CC BY
54
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011
ПГПУ
ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011
УДК: 514.75
КЛАССИФИКАЦИ УРАВНЕНИЙ КЛЕЙНА-ГОРДОНА НА ПЛОСКОСТИ
© А.С. ЧУРИЧЕВ Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, лаборатория № 6 «Проблем качественного исследования нелинейных динамических систем»
e-mail: achurichev@gmail.ru
Чуричев А.С. — Классификаци уравнений Клейна-Гордона на плоскости // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 293—303. — В статье изучается проблема классификации гиперболических и эллиптических уравнений Клейна-Гордона относительно точечных преобразований. Результаты этой статьи были анонсированы в [7].
Ключевые слова: джеты, уравнения Клейна-Гордона, дифференциальные инварианты, инвариантные дифференцирования, точечные преобразования
Churichev A. S. — Classification of Klein-Gordon equations on the plane // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 293—303. — In this paper we study a problem of classification for the class of hyperbolic and elliptic Klein-Gordon equations with respect to point transformations. Results of this paper were announced in [7].
Keywords: jets, Klein-Gordon equations, differential invariants, invariant derivatives, point transformations
Введение
В данной работе мы рассматриваем проблему классификации гиперболических и эллиптических уравнений Клейна-Гордона видов
их у = Г (и) (1)
и
ихх + иуу = Г(и) (2)
соотвественно, где функция Г — гладкая в её области определения V и, кроме того, Г"(и) = 0 в любой точке и € Д.
Гиперболические уравнения такого вида возникают в теории поля, а эллиптические уравнения Клейна-Гордона встречаются в гидродинамике [3] и физике плазмы, где уравнение (2) известно как уравнение Грэда-Шафранова (см., например, [5]).
Статья построена следующим образом. Сначала мы описываем группу точечных преобразований, сохраняющих класс дифференциальных уравнений Клейна-Гордона. Затем мы приводим алгебру дифференциальных инвариантов для полученных групп точечных преобразований, и, наконец, даем локальную классификацию уравений Клейна-Гордона.
Отметим, что уравнения (1) и (2) являются частным случаем уравнений Монжа-Ампера. Как известно, класс уравнений Монжа-Ампера сохраняется под действием контактных преобразований. Решение задачи контактной классификации эллиптических и гиперболических уравнений Монжа-Ампера представлено в [9] и [10].
1. Точечная эквивалентность уравнений Клейна-Гордона
Пусть х и у координаты в пространстве К2, а 7кК2 — пространоство к-джетов гладких функций на К2. Обозначим через х,у,и,их,иу,ихх,иху,иуу канонические координаты в пространстве 2-джетов 72М2.
На пространстве 2-джетов 72М2 естественным образом определено пятимерное распределение Кар-тана [4]
С(2) : 72К2 э а ^ С(2)(а) С Та12М2, которое задается дифференциальными 1-формами
¿1 =йи — их<1х — иу ¿у,
¿2 =^их — ихх^Х — иху ¿у,
¿3 =(1иу — иху ¿х — иуу ¿у.
Напомним, что диффеоморфизм пространства 0-джетов 70М2 называется точечным преобразованием. Всякое точечное преобразование можно продолжить до преобразования пространства 72М2, сохраняющего распределение С(2) [4]. Продолжение точечного преобразования ^ в пространство к-джетов будем обозначать (к).
Инфинитезимальным аналогом точечного преобразования являются векторные поля на пространстве 0-джетов. Любое векторное поле на 70М2 может быть поднято до векторного поля в пространстве 2-джетов. Пусть
д д д
X=А—+В —+С—
дх ду ди
векторное поле на 70М2 (здесь А, В, С это гладкие функции от переменных х,у,и). Тогда продолжение векторного поля X в пространство 2-джетов обозначим X(2):
д
х(2) = х + (Сх + Сиих — Ахих — Вхиу — Аии"х — Виихиу ) ди +
д
+ (Су + Сииу — Ауих — Вуиу — Аиихиу — ВиУ2у) ди + ...
