ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ПОЛУДИСКРЕТНОГО УРАВНЕНИЯ ЦИЦЕЙКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 2 (2021). С. 18-24.

УДК 517.958

ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ПОЛУДИСКРЕТНОГО УРАВНЕНИЯ ЦИЦЕЙКИ

Р.Н. ГАРИФУЛЛИН

Аннотация. В работе рассматривается полудискретная версия уравнения Цицейки

= ^ + (е-2«п + е-2ип+1) + ,

найденная в недавней статье [R.N. Garifullin and I.Т. Habibullin 2021 J. Phvs. A: Math. Theor. 54 205201]. Было показано, что это уравнение имеет высшие симметрии по дискретному и непрерывному направлению. Эти высшие симметрии являются уравнениями типа Савады-Котеры и дискретной Савады-Котеры. В этой работе мы строим пару Лакса для этого уравнения и его высших симметрий. Найденная пара Лакса выписывается в терминах матриц порядка 3 х 3 и свидетельствует об интегрируемости найденных уравнений. Для решения этой задачи используется известная связь одной из высших симметрий с хорошо исследованным уравнением Каупа-Купершмидта. Найденные пары Лакса помогут в дальнейших исследованиях этого уравнения - нахождение его законов сохранения, операторов рекурсии и широких классов решений. Кроме того выписаны два представления Лакса в виде скалярных операторов. Первое скалярное представление выписывается по степеням оператора дифференцирования по непрерывной переменной х, второе - по степеням оператора сдвига по дискретной переменной п.

Ключевые слова: интегрируемость, пары Лакса, высшие симметрии, уравнение Цицейки.

Mathematics Subject Classification: 39А14, 39А10, 35L10

1. Введение

В недавней статье [1] было найдено дифференциально-разностное уравнение

un±i,x — ищх + Х1(е-2и" + e-2u"+1) + А2 Ve2«- + e2«-+i. (1.1)

Здесь неизвестная функция ип(х) зависит от одной целочисленной пвременной п G Z и одной непрерывной х\ А1, Л2 - ненулевые параметры, без ограничения общности их можно считать равными 1. Через ип,х здесь и ниже обозначаются производные по переменной х. Аналогичным образом будем обозначать производные по t и т: un,t, ип,т.

Уравнение (1.1) в континуальном пределе, очевидно, переходит в знаменитое уравнение Цицейки [2]

Uxy — ае-2и + Ъеи,

которое было переоткрыто в работе A.B. Жибера и A.B. Шабата [3]. Уравнение (1.1) является представителем класса уравнений вида

un±i,x — f {un,x, un±l, un, х). (1-2)

R.N. Garifullin, On integrability of semi-discrete Tzizeica equation. © Гарифуллин Р.Н. 2021.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда №21-11-00006, https: / / rscf.ru / project/21-11-00006/. Поступила 25 апреля 2021 г.

Интегрируемые уравнения такого типа возникали как преобразования Бэклунда для нелинейных уравнений в частных производных эволюционного типа. Наиболее известным представителем этого класса является одевающая цепочка, подробное исследование которой проведено в статье А.П. Веселова и А,Б, Шабата [4]

(1.3)

которая возникла как преобразование Бэклунда для модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза:

^п^ — ип,Ххх 6ипип,х. (1-4)

С другой стороны уравнение (1.4) можно рассматривать как высшую симметрию уравнения (1.3). По дискретному направлению высшая симметрия уравнения (1.3) имеет вид

_ («га+1 - ип){ип - ип-\) , .

ип,т —

«га+1 - «га-1

и является известным дифференциально-разностным уравнением [5], [6]. В статье Р.И. Ямилова [7] был приведен ряд примеров троек уравнений типа (1.3)—(1.5).

