CC BY
5
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 3 (2018). С. 89-109.
УДК 517.9
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДВУМЕРИЗОВАННЫХ ЦЕПОЧЕК, СВЯЗАННЫЕ С
ИНТЕГРИРУЕМОСТЬЮ
М.Н. ПОПЦОВА, И.Т. ХАБИБУЛЛИН
Аннотация. Обсуждается метод классификации нелинейных интегрируемых уравнений с тремя независимыми переменными, основанный на понятии интегрируемой редукции. Авторы называют уравнение интегрируемым, если оно допускает широкий класс редукций, представляющих собой интегрируемые по Дарбу системы гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными. Наиболее естественным и удобным объектом для применения такого подхода являются двумеризованные цепочки, обобщающие известную цепочку Тоды. В настоящей работе исследуются квазилинейные двумеризованные цепочки вида Un,xy = a(un+l,un,un-l)un,x ип,у + P(Un+l,Un,Un-l)Un,x + 7 (Un+l,Un,Un-l)Un,y+ +5(un+i,un,un-i). Уточнен вид цепочки исходя из предположения, что существуют условия обрыва, сводящие цепочку к интегрируемой по Дарбу гиперболической системе, сколь угодно высокого порядка. При некотором дополнительном предположении о невырожденности мы провели описание цепочек, являющихся интегрируемыми в предложенном выше смысле. В полученном списке цепочек имеются новые примеры.
Ключевые слова: двумеризованная интегрируемая цепочка, ж-интеграл, интегрируемая редукция, условие обрыва, открытая цепочка, система, интегрируемая по Дарбу, характеристическая алгебра Ли.
Mathematics Subject Classification: 37К10, 37К30, 37D99
1. Введение
Интегрируемые уравнения е тремя независимыми переменными имеют широкий спектр приложений в физике. Достаточно вспомнить такие известные нелинейные модели, как уравнение КП, уравнение Дэви-Стюартсона, уравнение цепочки Тоды и др. С точки зрения интегрирования и классификации многомерные уравнения являются наиболее сложными. Различные подходы к изучению интегрируемых многомерных моделей обсуждаются, например, в работах [1] [9], Известно, что снмметрпйный подход [10, 11], зарекомендовавший себя как весьма эффективный метод классификации интегрируемых уравнений в размерности 1+1, не столь эффективен в многомерье [12]. При изучении многомерных уравнений часто используется идея редукции — сведения уравнения к системам уравнений с меньшим числом независимых переменных. Наличие широкого класса интегрируемых редукций с двумя независимыми переменными, как правило, указывает на интегрируемость уравнения с тремя независисмыми переменными. Среди специалистов наибольшей популярностью пользуется метод гидродинамических редукций, когда в качестве признака интегрируемости уравнения берется наличие бесконечного множества интегрируемых
M.N. Poptsova, I.T. Habibullin, Algebraic properties of quasilinear two-dimensional chain
related to integrability.
© ПОПЦОВА M.H., ХАБИБУЛЛИН И.Т. 2018.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №15-11-20007).
Поступила 28 февраля 2018 г.
систем гидродинамического типа, общее решение каждой из которых порождает некоторое решение рассматриваемого уравнения (см., например, [1, 2, 13]), Историю развития метода и соответствующие ссылки можно найти в обзоре [3].
В работах [14, 15] мы используем альтернативный подход и называем заданное уравнение интегрируемым, если оно допускает бесконечный класс редукций в виде интегрируемых по Дарбу систем уравнений в частных производных гиперболического типа с двумя независимыми переменными. При решении классификационных задач для многомерных уравнений в такой постановке можно использовать аппарат характеристических алгебр Ли (подробное изложение можно найти в [17, 18]), Это направление в теории интегрируемости нам представляется перспективным. Рассмотрим нелинейную цепочку
^"n,xy f (Un+1,Un,Un—1,Un,x,'^n,y)
с тремя независимыми переменными, где искомая функция и = ип(х,у) зависит от вещественных х-, у и целого п. Для цепочки (1.1) искомые конечно-полевые редукции получаются естественным образом, достаточно подходящим способом оборвать цепочку в двух целочисленных точках
uNi = ifi(x,y,uNl+i,...), (1.2)
= f(Un+1 у)> Ni < n < N2, (1.3)
UN2 = <P2(x,y,uN2 — i,...). (1.4)
Примеры таких граничных условий можно найти ниже (см. (4.29), (4.30)). Следует отметить следующие два очень существенных обстоятельства:
i) для известных интегрируемых цепочек вида (1.1) существуют условия обрыва, сводящие их к интегрируемой по Дарбу системе гиперболических уравнений вида (1.2)—(1.4) сколь угодно большого порядка N = N2 — N1 — 1;
ii) конкретный вид функций f конструктивно определяется из требования интегрируемости системы в смысле Дарбу.
Два этих факта служат мотивацией для следующего определения (см. также работу [14]):
Определение 1. Цепочку (1.1) назовем интегрируемой, если существуют функции и такие, что для, любого выбора пары целых чисел, N1t N2, где N1 < N2 — 1, си,стем,а, гиперболического типа, (1.2)—(1.4) является интегрируемой по Дарбу.
В настоящей работе мы исследуем квазилинейные цепочки следующего вида
+ 5, (1.5)
предполагая, что функции а = а(ип+1,ип,ип—1), ft = ft(un+1,un,un—1),
7 = ^(ип+1,ип,ип—1), 5 = 5(ип+1,ип,ип—1) являются аналитическими в некоторой области D С C3, Мы также предполагаем, что производные
да(ип+1,ип,ип—1) да(ип+1 ,ип,ип—1)
-ъ- и -Ъ--L6)
OUn+1 OUn—1
отличны от тождественного нуля.
Основной результат настоящей работы состоит в доказательстве следующего утверждения
Теорема 1. Квазилинейная цепочка (1.5), (1.6) интегрируема в смысле Определения, 1, если и только если она, приводится посредством точечных преобразований к одной из
следующих форм
где
Щ) ип,Ху (У.п{ип,хип,у х + у) + вп) + 8п{ип,х + ип,у 8п) ,
8п ип + С, $п 2ип, ап
С - произвольная постоянная.
Отметим, что уравнение 1) было найдено ранее в работах [27], [28] Ферапонтова и Ша-бата и Ямилова, а уравнения 11) и 111), по видимому, являются новыми. Накладывая на уравнения 1)-ш) дополнительные условия вида х = ±у мы получаем 1+1 -мерные интегрируемые цепочки. Можно показать, что точечными заменами они сводятся к уравнениям, найденным ранее Ямиловым (см. [29]).
Следуя Определению 1, мы предполагаем, что в интегрируемом случае существуют условия обрыва, заданные в целых точках п = п = N2 < N2 — 1), которые сводят цепочку (1.5) к конечной системе гиперболических уравнений
иМ1 = <ръ
^п,ху + + гУп'^"п,у + ^ N1 < ТЪ <
иМ2 = <Р2.
интегрируемой в смысле Дарбу.
Напомним, что система уравнений в частных производных гиперболического типа (1.7) является интегрируемой по Дарбу, если у нее существует полный набор функционально независимых х- и у-пнтегралов, Функция I, зависящая от конечного набора динамических переменных и, иж, иу,..., называется у-пнтегралом, если она удовлетворяет уравнению Оу1 = 0, где Иу - оператор полного дифференцирования по переменной у и и вектор с координатами и^1+1 ,и^1+2,... ,и^2-1. Так как система (1.7) является автономной, мы
интеграл не зависит от иу, иуу,.... Поэтому мы будем рассматривать только у—интегралы, зависящие, по крайней мере, от одной динамической переменной и, иж,..., Отметим, что в настоящее время интенсивно изучаются интегрируемые по Дарбу дискретные и непрерывные модели (см., [14, 17], [19] [26]).
Приведем еще один аргумент в пользу нашего Определения 1, касающегося свойства интегрируемости двумеризованной цепочки. Задача поиска общего решения системы, интегрируемой по Дарбу, сводится к задаче решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Обычно эти ОДУ решаются явно. С другой стороны, любое решение рассматриваемой гиперболической системы (1.7) легко продолжается вне интервала [ ^, N2] и генерирует решение соответствующей цепочки (1.5). Следовательно, в этом случае цепочка (1.5) имеет большой набор точных решений.
