НОВЫЙ ПРИМЕР КОНЕЧНОМЕРНОЙ РЕДУКЦИИ ДИСКРЕТНОЙ ЦЕПОЧКИ ТИПА ЦЕПОЧКИ ТОДЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929.7, 517.923

DOI 10.21685/2072-3040-2020-3-7

Т. Г. Казакова, Р. Р. Саттарова

НОВЫЙ ПРИМЕР КОНЕЧНОМЕРНОЙ РЕДУКЦИИ ДИСКРЕТНОЙ ЦЕПОЧКИ ТИПА ЦЕПОЧКИ ТОДЫ

Аннотация.

Актуальность и цели. Интегрируемые дискретные уравнения чаще всего рассматривают в рамках численного исследования своих непрерывных аналогов. В то же время непрерывные уравнения получены с помощью предельного перехода от дискретных систем. Во многих отношениях дискретная картина оказывается более исследуемой и фундаментальной нежели дифференциальная. Разностные уравнения, или цепочки, возникают во многих задачах математической физики. Дискретные уравнения часто рассматриваются как преобразования Бэклунда непрерывных и дифференциально-разностных уравнений. Построение конечномерных редукций интегрируемых систем является одним из наиболее эффективных способов получения их частных решений. Целью данной работы является построение новых конечномерных редукций для интегрируемой дискретной цепочки типа цепочки Тоды и анализ интегрируемости полученных конечномерных редукций.

Материалы и методы. Одним из признаков интегрируемости системы уравнений является существование ее представления в виде условия совместности двух линейных уравнений (Ь-А пара). Именно на этом свойстве интегрируемой дискретной системы основано построение граничных условий и интегралов движения полученных конечномерных редукций. В работе используются основные методы симметрийного подхода к исследованию интегрируемых систем. Привлекаются методы теории уравнений с частными производными и обыкновенных дифференциальных уравнений.

Результаты. Найдена новая конечномерная редукция дискретной цепочки типа цепочки Тоды, совместимая с Ь—А парой. Построены интегралы движения, определена дифференциально-разностная симметрия полученной конечномерной системы и показана ее интегрируемость в квадратурах. Представлены граничные условия, приводящие систему к одной из версий дискретного уравнения Пенлеве йР^

Выводы. Простой и эффективный способ построения интегрируемых конечномерных редукций основан на совместимости граничных условий с Ь-А парой. Дискретные аналоги уравнений Пенлеве могут быть получены как конечномерные редукции дискретной цепочки Тоды. Для построения пары Лак-са дискретного уравнения Пенлеве как конечномерной редукции интегрируемой цепочки типа цепочки Тоды необходимо дальнейшее изучение граничных условий совместимых с Ь-А парой.

Ключевые слова: дискретное уравнение, дифференциально-разностное уравнение, граничное условие, конечномерная редукция, интеграл движения, симметрия, уравнение Пенлеве.

Т. О. Ка2акоуа, Я. Я. ЗаИатоуа

© Казакова Т. Г., Саттарова Р. Р., 2020. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

A NEW EXAMPLE OF FINITE-DIMENSIONAL REDUCTION OF A DISCRETE CHAIN OF THE TODA CHAIN TYPE

Background. Integrable discrete equations considered in the framework of the numerical study of their continuous analogs. Same time continuous equations obtained using the limit from the discrete systems. Many respects the discrete case to be more investigate and fundamental than differential. Difference equations arise in many problems of mathematical physics. Often discrete equations studied as Backlund transformations of continuous or differential difference equations. The construction of finite-dimensional reductions of integrable system is one of the most effective ways to obtain their particular solutions. The aim of this paper is construction new finite-dimensional reduction of the discrete chain Toda type and analyze the integrability of the resulting reductions.

Materials and methods. The integrable equation is a consistency condition of two linear equations (L-A pair). The construction of boundary conditions and integrals of motion of finite-dimensional reductions based on these properties of an integrable discrete system. The work uses the main methods of the symmetry approach to the study of integrable systems. The methods of the theory of partial differential equations and ordinary differential equations used also.

Results. Found a new finite-dimensional reduction of a discrete chain of the Toda chain type consistent with the L-A pair. Conserved quantities and difference-differential symmetry of the resulting finite-dimensional reductions are determined. Its integrability by quadratures proved. Boundary conditions that lead the system to one of the versions of the discrete Painleve equation dPj presented.