Дифференциальные уравнения (1) и (2) задают гиперповерхности в пространстве 72М2
ЕНур = {иху = Р(и)}
(3)
ЕЕ11 {ихх + иуу Р (и)}
соответственно.
Пусть
п2,0 : J2К2 ^ J0К2,
П2,о : (х(а), у(а), и(а), их(а), .. ., иуу (а)) ^ (х(а), у(а), и(а)).
— натуральная проекция:
Предположим, что <?1 и <?2 два уравнения Клейна-Гордона одного типа. Рассмотрим две точки ах € £\ и а2 € £2.
и
Пусть 01 С £1 и 02 С £2 это некоторые окрестности точек ах и а2 соответственно.
Определение. Уравнения £1 и £2 будем называть локально-точечно эквивалентными, если существует точечное преобразование ^ : п(0х) ^ п(02), такое что <^>(2) переводит точку ах в точку а,2 и ^(2)(0х) = 02. В таком случае мы говорим, что точечное преобразование <р переводит £1 в £2.
2. Преобразования, сохраняющие класс уравнений Клейна-Гордона
В этом параграфе мы найдем все (инфинитезимальные) точечные преобразования, сохраниющие класс гиперболических и эллиптических уравнений Клейна-Гордона.
Пусть {^г}ге1 — локальная однопараметрческая группа сдвигов вдоль векторного поля X(2). Здесь I С К — интервал, содержащий точку 0. Для того чтобы это преобразование сохраняло класс гиперболических уравнений Клейна-Гордона, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее тождество
Рі (иху Р(и)) — ^г(иху 9t(u)),
(4)
где Аг — однопараметрическое семейство функций на J2К2, а дг — однопараметрическое семейство функций от переменной и, причем до = Г и Ао = 1.
Дифференцируя обе части равенства (4) по £ при £ = 0, мы получаем:
¿і
t=0
¿І
t=0
¿і
дг(и).
(5)
t=0
Ограничивая равенство (5) на гиперповерхность £1 и учитывая, что левая часть равенства это
производная Ли вдоль векторного поля X(2) от функции иху — Р(и), имеем
X(2) (иху — Р (и))
--Р (и)
= Н(и),
(6)
где Н(и) — некоторая функция.
Аналогичные рассуждения приводят нас к следующему выражению для эллиптических уравнений Клейна-Гордона
иИ+и'
+иуу=Р (и)
= Н(и).
(7)
X (2)(ихх + иуу — Р (и))
При помощи уравнений (6) и (7) мы найдем коэффициенты А, В, С векторного поля X.
2.1. Гиперболические уравнения
С учетом формулы (3) и неравенства Ґ" (и) = 0 уравнение (6) представляет собой полином третьей степени по переменным их,иу, ихх, иху, иуу:
і і 2 і 2 і 2 і 2 і
а1'ихх + а2иуу + азихиу + а^их'иу + а^их + ациу+
+ а.7их:иу + а$их: + адиу + аю = Н(и)
(8)
где а (г = 1,..., 10) — функции на J0К2, зависящие от производных функций А, В, С.
В силу того, что неравенство 8) должно выполняться тождественно, мы получяаем следующую систему:
(а^ = 0, г = 1,. .., 9,
[ аю = Н(и).
Решая её, имеем:
А = ах + а, В = Ьу + в, С = си + 7,
и
(9)
где а, Ь, с, а, в, 7 — произвольные постоянные.
Таким образом, мы нашли общий вид векторных полей на 70М2, которые определяют преобразования, сохраняющие класс гиперболических уравнений Клейна-Гордона:
ддд X = (ах + а) — + (Ьу + в) —у + (си + 7) —
Найденные векторные поля образуют 6-мерную алгебру Ли с базисом
XI = х-дх,
дх
X2 = утт,
ду
X, = I
х 'І
4 -у,
X5 = и--,
х і--
X6 = тг-.
