Об аналитическом методе решения задачи Коши системы двух квазилинейных гиперболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Vol. 21, No. 02, 2018

Ovil Aviation High Technologies

УДК 517.957

DOI: 10.26467/2079-0619-2018-21-2-51-58

ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ СИСТЕМЫ ДВУХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

А.А. ГОРИНОВ1

1 Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН,

г. Москва, Россия

Исследования поддержаны грантом Российского фонда фундаментальных исследований,

проект № 15-08-08698

Проводится анализ применимости метода «ручного» интегрирования В.В. Лычагина к системам двух квазилинейных гиперболических дифференциальных уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными Ь,х и двумя неизвестными функциями и = х) и у = х>(Ь, х). Рассматриваемые системы являются частным случаем систем Якоби, для которых В.В. Лычагиным был предложен аналитический способ решения начально-краевой задачи. Каждому из уравнений системы ставится в соответствие дифференциальная 2-форма на четырехмерном пространстве. Эта пара форм однозначно определяет поле линейных операторов, которое для гиперболических уравнений порождает структуру почти произведения. Это означает, что касательное пространство четырехмерного пространства в каждой точке является прямой суммой двумерных собственных подпространств данного оператора и, таким образом, определены два двумерных распределения. Если хотя бы одно из этих распределений вполне интегрируемо, то можно построить векторное поле, сдвиги вдоль которого сохраняют решение исходной системы уравнений. Таким образом, решение начально-краевой задачи для рассматриваемой системы может быть получено аналитически с помощью сдвига начальной кривой вдоль траекторий данного векторного поля. В качестве примера рассмотрена система уравнений Бакли - Леверетта, описывающая процесс нелинейной одномерной двухфазной фильтрации в пористой среде. Для построения решения задачи Коши выбирается кривая начальных данных; график решения системы Бакли - Леверетта получается сдвигом этой кривой вдоль траекторий векторного поля (это векторное поле определено с точностью до умножения на функцию). Сечения компоненты этого графика для различных моментов времени представлены на рисунке. На графике видно, что в какой-то момент времени решение перестает быть однозначным. В этот момент у решения происходит разрыв и возникает ударная волна.

Ключевые слова: интегрируемые распределения, теорема Фробениуса, гиперболические уравнения.

ГИПЕРБОЛИЧНОСТЬ

Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными ^ х и двумя неизвестными функциями и = и(1, х) и р = х):

А1их + В1рх + Сг = 0,

А2рх +В2их + С2=Р^ ()

Здесь АI, ВI, СI - известные функции от переменных х,и,р (/ = 1,2). Будем считать, что эти функции класса Ст.

Система (1) является частным случаем систем Якоби, для которых В.В. Лычагиным был предложен аналитический способ решения начально-краевой задачи [5] (см. также [3]). Опишем суть этого метода применительно к системам типа (1).

Введем пространство Ы = Е4 с координатами ^ х, и0,р0 и пространство М = Ш2 с координатами ^ х. На пространстве N построим две дифференциальные 2-формы

Научный Вестник МГТУ ГА_Том 21, № 02, 2018

Ovil Aviation High Technologies Vol. 21, No. 02, 2018

ш-l = Axdt Л du0 +B1dt Л dv0 + C1dt Л dx, w2 =B2dt Л du0 +A2dt Л dv0 + C2dt Лdx + dx Л dv0.

С этими дифференциальными формами свяжем дифференциальные операторы

Д^С(М) X С£с(М) ^ П2(М) (i = 1,2),

действующие по правилу

Ai(u,v) =wi|puv (i = 1,2).

Здесь С^с(М) - кольцо локально гладких функций на М, т. е. функций, гладких в своей области определения, П2(М) - модуль дифференциальных 2-форм на М,

ru,v = ("о = u(t,x),V0 = v(t,x)}

- график вектор-функции (u,v) и - ограничение дифференциальной 2-формы ш на этот

график. Области определения функций и и v должны совпадать.

Теорема 1. Пара функций (u,v) является решением системы (1) тогда и только тогда, когда

A1(u,v) = 0, A2(u,v) = 0.

Введем понятие гиперболичности для систем (1). Пусть д£ tt4(N) - фиксированная дифференциальная форма объема на N, например,

д = dt Лdx Л du0 Лdv0.

Для пары дифференциальных 2-форм а, ß £ Q2(N) определим симметрическую билинейную форму

следующим равенством:

аЛр = q(a,ß)^i. Матрица Грамма этой билинейной формы имеет вид

\q(o)2,M1) q02,w2)/.

Определение 1. Система дифференциальных уравнений (1) называется гиперболической, если det Q < 0 для всех точек пространства N.

Следующая теорема дает критерий гиперболичности систем (1).

Теорема 2. Система дифференциальных уравнений (1) является гиперболической тогда и только тогда, когда функция А1 не обращается в нуль.

