CC BY
45
УДК 517.9
НЕЛОКАЛЬНЫЙ БИФУРКАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ЛЯПУНОВА-ШМИДТА
А.А.Долженков
В данной работе рассмотрен подход к нелокальному изучению класса бифуркационных задач вариационного исчисления, включающего в себя большинство эталонных задач солитонной математики и их естественных обобщений, выходящих за рамки этой науки. Основной пример -- двойное СГ-уравнение. В основе предложенного подхода - модифицированный метод Ляпунова-Шмидта и методы символьных и численных вычислений, реализованных в системе компьютерной математики Мар1е
Ключевые слова: бифуркация, метод Ляпунова-Шмидта, двойное СГ-уравнение
В 70-х и 80-х годах прошлого столетия наблюдалось бурное развитие в многочисленных теоретических и экспериментальных работах по нелинейной динамике волн [1]. Наибольший прогресс был достигнут в рамках так называемой солитонной математики. В настоящее время, в связи с постоянным увеличением производительности компьютерной техники и совершенствованием программного обеспечения, появились новые возможности в математическом анализе зарождения и развития нелинейных волновых процессов. В данной работе рассмотрен подход к нелокальному изучению класса бифуркационных задач вариационного исчисления, включающего в себя большинство эталонных задач солитонной математики и их естественных обобщений, выходящих за рамки этой науки. Основной пример - двойное СГ-уравнение, но, разумеется, предложенная численная процедура "шире" этого уравнения. В основе подхода - модифицированный метод Ляпунова-Шмидта [2-6] и методы символьных и численных вычислений, реализованных в системе компьютерной математики Maple. Предложенный подход можно применять с минимальными затратами машинного времени.
Так, например, используя двухядерные процессоры и новые версии Maple, можно разделить на разные ядра вычислительные процедуры внутри алгоритма (на базе рассмотренного подхода), что приводит к значительной экономии вычислительных затрат.
Краевая задача для двойного СГ - уравнения.
В настоящей статье представлен материал, полученный применением алгоритма (описание программной части дано в среде Maple), с помощью которого становится возможным проведение нелокального анализа существования и свойств решений двойного СГ-уравнения (уравнения sine-Гордон) [1]
utt -= sin{и)+ 2Sm(2u). (1)
не входящего в совокупность эталонных уравнений солитонной математики, так как оно не поддается исследованию методами этого направления математики. Это уравнение можно весьма успешно исследовать методом Ляпунова - Шмидта и другими методами нелинейного функционального анализа (разумеется, развитый подход применим и в случае обычного СГ -уравнения).
Заметим, что двойные, тройные и п-кратные СГ-уравнения появляются при моделировании волновых явлений в нелинейной оптике (резонансное распространение оптических импульсов), в биологии (одномерные цепочки органических полимеров), при изучении жидкого гелия и т.д.[2]. Первое численное изучение кратного СГ-уравнения было проведено, по-видимому, в работах 1.С. БПЬеск (1981 г., см. ссылки в [2]).
Если искать решение уравнения (1) в стандартном виде и(х, 1) = р(кх + ю 1) (типа "бегущей волны"), то для определения р получаем ОДУ второго порядка
р" + Л^т( р) + 2 Авт(2 р) = 0, (2)
которое нужно решать при тех же условиях, что и в случае простого СГ--уравнения. Ограничимся, простоты ради, рассмотрением лишь некоторых периодических решений, получаемых при краевых условиях первого рода
р(0) = р(1) = 0. (3)
Немного обобщив, расширим уравнение (2) до неоднородного уравнения
1 п
р" + X Бт(р)+- X 8т(2р) = ^£^}е}, (4)
2 1=1
в] =42 вт( ]пх).