Поясним кратко структуру работы. В параграфе 2 мы напомним необходимые определения и исследуем основные свойства характеристической алгебры Ли, которая является основным инструментом в теории систем, интегрируемых по Дарбу. В параграфе 3 мы вводим определение тестовых последовательностей, при помощи которых получаем систему дифференциальных уравнений для уточнения функций а, /3, гу. Параграф 4 посвящен
интегрируемой в смысле Определения 1 и дается доказательство Теоремы 1.
2. Характеристические алгебры Ли
Так как цепочка (1.5) инвариантна относительно сдвига переменной п, то без потери общности можно положить N1 = — 1. Далее мы будем рассматривать систему гиперболических уравнений
П-1 = у1,
ип,ху ^пип,хип,у + 3пип,х + г"/пип,у + ^ 0 ^ п ^ N, (2.1)
им+1 = У2.
Напомним, что здесь ап = а(ип-1,ип,ип+1), 3п = 3(ип-1,ип,ип+1), 7п = ^(ип-1,ип,ип+1), 5П = 5(ип-1,ип,ип+1). Предположим, что система (2,1) интегрируема по Дарбу и что 1(и, иж,...) ее нетривиальный у-интеграл, Последнее означает, что функция I должна удовлетворять уравнению Оу1 = 0 гДе Иу - оператор полного дифференцирования по переменной у. Оператор Иу действует па классе функций вида 1(и, иж,...) по правилу Оу1 = У1, где
М ( 8 8 8 \ У = Е К+ лТ + аи- + "О . (2'2)
Здесь /г = аиуХиуУ + 3и>х + + ^ есть ни что иное, как правая часть цепочки (1,5), Следовательно, функция I удовлетворяет уравнению УI = 0, Коэффициенты уравнения УI = 0 зависят от переменных и^, в то время как его решение I не зависит от щ,у, поэтому
УI = 0, Х,1 = 0, ] = (2.3)
где Хг = о^. Из (2,3) следует, что коммутатор У = [Х^У] = ХгУ — УХг операторов У и Х^ г = 0,1, ..^ также аннулирует I. Воспользуемся явным координатным представлением оператора У:
8 8 8 У = ^ + Х*( ^ ~дй~ + ХгШг) ЖГ- + ■ ■ ■ (2'4)
В силу специального вида функции ¡г оператор У можно представить в виде:
N
У = У + (2.5)
где
í=0
Я = !г — иг,уХг(^)) —--+ (Дл — Щ,уХ^(Бх^)) —--1----=
г=0 г'х г"
м 8
=0
N
и
=0
д ди.
+ ((щщ,х + ъ)(3ш,х + й) + ИХ(3^М"Х + 5г))~--1--------(2.6)
Обозначим через Р кольцо локально-аналитических функций от динамических переменных и, иж, иу,.... Рассмотрим алгебру Ли с(у, N) над кольцом Е, порожденную дифференциальными операторами У,У0,У1, ...,У^. Ясно, что операции коммутирования векторных полей и умножения векторного поля на функцию удовлетворяют следующим условиям
[ г, д №] = г (д)Ш + (2.7)
(д г)К = д г (К), (2.8)
где Z,W € с(у ), д,к € Г. Следовательно, пара (Е, с(у ,М)) имеет структуру алгебры 1
любого оператора из с(у, N). Поскольку у-иптеграл зависит лишь от конечного числа динамических переменных, то здесь можно воспользоваться известной теоремой Якоби о существовании нетривиального решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с одной неизвестной функцией. Из этой теоремы легко можно вывести, что в Дарбу интегрируемом случае в алгебре с(у, N) должен существовать конечный базис Z1, Z2, ..^к, состоящий го линейно независимых операторов, такой что любой элемент Z из с(у, N) представим в виде линейной комбинации Z = a1Z1 + a2Z2 + ...akZk, где коэффициенты а1, а2,...ак - аналитические функции от динамических переменных, определенные в некотором открытом множестве. При этом из равенства a1Z1 + a2Z2 +...akZk = 0 следует, что a1 = a2 = ... = ak = 0. В этом случае мы называем алгебру с(у,М) конечномерной. Аналогично можно определить характеристическую алгебру с(х, N) по направлению х. Ясно, что система (2,1) интегрируема по Дарбу тогда и только тогда, когда характеристические алгебры по обоим направлениям конечномерны.
Для удобства дальнейших действий введем обозначение айх( Z) := [X, Z]. Отметим, что в нашей работе оператор а&вх играет ключевую роль. Ниже мы будем применять Их к гладким функциям, зависящим от динамических переменных и, иж, ихх,.... Как было показано выше, па этом классе функций операторы Иу и У совпадают. Тогда из равенства [Их, Иу] = 0 немедленно следует [ИХ,У] = 0. Заменяя У в силу (2,5), и собирая в полученном соотношении коэффициенты при независимых переменных {щ,у}^=0, получаем
[БХ,У^] = — aiУi, где ai = а^х + ^. (2,9)
Ясно, что оператор а&вх переводит характеристическую алгебру Ли в себя. Опишем ядро этого отображения:
Лемма 1. [16, 18, 17] Если векторное поле
8 8
Z =Е *М ^ + ^ ^ + ■■■ (2-Ю)
г ' '
удовлетворяет условию [Их, Z] = 0, то Z = 0.
3. Метод тестовых последовательностей
Назовем последовательность операторов W0, W1, W2,... в алгебре с(у, N) тестовой последовательностью, если V т справедливо равенство:
т
[пх^т] = . (3.1)
3=0
Тестовая последовательность позволяет определять условия интегрируемости для системы гиперболичского типа (2,1) (см, [19, 17, 20]), Действительно, предположим, что (2,1) интегрируема по Дарбу, Тогда среди операторов W0,W1,W2,... имеется лишь конечное множество линейно независимых элементов, через которые выражаются все остальные. Т.е. существует целое к, такое, что операторы W0,... линейно независимы и Wk+1 выражается следующим образом:
Wк+l = + ■ ■ ■ + XoWo. (3.2)
'Мы благодарим Д.В.Миллионщикова обратившего наше внимание на это обстоятельство
Применим оператор к обеим частям равенства (3,2), В результате получаем соотношение
к к к ^ + 'Шк+1,к+1 ^ = ^ Вх(Х3 )Ш3+
3=0 3=0 3=0
к к-1 + ^з,к^з + \к-1^2 +-----+ \0W0flW0. (3.3)
3=0 3=0
Собирая коэффициенты при независимых операторах, получаем систему дифференциальных уравнений на коэффициенты Л0, Л1,... Лк. Полученная система будет переопределенной, так как Л3 есть функции от конечного числа динамичеек их переменных и, их,.... Условия совместности этой системы задают условия интегрируемости для системы гиперболического типа (2,1), Например, собирая коэффициенты при Шк, мы получаем первое уравнение указанной системы:
Ох(Лк) = Лк^к+1,к+1 - Wк,к) + Wк,к+l, (3.4)
которое также является переопределенным.
Ниже в этом разделе мы воспользуемся двумя тестовыми последовательностями для уточнения вида функций ап, 7.п.
3.1. Первая тестовая последовательность. Зададим последовательность операторов в характеристической алгебре с(у, N) следующей рекуррентной формулой:
у, У, Wl = \Х0,У1] , = [У,^1] ,...Шк+1 = [¥0,Шк] ,... (3.5)
Выше (см. (2.9)) были выведены коммутационные соотношения для первых двух членов данной последовательности:
[Ох,У0] = -а0^о = -(а0Щ,х + 70)У0, [Бх,У1 ] = -«Л = -(а1Щ,х + 7\)У1. (3-6)
Применяя тождество Якоби и используя последние формулы, выводим:
[Бх, Wl] = -(а0 + а1)Ш1 - ¥0(0,^ + У1ЫУ0. (3.7)
По индукции можно доказать, что (3.5) является тестовой последовательностью. При этом для любого к> 2 справедливы формулы
[Бх, Wк ] = PкWк + qкWк-l + ••• , (3.8)
к к
к — к2
Рк = -(01 + ка0), ц_к = —2—¥0(00) - У0(а1)к. (3.9)
По предположению в алгебре с(у, N) существует только конечный набор линейно независимых элементов последовательности (3.5). Следовательно, существует М такое, что:
Wм = ЛWм-1 + ••• , (3.10)
операторы У0,У1, W1,..., Wм-1 линейно независимы, а многоточием обозначена линейная комбинация операторов У0,У1, W1,..., Wм-2.