В справедливости этой теоремы можно убедиться прямыми вычислениями. Далее считаем, что условие гиперболичности выполняется.

Vol. 21, No. 02, 2018

Ovil Aviation High Technologies ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Заметим, что дифференциальные 2-формы а11ш1 + а12ш2 и а21шг + а22ш2, где ац - функции на Ы, для которых матрица Па1,у1к./=1,2 невырождена, определяют ту же самую систему дифференциальных уравнений (1).

Таким образом, вместо 2-форм и ш2 можно рассматривать дифференциальные 2-формы, являющиеся их линейными комбинациями. В частности, для гиперболических систем коэффициенты «¿у можно выбрать так, чтобы выполнялись следующие условия:

и

Аш2 = 0 Аш1 = —ш2 АМ2.

Например, следующие дифференциальные 2-формы удовлетворяют этим условиям:

о»! = (3В2С1 —А1С2)й1 А йх + 2А1В2йЬ А йи0 + (3В2В1 —А1А2)й1 А йр0 —Агйх А йр0, ш2 = {В2С1 +А1С2)й1 А йх + 2АгВ2йЬ А йи0 + {В2В1 +А1А2)й1 А йр0 + А1йх А йр0.

Построим поле <А линейных операторов на Ы, определив его равенством

Х\ш2 =ЯХ\ш1.

Здесь ] - оператор внутреннего умножения, а X - произвольное векторное поле на пространстве М4. В базисе

матрица этого линейного оператора имеет вид

( 1

' 2в2в1-а1а2

я =

\

А,

А2С± —В1С2 С2А1 — С1В2

'о dv0

0 0

-1 0 0

Сх 21Т А! 1 вг 22Т А!

0 0 -1

Собственные подпространства оператора А определяют два двумерных распределения на пространстве Ы: распределение У+, которое порождено парой векторных полей

Х+=А^ + (В2В1 -А1А2) + (С2А1 -С1В2)

и

Y+ = —, du

и распределение V , порожденное парой векторных полей

Oivil Aviation High Technologies

Vol. 21, No. 02, 2018

Х~ = -В1 — + С1 —

ОХ дР0

и

_ _ д д 1 дх 1 ди0'

Определение 2. Распределения У+ и У~ будем называть характеристическими.

Характеристические распределения обладают одним замечательным свойством: касательная плоскость в точке а к графику решения пересекает каждую из характеристических плоскостей У+(а) и У~(а). Поэтому на графике решения лежат интегральные кривые характеристических распределений. Эти кривые называются характеристиками. Это наблюдение лежит в основе описываемого метода аналитического интегрирования.

А именно, допустим, что одно из характеристических распределений, например, У+, вполне интегрируемо и кривая Ж лежит на нулевой поверхности уровня интеграла распределения У+. Для построения решения, график которого содержит кривую К, достаточно построить векторное поле 2 из распределения У~, трансверсальное кривой начальных данных Ж, и сдвинуть эту кривую вдоль его траекторий. В результате сдвига получится поверхность, которая и будет представлять собой график искомого решения [3].

Характеристические распределения можно также задать дифференциальными 1-формами

= ---йЬ + — йх + йи + — йр,

. Ал С? —ВоСл

0+ —— ¿г, 2 А1

В2 С-^

в1 = ---йЬ + йр,

А1

б-, =-dt--йх--йр.

/ А1 А1 А1

Теорема 3. 1. Характеристическое распределение У+ вполне интегрируемо тогда и только тогда, когда

'дСл дВ2 дА, _ дС2

ди 1 / 1 1 ди 1 ди / 1 ди

дС2 дА2 дС1 дВ1 _

— АлВ-, —СлАл —----—В1В2 + ——В2С1 —0.

ди 1 1 1 1 ди ди ди / 1

2. Характеристическое распределение У~ вполне интегрируемо тогда и только тогда, когда либо

АгС2 -В2С1 = 0,

либо

дВ± дА1 дСг дВ± дА1 дСг _

дх 1 1 дх ди 1 1 ди др 1 1 др

Vol. 21, No. 02, 2018

Civil Aviation High Technologies

Справедливость этой теоремы следует из условий полной интегрируемости Фробениуса

Ав^ Айв^ = 0, А0± Айв% = 0.

Таким образом, решение задачи Коши для системы (1) может быть получено методом В.В. Лычагина, если выполняются условия теоремы 3.

Заметим, что при выполнении условия А1С2 —В2С1 = 0 в системе (1) одно из уравнений оказывается не связанным с другим. То есть система распадается на два уравнения. То же самое справедливо и в случае полной интегрируемости распределения У+.