Conclusions. A simple and effective way of constructing integrable finite-dimensional reduction based on the compatibility of boundary conditions with L-A pair. Discrete analog of the Painleve equations can be obtain a finite dimensional reductions of eh discrete Toda chains. it is necessary further study the boundary conditions compatible with the L-A pair to construct the Lax pair if the discrete Painleve equation as a finite-dimensional reduction of an integrable chain of the Toda chain type.

Keywords: discrete equation, differential-difference equation, boundary condition, finite-dimensional reduction, integrals of motion, symmetry, Painleve equation.

Будем рассматривать дискретные цепочки типа цепочки Тоды на пятиточечном шаблоне (рис. 1):

где q = qmn - функции, определенные на пространстве Zx Z. Переменную т

интерпретируем как дискретное время, п - как дискретную пространственную переменную. Одна из классификаций интегрируемых цепочек такого типа приведена в работе В. Э. Адлера [1]. Список состоит из восьми уравнений, не переводимых друг в друга точечными преобразованиями.

Построение конечномерных редукций интегрируемых систем является одним из наиболее эффективных способов получения их частных решений. В работах [2, 3] исследованы конечномерные редукции цепочек типа цепочки Тоды, представленных в [1]. Одним из признаков интегрируемости системы

Abstract.

Введение

(1)

уравнений является существование ее представления в виде условия совместности двух линейных уравнений (Ь—Л пара). Именно на этом свойстве интегрируемой дискретной системы основаны работы [2, 3], в которых приведены граничные условия, совместимые с Ь—Л парой, построены интегралы движения и показана интегрируемость в квадратурах полученных конечномерных редукций.

Рис. 1. Квадратная решетка для уравнения типа Тоды

Из последних работ отметим [4], в которой показано использование граничных условий, полученных в работе [2] для дискретного аналога уравнения Гейзенберга из списка цепочек вида (1). В данной работе рассматриваются граничные условия на Quad-графе.

Использование предложенной в [2] методики построения граничных условий, совместимых с Ь—Л парой позволило найти примеры редукций дискретной цепочки Тоды

1п (£^т,п+\~^т,п + 1 Ят+1,п - 2Ят,п + Ят-1,п _'

ln (eqm-n +1

соответствующие дискретным уравнениям Пенлеве йРш, dPV и йРт [5]. Были построены пары Лакса для данных уравнений.

Связь редукций дискретных интегрируемых систем и дискретных уравнений Пенлеве показана и в других работах. Например, в [6] показан метод построения пары Лакса для дискретных уравнений Пенлеве как периодического замыкания дискретного уравнения Кортевега - де Фриза. В настоящей работе мы будем исследовать уравнение

е^т+\.н-Ут,п _~Цт-\,п _£^т.п+1-^т,п _~Цт,п-\ (2)

из списка интегрируемых дискретных цепочек типа цепочки Тоды (1) [1]. Данное уравнение связано с преобразованиями Бэклунда для цепочки Тоды [7]. В секции 1 построена новая конечномерная редукция системы (2). Секция 2 посвящена интегрируемости конечномерных редукций, совмести-

мых с L—A парой. В секции 3 представлено граничное условие, приводящее уравнение (2) к одной из версий дискретного уравнения Пенлеве dp

1. Граничные условия, совместимые с L—A парой

Пусть уравнение (1) эквивалентно условию совместности

Lm+1, n (X)Am ,n

(X)

Am, n+1 (X)Lm ,n (X)

системы двух линейных уравнений

Ym,n+1 (X) = Lm,n (X)Ym,n (X) , Ym+1,n (X) = Am,n (X) Ym,n (X) .

(3)

(4)

(5)

На бесконечную цепочку (1) в точке n=N накладывается граничное условие

qm,

=и

m, qm,N+1 , qm-1,N+1 ,. ^ qm,N +M, qm-1,N +M

(6)

Определение 1 [2]. Граничное условие (6) называется совместимым с L—A парой (3), если уравнение (5) в пространственной точке n=N

Ym+1,N (X) = Am,N (X)Ym,N (X) (7)

обладает дополнительной точечной симметрией вида

YmN (X) = H(m,[q],X) (X), X = h(X). (8)

Матрица H (m,[q], X) = H (m, qm,N+1, qm-1,N+1 — 4m,N +M, 4m-\,N +M ) , определяющая преобразование (8), зависит от конечного числа сдвигов переменной qmn и параметра X .