ди
Векторным полям XI, X2 и X5 отвечают растяжения по х, у и и, а векторным полям Xз, X4 и X6
— сдвиги вдоль х, у и и соответственно.
2.2. Эллиптические уравнения
Перепишем уравнение (7) в виде полинома третьей степени по переменным —х,—у,—хх,—ху,-уу:
3 3 2 2 2 2
в 1—ху + в2—уу + вз—х + в4—у + в5—х—у + вб-х-у + в7—х + в8-у +
+ вд—х—у + ві0—х + ві1—у + ві 2 = Ь(и) где ві (і = 1,..., 12) — функции на 70М2.
Из уравнения (9) следует, что
( ві = 0, і = 1,..., 11, і ві 2 = Ь(и).
Решая последнюю систему уравнений, получаем явный вид коэффициентов векторного поля У:
А = Ьх — ау + а,
В = ах + Ьу + в,
С = си + 'у.
Таким образом, векторные поля, которые опредляют преобразования, сохраняющие класс эллиптических уравнений Клейна-Гордона, имеют вид:
д д д
У = (Ьх — ау + а)——+ (ах + Ьу + в)^ + (си + ,
дх ду ди
где а, Ь, с, а, в, 7 — произвольные постоянные.
Такие векторные поля образуют 6-мерную алгебру Ли с базисом
дд У1 = х^~ + у^г,
дх ду дхд дуд У2 = —у^т + х^~, дх ду
-1
у4 = -у,
У5 = —1-,
= I-
6 ди
В этой алгебре векторному полю У1 отвечает гомотетия в плоскости (х,у), векторному полю 12 — поворот в плоскости (х,у), векторному полю 15 — растяжение по и, а векторным полям 13, 14 и 16 — сдвиги вдоль х, у и и соответственно.
3. Расслоения уравнений Клейна-Гордона
Обозначим через О построенную группу Ли точечных преобразований, сохраняющих классы гиперболических и эллиптических уравнений Клейна-Гордона.
Правые части уравнений (1) и (2) есть функции переменной и. Будем рассматривать переменную и как независимую координату в области V. Построим следующее 2-мерное векторное расслоение с базой V:
п : V х К ^ V, п : (и, /о) ^ и.
Расслоение п будем называть расслоением уравнений Клейна-Гордона.
Гладкая функция Г на V — сечение этого расслоения:
вр : и ^ (и, Г (и)).
Точечное преобразование ф группы Ли О задает преобразование функции Г и, следовательно, преобразование ф расслоения п.
В случае гипреболических уравнений Клейна-Гордона векторные поля Х1 и Х2 задают умножение функции Г на число. Соответствующие преобразования на расслоении п имеют вид /о ^ С/о, где С — не нулевое число.
Векторные поля Х3 и Х4 не изменяют правой части уравненияп (1) а значит задают тривиальное отображение на расслоении уравнений Клейна-Гордона.
Векторные поля Х5 и Хб определяют афинное преобразование по и:
и ^ £и + п, (10)
где £ и п — постоянные, £ = 0.
Аналогичным образом для эллиптических уравнений Клейна-Гордона векторное поле 11 задает умножение функции Г на положительное число. Векторные поля 12, Уз и У4 сохраняют правую часть уравнения, а векторные поля 15 и 1б задают преобразование вида (10).
Следуею отметить, что правые части уравнений (1) и (2) изменяются схожим образом, поэтому в дальнейшем можно рассматривать гиперболические и эллиптические уравнения Клейна-Гордона одновременно.
Итак, точечные преобразования, сохраняющие класс уравнений Клейна-Гордона задают следующее преобразование расслоения п:
ф :(и,/о) ^ (£и + n,C/о), (11)
где £,( € К \ 0, п € К. Соответствующую 3-параметрическую группу Ли обозначим О.
Замечание 1. Легко проверить, что для любого преобразования а € О существует точечное преобразо-
вание ф € О, такое что а = ф.