Лемма 2. Операторы, У0,У1^1 линейно независимы. Доказательство. Допустим противное. Пусть выполняется равенство
Л^1 +»1У1 + ^0 = 0. (3.11)
Операторы У0, У1 имеют вид У0 = —^ + • • • ,У1 = —^ + • • •, в то время как W1 не содержит слагаемые вида —^ и —следовательно, коэффициенты равны нулю. Если при этом
Л1 = 0, тогда W1 = 0. Применим оператор а&вх к обеим частям последнего равенства, тогда в силу (3,7) получим уравнение
У0^ 1)У1 —У1^ 0)У0 = 0,
из которого следует: У0^1) = а^щ,х + 71,ио = 0 и У1 ^0) = а^щ,х + = 0. В силу независимости переменных и0,х и и1>х получаем, что а1,и0 = а0и1 = 0, Но это противоречит предположению (1,6) о том, что да(и«+и'и™,и™-1 = 0_ Лемма доказана, □
Лемма 3. Если имеет .место разложение (3,10), тогда
( \ Р'(Щ) , 1 $ (и0) ( \ (оЛО\
а(и1,и0,и-1) = Р Ы+Я [и.,) + М—1 Р (щ) + Я(щ) — С1(Щ). (3'12)
Доказательство. Нетрудно показать, что уравнение (3,4) для последовательности (3,5) имеет вид:
БХ(Л) = — aoЛ — М (М2 — ^ У0Ы — МУ0^ 1). (3.13)
Упростим соотношение (3,13), используя формулы
(8 8 \
УдМ = --+ (®0Щ,х + ъ)^- (®0Щ,х + ъ) =
\8щ 8щ,х/
= (®0,ио + ®о) и0х + 10,и0 + 0.0^0, (3.14)
¥0^1) = а.1,и0Щ,х + Ъ,и 0.
Простой анализ уравнения (3,13) показывает, что Л = Л(и0,и1). Следовательно, (3,13) переписывается в виде
ЛиоП0,х + Ли1 Щ,х = — ^(а^Л + ММ—И(а0,ио + и0,х — Ма1,иоЩ,х —
( Л М(М — 1). . ^ \
— ( 10Л +--2-(70,ио + &070) + Му1,ио ) .
Собирая коэффициенты при независимых переменных и0>х, и1>х, выводим переопределен-
Л
. М (М — 1) 2
Лио = —^Л--2-(а0,ио + ®о), Ли1 = —Ма1,ио, (3.15)
Л М (М — 1),
ЮЛ -- Ыио + ОЮ-У0) + Мъ,и о = 0. (3.16)
ниями, изученными в нвшей работе [15]. Из Леммы 3.2 упомянутой работы немедленно вытекает справедливость Леммы 3. Уравнение (3.16) мы используем далее для уточнения функции 7, □
3.2. Вторая тестовая последовательность. Построим тестовую последователь-
У0 У1 У2
2/0 = У0, 2/1 =У1, ^12 = У2, Я/З = [У1, У0] , = [^2, У1] ,
Z5 = [У2, Z3] , Z6 = У ^з] , Z7 = [¥1^4] , Z8 = [¥1^5]. (3.17)
Элементы последовательности Zт при т > 8 определяются рекуррентной формулой Zт = [У1,Zт-3]. Отметим, что это наиболее простая тестовая последовательность, порожденная итерациями отображения Z ^ \y-YiZ], которая содержит оператор [¥2, [Уl,Уo]] = Z5.
Лемма 4. Операторы, Z0, Z1,... Z5 являются линейно независимыми.
Доказательство. Нетрудно показать, что операторы 20, 21,... 24 линейно независимы (аналогично доказательству Леммы 1), Докажем лемму 4 от противного. Допустим, что
4
2б = . (3.18)
=0
Вычислим формулы, по которым действует оператор аёд^ на операторы 2^ Для г = 0,1, 2 они немедленно получаются из соотношения
[Бх,Уг ] = -агУг.
Напомним, что аг = агиг,х + 7г = а(иг-1,иг, иг+1)иг,х + 7(иг-1,иг, и^). При 1 = 3,4, 5 имеем
[Их, 23] = -(а 1 + а0)23 +----,
[Бх, 24] = -(а2 + а1)24 +----,
[Их, 25] = -(а0 + а1 + а2)25 + Уо(а 1)24 - У2(а1)2з +----
Применяя оператор а&вх к обеим частям (3,18), получаем
- (а0 + а1 + а2)(Л424 + Лз2з +----) + У0(а1)24 - У2(01)2З +----=
= Л4,х24 + Лз,х2з - Л4(а1 + а2)24 - Л3(а0 + а1)2з +---- (3.19)
24
Л4,х = -(а0Щ,х + 70)Л4 - (а1,иои1,х + 71,ио). (3.20)
Л = Л( и0, и1)
(3.20) сводится к системе трех уравнений 70Л4 + 71и0 = 0 Л4,и0 = -а0Л4 ш Л4и1 = -а1и0. Из этих уравнений следует, что Л4 = 0, Иначе, если Л4 = 0, тогда а0 = - (^Л4)ио, откуда следует, что (а0)и-1 = 0, и это противоречит требованию о том, что а(и1,и0,и-1) существенно зависит от ^ и и-1, следовательно, Л4 = 0, Тогда го (3,20) имеем а1>и0 = 0, последнее вновь приводит к противоречию, □
Вернемся к последовательности (3,17), Для дальнейшей работы необходимо описать действие оператора ad на все элементы этой последовательности. Удобно разделить последовательность (3,17) на три подпоследовательности {2зт}, {2зт+1} и {2зт+2}.
Лемма 5. Действие оператора, ad ох ко последовательность (3,17) задается следующими формулам,и:
/ ^т — т/2 \ [Бх, 2зт] = -(а0 + та1)2зт + ( -^-У^) - тУ^) ) 23т-з +----,
/ т — "т2 \
[Бх, 2зт+1] = -(а2 + та1)2зт+1 + ( -2-У1(а1) - тУ^) ) 23т-2 +----,
[Dх, 2зт+2\ = -(а0 + та1 + а2)2зт+2 + У0(а1 )2Зт+1 + У2(а1)2зт -
-^У^а 1) + У1(а0 + а2)) 2зт-1 +----
Лемма (5) легко доказывается по индукции,
2з к+2
2зк+2 = Лк2зк+1 + ^к2зк + Vк2зк-1 + • • • (3,21)
предыдущих членов последовательности, (3,17) и ни, один из операторов 2з3+2 при ] < к не является, линейной комбинаций операторов 23, 8 < ?у] + 2. Тогда коэффициент ик удовлетворяет уравнению
Бх(ик) = -а1 Рк - ^- ^У1(а1) - (к - 1)У1(а0 + а2). (3.22)
Лемма 6. Допустим, что выполняются все условия Теоремы 2. Пусть при этом оператор Z3k (оператор Z3к+1) линейно выражается, через операторы, Zi, г < 3к. Тогда, в этом, разложении коэффициент при Z3k-1 равен нулю.
