого параметра соответствуют сильной локализации бризера), координата центра бризера пс = 25 , квазиволновое число и начальная фаза к = 0.01, а = 0 , (слева) и к = П,
а = п/3 (справа). Для таких бризеров периоды колебаний Т = 2п/ш = ПБесЬ//2)сОБес(к/2) соответственно равны 581.20 и 2.91.
Получившиеся возбуждения представляют собой дискретные бризеры. Слева - локализованный бризер, у которого скорость центра масс намного больше фазовой скорости внутреннего заполнения, справа - локализованный малоамплитудный бризер с нулевой скоростью центра масс. Итак, в течение времени дискретный бризер при различных значениях параметров сохраняет локализацию значения амплитуд и скорости.
Поскольку в данном случае одноатомной цепочки начальное условие является точным решением, оно не должно разрушаться с течением времени, что подтвердило численное моделирование. Таким образом, с помощью точного решения была проверена численная схема. Кроме того, правильность схемы подтверждена неизменностью значений следующих интегралов движения с течением времени:
Е = 2 £1п(1 + ( И1п[с0§2 (-(-1)] П= ^ агс*ап(% ), (4)
2,
играющие роль соответственно энергии и топологического заряда возбуждения решётки [2].
На рис. 2а приведены зависимости смещений вдоль цепочки 26-го 28-го и 30-го атома от времени. Из моделирования следует, что все атомы в бризере колеблются с одинаковой и постоянной частотой, амплитуда колебаний постоянна в пределах времени моделирования и уменьшается экспоненциально с удалением от центра бризера.
На рис. 2б приведена зависимость смещений атомов от номера узла спустя время равное 32 периодам колебаний после начала счёта. Видно, что бризер устойчив и сохраняет свою форму с течением времени.
й«(0 -■— МО
0.1 -
<р„{ 0
-0,1 --0,2 --0,3
О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 П
Рис 2б. Зависимость смещений атомов от номера узла спустя 32 периода колебаний после начала счёта
1С 12 14 16 18 20
Рис. 2а. Зависимости смещений вдоль цепочки 26-го, 28-го и 30-го атома от времени
Параметры: П = 26, К = 0.8 ; к = П, а = П / 3
Моделирование нелинейной динамики обобщенной решётки Хироты
Далее перейдём к моделированию динамики обобщённой решётки Хироты, состоящей из атомов заданных масс и учитывающей такие физически эффекты, как диссипация и внешняя накачка. В безразмерных переменных система уравнений, описывающих обобщённую решётку Хироты, имеет следующий вид [4]:
М п(П _ „ „ | „ „ | 1 , -Т I ,„ ^ I (5)
1 + Мп(
2
пу п
= ^((п-1- () - %((р„ - ) - КФП + !п ((, 1).
Здесь обозначено: (п = (п (1) - смещение П -го атома массы МП из положения равновесия; Яп -коэффициенты диссипации атомов, /П ((, 1) - внешняя переменная сила, действующая на П -й атом. Пространственный индекс и время изменяются в следующих диапазонах: П = 1,2,..., N , 1 = 0,..., ¿тах .
Будем считать, что цепочка состоит из атомов одного сорта, и положим МП = 1, Уп . Рассмотрим влияние диссипации на нелинейную динамику цепочки. Пусть ЯП = Я, Уп . Внешние силы не учитываем
1П ((П, 1) = 0. В качестве начального условия возьмём выражение (2), которое является точным решением уравнения (1).
На рис. 3а приведены зависимости смещений вдоль цепочки 16-го, 18-го и 20-го атома от времени. Из моделирования следует, что с течением времени частоты атомов в бризере начинают отличаться, появля-
п
ется сдвиг фаз колебаний атомов, амплитуда колебаний каждого атома убывает экспоненциально из-за диссипации, а также убывает экспоненциально с удалением от центра бризера.
На рис. 3б приведена зависимость смещений атомов от номера узла спустя время равное 4 периодам колебаний после начала счёта. Видно, что амплитуда бризера существенно уменьшилась, но при этом он сохраняет свою форму и локализацию с течением времени.
0.060.04-
0.02-<р„( О0-00-
-0,02 --0.О4 --0.06
Рис. 3а. Зависимости смещений вдоль цепочки 26-го, 28-го и 30-го атома от времени,
N = 50, п = 26
Рис 3б. Зависимость смещений атомов от номера узла спустя 4 периода колебаний после начала счёта, N = 30, п = 16
Параметры: К = 0.8 , к = П, а = П/3 , Л = 0.01
Таким образом, получившиеся нелинейные возбуждения представляют собой диссипативные квази-бризеры. В дальнейшем будем считать, что цепочка состоит из чередующихся атомов разных масс:
Г М лё. = 1, п = 2т +1, М =\ легкш (6)
п |М_„ М, п = 2т.
" тяжелый
При этом, как известно, зависимость частоты от квазиволнового числа для линейных волн имеет акустическую и оптическую ветви колебаний, разделённые щелью. Причём акустической ветви соответствуют частоты в интервале [0, (01 ], акустической щели соответствует интервал [щ, (02 ], а оптической ветви - интервал Щ2,щ ]:
А
2
М,
тяжелый
А
2
М
= л/2,
А
1
2|1+- ^ I М,
(7)
где ^ = МлегкийМтяжёлый/(Млёгкий + Мтяжёлый ) = М/(1 + М) - ПриведеннЗЯ масса лёгкого и тяжелого атомов.