Рассматриваемое в данной статье уравнение (1.1) является первым примером, у которого высшие симметрии по обоим направлениям имею не третий, а пятый порядок:

дгщ —«0,5 + 5мо,З(МО,2 - «0,1 - - ^1е 4и) - 5«0, 2ио,1

- 15«о,2«о,1 (Х%е2и - 4\\е~4и) + «5,1 - 90А?и3,1е"4и + 5щ^е2" + \\е~4

д У — ((,2- 1)2- 4«2 т-Л_(«2 + 1)(У2-1 + 1)_

ит" \(и ) 1 ) (у2(у-г + 1)2 + (г— - 1)2+ 1)2 + (ь - 1)2),

Ьп — л/1 + ¿2(ип-ип+1) + еип-чп+1,

(1.6)

(1.7)

где Т - оператор сдвига то дискретной переменной п. Здесь и ниже используются обозначения и — ип, ик — ип+ь, Ук — ьп+ь, ик>т — Л ■ Под порядком эволюционного уравнения понимается количество производных по пространственной переменной или количество сдвигов ип+1 в правой части.

Уравнение (1.6) было известно ранее [8], а уравнения (1.1) и (1.7) были впервые приведены в статье [1]. В этой работе мы находим пары Лакса для всех этих трех уравнений. Пары Лакса для интегрируемых уравнений являются одним из самых важных атрибутов. Во-первых, их наличие является наиболее признанным критерием интегрируемости. Во-вторых, пары Лакса помогают в исследованиях уравнений - нахождение их законов сохранения, высших симметрий, операторов рекурсии и широких классов решений.

2. Нахождение пар Лакса

Найти сразу пару Лакса для уравнения (1.1) представляется сложной задачей. Для ее решения надо сразу искать два неизвестных линейных оператора или две матрицы, для которых априори не известна структура зависимостей от переменных. Поэтому в начале предлагается найти пару Лакса для известного уравнения (1.6), для которого, более того, известны преобразования типа Миуры к хорошо исследованному уравнению.

2.1. Пара Лакса для уравнения (1.6). Для решения этой задачи мы используем известную связь [8]

м — -«0,2 - «2д - ^е-4и - А2е2и (2.1)

между уравнением (1.6) и уравнением Каупа-Купершмидта [9]

Щ — ы5 + 10тт3 + 25и>жи>2 + 20т2тх. (2.2)

(2.4)

Уравнение (2.2) имеет представление Лакса [9], [10]

Lt = [!,!], (2.3)

где

1 = д3 + 2wd + wx,

А = 9(Z5/3)+ = 9д5 + 30wd3 + 45wx д2 + 5(4w2 + 7w2)ô + 10(w3 + 2wwx ).

Здесь д обозначает оператор дифференцирования по ж, обозначенне ()+ определяет положительную часть формального ряда по степеням оператора д.

Если мы в представление Лакса (2.4) подставим замену (2.1), то полученные операторы будут конечно же совместны на решениях (1.6), но из их условия совместности (2.3) не будет следовать уравнение (1.6), а будет следовать некоторое дифференциальное следствие этого уравнения. Для получения настоящего представления Лакса уравнения (1.6) нужно заметить, что оператор L в перемен ной и допускает следующую факторизацию:

£ = (д - «0,1 + Aie"2и) (д2 + («0,1 - Aie"2и)д + щ,2 + 2Ai«o,ie"2ад - А2е2ад) + AiA2.

Тогда в качестве оператора L для уравнения (1.6) можно использовать оператор

L = {д2 + («o,i - Aie"2и)д + uo,2 + 2Ai«o,ie"2ад - А2е2ад) (д - здд + Aie"2и) + AiА2. (2.5)

Оператор А приобретает вид:

A =9(L5/3)+ = 9д5 - 15(«o,2 + ul i + \2е~4и + Х22е2и)д3 - 15(2зд,3 + 4зд,2«o,i

Un

— 8А1«о де 4и + Х2е2ии0,1)д2 — 5(5ио, 4 + 10ио , зио д — 2ио,2и^д + 9и^, 2 —

— (А?е"4ад + А2е2ад)2 + 2А2(39«о,2 — И^дК4и — )д — 10(«о,5 + 2«од«о,4 (2.6) + 5мо,2«о,з — «одмо,з — 2мо,1«о,2 — 2и3оЛио,2 — \2е2и(2щ,з + 7«о,2«од + З^д)

— 5А2^4ад Кз — 10«о,2«о,1 + 12«од) + «о,1(4А4^+ 5А2А2^ 2и + А^е4")). Верно следующее утверждение.