Рассматриваемая дискретная цепочка (2) имеет следующую L—A пару [8]:

L =

^X + eqm,n qm-1,n _Чш,« ^

qm-1,i

A=

X + eqm,n qm,n-1 _eqm,

qm,n-1

-1

(9)

(10)

Граничное условие (6) сводит цепочку (1) к задаче на полуоси. Для того чтобы получить конечномерную редукцию системы (1), необходимо рассматривать два граничных условия (рис. 2):

F1 = e qm- = F1 (e 4m

F = eqm,N +1 = F1 ( eqm,N

(11)

(12)

Рис. 2. Шаблон для граничных условий дт -1, дт

N+1

Предложение 1. Пусть матрица Н(т,дт-ю,X) зависит от динамической переменной дт-0 , тогда граничное условие, совместимое с Ь—Л парой (9), (10), имеет вид

77 _ ~ qm ,-1 _ ~ qm-1,0 ~ qm,0

Fi — e — e — а^г

(13)

где ai — const, Xi — — , X

( a ^m—1 H ( ^m-1,0' X) — I -y I

X + a1 e-4m-u

I X

0 ^

—1 X

(14)

,,qm,-1

Доказательство. Согласно определению 1 граничное условие е совместимо с Ь—Л парой, если существуют матрица Н(т,дт-ю,X) и инволюция X _ к(X) такие, что для любого решения Ут 0 (X) уравнения (7) функция (8) является решением этого же уравнения. Это значит, что должно выполняться следующее равенство:

Н (т + I Чт,0,Х)Лт,0 (Х) _ Лт,0 (Х)Н ( Чт-1,0, Х) • (15)

Обозначим Н{ j —(H(m,X)). ., h. . —(H(m +1,X)) . и F1 — e

„ ^ _ е Чт>-1

\Г 4 4 ' '"'Л

Подставим матрицу Л (10) в (15) и в скалярном виде получим систему из четырех уравнений:

h11 (X + F1eqm-0 ) + h12F1 —h11 (X + F1^m-0 ) - h21e

Am,0

Am,0

-h 1F1 - h12 — h12 (X + F^0) - h22eqm,°, h21 (x + F^0)+ h22 F1 — hn F1 - h21,

h21e h22 h12 F1 h22 •

(16)

(17)

(18) (19)

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Пусть Иу2 ^ 0, тогда из (19) можно найти неизвестную ^ :

Н22 - Й22 - Й21вЧт,°

F = -

h

12

Анализ системы (16)-(19) показывает, что нетривиальное решение существует только тогда, когда hi2 = 0 .

Дифференцирование уравнения (19) по переменной qm-\Q показывает,

что -22— = 0 , т.е. h22 = h22 (m). Из этого же уравнения находим неизвест-

dqm-1,0

ную h2i :

h2l =(h22 (m)-h22 (m + 1))0 . Предположим, что h22 ^ hn, тогда найдем выражение для функции F :

Fl = e"«m-i,0 - h22 (m)- h22 (m + 1) Xeqmfi .

h22 (m)- h22 (m -1) '

Учитывая независимость функции F от параметра X, с использованием уравнения (17) получим Предложение 1.

Предложение 2. Пусть матрица H(m,qm-\N,X) зависит от динамической переменной qm- n, тогда граничное условие, совместимое с L-A парой (9), (10), имеет вид

eqmN+1 = f2 (eqm-N ) = -a2eqm-N , (20)

где a2 = const, X 2 = —, 2 2 X

/ \m-1

H (mqm-1,n,X) = I -aX2 J

( 1 0 ^ X + a2 e-qm-1.N -02.

X X

(21)

Доказательство. Согласно определению 1 граничное условие еЧт•Ж+1 совместимо с Х-Л парой, если выполняется следующее равенство:

Н (т + 1, N• х)),N (Х) = Лт,N (Х)Н (• Х)- (22)

qm ,N +1

Обозначим И. . =(((т,X)). ., И . =(Н(т +1,X)). . и = е

Подставим матрицу Л (10) в (22) и в скалярном виде получим систему из четырех уравнений:

И11 (х + ) + Й2е~(1тМ = ¿11 (X + ) - й^ , (23)

h F - h12 = h12 (X + F2e qm,N ) - h22F2 ,

h21 (X + F2e~qm-N ) + h22e~qm-N = h11e_qm-N - h

21

(24)

(25)

-¿21^2 - ¿22 = ^е^ - ¿22- (26)

Пусть ¿21 ^ 0 , тогда из (26) можно найти неизвестную :

