Построение разрывных решений дифференциальных уравнений в Maple Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.763.85

ПОСТРОЕНИЕ РАЗРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В MAPLE

Е.Н. КУШНЕР1

Статья представлена доктором технических наук, профессором Самохиным А.В.

Теория многозначных решений применяется для построения разрывных решений нелинейных дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными.

Ключевые слова: дифференциальные формы, многозначные решения, законы сохранения.

1. Введение

Математический аппарат классической теории дифференциальных уравнений плохо приспособлен для построения их разрывных решений. Теория обобщенных функций, предложенная С. Л. Соболевым и традиционно применяемая для построения разрывных решений, хорошо описывает лишь линейные уравнения.

Альтернативой этому аппарату является геометрическая теория многозначных решений, развитая в работах московской школы [5; 9; 11].

Многозначное решение, в отличие от классического, может и не представляться как график функции. С геометрической точки зрения оно является гладким многообразием в пространстве джетов, проекция которого на пространство независимых переменных может иметь особенности.

В настоящей работе мы реализуем основные идеи теории многозначных решений дифференциальных уравнений в виде алгоритмов для системы символьных вычислений Maple.

Результаты работы были анонсированы в [7].

2. Многозначные решения дифференциальных уравнений

Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными

F (x, y, v, vx, vy) = 0, (1)

где F - гладкая функция.

Пусть Jl(R2) - пространство 1-джетов функций от двух независимых переменных и q1, q2,u, p1, p2 - канонические координаты на нем [5].

Это пространство снабжено естественной контактной структурой, задаваемой дифференциальной 1-формой - формой Картана

U = du — p1dq1 — p2dq2.

В пространстве J :(R2) уравнение (1) определяет гиперповерхность

E = {F(q,q2,u,P1,p2) = 0} с J>(R2).

Эту гиперповерхность мы также будем называть дифференциальным уравнением.

Пусть h = h( x, y) - некоторая гладкая функция. Гладкое подмногообразие

L\ = \u = h (q, q2), p = ^, p2 = ^ l с J1(R2)

[ dq1 dq2

назовем 1 -графиком функции h.

Функция v = h(x, y) является классическим решением системы дифференциальных уравне-

1 Работа выполнена при поддержке научного гранта МГТУ ГА 2011 г.

ний (1) тогда и только тогда, когда её 1-график лежит на гиперповерхности Е .

Поверхность Ь с Е называется многозначным решением уравнения (1), если ограничение формы Картана на неё равно нулю

и |ь=0.

Подробное изложение геометрии нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка приведено в работах В.В. Лычагина [8; 10].

Контактное векторное поле с производящей функцией F имеет вид

^=.± dJL ±+

i=i dP, dq,

ГF V dF 1 Э + V f F - > pi---+ >

dp,) du

dF dF

-+ P,—

dqi du

Л

dp,

¿=1 иИг ;ии ¿=1 Это векторное поле касается поверхности Е [11].

Векторное поле Хр называется характеристическим для уравнения Е, а его траектории,

лежащие на К - характеристиками этого уравнения.

Гладкую кривую К с Е будем называть кривой начальных данных или кривой Коши для уравнения Е , если характеристики пересекают только один раз и это пересечение трансверсально.

Многозначное решение Ь уравнения Е будем называть решением обобщенной задачи Коши с начальными данными К, если Ь з К .

Обозначим через рт преобразование сдвига вдоль векторного поля Хр. Тогда для достаточно малых значений т множество

ь = ирт( К)

т

является гладкой поверхностью и, стало быть, решением обобщенной задачи Коши для уравнения Е .

Из этих рассуждений следует способ решения обобщенной задачи Коши: кривую Коши К нужно сдвинуть вдоль траекторий векторного поля Хр . При этом кривая Коши заметёт поверхность, которая и будет являться многозначным решением обобщенной задачи Коши.

Формально этот процесс сводится к решению классической задачи Коши для следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Э^

У,

u = F -

dP/

^ dF Z Рг

dPг

(2)

dF dq,

- + Pj —

du

с начальными данными

у (0) = д0, и(0) = п°, р} (0) = р*, (] = 1,2),

где точка (у0, и0, р0) е К .

Проекция р многозначного решения Ь на плоскость независимых переменных (х, у), как правило, не является взаимно-однозначным отображением. Особые точки проекции р: Ь ® Я2(х, у) обозначим Ь (Ь^с Ь ). Точки множества р(Ц.) образуют кривую на плоскости Я2(/, х), которая называется каустикой многозначного решения Ь .

Многозначное решение Ь с выколотыми сингулярными точками, т.е. множество Ь\ЬХ,

представляет собой объединение графиков классических решений уравнения (1). Рассмотрим квазилинейное уравнение

V + (Ф(х, V)) х = 0, (3)

обобщающее уравнение Эйлера и описывающее одномерный поток газа без учета вязкости.

Отметим, что многозначные решения уравнения вида

Vt+(ФОО)х = 0 были построены в работе В.В. Лычагина [10].