Алгебра Ли 0 группы Ли О порождена векторными полями
д д д = а? г2 = “а? 2з = /о/. (12)
Структура алгебры Ли 0 представлена в таблице 1.
[Т, -] Z2 Zз
0 Zl 0
Z2 -^ 0 0
Zз 0 0 0
Таблица 1. Структура алгебры Ли 0
4. Дифференциальные инварианты
В этом разделе мы опишем дифференциальные инварианты алгебры Ли 0, действующей на расслоении п. Пусть Jкп — пространство к-джетов сечений расслоения п. Канонические координаты на этом пространстве обозначим через и, /о, /і,..., /к.
Определим проекцию
Пк : 1к п ^Т>, Пк : (и, /о, /і,..., /к) ^ и.
Через 0(к) и Z(к) мы обозначим продолжение алгебры Ли 0 и векторного поля Z Є 0 в пространство Jкп соответственно.
Напомним, что функция 1 на пространстве к-джетов называется дифференциальным инвариантом порядка < к алгебры Ли 0, если она постоянна на орбитах алгебры Ли 0(к). Другими словами функция 1 — дифференциальный инвариант порядка < к, если и только если Z(к) (1) = 0, для любого Z Є 0 [1].
Простое вычисление размерностей орбит действий группы Ли 0(к) показывает, что не существует не тривиальных дифференциальных инвариантов порядков 0 и 1, и существует только один базовый дифференциальный инвариант второго порядка:
/0/2 /2 ■
Аналогично можно показать, что существует только один базовый дифференциальный инвариант порядка к при (к > 2).
Напомним, что оператор
V = Х^Т, (13)
аи
Х Є Сж(:1 ТОМ), называется инвариантным дифференцированием если для любого векторного поля X* Є 0(то) следующая диаграмма
V
С ж(.1 ТОГ>)
X *
С Ж(1 ТОГ>)
V
С ж(.1 ТОГ>)
X *
С Ж(1 ТОГ>)
коммутативна.
Здесь
а = д д д
т о + ^ 1 О Г + + /п+і <* +
аи ди д/о д/п
— оператор полного дифференцирования по переменной и.
Инвариантное дифференцирование позволяет строить новые дифференциальные инварианты из уже известных. Действительно, пусть J — дифференциальный инвариант и V — инвариантное дифференцирование. Тогда
X )) = V(X )) = 0
для любого векторного поля X* € Следовательно функция У( Т) также является дифференциальным
инвариантом.
Для вычисления инвариантного дифференцирования используется метод, предложенный В.В. Лы-чагиным в [12] (см. Лемма 1, стр. 295). Согласно этому методу, если функция А € Ож(Л 1М) удовлетворяет следующей систему дифференциальных уравнений
X(1)(А) - А^ =0 (14)
аи
для любого векторного поля
X = Ади + 4
тогда оператор (13) — инвариантное дифференцирования.
Решая систему (14) для векторных полей Zl, 22, 2э, мы находим инвариантное дифференцирование:
V =
/1 ¿и
Применяя построенное инвариантное дифференцирование к инварианту второго порядка, вычислим дифференциальный инвариант третьего порядка:
^-г( т ч /0(/2/1 — 2/0/2 + /0/1 /э) ПкЛ
V(J2) = ------------74----------- (15)
11
Вместо полученного выражения для инварианта третьего порядка можно рассмотреть более простое:
/ / 2
Тэ = V(J2) + 2Т22 - Т2 = /. (16)
л
При помощи инвариантного дифференцирования найдем дифференциальные инварианты всех порядков:
VйТ) € Ож(Тк+2п), к > 1.
Здесь
Ук = V о • • • о V .
'----V---'
к раз
Простой подсчет показывает, что Тк можно взять в качестве базового дифференциального инварианта порядка к
г г к—1
Л = ^ук—, к > 2. (17)
Iк
Итак, мы получаем следующую теорему.