Аналогичное рассуждение можно провести и для исходного уравнения (1)
Долженков Андрей Александрович - ВГУ, аспирант, E-mail: dolzhenkov_a_a@mail.ru
От полученной краевой задачи можно перейти к "эвивалентной" экстремальной задаче
V(р,X,4) ^ ех&, q = (q1,..,qn) (5)
где
V (р, Я , ? ) = I (-
1 Г dp
2 v dX
+Я [cos( р)+-4 cos(2 р)- 4 J+
+
(
+
;e;
p)dx
(6)
Нелокальная версия метода Ляпунова-Шмидта
Гладкое отображение f : E ^ F называется фредгольмовым, если его производная Фреше df , ,
— (x)- фредгольмов оператор в каждой точ-дх
ке X е E . Индексом фредгольмова отобрfжения f
~df^
называется индекс его производной — (X) :
дх
indf := ind—(х) := dim Ker — (х) -
дх дх
- dim Co ker дf (х)
дх
f г ч
(индекс — (х) не зависит от х). дх
Далее будем считать, что f является фред-гольмовым отображением нулевого индекса, и наряду с этим выполнены следующие условия:
а) E ^ F ^ H - тройка непрерывно вложенных банаховых пространств (H - гильбертово пространство);
б) E плотно в H (это означает, что любой элемент из H может быть представлен как предел последовательности из E ).
Из плотности E в H , следует, что F плотно в H. Уравнение
f (х) = 0, х е U (7)
называется фредгольмовым.
Если для f существует такой гладкий функционал V на E, что f = gradH V или, что эквивалентно,
д¥_
дх
(х)И = (f (х), hjH, ^х, h е E
(- скалярное произведение в гильбертовом пространстве Н), то отображение / называется потенциальным, а функционал V называется потенциалом отображения /. Если V является потен-
циалом /, то уравнение (7) можно переписать в виде
(х) = 0, х е и (8)
Оно называется уравнением Эйлера--Лагранжа экстремалей (критических точек) функционала V . Точка а называется критической для функционала V ,если
(а)к = {/(а),и)н = 0,УИ е Е\{0}.
Плотность Е в Н обеспечивает равносильность последнего равенства уравнению (8). То есть построение решений уравнения (7) можно заменить построением критических точек функционала V (вариационный метод). Функционал V называется фредгольмовым, если его градиент - фредгольмово отображение.
Критическая точка а функционала V называется невырожденной (морсовской), если
дх
(a)h Ф 0, Vh е E \ {0} .
Индексом Морса невырожденной критической точки а функционала V называется максимальная размерность подпространства, на котором отрицательно определен второй дифференциал
д ^
-т(а)(И, И) дх
Важным типом уравнений, часто встречающимся в задачах математической физики, является фредгольмово уравнение с параметром:
/(х, 8) = Ь, х е X, Ь е У, 8 е Як
С изменением параметра (при некоторых критических значениях 8) совокупность решений может количественно изменяться.
Если отображение / (•, 8) потенциально с потенциалом V(•, 8) , то потенциал также гладко зависит от данного параметра. В такой ситуации естественным образом возникает понятие бифуркации экстремалей и, соответственно, бифуркационного значения параметра.
Пусть задана гладкая фредгольмова развертка
/(-,8): Е ^ Е,8 е А” с Я”
Пусть О - открытое подмножество в Е. Дискриминантным множеством Е(О) уравнения
/(х, 8) = Ь, х е О (9)
называется совокупность тех значений 8 = 8 , для которых данное уравнение имеет в О вырожденное решение х .
Если для потенциального отображения / : Е ^ Е выполнено условие положительности (монотонности)
2
\дх
(х)к,к) > 0,У(х,к) є Е х (Е \ 0)(10)
то уравнение { (х) = 0 имеет не более одного решения. Это решение является точкой минимума V на Е.
В случае выполнения условия собственности / (компактность прообраза произвольного компакта) уравнение Г(х) = 0 однозначно разрешимо. Впервые условие собственности в нелокальной редуцирующей схеме было использовано Ю.И. Сапроновым [5,6]. Это можно заменить на любое другое, гарантирующее существование условных экстремалей в слоях р '(£) :
р(х) = (Л (x),к, рп (х))Т.
Например, если пространство Е рефлексивно, то достаточно потребовать коэрцитивность V (наряду с выпуклостью) вдоль каждого слоя. В этих же целях можно применять и известное условие (С) Пале - Смейла.