СИСТЕМА БАКЛИ - ЛЕВЕРЕТТА

В качестве примера рассмотрим систему уравнений Бакли - Леверетта [1, 2], описывающую процесс одномерной двухфазной фильтрации в пористой среде:

5с + С(5)Н(5)рх5х = 0,

Н'(5)рх5х + Н(5)рхх = 0. { )

Здесь х - пространственная координата, t - время, 5 - водонасыщенность, то есть относительный объем пор, заполненных водой, р - давление, С и Н - заданные функции.

Введем обозначения: и = рх, V = 5. Система (2) является частным случаем системы (1) при

Аг = Н(у), Вг =Н'(р)и, Сг = 0, А2 = -Оу')Н(у')и, В2 = 0, С2 = 0, и вместо системы (1) будем рассматривать систему

(Н (р)их + Н'(р)ирх = 0,

Условие интегрируемости распределения У~ теоремы 3 выполняется для этой системы, и поэтому задача Коши для (2) может быть решена методом В.В. Лычагина.

Ее характеристические распределения порождены векторными полями ^ ^ д ± д д

ди ох ot

и

д д д

V': Х~ =Н'{у)и—-Н{у)—, У~=гг-

ди ар ох

Вполне интегрируемое распределение У~ имеет два функционально независимых интеграла

1± = г, 12=иН(у).

Их ограничения на кривую

у = (х = 0,и = = Уф)

Oivil Aviation High Technologies

Vol. 21, No. 02, 2018

имеют вид

/11У = £, /21у = /(0 = я(У(0Ж0.

Найдем функцию F, такую, что

Г(/11у,/21у) = 0.

Этому условию удовлетворяет функция

^(/1,/2)=/2-/(/1).

Кривая у лежит на графике решения если ограничение функции F на эту кривую равно нулю: = 0.

Построим векторное поле 2 на графике интегральные кривые которого являются в то же время интегральными кривыми распределения У+\

д д /т д

Это векторное поле определено с точностью до умножения на функцию.

Для построения решения задачи Коши возьмем следующую кривую начальных данных:

К = {1 = 0,и = их(х),р = Ух(х)}.

График решения системы Бакли - Леверетта получается сдвигом этой кривой вдоль траекторий векторного поля 2. Сечения компоненты V этого графика для различных моментов времени представлены на рис. 1.

Видим, что в какой-то момент времени решение перестает быть однозначным. В этот момент у решения происходит разрыв и возникает ударная волна [3, 4].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрен класс систем двух квазилинейных гиперболических дифференциальных уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными ^ х и двумя неизвестными функциями и = и(1:,х~) и р = р(С,х) (включающий практически важную задачу фильтрации), для которых ранее был предложен аналитический способ решения начально-краевой задачи. Однозначным образом определяется поле линейных операторов на четырехмерном многообразии, которое для гиперболических уравнений порождает структуру почти произведения и касательное пространство в каждой точке является прямой суммой двумерных собственных подпространств. Если хотя бы одно из этих распределений вполне интегрируемо, то можно построить векторное поле, сдвиги вдоль которого сохраняют решение исходной системы уравнений. Разобранный пример показывает, что аналитическая процедура решения задачи Коши адекватно описывает возникновение ударных волн.

для различных моментов времени Fig. 1. Graph cut sets of a solution for different time moments

Vol. 21, No. 02, 2018

Civil Aviation High Technologies

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ахметзянов А.В., Кушнер А.Г., Лычагин В.В. Математические модели управления разработкой нефтяных месторождений. М.: ИПУ РАН, 2017. 124 с.

2. Akhmetzianov A.V., Kushner A.G., Lychagin V.V. Integrability of Buckley-Leverett's Filtration Model // IFAC-PapersOnLine. 2016. Vol. 49, Issue 12. Pp. 1251-1254.

3. Kushner A.G., Lychagin V.V., Rubtsov V.N. Contact geometry and nonlinear differential equations. Encyclopedia Math. Its Appl., 101. Cambridge: Cambridge University Press, 2007. xxii+496 p.

4. Lychagin V.V. Singularities of multivalued solutions of nonlinear differential equations and nonlinear Phenomena // Acta Appl. Math. 1985. Vol. 3. Pp. 135-173.

5. Lychagin V.V. Lectures on geometry of differential equations. Vol. 1, 2. Rome: La Sapien-za, 1993.

6. Kushner A.G., Lychagin V.V. Feedback invariants of control hamiltonian Systems // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline): World Congress. Montreal: Elsevier, 2015. Vol. 48, No. 3. Pp. 1273-1275.

7. Lychagin V.V., Yumaguzhin V.A. Differential invariants and exact solutions of the Einstein equations // Analysis and Mathematical Physics. 2016. Vol. 7, No. 2. С. 107-115.

8. Lychagin V.V., Yumaguzhin V.A. Natural spinor structures over Lorentzian manifolds // Journal of Geometry and Physics. 2016. Vol. 106. Pp. 1-5.