Доказательство. Докажем от противного, допустим что в формуле
Z3k = Л^к-1 + ■■■ (3.23)
коэффициент Л отличен от нуля. Применим оператор а&пх к обеим частям уравнения (3.23). В результате, согласно Лемме 5, получим:
— ^0 + кal )ЛZзk-l +----= Dx(Л)Zзk-l — Л^0 + (к — 1)al + a2)Z;ik-l +---- (3.24)
Собирая коэффициенты при Z3k-1.J получаем, что коэффициент Л должен удовлетворять уравнению
DX(Л) = Л^2 — al). Л
Dx(logЛ) = a2 — a1. (3.25)
Л
(3.25) Л может зависеть только от и, и и2. Следовательно, из (3.24) получаем, что
(^Л)и1Щ,х + (^Л)и2и2,х = а2Щх + ъ — ®1Щ,х — Ъ. Переменные и1>х.; и2,х являются независимыми, так что последнее уравнение равносильно системе уравнений а1 = — (к^Л)и1, а2 = (^Л)и2, 72 — = 0. Следовательно, о., = а 1 (и 1, и2) зависит только от щ, и2. Последнее противоречит предположению, что о., существенно зависит от и0. Противоречие показывает, что предположение Л = 0 неверно. Лемма доказана. □
Для того чтобы доказать Теорему 2, мы применяем оператор а&пх к обеим частям равенства (3.21) и упрощаем при помощи формул из Леммы 5. Собирая коэффициенты при Z3k-1, получаем уравнение (3.22).
Найдем точные значения коэффициентов уравнения (3.22)
У1( ao) = У1(а0П0,х + Ъ) = ®0,и1и0,х + Ът, У1(a2) = У1(о.2П2,х + Ъ) = а2,и1^2,х + Ъил, У^ 1) = У1(а1Щ,х + ) = (а1,ш + а1 )щ,х + ^^ + и подставим их в (3.22):
Dx( ук) = —(а1Щ,х + 71) ик — к(к 2 1 {(®1,и1 + о>2)щ>х + + 71^1) —
— ( к — 1)(а0,и1Щх + 0>2,и1П2,х + 10,и1 + Ъ,и1). (3.26)
Простой анализ уравнения (3.26) показывает, что ик может зависеть только от переменных и0, щ, и2. Следовательно,
Dx( Vк) = Ъ'к,иои0,х + Ъ'к,и1и1,х + Ь/к,и2и2,х. (3.27)
Подставляя (3.27) в (3.26) и собирая коэффициенты при независимых переменных, получаем систему уравнений на коэффициент ик:
Щио = —(к — 1)а.0,и1, (3-28)
к( к — 1)
Vк,и1 = —а1 Vк--2-(а1,и1 + а2), (3-29)
ик,и2 = —(к — 1)а2,У,1, (3-30)
к( — 1)
0 = Ъ Vк +----(Ът + Ъ®1) + (к — 1)( Ъил + Ъ,и1). (3-31)
Подставляя выражение для функции а, заданнное формулой (3,12) в уравнение (3,28), получаем
" = к- 1 Р' (щ)® (щ)
ик,и0 М - 1(Р(щ) + Я(и0))2 •
и0
•'к = - М-! р ^ы+н (и1-"2(3'32)
Так как ик,и2 = Ни2, уравнение (3,30) переписывается в виде
Н =(Ь- П Р' (и2)Я' (и1)
Ни2 1)(р Ы + ЯЫ)2 -
Н
Н = -(к - 1)(0, Я(и^ , + А(щ)) , \р (и2 ) + ЯЫ 7'
которое дает
- = -< * -ч (м-р^+ь + таЬ + ^ - (3'33)
а к
( к - 1) ( Р'(щ)___Р'2(щ) ^
-( - 1)
М - 1 \Р(щ) + ЯЫ (Р(щ) + ЯЫ)2 Я"Ы Я'2Ы
р Ы + ЯЫ (Р Ы + ЯЫ)2
+ А' (щ)^
(Ь- л\( Р'(щ) 1 Ж(щ) ( Л
: ( к - 1ЧРЫ + ЯЫ + М-1 рЫ + ЯЫ - С1(щ)) х ( 1 Р'(и1) Ж (щ) Л
\М - 1 Р(щ) + ЯЫ + Р(и2) + ЯЫ + ( 1)) _Нк-Ц / Р''(и1) + 1 Я"(щ) 2 \РЫ + ЯЫ М - 1РЫ + ЯЫ 1 Я'2(щ) + __2Я (щ)Р' (щ) +
М - 1 (Р(и2) + ЯЫ)2 М - 1 (Р(щ) + ЯЫ)(Р(и2) + ЯЫ)
1 Я'2(и1)
+
(М - 1)2 ( Р(и2)+Я(и1))2
-^ - * 1ы ( рщмы + М-1 ) + <2м) - (3-34)
Очевидно, что согласно предположению д^а(и1, и0, и-1) = 0 ~^Г~1а(и1 ,и0,и-1) = 0 функции Р'(и2) и Я'(и0) не обращаются в ноль. Следовательно, переменные
Я 2ы Р '2ы р' (щ)Я' и)
(Р ы + Яы)2, (Р (щ) + Яы)2, (Р (щ) + ЯЫ)(Р ы + Яы)
являются независимыми. Собирая коэффициенты при этих переменных в (3,34), получаем систему двух уравнений
О-м-т){1 - 2(М-Т))=0- 1+(м-Гу2 = м-1 -
Система (3,35) имеет два решения: М = 0, к = -2 и М = 2, к = 2. Так как к должно быть больше нуля, имеем М = 2, к = 2. Последние рассуждения завершают доказательство Теоремы 2,
Итак, мы доказали, что М = 2, к = 2. Разложения (3,10) и (3,21) принимают вид
W2 = XV! + оУх + $Уо, (3.36)
= хг7 + + + + кг3 + 022 + + гц2о. (3,37)
Справедлива следующая
Теорема 3. Разложения (3.36), (3.37) имеют .место тогда и только тогда, когда функции а, 7 в уравнении (1.5) имеют вид:
а(ип+1,ип,ип-1) = —-1---^—, (3.38)
ип ип—1 ип+1 ип
гу(ип+1,ип,ип-1) = г'(ип) - г(ип)а(ип+1,ип,ип-1), (3.39)
где г(ип) = уи^ + к2ип + к3, где кг - произвольные постоянные.
Доказательство. Рассмотрим соотношение (3.36). Используя соотношения (3.6), (3.7) и применяя тождество Якоби, получим
W2] = -(2ао + а^2 - Уо(ао + 2а^1 + (2УоУ1(ао) - У1Уо{ао))Уо - УоУо(а^ (3.40)
Очевидно, что только одно слагаемое в формуле (3.36) содержит оператор дифференцирования а имен но оУ1; и только одно слагаемое с одержит а именно оУо. Следо-0 = 0 = 0
W2 = ^1.
Применяя оператор к обеим частям последнего соотношения, получим
- (2ао + а^2 - Уо(ао + 2а^1 + (2УоУМ - УМао))Уо - У0У0ЫУ1 =
= Бх(\^1 + X (-(ао + а^1 + У^о)Уо - УоЫ)У1). Собирая коэффициенты при операторах W2, W1, У1; Уо, приходим к следующей системе:
Бх(Х) = -аоХ -Уо(ао + 2а1), (3.41)
-УоУоЫ = -ХУо(а1), (3.42)
2УоУ1(ао) - У{Уо(ао) = ХУ^ао). (3.43)
Исследуя первое уравнение полученной системы, получаем, что X = Х(ио,и^ и далее упрощая все уравнения, приходим к следующей системе:
Хио = -аоХ - (ао,ио + ао), (3.44)
Хи1 = -2а1,ио, (3.45)
а1,иоио Ха1,ио, ао,иои1 Хао,и1. (3.46)
1оХ + 7о,ио + Ъао + 2ъ,ио = 0, (3.47)
Ъ,иоио = Хгу1,ио, (3.48)
Ъ,и0и1 + ъао,и1 - 1о,и1 ао = X . (3.49)
а
и X, а уравнения (3.47)-(3.49) для определения функции 7, подставляя найденную функ-а
Далее обратимся к разложению (3.37).