При X < (п +1)2 П для потенциала рассматриваемого уравнения примером глобально редуцирующей системы функционалов является система
р] (х) = (е], х^, 1 = 1, к, п (схема Ляпуно-ва--Шмидта) [6].
Описание алгоритма (теоретическая часть).
Для вариационной задачи (8) простейшим приближением служит классическая (линейная) ритцев-ская аппроксимация
4) ^ ехК, £е Яп (11)
( п Л
V (£,А, д) := V
Ц,X, 4
V1= у
дающая достаточно хорошую информационную точность в локальных вопросах (типа описания процесса зарождения волн) [5,6]. В нелокальных же вопросах требуется более точное приближение, основанное на нелинейных ритцевких аппроксимациях [5,6]
Ж(£,Х, 4) ^ ех^, £е Яп
X < (пж)2,
(12)
г
Ж(£,А, д) := V
Л
£ І +Ф(£)А д
V І=1 у
ф(#) = ф 2(£) + к + Фь (#) + 0(|^), (13)
Ф
( г )
(£, е) =^Ф ^
1»1 =г
к = (к1, к 2, к3, к 4 ),
) гк = ф гк1 гк2 гкз гк4
кЬ • к1к2к3к4^ 1 Ь2 Ьз Ь4
к = к1 + к2 + кз + к4 .
Нелинейная добавка Ф(^) строится на основе
вспомогательной экстремальной задачи
^ « Л
V
(14)
то есть
Ґ
Л
у
V1 = У
Математическое обоснование и соответствующие примеры имеются в [6].
Ниже рассмотрен лишь случай п = 2 .
Алгоритм состоит из следующих частей:
1) построение нелинейной добавки
Ф(^) (на основе вспомогательной экстремальной задачи (14));
2) построение ключевой функции Ж (£Д, 4);
3) построение графических отобра-
жений каустики (т.е.) множества Е, состоящего из тех значений 4 , при которых существуют вырожденные экстремали);
4) построение графических изобра-
жений ключевой функции;
5) построение графических изобра-
жений отдельных экстремалей(решений исходной краевой задачи и исходного уравнения).
Описание алгоритма (программная часть).
> ге8Іаг^іїЬ(8і^еп1[Са1си1и8І])^іШ(р1оІ8):
> Ь:=0.001:іп_раі1_соип1:=60:
Параметр численного решения дифференциальных уравнений, увеличен от значения по умолчанию (необходимое увеличение выявлено опытным путем)
> АЕгг:=Е1оа1(1,-7):
Базис пространства
> e:=eva1f([seq(sqrt(2)*sin(Pi*k*t),k = 1 .. 10)]);
> 1ашЬаа:=еуаЩ4*РіЛ2/2+3);
Задание оператора уравнения. Здесь и далее процедурная обертка (оформление через ргос) используется потому, что результат численного решения дифференциальных уравнений имеет тип ргос и для того, чтобы его можно было складывать с другими функциями или осуществлять композицию -надо, чтобы все операнды имели такой же тип.
Нелинейная часть оператора уравнения
> ^:=х->1ашЬаа*(«іп(х)+1/2*«іп(2*х)):
Процедурная обертка нелинейной части
> ^р:=ргос(х)ргос(«)еуа1^п(х),{1=«});епфепф
Оператор уравнения и интегранд его потенциала
> f:=x->diff(x,t$2)+fn(x):
>iV:=(x,q)->diff(x,t^2/2+lambda*(cos(x)-
1)+lambda*1/4*(cos(2*x)-1)+(q)*x:
Далее следующим образом осуществляется переход к операторному уравнению с сжимающим оператором.