9. Akhmetzyanov A.V., Kushner A.G., Lychagin V.V. Integrable Models of Oil Displacement // IFAC-PapersOnLine. 2015. Vol. 48, Issue 3. Pp. 1264-1267.

10. Konovenko N.G., Lychagin V.V. Lobachevskian geometry in image recognition // Loba-chevskii Journal of Mathematics. 2015. Vol. 36, No. 3. Pp. 286-291.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ

Горинов Антон Андреевич, младший научный сотрудник Института проблем управления РАН, [email protected].

ABOUT ANALYTICAL METHOD FOR SOLVING THE CAUCHY PROBLEM OF TWO QUASILINEAR HYPERBOLIC EQUATIONS SYSTEM

Anton A. Gorinov1

institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia

The study was conducted with support of Russian Foundation for Basic Research (RFBR),

Project № 15-08-08698

ABSTRACT

The applicability of the V. Lychagin "manual" integration method is analyzed with respect to systems of two quasilinear hyperbolic differential equations of the first order with two independent variables t, x and two unknown functions u = u (t, x) and v = v (t, x). The systems under consideration are a special case of Jacobi systems, for which V. Lychagin proposed an analytical method for solving the initial-boundary value problem. Each of the equations of the system is associated with a differential 2-form on four-dimensional space. This pair of forms uniquely determines the field of linear operators, which, for hyperbolic equations, generates an almost product structure. This means that the tangent space of four-dimensional space in each point is a direct sum of two-dimensional own-subspaces of the given operator and, thus, two 2-dimensional distributions are defined. If at least one of these distributions is completely integrable, then it is possible to construct a vec-

Civil Aviation High Technologies

Vol. 21, No. 02, 2018

tor field along which shifts keep the solution of the original system of equations. Thus, the solution of the initial-boundary value problem for the system under consideration can be obtained analytically by shifting the initial curve along the trajectories of the given vector field. As an example, the Buckley-Leverett system of equations describing the process of nonlinear one-dimensional two-phase filtration in a porous medium is considered. To construct the solution of the Cauchy problem, a curve of the initial data is chosen; the solution of the Buckley-Leverett system is obtained by shifting this curve along the trajectories of the vector field (this vector field is defined up to multiplication by a function). The cross-sections of the components of this graph for different instants of time are brought in the figure. The graph shows that at some point of time the solution stops being unambiguous. At this point, the solution breaks and a shock wave appears.

Key words: integrable distributions, Frobenius theorem, hyperbolic equations.

1. Akhmetzianov A.V., Kushner A.G., Lychagin V.V. Matematicheskiye modeli upravleniya razrabotkoy neftyanykh mestorozhdeniy [Mathematical models of oil field development management]. M.: IPP RAS, 2017. 124 p. (in Russian)

2. Akhmetzianov A.V., Kushner A.G., Lychagin V.V. Integrability of Buckley-Leverett's Filtration Model. IFAC-PapersOnLine, 2016, vol. 49, issue 12, pp. 1251-1254.

3. Kushner A.G., Lychagin V.V., Rubtsov V.N. Contact geometry and nonlinear differential equations. Encyclopedia Math. Its Appl., 101. Cambridge: Cambridge University Press, 2007. xxii+496 p.

4. Lychagin V.V. Singularities of multivalued solutions of nonlinear differential equations and nonlinear Phenomena. Acta Appl. Math., 1985, vol. 3, pp. 135-173.

5. Lychagin V.V. Lectures on geometry of differential equations. Vol. 1, 2. Rome: La Sapien-za, 1993.

6. Kushner A.G., Lychagin V.V. Feedback invariants of control hamiltonian Systems. IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline): World Congress. Montreal: Elsevier, 2015, vol. 48, No. 3, pp. 1273-1275.

7. Lychagin V.V., Yumaguzhin V.A. Differential invariants and exact solutions of the Einstein equations. Analysis and Mathematical Physics, 2016, vol. 7, No. 2, pp. 107-115.

8. Lychagin V.V., Yumaguzhin V.A. Natural spinor structures over Lorentzian manifolds. Journal of Geometry and Physics, 2016, vol. 106, pp. 1-5.

9. Akhmetzyanov A.V., Kushner A.G., Lychagin V.V. Integrable Models of Oil Displacement. IFAC-PapersOnLine, 2015, vol. 48, issue 3, pp. 1264-1267.

10. Konovenko N.G., Lychagin V.V. Lobachevskian geometry in image recognition. Loba-chevskii Journal of Mathematics, 2015, vol. 36, No. 3, pp. 286-291.

Anton A. Gorinov, Research Assistant at Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences, [email protected].

REFERENCES

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Поступила в редакцию Принята в печать

24.12.2017

14.03.2018

Received

Accepted for publication

24.12.2017

14.03.2018