Полагая к = 2 в формулах Леммы 5, получаем
[Dx, Z&] = -(аоЩ,х + 2aiUi,x)Z6 +----, (3.50)
[Dx, Z7] = -(a2U2,x + 2aiUi,x)Z7 - (Yi(aiUi,x) + 2Yi(a2ui2,x))Z4 +----, (3.51)
[Dx, Z8] = -(aoUo,x + 2aiUi,x + a2u2,x)Z8 + Yo(aiUi,x)Z7 + Y2(aiUi,x)Z6 -
- (Yi(aiUitx) + Yi(aoUo,x + a2U2,x)) Zb +----. (3.52)
Далее применяем оператор &&dx k обеим частям соотношения (3.37) и упрощаем полученное равенство, используя (3.50), (3.51), (3.52). Сравнение коэффициентов при Z7 и Z6 дает А = 0 и ß = 0. Таким образом, формула (3.37) упрощается:
Z8 = uZ5 + pZA + kZ3 + 0Z2 + SZi + r]Zo. (3.53) Справедливы следующие коммутационные соотношения:
[Dx,Zg\ = -(0,2 + 2ai + ao)Z8 + Yo(ai)Z7 - Y2(ai)Z6 - Yi(0,2 + ai + ao)Z5 +
+ YiYo(ai)Z4 - YiY2(ai)Z3 + (Y^Yoiai) + Z5(ai))Zu (3.54)
[Dx, Z5\ = -(ao + ai + a2)Z5 + Yo(ai)Z4 - Y2(ai)Z3 + Y2Yo(ai)Zi. (3.55)
Применим к (3.53), затем упростим согласно (3.54), (3.55), (3.53) и соберем коэффициенты при Z5
-(о2 + 2ai + ao)v - Yi(a2 + ai + ao) = Dx(u) - (a2 + ai + ao)v или то же самое
Dx(v) = -a^ - Yi(a2 + ai + ao). (3.56)
Из уравнения (3.56) следует, что v зависит от трех пременных v = u(u,u1 ,U2). Таким образом, уравнение (3.56) сводится к системе уравнений:
uu = -ao,ui, (3.57)
vUl = -aiu - ai,u1 - (3.58)
^U2 = -o.2,ui, (3.59)
Ii» + l2,ui + hai + hu 1 + lo,ui = 0. (3.60)
Итак, в результате исследования соотношений (3.36), (3.37) мы пришли к уравнениям (3.44)-(3.46) и (3,57)-(3,59), которые в точности совпадают с соответсвующпмн системами уравнений из работы [15] и, следовательно, получаем, что
a(nn+i , Un, Un-i )
ип ип-1 ип+1 ип
7(ип+1, ип, ип-1) = г'(ип) - г(ип)а(ип+1 ,ип,ип-1 ) . Нетрудно показать, что соотношения (3.36), (3.37) принимают вид:
2
W2 = AWi, А
Z8 = VZ5, V = -
Ui - Uo
U2 - 2u1 + Uo (Ui - Uo)(U2 - Ui)
□
Аналогично определяется
ß(Un+i,Un,Un-i) = r'(Un) - r(Un)a(Un+i,Un,Un-i), (3.61)
где r(un) = ^rU2n + k2un + к3, где кг - произвольные постоянные.
строим новую последовательность на множестве кратных коммутаторов,
У
представить в виде (2,5):
N
У = У + я,
г=о
где оператор Я определяется формулой (2,6), Рассмотрим следующую последовательность операторов в характеристической алгебре с(у, N):
У-1, Уо, У1, Уо-1 = У,У-1], У1,о = У,Уо], (4.1) Яо = [Уо, Я] ,Я1 = [Уо, Яо] ,Я2 =[Уо,Я1 ],..., Як+1 = [Уо, Як ]. Справедливы следующие коммутационные соотношения:
[Бх,У-1] = -а-1У-1, [Бх,Уо] = -аоУо, [Ох,У1] = -а1У1, (4.2)
[Ох,У1,о] = -(ао + а1)Уг,о - У(ао)Уо + Уо(а 1)Уи (4.3)
[Ох,Уо-1] = -(а-1 + ао)Уо-1 - Уо(а-1)У-1 + У-1 (ао)Уо, (4.4)
[БХ,Я] = - ^ кгУг, (4.5)
г
где аг = агЩ,х + Ы = + Применяя тождество Якоби и используя формулы
(4.2)-(4.5), выводим:
№х, Яо] = [Бх, [Уо, Я]] = - [Уо, [Я, Бх]] - [Я, [Бх, Уо]] =
= -аоЯо + к^о - Ы-1 Уо-1 - Уо(Ы1)У1 - Уо(к-1)У-1 + (Я(ао) - Уо(Ыо))Уо, (4.6)
[Бх, Я1] = -2аоЯ1 - Уо(ао)Яо + ••• , (4.7)
[Бх, Я2] = -3аоЯ2 - 3Уо(ао)Я1 - Уо2(ао)Яо + ••• , (4.8)
[Бх, Яз] = -4а0Я2 - 6У0 (а0)Я1 - 4У02(а0 )Я1 - У03(а0)Я0 + ••• , (4.9)
где многоточием обозначена линейная комбинация операторов У1>о,Уо -1,У1,Уо,У-1. По индукции можно доказать, что справедлива формула:
[Ох, Яп] = рпЯа + дпЯа-1 +----, (4.10)
где
П2 + п
Рп = -(п + 1)а0, =--2—У (а°), (411)
а многоточием обозначена линейная комбинация операторов Як порядка к < п - 1 и операторов Ух^, У0,-1, У1,У0,У-1.
Далее мы рассмотрим два различных случая: ) Я
г г) Оператор Яо линейно не выражается через операторы (4.1).
)
должно иметь вид
Я = ХЯ + ду^ + ДУо-1 + иУ1 + Г]У0 + еУ-1. (4.12)
Отметим, что операторы в правой части последнего равенства линейно независимы. Применим оператор к обеим частям равенства (4.12) и упростим, используя (4.5), (4.3),
(4,4), тогда получим
- ao(XR + ¡Yi,o + ¡iYo-i +----) + hiYlfi - h-iYo-i +----=
= DX(\)R + Dx(/i)Yi,o + ¡(-(ao + ai)Ylfi + •••) +
+ Dx(¡i)Y0t-i + ¡(-(a-i + ao)Yo,-i + •••). (4.13)
Здесь многоточием обозначены слагаемые, представляющие собой линейную комбинацию операторов Y-1, Yo, Y^ Собирая коэффициенты при операторах R, Yiyo, Yo-i соответственно, получаем систему уравнений:
Dx(\) = -a0\ (4.14)
Dx(n) = ai ¡ + hi, Dx(i) = a-ii - h-i. (4.15)
Распишем уравнение (4.14): Dx(X) = -(aouo,x + io)X. Из последнего соотношения видно, что Л = Л(uo) и следовательно, оно распадается на два уравнения X(uo) = -aoX(uo), loX = 0. Если Л = 0, то ao = — (logX(uo))', что противоречит изначальному предположению настоящей работы о том, что а0 существенно зависит от u-i и ^.Следовательно, Л = 0. Теперь исследуем уравнения (4.15):
Dx(¡i) = (aiui,x + li)¡ + PiUix + Si, (4.16)
Dx(i) = (a-iu-i,x + l-i)¡ - P-iu-i,x - <Lb (4.17)
¡ ui
ji u-i
системам уравнений:
¡' (ui) = ai¡(ui) + Pi, ii¡(ui) + ^ = 0, (4.18)
¡¡(u-i) = a-i¡¡(u-i) - P-i, i-i¡¡(u-i) - i-i = 0. (4.19)
Сдвигая аргумент n на -1 и 1 в уравнениях (4.18) и (4.19), соответственно, получаем систему
j (uo) = aojj(uo) + Po, loj(uo) + So = 0, (4.20)
l(uo) = ao¡¡(uo) - Po, lol(uo) - So = 0. (4.21)
j ji o
(lf + ao) 6o - Polo. (4.22)
So,u0 = —— + - Ро1
V 1о
Решением уравнения (4.22) является фукнция
г , ч 1 1
до(и-1,ио,и1) = ----г х
4 (ио - и-1)(ио - их)
х ^к1(и0и1 — 2и0и-1и1 + и^и-1) + 2к2(и^ — и-1и1) + 2к3(—и1 + 2и0 — х
х ('¡ь1(и0и1 — и-1и1 + и-1и0) + 2к2и0 + 2к3 + 4Р1(и-1,и1)(и0 — и-1)(и0 — и^(4.23)
Здесь к^ к2, к3 и к17 к2, к3 - константы, фигурирующие в описании функций (3.39) и (3.61), функцию Р1(и-1,и1) требуется найти. Подставляя (4.23) во второе из уравнений (4.20) 0 = 10ц(и0) + получаем, что Р1(и-1 ,и1) = и при этом
Мио) = 2к1и20 + к2и0 + кз Из второго уравнения (4.21) 10к(и0) — S0 = 0 получаем, что
¡л(щ) = — 2 к1и0 — к2ио — к-
Далее, в равенстве (4,13) собираем коэффициенты при операторах У1.1 У-1. Полученные уравнения превращаются в тождества при найденных выше функциях а, /3, 5, д Д и не дают дополнительных условий на искомые функции. Выпишем уравнение, которое
Уо
Их(^) = Я(ао) - Уо(Ыо) + дУ1(ао) - ДУ-1 (ао). Вычисляя каждое слагаемое и упрощая последнее равенство, получаем
Вх('П) = (-3о,ио + дао,и1 - Дао,и_^ио,х + $оао - $о,ио - 1о3о + Д 1о,щ - Д1о,и_1.