Теорема 2.1. Уравнение (1.6) эквивалентно представлению Лакса

Ьг =[Ь,А], (2.7)

где операторы, Ь и А определены выражениями, (2.5) и (2.6).

Доказательство. Непосредственной проверкой можно убедиться, что на решениях (1.6) уравнение (2.7) выполняется.

Для проверки обратного утверждения заметим, что коэффициенты

1 = и 1,2 \2р-4« + \2р2и ¿1 — —Щ,2 — «о,1 — + ^2е

и 1о оператора Ь при соответствующих степенях оператора д связаны соотношением:

/о — д1г + 3щл\2е2и.

Поэтому из (2.7) находятся выражения для дt(l1) а 54(ио,1е2м). Комбинируя их, можно однозначно выразить иг-, получив уравнение (1.6). □

2.2. Пара Лакса для уравнения (1.1). Уравнение (1.1) должно иметь представление Лакса

(ТЬ)М — МЬ — 0, (2.8)

с некоторым оператором М, где Т - оператор сдвига то дискретной переменной п. Однако, нам априори не известен ни способ нахождения оператора М, ни его порядок и структура зависимости его коэффициентов. Поэтому вместо поиска этого оператора предлагается перейти к матричной форме записи операторов Ь и А, для которых попятно как искать

матричную запись оператора М, Для этого вводится скалярная функция Р и спектральный параметр Л и выписываются две линейные задачи

ЬР — АР, Рг + АР — 0, (2.9)

условие совместности которых эквивалентно уравнению (1.6). Эти две задачи можно переписать в матричном виде

^ — СУ, ^ — АУ (2.10)

ах аЪ

Здесь V - некоторая вектор-функция, а С и Л - некоторые матрицы. Оператор Ь имеет третий порядок, поэтому матрицы должны иметь размер 3 х 3. Выбирая вектор-функцию V, можно найти матрицы С и Л, соответствующие скалярным операторам Ь А С Ь

С

-1 е-2и 0

0

\1 е-2и

-„и

для вектор-функции:

V

Л Л1Л2 ри Л+Л1Л2 ,а 0 2 Л1 е 2Л1 е 0

Х1Р - е2иРх Х1Р + е2иРх еиРхх + 2ио,1 еиРх - А2е-3иР)

(2.11)

Матрица Л, соответствующая оператору А, имеет вид: ( Ли Аз\

Л

11

9 Л(Л-Л1Л2)

V

2 Л1

Л31

9 Л( Л+Л1Л2)

2x1

-Лц - Л33 Л2З

Л32 Л33)

А

(3 Л + 2 А1А2)(3А - АА2)

11

2) 2-й

2 А1

е 2и - 3 А(зд,о + «0 1) - X!(3А + 2А1А2)е

2\-4и

+ А1(2«о,4 + 4«0,3«0,1 + 3и0 2 - 2ио,2«0д - «0д)е и - ЮА^Ио^ - 3«°д)е

- А1А2(7мо,о + 12^0,1) - А?е-10ад, Л13 — - ((9 А + 12 А1А2)«О,1 + «0,4 - «О,З«О,1 + 3и0,2 - 4ио,2«0д + и0,1 )е

- А1(9А - 3щ,з - 6«о,о«о,1 + 2А1А2)е-ад + 2А2(«о,о - 15«0,1)е-3ад

- 12 А3«о,1 е-5ад - Х1 е-7и + 5Х0ио,ое3и - Х2е5и, Лоз — - АЗ + 6 А1(К,З + 2«0,2«0,1 - 3А)е- 4иод(А1е-5ад + А0еад)),

Л31

-, — ви

(2.12)

\ _ \ \2

- 2(Лоз + 18А(А1 -«оДО),

1

Л:

•32

2

\ + \ \2

+ 1 2 (Аз + 18А(А1 + «0,1 еи)),

2 А

1

Л33 —3 А(2мо,о + 2и0д + 2 А2е-4ад - А2е2ад). Условие совместности матричных линейных задач (2.10)

С-Лх + [Ь, А] — 0

эквивалентно уравнению (1.6).