Положим = у2 = х . Уравнению (3) отвечает функция

ЭФ ЭФ

р = Р + P2^г-

ЭЧ2

на пространстве JЯ2) . Система (2) принимает вид

Эu

у=1

. = ЭФ

Эи ' ЭФ

и =

ЭУ2

(4)

Г ^2

Р1 = -Р1

Э2Ф

Э 2Ф Эд2Эи

2

+ р.

ЭФ

Эи

2

Эу

Э2Ф 2 2 - 2Р2 - Р2

Э2Ф

2

Эд2Эи

Эи2

Заметим, что первые три уравнения системы не зависят от двух последних уравнений, и поэтому вместо пространства 1-джетов мы можем рассматривать пространство 0-джетов с координатами д1, д 2, и .

Уравнение (3) имеет закон сохранения

в = иёд2 - Ф(у2, и)ёд1. (5)

Действительно, внешний дифференциал 1-формы в равен

(

ёв = ёи а ёд2 -

ЭФ

ЭФ

Л

ёд2 +--ёи а

Эу2 Эи

V ^2 "" У

Пусть и = v(í, х) - решение уравнения (3). Тогда ограничение дифференциальной 2-формы ёв на 1-график этого решения равно нулю

ёв = (V + Ф х + Фуух )ёХ а ёх = 0.

Таким образом, дифференциальная 1-форма (5) является законом сохранения для уравнения (3)

[9].

Закон сохранения (5) позволяет найти условия Гюгонио-Ренкина для расчета фронта ударной волны.

Пусть плоскость независимых переменных Я2 делится кривой М0 на две части, т.е.

Я2 = М "п М0 и М

Пусть кривая М0 является кривой, на которой решение V уравнения (3) имеет разрыв, т.е. график решения состоит из двух поверхностей V = V" и v+ . Функция V- определена на замыкании М-, а V + — на замыкании М + .

Функция V называется разрывным решением уравнения (3), соответствующим закону сохранения в, если

|й2 ё* а^ы = 0 для любой функции 5 с компактным носителем [9].

Найдем уравнение кривой разрыва М0. Пусть уравнение этой кривой можно представить как график функции от /

2

М0 = {х = ф(!)}.

Как известно, функция V является разрывным решением уравнения, отвечающим закону сохранения в, тогда и только тогда, когда выполняются условия Гюгонио-Ренкина

M 0

= ег

M 0

где в+ = q |L1 . Так как

||м0 = udj-F (j(t), u)dt = [uj-F (j, u)] dt, то условия Гюгонио-Ренкина для закона сохранения (5) имеют вид

u+j - F(j, u+) = u- j - F(j, u-).

Отсюда следует, что функция j является решением следующего обыкновенного дифференциального уравнения

dj = F (j, u+) - F (j, u - ) dt u +- u ~

Это уравнение определяет движение фронта разрыва ударной волны. Начальное условие для решения этого уравнения определяется точкой возникновения каустики [1; 2].

Отметим, что правило равных площадей Максвелла для уравнения (3) не выполняется.

В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение

Vt + (V2 + XV) х = 0. (6)

В приложении представлен код компьютерной программы на языке системы символьных вычислений Maple для расчета многозначных решений и каустик этого уравнения. В результате работы этой программы мы получаем эволюцию профиля во времени, представленную на рис. 1 для значений t, равных 0, 0.02, 0.035 и 0.05. Каустика и график распространения фронта ударной волны представлены на рис. 2.

Рис. 1. Эволюция волны 3. Приложение

Рис. 2. Каустика многозначного решения

В данном приложении приведена программа на языке системы символьных вычислений Мар1е-14 для расчета многозначных решений и каустик уравнения (3), в котором

ф( х, V) = V2 + XV.

Подключение библиотек

with(plottools):with(plots):

with(plots,implicitplot):

with(geometry):

with(DifferentialGeometry):

with(GroupActions):

with(DEtools):

Задание начальных данных

s0:=x->piecewise(x<0, 0, x>=0 and x<0.06, 0.8-10*x, x>=0.06, 0.2,x<0,0): h:=x->s0(x):

alpha:=x->piecewise(x<=0, 0, x>0,exp(-1/x)):

beta:=(x,a,r)->alpha(rA2-(x-a)A2):

h:=x->10A11*4/7*beta(x,0,0.2)+0.2:

Задание функции Ф

Phi:=(x,u)->u2 + x*u :

Задание характеристической системы

eq:=[diff(t(s),s)-1, diff(x(s),s)-eval(diff(Phi(x,u),u), x=x(s),u=u(s)), diff(u(s),s)-eval(diff(Phi(x,u),x), x=x(s),u=u(s))];