Будем считать, что диссипация и внешние силы отсутствует Лп = 0, /п (рп, I) = 0, Уп . В качестве начального условия возьмём выражение (2). Выберем следующие значения для масс лёгкого и тяжело-гоо атомов: М„г . = 1, ,, = 106, такие значения близки к массам водорода и палладия в гидриде
легкий у тяжелый у
палладия PdH. Тогда циклические частоты (7) будут равны:
1 '
щ =
0.137,
щ
= 42 «1.414,
107
щ =
1.421.
(8)
л/53 ' 2 ' 3 V 53
На рис. 4 приведены зависимости смещений вдоль цепочки 26-го (тяжёлого), 27-го (лёгкого) и 28-го (тяжёлого) атома от времени. Из моделирования следует, что лёгкий атом, находящийся между двумя тяжёлыми атомами совершает колебания с примерно постоянной амплитудой и частотой. Массивные атомы при этом практически неподвижны. Циклическая частота колеблющегося лёгкого атома примерно равна О ~ 1.571. Таким образом, получившееся нелинейное возбуждение представляет собой высокочастотный квазибризер с частотой выше оптической ветви фононных колебаний двухатомной цепочки.
Дискретные бризеры являются распространенными объектами в нелинейных дискретных системах. Перспективным является переход от изучения дискретных бризеров в модельных системах, таких как одноатомная и двухатомная решётки Хироты, к исследованию динамики и свойств таких возбуждений в моделях реальных двумерных и трёхмерных кристаллов, а также квазикристаллов. При этом значительную роль играют экспериментальные, а также численные методы, использующие реалистичные межатомные потенциалы, соответствующие различным соединениям - металлам, сплавам, ионным кристаллам и др. Численное моделирование позволит в
дальнейшем понять роль дискретных бризеров в формировании свойств реальных кристаллов и даст фундамент для использования дискретных бризеров в новых технологиях. К слабо изученным вопросам, связанным с дискретными бризерами, можно отнести: разработка методов возбуждения ДБ и определение наиболее эффективных начальных условий для формирования долгоживущих локализованных колебаний, определение свойств ДБ таких как диапазон энергий, частот бризера, амплитуда, частота, степень локализации, время жизни и т.д. для кристаллов с различными типами связей, проведение квантовомеханических расчётов с целью уточнения данных, полученных методами молекулярной динамики, исследование термофлуктуационного зарождения ДБ, изучения свойств ДБ при конечных температурах, исследование влияния ДБ на кинетические процессы и явления переноса в твёрдых телах, оценка вклада ДБ в процессы переноса заряда, магнитного момента, теплопроводность, взаимодействие ДБ с дефектами в кристаллах.
$?„(/) -0.1-
-0.3-
-0.4
0 10 20 30 40 50
П
Рис. 4а. Зависимости смещений вдоль цепочки 26-го, 27- Рис. 4б. Зависимость смещений атомов от номера узла спустя 32 го и 28-го атома от времени периодов колебаний после начала счёта
Параметры: П = 26 , К = 0.8 , к = П , а = 0, Я = 0 , М = 106
Выводы
В работе численно моделируется динамика нелинейных локализованных колебаний - дискретных бризеров и квазибризеров в одноатомной и двухатомной ангармонической цепочке атомов. Разработан алгоритм решения уравнения обобщённой решётки Хироты, основанный на методе Рунге-Кутты 4-го порядка. Показана устойчивость дискретных квазибризеров в обобщённой решётке Хироты при малых диссипациях. В этом случае происходят незначительные изменения со временем формы и физических характеристик, таких как амплитуда, частота и скорость огибающей квазибризера. Характерные времена таких изменений намного больше периода осцилляций квазибризера. При больших коэффициентах диссипации наблюдается излучение квазибризером линейных волн и резкое его затухание. Рассмотрен случай двухатомной цепочки Хироты, состоящей из чередующихся лёгких и тяжёлых атомов. Для такой системы получен дискретный квазибризер, который представляет собой колеблющийся лёгкий атом, находящийся между двумя тяжёлыми атомами, совершающий колебания с примерно постоянной амплитудой и частотой. Массивные атомы при этом практически неподвижны. Циклическая частота колеблющегося лёгкого атома лежит выше оптической ветви фононных колебаний двухатомной цепочки.
Список использованной литературы
1. Flach S. Discrete breathers - Advances in theory and applications / S. Flach, A.V. Gorbach // Phys. Rep. - 2008. -V. 467, № 1. - P. 1-116.
2. Bogdan M.M. Exact discrete breather solutions and conservation laws of lattice equations / M.M. Bogdan, G.A. Maugin // Proc. Est. Acad. Sci. Phys. Math. - 2003. - V. 52, №1. - P. 76-84.
3. Hirota R. Exact N-soliton solution of nonlinear lumped self-dual network equations / R. Hirota // J. Phys. Soc. Jpn. - 1973. - V. 35, № 1. - P. 289-294.
4. Laptev D.V. Nonlinear periodic waves solutions of the nonlinear self-dual network equations / D.V. Laptev, M.M. Bogdan // J. Math. Phys. - 2014. - V.55, № 4. - 042903-1 - 042903-15.
5. Chechin G.M. Discrete breathers and nonlinear normal modes in monoatomic chains / G.M. Chechin, G.S. Dzhelauhova // Journal of Sound and Vibration (JSV). - 2009. - V. 322, №3. - P. 490-512.