Теперь можно перейти к построению пары Лакса для уравнения (1.1). Для этого у нас уже есть одна линейная задача по переменной х, см. (2,10), и остадось найти матрицу М, определяющую сдвиг вектор-функции V:

Vn+l — МУп. (2.13)

Поскольку матрица С зависит только от ип,0, то матрица М должна зависеть от переменных ип,0, ип+1,0. Условие совместности имеет вид:

Мх + МС- (ТС)М — 0.

(2.14)

М

вания и имеет вид:

М

( А - А1А2)(еИ1-ад + еи-и1) (А + А1А2)еи-и1 2е"А^/е2и1-2и + 1 -( А - А1Ар)еи1-и ч-( А - А1А2)Аол/е2«1-2« + 1

0 0

А - А1А2

(2.15)

Непосредственной проверкой можно убедиться, что условие совместности (2.14) с привеС, М

Теорема 2.2. Пара Лакса для, полудискретного уравнения Цицейки имеет вид (2.14) с матрицами (2.11) и (2.15).

М М

местности (2.8):

М — (5 + Ао/е+ е2«)(<92 - - «0 1 - А?е-4ад).

(2.16)

2.3. Пара Лакса для уравнения (1.7). Осталось найти матрицу Б, определяющую

Т —

ат

(2.17)

В этом случае условие совместности

Мг + МБ-Т (Б)М — 0 (2.18)

Б

Б

Б12 Б13 Б21

Боо

Б22 - Б33 Б12 Б13 Б21 Б22 Б23

Б31 Б32 Б33у

2(^2 + 1)(^о - 1)2(«-1 + 1)/ А1А:

2 А1А2К2 - 1)(«-1 + 1) , 4А1Ао«-1(«0 - 1)2)(«2 + 1)

+л

и -А1А2 + 1;

( А + А1А2)^о

+

( А - А1А2)^о^1

8(у о2 + 1)(У-о + 1)«-х( А1А2 2А1А2 ( 1

Г^1^ - л

и+А1А2 ) 1

■ +

3

+

А + А1А2 А — А1А2

+

\1Ао А — А1Ао

-1 ' 5 и0 - 2 у0

2 А1А2(« 0 + 1)(у -1 + 1)

( А - А^О)^

(«о - 1)2«01 + 5^0 - 2^ + 5 , 4^О - 1)2(«О1 + 1)

г<

+

0

4(2иО1 и-о + («-о - 1)2)(«о2 + 1)

1

Б

03

8 А1А2«-1(^2 - 1)(и-о + 1) 4А1А2«+ 1)

( А + А1А2 ,2

( А - ^А2)^п

к _ 2 Ао(«О° + 1)2 А1А2

ДЗ

?31

^0

А + А1А2

-1 -

4(г;0 - 1)(г;-о + 1)«-1

в = 2(г_ + 1)(«е2 - 1) Л1 Л| + 2\2(2у^ - ^ + 1) + (г;-1 - 1)2) д

( Л — Л1Л2)^о ^о 2

+ 8 Л2У-1Уо(Уо - 1)2

в = 2\\2( 1 6(^0 -^ _Л( 1 , 1 \ В33 = - 3Л1ЛЧ1 ^ ) 1лГЛ^ + х-ЛД) '

=(г;га_1 + 1)2 у2п + (г;га_1 - 1)2, ип = + е2(пп_ип+1) + еап_ип+1.

Однако, условие совместности (2,18) с построенными матрицами М и В не является эквивалентным дифференциально-разностному уравнению (1.7). Оно позволяет только найти (и1 - и0)т. Для получения матриц, которые давали бы эквивалентное уравнению (1.7) условие совместности, надо использовать калибровочное преобразование, например с матрицей Т:

/1 0

Г = 10 е и 0 001

Такие преобразования соответствуют линейной замене вектор-функции V гада V = Ти, при такой замене соответствующие матрицы М и В преобразуются по известным формулам.