Ясно, что г] зависит только от ио. Следовательно, последнее уравнение сводится к системе двух уравнений:
г]'(щ) = - 3о,иа + Дао,щ - Дао,и_1, (4,24)
боао - 6о,ио - ъ3о + Д1о,т - Дъ,и_1 = 0. (4,25)
Прямым вычислением получаем, что правая часть уравнения (4,24) тождественно равна нулю.
Исследуя уравнение (4,25), получаем дополнительные условия па константы ^ и к
кг = ^к2, к3 = Ь-кь. (4.26)
к2 к2
Доказано, что если имеет место разложение (4.12), то оно имеет вид:
Яо = дУг,о + ДУо-1. (4.27)
При этом мы полностью определяем искомые коэффициенты квазилинейной цепочки
ип,ху апип,хип,у + 3'пип,х + ип,у + 6п. (4.28)
Для них получаем явные выражения
11
ап = а(ип+1,ип,ип-1) = - _ _
ип ип-1 ип+1 ип
3п = 3(ип+1,ип,ип-1) = г'(ип) - г(ип)а(ип+1,ип,ип-1),
1п = %(ип+1,ип,ип-1) = е(г'(ип) - г(ип)а(ип+1 ,ип,ип-1)),
8п = 5(ип+1,ип,ип-1) = £г(ип)(г'(ип) - г(ип)а(ип+1 ,ип,ип-1)),
где г(ип) = ^¿—п + с2ип + с3 некоторый полином не выше второй степени с произвольными коэффициентами. Граничные условия, сводящие цепочку к интегрируемой системе гиперболических уравнений, задаются в виде
и-1 = Х, и^+1 = X, (4.29)
где X удовлетворяет уравнению г(Х) = 0, В вырожденном случае, когда г(ип) = с3, граничные условия берутся в виде
и-1 = сз(ех + у) + С4, им+1 = сз(ех + у) + с5, (4,30)
где с4, с5 — произвольные постоянные.
Исследуем случай г г). Допустим, что некоторый элемент Яп, п > 0 последовательности (4,1) линейно выражается через предыдущие элементы:
Яп = ХЯп-1 + ••• , (4.31)
но элементы Як-, к < п линейно те выражается через предыдущие Я^ ] < к, У^о, Уо^ъ Уъ Уз, У^- Применим оператор &&вх к обеим частям соотношения (4.31):
Рп( ХЯп-1 + • • •) + дпЯп-1 + • • • = Ох(Х)Яп-1 + Х('рп-1Яп-1 + • • •).
Собираем в полученном равенстве коэффициенты при операторе Кп-\.
Ох(Х) = Х(рп - Рп-г) + Чп. Подставляем явные выражения для рп,рп-г,
п2 + п
Бх(Х) = -аоХ--^—У>( ао).
Подставляем явное выражение для а0 и вычисляем значение выражения У0(а0), получаем
п2 + п
Ох(Х) = -(аоЩ,х + 1о)Х--^— {(ао,по + ®0)ио,х + Ъ,и о + Ъао) (4.32)
Из последнего равенства следует, что Х зависит от и0. Тогда уравнение распадается па систему двух уравнений
п2 + п
Х' (ио) = -аоХ--^—(ао,ио + ао), (4-33)
п2 + п
ЪХ +--2—(Чо,ио + Ъао) = 0. (4.34)
Распишем уравнение (4.33):
,, -Х(ио)(2ио -иг -и-г) - (п2 + п)
Х (ио) =--^-г--4.35)
(ио - и-г)(ио - иг)
или
Х'(ио)(и0 - иоиг - и-ги0 + иги-г) = -Х(и0)(2и0 - иг - и-г) - (п2 + п). (4.36)
В силу независимости переменных и-г,и0,иг из последнего равенства немедленно следует, что Х = 0 и п2 + п = 0. Откуда п = 0 или п = -1, что противоречит предположению п > 0. Отсюда следует, что случай 11) не реализуется.
Приведем доказательство Теоремы 1 из Введения. В зависимости от выбора значений параметров сг,с2, с3 возможны три существенно разных варианта цепочки (4.28). Остановимся подробно на этих вариантах.
1. Если сг = = 0, т0 преобразованием сдвига и ^ и - с3(ех+у) цепочка (4.28) сводится к известной цепочке Ферапонтова-Шабата-Ямилова (см. [27, 28])
ип,ху — апип,хип,у. (4.37)
2. Если сг = 0, С2 = 0 т0 преобразованиями сдвига и ^ и - ^ и растяжения х ^ , У ^ у получаем цепочку
ип,ху ап(ип,хип,у ип(ип,х + ип,у ) + ) + ип,х + ип,у ип. (4.38)
3. При сг = 0 преобразованиями сдвига и ^ и - — и растяже ния х ^ —х, у ^ —у цепочку (4.28) можно привести к виду
ип,ху ап(ип,хип,у $п(ип,х + ип,у
) + ) + 3 п(ип,х + ип,у ^п), (4,39)
где 8п = ип + С, С - произвольная постоянная.
Теорема 4. Цепочка (4.28), найденная в результате классификации, является, интегрируемой в смысле Определения, 1, сформулированного во Введении.
Введем специальные обозначения для кратных коммутаторов операторов {У}
Угк,...,го = \Угк ,Угк_1,...,го]. (4.40)
Структура алгебры Ли, порожденной операторами {У} может быть исследована методом, развитым в нашей предыдущей работе [15]. Можно доказать, что любой элемент этой алгебры представляется в виде линейной комбинации следующих операторов
^ Yi+1,i, У 1+2,1+1,1, .... (4.41)
Из формулы (2.5) следует, что алгебра С(у), соответствующая системе (2.1), является расширением указанной алгебры, полученным добавлением еще одного образующего, а именно, оператора Я.
Напомним, что в работе [15] был детально исследован частный случай цепочки (4.28). А именно, была доказана следующая теорема:
Un,xy — I I un,xun,y (4.42)
\Un Un—i Un+1 Un J
Теорема 5. Цепочка
1 1
Un—\ U<a+l Ur<
является интегрируемой no Определению 1, сформулированному во Введении.
Для доказательства Теоремы 5 на множестве кратных коммутаторов операторов Y0, ...,Yn, соответствующих цепочке (4.42), был построен базис
{Yi}1ií=0, iYi+i,i}1i=01, {Yi+2,i+i,i}1=-2, ...,yn,n-1,...,0. (4.43)
Доказательство того, что на множестве кратных коммутаторов операторов Yo,...,Y^, соответствующих полученной в настоящей работе цепочке (4.28), существует базис, состоящий из операторов, построенных из них по формулам (4.43), является почти дословным повторением доказательства Теоремы 5.2 работы [15] (см. Appendix), подразумевая под ai функцию ai — aiUitX + 7i. Указанное доказательство является громоздким, поэтому здесь мы его не приводим.