Расчет профилей волны

ht:=0.01: hx:=0.001: xbegin:=-0.2:xend:=0.2:tbegin:=0: tend:=0.5: i:=0:

for b from xbegin by hx to xend do

ics:= x(0)=b, t(0)=0, u(0)=h(b):

dsys := [eq[1],eq[2],eq[3], ics]:

resh:=dsolve(dsys, numeric):

sol:=resh(0.020): res:=eval([t(s),x(s),u(s)],sol):

sol1:=resh(0.035):

res1:=eval([t(s),x(s),u(s)],sol1):

sol2:=resh(0.050):

res2:=eval([t(s),x(s),u(s)],sol2):

sol3:=resh(0):

res3:=eval([t(s),x(s),u(s)],sol3): i:=i+1:

tr[i]:=res[1]: xr[i]:=res[2]: ur[i]:=res[3]: tr1[i]:=res1[1]: xr1[i]:=res1[2]: ur1[i]:=res1[3]: tr2[i]:=res2[1]: xr2[i]:=res2[2]: ur2[i]:=res2[3]: tr3[i]:=res3[1]: xr3[i]:=res3[2]: ur3[i]:=res3[3]: end do: ii:=i: i:=0:

poxy:=[[xr[i1],ur[i1]] $il = l..ii]: poxyl := [[xrl[il],url[il]] $i1=1..ii]:

poxy2:=[[xr2[i1],ur2[i1]] $ il = l..ii]: poxy3 := [[ xr3[il], ur 3[il]] $i1=1..ii]:

gr:=pointplot(poxy,symbol=point,symbolsize=1,color=blue):

gr1:=pointplot(poxy1,symbol=point,symbolsize=1,color=red):

gr2:=pointplot(poxy2,symbol=point,symbolsize=1,color=brown):

gr3:=pointplot(poxy3,symbol=point,symbolsize=1,color=black):

display(gr,gr1,gr2,gr3):

plot({poxy,poxy1,poxy2,poxy3},style=line, color=[black,blue,red,brown]);

Расчет каустики

ht:=0.001: hx:=0.0001: xbegin:=-0.2:xend:=0.1: tbegin:=0.01:tend:=0.1:

for b from xbegin by hx to xend do

ics:= x(0)=b, t(0)=0, u(0)=h(b):

ics1:= x(0)=b+hx, t(0)=0, u(0)=h(b+hx):

dsys := [eq[1],eq[2],eq[3], ics]:

dsys1 := [eq[1],eq[2],eq[3], ics1]:

resh:=dsolve(dsys, numeric):

resh1:=dsolve(dsys1, numeric):

for a from tbegin by ht to tend do

sol:=resh(a):

sol1:=resh1(a):

res:=eval([t(s),x(s),u(s)],sol):

res1:=eval([t(s),x(s),u(s)],sol1):

xa:=(res[3]): ta:=1: xb:=(res1[2]-res[2]);

tb:=(res1[1]-res[1]);

Delta:=ta*xb-tb*xa:

if (Delta)<0 then i:=i+1: tr0[i]:=res[1]:

xr0[i]:=res[2]: ur0[i]:=res[3]: break; end if;

end do:

end do:ii:=i:i:=0:

Изображение каустики poxy0:=[[tr0[i1],xr0[i1]] $ il = l ..ii]:

plot(poxy0,style=line,symbol=circle,symbolsize=1, color=blue);

ЛИТЕРАТУРА

1. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. - М.: Наука, 1982.

2. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. - М.: ФАЗИС, l996.

3. Бочаров А.В. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / А.В. Бочаров, А.М. Вербоветский, А.М. Виноградов и др. - М.: Факториал, l997.

4. Виноградов А.М., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Применение нелинейных дифференциальных уравнений в гражданской авиации. - М.: МИИГА , l977.

5. Виноградов А.М., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, l986.

6. Годунов С.К. Разностный метод расчета ударных волн // Успехи математических наук. - 1957. - Т. l2.

- № l(73). - С. l76-l77.

7. Кушнер Е.Н. Многозначные решения обобщенного уравнения Эйлера // Геометрические методы в механике, физике и управлении: тезисы докладов междунар. конф. - Одесса, 20l2.

8. Лычагин В.В. Локальная классификация нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // Доклады Академии наук СССР. - 1973. - Т. 2l0. - № 3. Успехи математических наук. - 1975.

- Т. 30. - № l. - С. l0l-l7l.

9. Kushner A.G., Lychagin V.V., Rubtsov V.N. Contact Geometry and Nonlinear Differential Equations, 496 pp. Cambridge University Press, 2007.

10. Lychagin V.V. Singularities of multivalued solutions of nonlinear differential equations and nonlinear Phenomena // Acta Appl. Math. - l985. - № 3. - P. l35-l73.

11. Lychagin V.V. Lectures on geometry of differential equations. Vol. l,2. <<La Sapienza>>. - Rome. - l993.

CONSTRUCTION OF DISCONTINUOUS SOLUTIONS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS IN MAPLE

Kushner E.N.

We use the theory of multivalued solutions to construct discontinuous solutions of non-linear partial differential equations with two independent variables.

Key words: differential forms, multivalued solutions, conservation laws.

Сведения об авторе

Кушнер Елена Николаевна, окончила Астраханский государственный университет (2000), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МГТУ ГА, автор 31 научной работы, область научных интересов - уравнения математической физики, симметрии, законы сохранения.