>Diff(x,t$2)+'f'(x)=0,G=(Diff(x,t$2))л('-1'); Diff(x,t$2)=y, x=G(y);y+’f’(G(y))=0;
Поскольку решение уравнения ищется не на всем пространстве, то реально мы имеем дело со следующими представлениями и решением следующего уравнения
>x=u+v,u=i[1]*'e'[1]+xi[2]*'e'[2];=y(u)+(v) y=-PiЛ2*xi[1]*'e'[1]-4*PiЛ2*xi[2]*'e'[2]+y(v);
> y(v)+P[E[infinity-'2']]*'f'(u+G(y(v)))=0; Численная реализация (как решение дифференциального уравнения) оператора обращения двойного дифференцирования с краевыми условиями
> G:=y->rhs (dsolve( {diff(x(t),t$2)=y, x(0)=0,
x(1)=0} ,x(t), numeric,method=bvp,abserr=AErr,
maxmesh=256, output=listprocedure)[2]):
Процедурная реализация y(u)
> u:=proc(x,y)
> proc(s)eval(x*e[1]+y*e[2],{t=s});end;
> end;
Процедурная обертка проекторов на e1 и e2
для процедурных функций (интегралы берутся по отрезку [0,1-h], поскольку вторая производная будет считаться через правую разность).
> projector1:=proc(x)
>evalf(ApproximateInt(x(t)*e[1],t=0..1-h,
method = trapezoid, partition=int_part_count));
> end:
> projector2:=proc(x)
>evalf(ApproximateInt(x(t)*e[2],t=0..1-h,
method = trapezoid, partition=int_part_count));
> end:
Процедурная обертка проектора на Eto _ 2 для
процедурных функций
> proj:=proc(x)
> local p1,p2:
> p1:=projector1(x): p2:=projector2(x):
x-proc(s)eval(p1*e[1]+p2*e[2],{t=s});end;
end:
Начальный шаг для всех итерационных процессов в дальнейшем и тест правильности работы последнего проектора
> start:=proc(s)eval(e[3],{t=s});end;
> proj(start)(1/2);
Процедурная реализация итерационного процесса для уравнения y( v ) + PE f( G(y ) ) = 0 .
то _ 2
> Iter:=proc(x,y,st)
> local it:
> it:=u(x,y)+G(st(t)):
> proj(-fnp(it(t)));
> end;
Реализация нескольких итераций и получение v (x=u+v).
> Reduction:=proc(x,y,st,itcount)
> local z,i:
> z:=st:
> for i from 1 to itcount do
> z:=Iter(x,y,z): od:
> G(z(t));
> end;
Слагаемое u представления x=u+v
> _u:=proc(x,y)
>proc(s)eval(evalf(x)*e[1]+evalf(y)*e[2],{t=s});e
nd;
> end;
Вычисление гессиана ключевой функции в точке
> Hessian:=proc(x,y)
> local Red,dx,dy,f,diffp:
Вычисляем производные ключевой функции как проекции градиента
1. Вычисление v
> Red:=Reduction(x,y,start,2):
2. Вычисление второй производной от v.
> diffp:=proc(s)
> (Red(s+h)-2*Red(s+h/2)+Red(s))/(h/2)A2;
> end:
д 2
3. Вычисление градиента без учета —г и .
д{1
> f:=fnp(_u(x,y)(t)+Red(t))+diffp:
д2
4. Вычислений проекций и учет —-и .