Для того чтобы доказать Теорему 4, мы рассматриваем алгебру Ли с(у,N), порожденную операторами Yo,...,Y^,R и доказываем, что в этой алгебре существует конечный базис
R, {Yг}iLo, {Yi+1,i }¿=o\ {YÍ+2,Í+1,Í}1¡=-2, . . . ,YN,N-1,...,0. (4.44)
Принимая во внимание факты, приведенные в предыдущем абзаце, ясно, что остается
R
ражается через элементы базиса (4.44).
Доказательство. При доказательстве теоремы мы рассматриваем урезанные цепочки, т.е. конечные системы гиперболических уравнений (2.1), полученные из исходной цепочки наложением условий обрыва. Отметим, что при переходе от бесконечной цепочки к урезанной коммутационные соотношения вблизи точек обрыва меняются.
Доказательство Теоремы 4 проведем по индукции. Обоснуем базу индукции. Для первого шага доказательства нам понадобятся следущие формулы:
[Dx, Ro] — -aoRo + hiYio - Yo(hi)Yi + (R{ao) - Yo{ho))Yo, (4.45)
[Dx,Rn] — -aNRN — hN-1 [YN ,YN-1 ] —
- YN(hN-1)YN-1 + (R(aN) - YN(hN))YN, (4.46)
[Dx,Rk] — akRk - hk-1 [Yk,Yk-1] + hk+1 \Yk+1 ,Yk] -
- Yk(hk-1)Yk-1 + (R(ak) - Yk(hk))Yk - Yk(hk+1)Yk+1. (4.47)
Здесь R — [Y, R],j — 0,1..., N.
Покажем, что выполняется равенство
Ro — \(o)R + n(o)Ylto + u(o)Y1 + V(o)Yo. (4.48)
Применим оператор к обеим частям соотношения (4,48) и упростим в силу формул (4,2), (4,3), (4,5), (4,45), получим
- ао(Х(0)Я + /о)Уг,о + •••) + кгУг ,о + • • • =
= Бх(Х(0))Я + Ох(^(о))Уг,о + /(0)(-(аг + ао )Уг,о + •••). (4.49)
Здесь многоточием обозначены слагаемые, не содержащие операторы Я и Уг>0 (т.е. слагаемые фактически представляющие собой линейную комбинацию операторов Уг.; Уо). Собирая в (4,49) коэффициенты при операторах Я и Уг>0., получаем систему уравнений
Ох(Х(0)) = -аоХ(о), (4.50)
Бх^) = аг/0) + кг. (4.51)
Уравнение (4.50) совпадает с уравнением (4.14) при г = 0 следовательно, Х(о) = 0. Уравнение (4.51) совпадает с первым уравнением (4.15) при г = 0 тогда = Нетрудно показать, что = = 0. Итак, мы доказали, что разложение (4.48) выполняется и оно имеет вид
Яо = /о)Уг,о. (4.52)
Покажем, что выполняется равенство
Ям = Х(м)Я + /(м )Ум,м-г + г](м)Ум + е(м)Ум-г. (4.53)
Применим ad вх к обеим частям соотношения (4.53):
- ам(Х(м)Я + /(м)Ум,м-г + •••) - км-гУм,м-г + ••• =
= Бх(Х(м))Я + БхО!^ ))Ум,м-г + !(м )(-(ам + ам-г)Ум,м-г + •••). (4.54)
Здесь многоточием обозначены слагаемые, не содержащие операторы Я и Ум,м-г (фактически представляющие собой линейную комбинацию операторов Ум, Ум-г)- Собирая коэффициенты при Я и Ум,м-г, получаем систему:
Бх(Х(м)) = - амХ(м), (4.55)
ОхХ~!(м)) = ам-г!(м) - км-г. (4.56)
Уравнение (4.55) совпадает с уравнением (4.14) при г = N следовательно, Х(м) = 0. Уравнение (4.56) совпадает со вторым уравнением (4.15) при г = М, значит !(м) = = !(им_г). Нетрудно показать, что г](м) = е(м) = 0. Итак, мы доказали,
что разложение (4.53) также выполняется и принимает форму:
Ям = !(м ) Ум ,м-г. (4.57)
Пусть 0 < к < N. Покажем, что выполняется равенство
Як = Х(к)Я + ¿к)Ук+1,к + ~!{к)Ук,к-г + и{к)Ук+г + 'Ц(к)Ук + е(к)Ук-г. (4.58)
Применим оператор adDx к обеим частям соотношения (4.58):
- ак(Х(к)Я + /{к)Ук+г,к + !{к)Ук,к-г + •••) - кк-гУк,к-г + кк+гУк+г,к + ••• =
= Бх (Х(к))Я + Ох(1(к))Ук+!,к + Ох(1(к))Ук,к-г + + 1{к)(-(ак+г + ак )Ук+г,к + •••) + !{к)(-(ак + ак-г)Ук,к-г + •••). (4.59)
Многоточием обозначены слагаемые, не содержащие операторы Я, Ук+1,^ Ук,к-1- Собирая коэффициенты при этих операторах в (4,59), получаем систему
Дх(Х(к)) = —акХ(к), (4.60)
Ох(д(к]) = ак+ц(к) + кк+ъ (4.61)
Д^) = ак-ф(к) — Пк-1. (4.62)
Уравнение (4.60) совпадает с уравнением (4.14) при г = к. Поэтому получаем, что \(к) = о_ Уравнение (4,61) совпадает с первым уравнением (4.15) при г = к, а уравнение
(4.62) - со вторым уравнением (4,15) при г = к. Следовательно, = Дк(¡1(41)) = ¡(ик+1), ¡¡(к) = дк(¡¡(и-1)) = ¡(ик-1). Нетрудно показать, что и(к) = г](к^ = е(к^ = 0, Итак, мы доказали, что разложение (4,58) имеет вид:
пк = ¡(к)Ук+1,к + ¡1(к) УКк-Ъ (4.63)
Далее, вычислим коммутатор [Уг+1,г, Я] для некоторого г, 0 ^ г ^ N — 1. Используем тождество Якоби:
[Уг+!,г,Щ = — Я,У+1,г] = — [Я, У+1,У]] = = [Уг+1, [Уг,Щ] + [Уг, [ЯУ+Л] =
= [Уг+1,1(г)Уг+1, + — [Уг,1(г+1)Уг+2,г+! + 1(г+1)Уг+1,г] =
= Л(г)Уг+2,г+1,г + М(г) У+^г-г + к(г)Уг+2,г+1 + ^У+1, + С(г)У,г-1,
где Л(г\ М(г\ Кг), Г1(г\ ((г) - некоторые функции, зависящие от динамических переменных. При этом, С(0) = 0 М(0) = 0 -1 = 0 км-1 = 0.
М
0 ^ к < М ^ N — 1 справделнва формула:
[УМ,М-1,..,к, Щ = ЛУМ+1,М,М-1,..,к + МУМ,М-1,..,к,к-1 + + 1>УМ,М-1,...,к + ^УМ+1,М,М-1,..,к+1 + 'ПУМ-1,...,к,к-1 + +(УМ-1,М-2,...,к + @УМ,М-1,...,к+1 + СУМ-2,М-2,...,к-1 + • • • +
+-----+ кУм+1,м + ^Ум,м-1 +-----+\Ук,к-1. (4.64)
и покажем, что аналогичное представление имеет место и при М + 1. Применяя тождество Якоби, получим, что справедливо разложение:
[УМ+1,М,М-1,..,к, Я] = — [Я, [УМ+1,УМ,М-1,..,к]] = = \УМ+1, [УМ,М-1,..,к, Я]] + [ум я,ум+1 ]] =
= \УМ+1, [УМ,М-1,..,к, Я]] — [УМ,М-1,.,к, ЯМ+1] .