¿22 - ¿22 - ¿21е

F2 =-

h

21

Анализ системы уравнений (23)-(26) показывает, что нетривиальное решение можно получить только при ¿12 = 0. Из уравнения (24) мы получаем, что ¿22 (т,X) = ¿11 (т -1,X). Продифференцируем уравнение (25) по переменной дт-1 N:

eqm'0 dh21

dF2 _ 1 йкц е ^Ят-1,0 ¿21 ^т-1,0 ¿21 ^т-1,0

Проинтегрируем уравнение и получим, что ¿21 = е зом, найдем граничное условие:

~qm,0

. Таким обра-

Р2 = -°2 е

Подставим в систему (23)-(26) с учетом ¿12 = 0 и найдем коэффициенты матрицы Н (т,X):

i1=02

m-1

'22

= ( - 02 X

21

= ( - 02 X

m-1

X + 02 ^ e~qm-1,(

X

Таким образом, мы получили Предложение 2. Заметим, что при ¿21 = 0 получаем тривиальное решение.

При условиях, указанных в предложениях 1 и 2, совместимыми с Ь-А парой являются граничные условия:

F1 = e

qm,-1 = e qm-1,0

_ „ qm ,N +1 _

- a^

qm,0

F2 = e — 1' =-a2e

где а2 - произвольные постоянные;

1 ( 1

т-1 1

qm, N

Hi (m,X) = |-^

a

X + ai e~qm-1,0 X

0 ^

X

Xi =, i = 1,2. 1 X

(27)

(28)

(29)

2. Интегрируемость конечномерных редукций

Рассмотрим конечномерную редукцию цепочки (2) с граничными условиями (27), (28), совместимыми с Ь-Л парой (9), (10). При N=1 в исследуемой конечномерной системе динамическими переменными являются дт 0, Чт-1 0

(рис. 3).

Рис. 3. Граничные условия для Чт - Ь Чт 1 (Чт 0, Чт-1 0 - динамические переменные)

Теорема 1 [5]. Пусть задана конечномерная система

Чт+1,п _ /(т,п, Чт-1,п, Чт,п+1, Чт,п-1 ), т е п _ N , 1т,-1 _ Р1 (m, qm,0, Чт-1,0 ) Чт,N+1 _ ^2 (m, Чт,N, Чт-1^ ) такая, что инволюции X1 _ X2 _ X . Тогда функция

£ (X) _ К (Р (т, X)H1-1 (т, X)P_1 (т, X)H2 (т, X)), (30)

где Р (т, X)_ ЬmN (X)...Ьml (X) и ¿г(Л) обозначает след матрицы А, является

производящей функцией интегралов движения конечномерной цепочки.

Пусть инволюции для граничных условий (27), (28) совпадают, т.е.

- - - а2

X1 _ X2 _ X _ , где а _ а1 _ а2 . По теореме 1 для конечномерной дискретной системы

е~Чт- _ е~Чт-1-0 - ае"Чт-0 , (31)

еЧт+1,0-Чт,0 - еЧт,0-Чт-1,0 _ еЧт,1-Чт,0 - еЧт,0-Чт,-1 (32)

еЧт,1 _ -аеЧт'0 (33)

построен первый интеграл

_ Am+1,0 qm,0 Am,0 qm-1,0

II = e

(34)

Для интегрирования системы (31)-(33) интегралов движения, найденных с помощью теоремы 1, недостаточно. Решение конечномерной системы можно построить с помощью дифференциально-разностных симметрий [3]. Симметрией дискретного уравнения (1) называется уравнение вида

dqn

dt

S (qm,n-k, qm-\,n-k ,•••, qm,n+k, qm-\,n+k ) :

(35)

удовлетворяющее равенству (см. [9])

т ([q ])=А ({[д ])),

где введены следующие обозначения: [q] - конечное число функций дискретных переменных qmn ; Тт (тп ) = qm+\n - сдвиг по направлению т;

01 - производная по переменной г.