д{1
> dx[1]:=projector1(f)-evalf(PiA2)*x:
> dy[1]:=projector2(f)-evalf(4*PiA2)*y:
Повторение вычислений с приращением по первой переменной
> Red:=Reduction(x+h,y,start,2):
> diffp:=proc(s)
> (Red(s+h)-2*Red(s+h/2)+Red(s))/(h/2)A2;
> end:
> f:=fnp(_u(x+h,y)(t)+Red(t))+diffp:
> dx[2]:=projector1(f)-evalf(PiA2)*(x+h):
> dy[2]:=projector2(f)-evalf(4*PiA2)*y:
Повторение вычислений с приращением по первой переменной
> Red:=Reduction(x,y+h,start,2):
> diffp:=proc(s)
> (Red(s+h)-2*Red(s+h/2)+Red(s))/(h/2)A2;
> end:
> f:=fnp(_u(x,y+h)(t)+Red(t))+diffp:
> dx[3]:=projector1(f)-evalf(PiA2)*x:
> dy [3]: =projector2(f)-evalf(4 *PiA2)* (y+h):
Вычисление гессиана
> (dx[2]-dx[1])/h*(dy[3]-dy[1])/h-(dy[2]-dy[1]) /h*(dx[3]- x[1])/h;
> end;
Построение параболического множества, отрезок построения [0 .. 5] выявлен опытно, результат будет сохранен в файл “c:\ par_new.txt”
> pl:=implicitplot(Hessian,0..5,0..5,grid= [70,70]):pl;
> file_:=fopen(c:\\p ar_new.txt' ,WRITE):
> fprintf(file_,convert(pl,string)):
> fclose(file_):
Ниже (рис.1) приведены фрагменты параболического множества и каустики приближения ключевой функции при
(4п2) (9ж2)
л = <4Л) + 3 є 2
2
2
І
x(t) + Л^ sin( x(t)) +—sin(2 x(t)) у = = q1 sin(n.t) + q2 sin(2n.t)
Рис.1. Фрагменты параболического множества и каустики
приближения ключевой функции при X = --------) + 3
2
Рис.2. Фрагмент каустики в ином масштабе
Следующий фрагмент - построения решений для различных областей каустики.
> restart:with(Student[Calculus1]):with(plots): Шаг для численного дифференцирования и
число отрезков разбиения для численного интегрирования
> h:=0.001:int_part_count:=60:
> AErr:=Float(1,-7):
Базис пространства
> e:=evalf([seq(sqrt(2)*sin(Pi*k*t),k = 1 .. 10)]);
> RCount:=1:
> lambda:=evalf(4*P^2/2+3);
Выделения областей каустики для дальнейшего построения решений
>PointTtle:=["A","B","C","D","E","F","G",
"H","I"]:
Points:=[[1,0],[13,4],[0.2,21.3],[8,39],[16,24],[37,
72],[0.14,182.8],[0.02,183.5],[0.14,187]]:
q[1]:=Points[RCount][1];q[2]:=Points[RCount]
[2];
Задание оператора уравнения. Здесь и далее процедурная обертка (оформление через proc) используется потому, что результат численного решения дифференциальных уравнений имеет тип proc и для того, чтобы его можно было складывать с другими функциями или осуществлять композицию -надо, чтобы все операнды имели такой же тип. Нелинейная часть оператора уравнения
> fn:=x->lambda*(sin(x)+1/2*sin(2*x)): Процедурная обертка нелинейной части
> fnp:=proc(x)proc(s)eval(fn(x),{t=s});end;end; Оператор уравнения и интегранд (без производной) его потенциала
> f:=x->diff(x,t$2)+fn(x): >iV:=(x)->lambda*(cos(x)-1)+lambda*1/4*
(cos(2*x)-1)+(q[1]*e[1]+q[2]*e[2])*x:
> iVp:=proc(x)proc(s)eval(iV(x),{t=s});end;end: Далее следующим образом осуществляется переход к операторному уравнению с сжимающим оператором.
>Diff(x,t$2)+T(x)=0,G=(Diff(x,t$2XT('-
1');Diff(x,t$2)=y,x=G(y);y+'f'(G(y))=0;
Поскольку решение уравнения ищется не на всем пространстве, то реально мы имеем дело со следующими представлениями и решением следующего уравнения
>x=u+v,u=xi[1] *'e' [1]+xi[2] *'e'[2];y=y(u)+y(v) ,y=-PiЛ2*xi[1]*'e'[1]-4*PiЛ2*xi[2]*'e'[2]+y(v); >y(v)+P[E[infinity-'2']]*'f'(u+G(y(v)))=0; Численная реализация (как решение дифференциального уравнения) оператора обращения двойного дифференцирования с краевыми условиями
>G:=y->rhs(dsolve({diff(x(t),t$2)=y,x(0)=0, x(1)=0},x(t),numeric,method=bvp,abserr=AErr, maxmesh=256, output=listprocedure)[2]):
Процедурная реализация y(u)
> u:=proc(x,y)
> proc(s)eval(x*e[1]+y*e[2],{t=s});end;
> end;
Процедурная обертка проекторов на e1 и er^
для процедурных функций (интегралы берутся по отрезку [0,1-h], поскольку вторая производная будет считаться через правую разность).