М
(4.63), (4.52) или (4.57), и далее раскладываем коммутаторы, используя свойство линейности. Последнее завершает доказательство Теоремы 4. □
Заключение
В работе исследуется задача об интегрируемой классификации двумеризованных цепочек типа (1.1). Для цепочек специального вида (1.5), (1.6) получено полное описание интегрируемых случаев. Под интегрируемостью здесь понимается наличие у цепочки редукций в виде систем гиперболических уравнений сколь угодно высокого порядка, интегрируемых по Дарбу. В полученном списке, наряду с известными, есть и новые примеры (см. цепочки и) и Ш) в Теореме 1).
Используемый для классификации алгоритм является сравнительно новым, апробирование этого алгоритма - одна из целей работы. Он основан на понятии характеристической
алгебры, введенной ранее для исследования систем гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными (см., например, работы [17], [20] и ссылки в них). Хорошо известно, что характеристические алгебры по обоим направлениям для интегрируемой по Дарбу системы имеют конечную размерность, В настоящей работе мы использовали это понятие для классификации 1+2 - мерных уравнений.
Как показывают примеры (см, [31]—[34]) характеристические алгебры гиперболических систем интегрируемых при помощи метода обратной задачи рассеяния являются алгебрами медленного роста,
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. E.V. Ferapontov, K.R. Khusnutdinova, On the integrability of (2+1)-dimensional quasilinear systems// Commun. Math. Phvs. 248. 2004. P. 187-206.
2. E.V. Ferapontov, K.R. Khusnutdinova, S.P. Tsarev, On a class of three-dimensional integrable Lagrangians // Commun. Math. Phvs. 261. 2006. P. 225-243.
3. A.V. Odesskii, V.V. Sokolov, Integrable (2+1) dimensional system,s of hydrodynamic type // Theor. Math. Phvs. 163. 2010. P. 549-586.
4. L.V. Bogdanov, B.G. Konopelchenko, Grassmannians Gr(N — 1,N + 1); closed differential N — 1 forms a nd N-dimensional integrable systems //J. Phvs. A: Math. Theor. 46. 2013. 085201.
5. M.V. Pavlov, Z. Popowicz, On Integrability of a Special Class of Two-Component (2+1)-Dimensional Hydrodynamic-Type Systems // SIGMA. 5. 2009. 011, 10 p.
6. A.K. Pogrebkov, Commutator identities on associative algebras and the integrability of nonlinear evolution equations // Theor. Math. Phvs. 154:3. 2008. P. 405-417.
7. M. Mañas, L.M. Alonso, Alvarez-Fernández С., The multicomponent 2D Toda hierarchy: discrete flows and string equations // Inverse Problems. 25. 2009. 065007.
8. V.E. Zakharov, S.V. Manakov, Construction of higher-dimensional nonlinear integrable system,s and of their solutions // Functional Analysis and Its Applications. 19:2. 1985. P. 89-101.
9. I.S. Krasil'shchik, A. Sergvevev, O.I. Morozov, Infinitely m,any nonlocal conservation laws for the ABC equation with A + В + С = 0// Cale. Var. PDEs. 55:5. 2016. Paper No. 123
10. V.E. Adler, A.B. Shabat and R.I. Yamilov, Symmetry approach to the integrability problem // Theor. Math. Phvs. 125. 2000. P. 1603-1661 (Engl. Transí.)
11. A.V. Mikhailov, A.B. Shabat, V.V. Sokolov, The symmetry approach to classification of integrable equations. In V.E. Zakharov (eds) What Is Integrability?. Springer Series in Nonlinear Dynamics. Springer, Berlin, Heidelberg. 1991. P. 115-184.
12. A.V. Mikhailov, R.I. Yamilov Towards classification of (2+1)-dimensional integrable equations. Integrability conditions: I // J. Phvs. A: Math. Gen. 31. 1998. P. 6707-6715.
13. E.B. Ферапонтов, К.P. Хуснутдинова, M.B. Павлов, Классификация интегрируемых (2+1)-мерных квазилинейных иерархий // ТМФ. 144:1. 2005. С. 35-43; Theoret. and Math. Phvs. 144:1. 2005. P. 907-915.
14. I.Т. Habibullin, Characteristic Lie rings, finitely-generated modules and integrability conditions for (2+ 1/-dimensional lattices // Phvsica Scripta. 87:6. 2013. 065005.
15. I.T. Habibullin, M.N. Poptsova, Classification of a Subclass of Two-Dimensional Lattices via Characteristic Lie Rings // SIGMA. 13. 2017. 073, 26 p.
16. A.B. Жибер, Ф.Х. Мукминов, Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры, // Задачи математической физики и асимптотики их решений. Уфа: БНЦ УрО АН СССР 1991. С. 14-32.
17. А.В. Жибер, Р.Д. Муртазина, И.Т. Хабибуллин, А.Б. Шабат, Характеристические кольца Ли и нелинейные интегрируемте уравнения. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2012. 376 с.
18. А.В. Shabat, Higher symmetries of two-dimensional lattices // Phvs. Lett. A 200:2. 1995. P. 121133.
19. I.T. Habibullin, A. Pekcan, Characteristic Lie algebra and classification of semidiscrete m,odels // Theor. Math. Phvs. 151:3. 2007. P. 781-790.
20. A.V. Zhiber, R.D. Murtazina, I.Т. Habibullin, А.В. Shabat, Characteristic Lie rings and integrable models in mathematical physics // Ufa Math. J. 4:3. 2012. P. 17-85.
21. A.V. Zhiber, V.V. Sokolov, Exactly integrable hyperbolic equations of Liouville type // Russ. Math. Surv. 56. 2001. R 61-101.
22. S.V. Smirnov, Darboux integrability of discrete two-dimensional Toda lattices // Theor. Math. Rhys. 182:2. 2015. P. 189-210.
23. S.V. Smirnov, Semidiscrete Toda lattices // Theor. Math. Phvs. 172:3. 2012. P. 1217-1231.
24. K. Zheltukhin, N. Zheltukhina, E. Bilen, On a class of Darboux-integrable semidiscrete equations // Advances in Difference Equations. 2017:182. 2017.
25. K. Zheltukhin, N. Zheltukhina, Semi-discrete hyperbolic equations admitting five dimensional characteristic x-ring //J. Nonlinear Math. Phvs. 23. 2016. P. 351-367.
26. G. Gubbiotti, C. Scimiterna, R.I. Yamilov, Darboux integrability of trapezoidal H4 and H6 families of lattice equations II: General Solutions. 2017. arXiv:1704.05805
27. E.V. Ferapontov, Laplace transformations of hydrodynamic-type system,s in Riem,ann invariants // Theor. Math. Phvs. 110:1. 1997. P. 68-77.
28. A.B. Shabat, R.I. Yamilov, To a transformation theory of two-dimensional integrable system,s // Phvs. Lett. A 227:1-2. 1997. P. 15-23 .
29. R. Yamilov Symmetries as integrability criteria for differential difference equations // J. Phvs. A: Math. Gen. 39:45. 2006. P. 541-623.
30. G. Rinehart, Differential forms for general commutative algebras. // Trans. Amer.Math. Soc. 108. 1963. P. 195-222.
31. A.V. Zhiber, R.D. Murtazina, On the characteristic Lie algebras for equations uxy = f (u,ux) // J. Math.Sci. 151:4. 2008. P. 3112-3122.
32. И.Т. Хабибуллин, E. В. Гудкова, Алгебраический мет,од классификации S-интегрируемых дискретных моделей // ТМФ. 167:3. 2011. Р. 407-419.
33. A.U. Sakieva, The characteristic Lie ring of the Zhiber-Shabat-Tzitzeica equation // Ufa Math. J. 4:3. 2012. P. 155-160.
34. D. Millionshchikov, Lie Algebras of Slow Growth and Klein-Gordon PDE // Algebr. Represent. Theor. 2018. https://doi.org/10.1007/sl0468-018-9794-4.
Мария Николаевна Попцова,
Институт математики с вычислительным центром УФ! III РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: mnpoptsova@gmail. com
Иемагил Талгатович Хабибуллин,
Институт математики с вычислительным центром УФ! III РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия,
Башкирский государственный университет, ул.Заки Вал иди, 32, физико-математический корпус 450077, г. Уфа, Россия E-mail: habibullinismagil@gmail. com