Теорема 1. Алгебра дифференциальных инвариантов уравнений Клейна-Гордона (1) и (2) образована дифференциальными инвариантами (17).
Уравнение Клейна-Гордона (1) или (2) с правой частью Г = Г (и) будем обозначать £р. Ограничение дифференциального инварианта 1к на функцию Г обозначим 1к(Г), т.е.
Г (к) Г к—1 ,]к (Г) = (р')к .
Определение. Уравнение Клейна-Гордона £р будем называть вырожденным если функция Т2(Р) — константа.
Определение. Уравнение Клейна-Гордона £р будем называть регулярным на I С Р, если дифференциал функции ^2 (^) не равен 0 на I.
5. Вырожденные уравнения Клейна-Гордона
Предположим, что Ef — вырожденное уравнение Клейна-Гордона, т.е.
J2(F) = м = const.
Это означает, что функция F является решением следующего обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:
F "F = м(F ')2.
Общее решение этого уравнения имеет вид:
• F(и) = аеви if м = 1,
• F(и) = (1 — м)(аи + в)1-м if М = 1.
Здесь а и в некоторые произвольные постоянные.
Итак, вырожденные гиперболические и эллиптические уравнения Клейна-Гордона имеют вид:
иху = аеви, иху = (1 — ^)(аи + в)1-м (18)
и
ихх + иуу ае^ - ихх + иуу (1 М)(аи + в) 1 ^ (19)
соответственно.
Первое уравнение в (18) и в (19) известно как уравнение Лиувилля [11, 8]. Эллиптическое уравнение
Лиувилля встречается в теории горения [6] а также в Римановой геометрии при задании изотермических
координат. Отметим, что общее решение уравнения Лиувилля известно (см. [13]).
Теорема 2. 1. Вырожденное гиперболическое уравнение Клейна-Гордона Ер эквивалентно одному из следующих уравнений:
• иху = е ,
если Т2(Р) = 1,
• иху = (1 — м)и, если Т2(Р) = 1.
2. Вырожденное эллиптическое уравнение Клейна-Гордона Ер эквивалентно одному из следующих уравнений:
• ихх + иуу = е ,
если Т2(Р) = 1,
1
• ихх + иуу (1 м)и 1 ^ ,
если Т2(Р) = 1.
6. Регулярные уравнения Клейна-Гордона
6.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения, порождаемые уравнениями
Клейна-Гордона
В случае регулярных уравнения Клейна-Гордона функцию т = Т2(Е) можно взять в качестве координаты на К. Поскольку функция Тэ(Е) также явдяется функцией аргумента Е, то можно считать что
Тэ(Е) = Фр (т),
где Фр — некоторая гладкая функция, определяемая уравнением Клейна-Гордона.
Заметим, что функция Е есть решение следующего обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка:
/'" = ^Ф ( Нп ) . (20)
/- ф( /
/2 Ч /,2 /
Это уравнение задает одномерное распределение Р на пространстве Т2п Соответствующие дифференциальные 1-формы имеют вид:
^1 = а/о — /ldu,
^2 = а/1 — /2du,
/3Ф
^э = а/2 —-ру аи /0
Продолжения векторных полей (12) в пространство Т2п
д
ди (2) =и °
ди '1 дії 2 дІ2 ''
(2) д д д
з =іо~^~ + ії~^~ + у2~^-3 діо дії дІ2
222) =^ - ії^т - 2І21Пг
есть инфинитезимальные симметрии уравнения (20). Векторное поле
В = I + і,А +12_±. + 8ф±
ди д/о д/1 / д/2
— характеристическая инфинитезимальная симметрия распределения Р. Следовательно векторные поля
с, _ , д ^ д /эФ д
^ = —11 / — /2 / — / /'
д д / и/3Ф \ д
* =— и/1 д/о— (/1+и/2)/— К2’2 + ~) / ’
ддд $э =/о^т~ + /1^Т + /2~оТ д/о д/1 д/2
тасующие симметрии распределения Р [9].