Будем считать, что уравнение (35) эквивалентно условию совместимости

°г1т,п ((,= Кп,п+1 (,Ц1т,п ((,Х)- 1т,п ((,Х)т,п ((,Ц (36)

пары линейных уравнений

Уп+1 (Ь)= ¿т,п (^Уп (X), (37)

(,Х) = Уп ( 1)¥п (,X). (38)

Для цепочки (32) дифференциально-разностной симметрией является уравнение

4m,tl Am,n+1 qm,n I „qm,n qm-1,i

g1 - qt i - e + e dti 1

(39)

для которой матрица V имеет вид

( —X 2

-qm—1,п—1

V =

' m,n

X 2

(40)

Рассмотрим конечномерную редукцию уравнения (35) с граничным условием (6), совместимым с представлением (36). Определение граничного условия для уравнения (35), совместимого с парой Лакса (37), (38), аналогично определению 1 (см. [3]). Это означает, что в точке п = N должно быть выполнено равенство

ВгН (, ^ ], Х) = VN (, X )н (, [ q ], X)—Н (, [ q ], X) (г, X).

В силу того, что уравнение (39) нас интересует как симметрия для цепочки (32), мы рассматриваем граничные условия (31), (33). Матрицы

Н[ч],X) и инволюции XX = ¿(X) остаются такими же, что и для рассматриваемой цепочки (32), а именно (29).

Построим дополнительный первый интеграл для (32) с помощью следующей системы уравнений [10]:

Ф j (, qm,0, qm-1,0 ) = tj- ф j ( qm,0, qm-1,0 ), j = 1:

■ = 811.

дф1 dqm,0

дЧт,0 dt1 Дополнительный первый интеграл:

= т -ат (аЧт0 + /1). (41)

Получили решение системы (31)-(33):

1 1 Г^' 1-/1

еЧт,0 = еае а^ т ) ^

где а, а - произвольные постоянные; /1 - первый интеграл (34); ^ - дополнительный первый интеграл (41).

3. Дискретные уравнения Пенлеве

В работе [5] на примере дискретной цепочки Тоды

1п (е^+^т +1 1п I е ,п Чт,н-\ + 1

с граничными условиями

<?т-1 = (( qm•0• Чт-1,0 ) <?т,1 = р2 ( qm,0• Чт-1,0 )

совместимыми с Ь-А парой, которым соответствуют различные инволюции 5X1 Ф XX2, показано, что конечномерная система обладает парой Лакса, типичной для дискретных уравнений Пенлеве.

Рассмотрим конечномерную редукцию цепочки (2) с граничными условиями (27), (28). Пусть инволюции для граничных условий не совпадают

2 2 ^=о, ^=а^ а1 ф а2.

Введем обозначение еЧт 0 = рт и перепишем граничные условия:

^ = - (42)

рт-1 рт

=-а2Рт ^ (43)

Подставим граничные условия (42), (43) в исходную цепочку (2):

а2 - а1 = а,

рт+1 + рт-1 = -рт ■

Получили тривиальный случай дискретного уравнения Пенлеве dPl [11]:

= 2 Ь

рт+1 + рт -1 = - рт +-+ Ь

рт

при г = Ь = 0 .

Конечномерная редукция (2) при граничных условиях

eqm1 =-eqm-1,° +e qm-0 -a1eqm-0 (44)

соответствует дискретному уравнению Пенлеве dij. Очевидно, граничному условию (44) соответствует матрица H, зависящая от большего числа динамических переменных qm n .

Заключение

В результате работы построены интегрируемые граничные условия для дискретной цепочки типа цепочки Тоды, совместимые с L—A парой.

Найдены интегралы движения конечномерной дискретной системы для конечномерной редукции рассматриваемой цепочки. С помощью первого интеграла и дифференциально-разностной симметрии построено решение одномерной редукции цепочки типа цепочки Тоды.

Показано, что дискретные аналоги уравнений Пенлеве могут быть получены как конечномерные редукции дискретной цепочки Тоды. Для построения пары Лакса дискретного уравнения Пенлеве как конечномерной редукции интегрируемой цепочки типа цепочки Тоды необходимо изучение граничных условий, совместимых с L-A парой, которым соответствует дополнительная точечная симметрия Ym n (X) = H(m,qm- n,qm n,X)Ym/N (X).

Библиографический список

1. Adler, V. E. On the structure of the Backlund transformations for the relativistic lattices / V.E. Adler // J. of Nonlinear Math. Phys. - 2000. - Vol. 7, № 1. - P. 34-56.

2. Habibullin, I. T. Boundary condition for integrable discrete chains / I. T. Habibullin, T. G. Kazakova // J. Phys. A: Math. and Gen. - 2001. - Vol. 34. - P. 10369-10376.

3. Казакова, Т. Г. Конечномерные редукции дискретных систем, интегрируемые в квадратурах / Т. Г. Казакова // Теоретическая и математическая физика. - 2004. -Т. 138, № 3. - С. 422-436.