> projector1:=proc(x)
>evalf(ApproximateInt(x(t)*e[1] ,t=0..1-h,
method = trapezoid, partition=int_part_count));
> end:
> projector2:=proc(x)
>evalf(ApproximateInt(x(t)* e[2],t=0..1-
h,method = trapezoid, partition=int_part_count));
> end:
Процедурная обертка проектора на Eж - 2 для
процедурных функций
> proj:=proc(x)
> local p1,p2:
> p1:=projector1(x): p2:=projector2(x):
x-proc(s)eval(p1*e[1]+p2*e[2],{t=s});end;
end:
> start:=proc(s)eval(e[3],{t=s});end;
> proj(start)(1/2);
Процедурная реализация итерационного процесса для уравнения y( V) + Pe f(G( y)) = 0.
ж - 2
> Iter:=proc(x,y,st)
> local it:
> it:=u(x,y)+G(st(t)):
> proj(-fnp(it(t)));
> end;
Реализация нескольких итераций и получение v (x=u+v).
> Reduction:=proc(x,y,st,itcount)
> local z,i:
> z:=st:
> for i from 1 to itcount do
> z:=Iter(x,y,z): od:
> G(z(t));
> end;
Слагаемое u представления x=u+v
> _u:=proc(x,y)
>proc(s)eval(evalf(x) *e[1]+evalf(y) *e[2], {t=s});end;
> end;
Вычисление ключевой функции в точке
> W:=proc(x,y)
> local Red,II,diffu,diffV:
Вычисляем производные ключеовой функции как проекции градиента
1. Вычисление v
> Red:=Reduction(x,y,start,2):
2. Вычисление полуквадрата производной от v.
> diffv:=proc(s)
> ((Red(s+h)-Red(s))/h)A2/2;
> end:
3. Вычисление полуквадрата производной от u.
> diffu:=proc(s)
>eval(evalf(x *Pi)*e [1]+evalf(y *2*Pi)*e[2] ,{t=s})A2/2;
> end;
4. Вычисление интегранда
> II:=iVp(_u(x,y)(t)+Red(t))+diffv+diffu:
5. Вычисление ключевой функции
> evalf(ApproximateInt(II(t),t=0..1-h,method = trapezoid, partition=int_part_count));
> end;
с
2. Красносельский М.А., Бобылев Н.А., Муха-мадиев Э.М. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления ДАН СССР. - 1978. - Т. 240, N 3. - С. 530-533.
3. Бобылев Н.А., Емельянов С.В., Коровин С.К. Геометрические методы в вариационных задачах. М.: Магистр, 1998. 658 с.
4. Marsden J.E. On the geometry of the Liapunov-Schmidt procedure Lect. Notes in Math. 1979. V.755. P.77-82.
5. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах Успехи матем. наук. - 1996. - Т. 51, вып. 1. - С .101-132.
6. Даринский Б.М., Сапронов Ю.И., Царев С. Л. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов Современная математика. Фундаментальные направления. Том 12 (2004). М., 2004. С.3-140.
NOT LOCAL BIFURCATIONAL ANALYSIS OF DOUBLE SG - EQUATION MODIFIED BY LYAPUNOV - SHMIDT METHOD A.A. Dolzhenkov
The way to not local study of the class of bifurcational tasks of variation counting is examined in this work which includes the most of the sample tasks of soliton mathematic and its natural generalization which is out of borders of this science. The main example in this work is double SG - equation. At the heart of this way is modified Lyapunov -Shmidt method and methods of analytical and numeral calculation which is realized in the system of computer math-ematic
Key words: bifurcation, Liapunov-Schmidt method, double SG - equation
Рис.3. Линии уровня ключевой функции для выделенных областей параметров
Литература
1. Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. - пер с англ. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2006. - 480 с.
Воронежский государственный университет