Уравнение (20) можно представить как гиперповерхность в Тэп [4]:
н = і* - 7Їф (11) =°}С "3п.
>о \ л
Рассмотрим точку т € Н. Касательные векторы Я1,т, $2,т, Бэ,ш линейно независимы, если и только если определитель
ії
і2
іо
ії
і2
ЫоЦ + 2і2іо2 - і4Ф =0
іо
в точке т.
Учитывая (15) и (16), мы получаем, что
ный слой является гладким многообразием с координатами іо,ії,і2, которое может быть рассмотрено в качестве пространства решений уравнения (20).
Гиперповерхность
Таким образом, получаем следующую лемму:
Лемма 1. Группа Ли (С действует транзитивно на каждой компоненте связности пространства решений.
Фунцкия Ф = Фр является инвариантом уравнений Клейна-Гордона относительно точечных преобразований. Это значит, если Ер и Еа два уравнения Клейна-Гордона одного типа, и ф — точечное преобразование, которое переводит Ер в Еа, то преобразование (ф)* переводит функцию Фа в функцию
Фр.
Теорема 3. Пусть Ер и Еа регулярные уравнения Клейна-Гордона одного типа, причем функции Фр и Фа не обращаются в ноль. Уравнения, Ер и Еа локально-точечно эквивалентны, если и только если Фр = Фа.
Доказательство. Поскольку Фр = Фа = Ф, то функции Е и О являются решениями уравнения (20). Согласно лемме 1 существует преобразование а € О, которое переводит функцию О в функцию Е. Учитывая замечание 1, существует точечное преобразование ф € О, такое что ф = а. Преобразование ф переводит уравнение Еа в Ер. □
1. Алексеевский Д. В., Виноградов А. М.., Лычагин В.В., Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии// Итоги науки и техники. Серия “Современные проблемы математики. Фундаментальные направления”. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 28. 297 с.
2. Андреев В. К., Капцов О. В., Пухначев В. В., Родионов А. А., Применение теоретико-групповых мето-
дов в гидродинамике. Новосибирск: “Наука”, 1994.
6.2. Эквивалентность уравнений Клейна-Гордона
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
3. Бетчелор Дж., Введение в динамику жидкости. М.: “Мир”, 1973.
4. Виноградов А. М., Красильщик И. С., Лычагин В. В., Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: “Наука”. - 1986. - 336 C.
5. Демидов А. С., Об обратной задаче для уравнения Грэда-Шафранова с аффинной правой частью, УМН, 55:6 (336) (2000), C. 131-132.
6. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и перенос тепла в химической кинетике, М.: “Наука”. - 1987.
7. Чуричев А. С., Классификация нелинейного уравнения Лапласа, Тезисы докладов международной конференции “Геометрия в Одессе - 2010”, (2010) С. 64
8. Calogero F., Degasperis A. Spectral Transform and Solitons -1. Studies in Mathematics and Its Applications. Vol. 1. - Elsevier Science Ltd. - 1982. - 532 P.
9. Kushner A.G., Lychagin V.V., Rubtsov V. N., Contact geometry and nonlinear differential equations. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 101. - Cambridge: Cambridge University Press. - 2007.
- xxii+496 P.
10. Kushner A. G. Classification of Monge-Ampere equations // In: “Differential Equations: Geometry, Symmetries and Integrability”. Proceedings of the Fifth Abel Symposium. - Tromso, Norway. - June 17-22, 2008 (Editors: B. Kruglikov, V. Lychagin, E. Straume) P. 223-256.
11. Liouville J. Sur l’equation aux differences partielles d2 log X/Oudv ± \/2a? = 0. J. Math., 18. - 1853. P. 71-72.
12. Lychagin V.V., Lychagin V. V. Feedback Equivalence of 1-dimensional Control Systems of the 1-st Order// Геометрiя, тополопя та ix застосування. Збiрник Праць !н-ту математики НАН Украши. 2009. Т. 6. № 2. С. 288-302.
13. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2004.