Теорема 2.3. Пара, Лакса для, дифференциально-разностного уравнения (1.7) имеет вид (2.14) с матрицам,и 7¡+11МТ и Т_1(ВТ - %)•

Замечание 2.1. Зная, матрицу В, также можно выписать оператор В, однако он, будет нелокальным, из-за, наличия, спектрального па,ра,м,етра, в знаменателях элементов В

2.4. Представление операторов через оператор сдвига Т. В заключительной части работы выпишем операторы М и Ь через оператор сдвига Т. Для этого возьмем вектор-функцию в виде

( -тр \

V = (Л - Л1Л2)гаеи

р

\ 2

,-Л_Л1Л2 (-Л+Л^Р + (е2и1_2и + 1)ТР - е2и1_2иТ2р) ,

\2Л1Л^е2«1-2«+1 V Л_Л1Л| 1 ' ))

Тогда в векторном соотношении ТV = МV два равенства выполнены автоматически, а третье дает линейное разностное уравнение на функцию Р:

/ р2и \ / р2и1 \

(Т - 1) , + Vе2и1 + е 2иТ ЛР + (Т - 1) , ^ Уё2"1Тё2^ Т2Р = 0,

V л/е 2и1 + е 2и ) V v/^2UГT^2U )

где Л = _ новый спектральный параметр. Отсюда, выражая формально Л Р, полу-

чаем оператор М в нелокальном виде:

- / р2и \ _1 / р 2и1 \

М=[(Т - 1) ; + V е2и1 + е2и Т (Т - 1) ; - Уе2^ + е2^ Т2.

V Ле 2и1 + е 2и У V Л е 2и1 + е 2и )

Оператор Ь находится го соотпошения ^ = СУ., вторая компонента которого имеет вид:

/ е_2и и + Л2е2и \ Л2 е2иР - (е2иЛ + е2и)ТР + е2и1Т2Р

<1х V 1 0,1 Л2и1 + еи) Л - 1 Ле2и1 + еи '

Оператор Ь определяет оператор дифференцирования и имеет вид:

Ь — (V* - «0,1 + ) - Ао(Т -'О60'^- '> (М - 1)-1. (2.19)

\ Уе 2ад1 +еV Vе 1 +е

Условие совместности операторов М и Ь имеет вид:

^М г * *

— + [ М ,Ь] — 0.

х

Оно эквивалентно уравнению (1.1). Эти операторы полезны для вычисления законов сохранения, см. например [11].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. R.N.Garifullin, I.T.Habibullin. Generalized symmetries and integrability conditions for hyperbolic type semi-discrete equations //J. Phvs. A: Math. Theor. 54:20, 205201 (2021).

2. G. Tzitzeica. Sur une nouvelle classe de surfaces // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 25:1, 180-187 (1907).

3. А. В. Жибер, А. Б. Шабат. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой, // Докл. АН СССР, 247:5, 1103-1107 (1979).

4. А.П. Веселов, А.Б. Шабат. Одевающая цепочка и спектральная теория оператора, Шрёдин-гера // Функц. ан. прил. 27:2, 1-21 (1993).

5. R. Yamilov. Symmetries as integrability criteria for differential difference equations // J. Phvs. A: Math. Gen. 39(45), R541 (2006).

6. Р.И. Ямилов. О классификации дискретных эволюционных уравнений // Усп. матем. наук. 38:6, 155-156 (1983).

7. Р.И. Ямилов. Обратимые замены переменных, порожденные преобразованиями Беклун-да // Теор. и матем. физ. 85:3, 368-375 (1990).

8. А.Г. Мешков, В.В. Соколов. Интегрируемые эволюционные уравнения с постоянной сепарантой II Уфимск. матем. журн. 4:3, 104-154 (2012).

9. D.J. Каир. On the inverse scattering problem for cubic eigenvalue problems of the class Фххх + 6Яфх + 6Кф = Хф II Stud. Appl. Math. 62:3, 189-216 (1980).

10. A.P. Fordv, J. Gibbons. Factorization of operators I. Miura transformations //J- Math. Phvs. 21(10), 2508-2510 (1980).

11. R.N.Garifullin, R.I.Yamilov. On integrability of a discrete analogue of Kaup-Kupershmidt equation // Уфимск. матем. журн. 9:3, 158-164 (2017).

Рустем Наилевич Гарифуллин, Институт математики с ВЦ УФ! III РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: rustem@matem.anrb.ru