4. Caudreliera, V. Integrable boundary for Quad-Graph systems: three-dimensional boundary consistency / V. Caudreliera, N. Crampeb, Q. C. Zhang // SIGMA. - 2014. -Vol. 10, № 014. - P. 24.

5. Kazakova, T. G. Finite-dimensional reductions of the discrete Toda chain / T. G. Kazakova // J. Phys. A: Math. and Gen. - 2004. - Vol. 37. - P. 8089-8112.

6. Ormerod, C. M. Discrete Painleve equations and their Lax pairs as reductions of integrable lattice equations / C. M. Ormerod, H. Peter van der Kamp, G. R. Quispel // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2013. - Vol. 46, № 9 - P. 23.

7. Hirota, R. Nonlinear partial difference equations. I - V / R. Hirota // J. Phys. Soc. Japan. - 1977. - Vol. 43. - P. 1423-1433, 2074-2078, 2079-2086.

8. Suris, Yu. B. Discrete time Toda systems / Yu. B. Suris // J. Phys. A: Mathematical and Theoretical. - 2018. - Vol. 51, № 33. - P. 60.

9. Адлер, В. Э. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости / В. Э. Адлер, А. Б. Шабат, Р. И. Ямилов // Теоретическая и математическая физика. -2000. - Т. 125, № 3. - С. 355-424.

10. Шабат, А. Б. Симметрии нелинейных цепочек / А. Б. Шабат, Р. И. Ямилов // Алгебра и анализ. - 1990. - Т. 2, №2. - С. 377-400.

11. Ramani, A. Discrete Painleve equations: coalescences, limits and degeneracies / A. Ramani, B. Grammaticos // Phys. A. - 1996. - Vol. 228, № 1 - 4. - P. 160-171.

References

1. Adler V. E. J. of Nonlinear Math. Phys. 2000, vol. 7, no. 1, pp. 34-56.

2. Habibullin I. T., Kazakova T. G. J. Phys. A: Math. and Gen. 2001, vol. 34, pp. 1036910376.

3. Kazakova T. G. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika [Theoretical and mathematical physics]. 2004, vol. 138, no. 3, pp. 422-436. [In Russian]

4. Caudreliera V., Crampeb N., Zhang Q. C. SIGMA. 2014, vol. 10, no. 014, p. 24.

5. Kazakova T. G. J. Phys. A: Math. and Gen. 2004, vol. 37, pp. 8089-8112.

6. Ormerod C. M., van der Kamp H. Peter, Quispel G. R. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2013, vol. 46, no. 9, p. 23.

7. Hirota R. J. Phys. Soc. Japan. 1977, vol. 43, pp. 1423-1433, 2074-2078, 2079-2086.

8. Suris Yu. B. J. Phys. A: Mathematical and Theoretical. 2018, vol. 51, no. 33, p. 60.

9. Adler V. E., Shabat A. B., Yamilov R. I. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika [Theoretical and mathematical physics]. 2000, vol. 125, no. 3, pp. 355-424. [In Russian]

10. Shabat A. B., Yamilov R. I. Algebra i analiz [Algebra and analysis]. 1990, vol. 2, no. 2, pp. 377-400. [In Russian]

11. Ramani A., Grammaticos B. Phys. A. 1996, vol. 228, no. 1 - 4, pp. 160-171.

Казакова Татьяна Георгиевна

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высокопроизводительных вычислительных технологий и систем, Уфимский государственный авиационный технический университет (Россия, г. Уфа, ул. К. Маркса, 12)

E-mail: tg_kazakova@mail.ru

Саттарова Радмила Рустемовна бакалавр, Уфимский государственный авиационный технический университет (Россия, г. Уфа, ул. К. Маркса, 12)

E-mail: zakasatt@mail.ru

Kazakova Tat'yana Georgievna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of high-performance computing technologies and systems, Ufa State Aviation Technical University (12 K. Marksa street, Ufa, Russia)

Sattarova Radmila Rustemovna Bachelor, Ufa State Aviation Technical University (12 K. Marksa street, Ufa, Russia)

Образец цитирования:

Казакова, Т. Г. Новый пример конечномерной редукции дискретной цепочки типа цепочки Тоды / Т. Г. Казакова, Р. Р. Саттарова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2020. - № 3 (55). - С. 85-97. - DOI 10.21685/2072-3040-2020-3-7.