Научная статья на тему 'Библиотека программных процедур создания управляемой оснащенной динамической визуализации геодезических линий в СКМ Maple'

Библиотека программных процедур создания управляемой оснащенной динамической визуализации геодезических линий в СКМ Maple Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
813
138
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Филология и культура
ВАК
Область наук
Ключевые слова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ / СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ / АЛГОРИТМЫ / ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ / ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ / MATHEMATICAL MODELING / COMPUTERS MATHEMATICAL SYSTEMS / ALGORITHMS / DIFFERENTIAL GEOMETRY / GEODESIC LINES

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Бушкова Виктория Аркадьевна

В статье описана библиотека программных процедур в пакете компьютерной математики Maple для построения оснащенной динамической визуализации геодезических линий на произвольных поверхностях.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Бушкова Виктория Аркадьевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

PROGRAM PROCEDURE LIBRARY FOR CONTROLLED EQUIPPED DYNAMIC VISUALISATION OF GEODESIC LINES

The library of program procedures in the Maple computer mathematical system with a view to create controlled equipped dynamic visualization of geodesic lines on arbitrary surfaces is described in the article.

Текст научной работы на тему «Библиотека программных процедур создания управляемой оснащенной динамической визуализации геодезических линий в СКМ Maple»

ВЕСТНИК ТГГПУ. 2011. №4(26)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 512.5;519.6;519.8;372.851;378.02

БИБЛИОТЕКА ПРОГРАММНЫХ ПРОЦЕДУР СОЗДАНИЯ УПРАВЛЯЕМОЙ ОСНАЩЕННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЙ В СКМ MAPLE

© В.А.Бушкова

В статье описана библиотека программных процедур в пакете компьютерной математики Maple для построения оснащенной динамической визуализации геодезических линий на произвольных поверхностях.

Ключевые слова: математическое моделирование, системы компьютерной математики, алгоритмы, дифференциальная геометрия, геодезические линии.

Введение

Теория геодезических линий представляет собой один из основных разделов современной римановой геометрии. Она имеет многочисленные приложения в механике, оптике, теории поля для моделирования динамических систем на римановых многообразиях (см., например, [1; 2]). Исследование геодезических линий поверхностей сопряжено с необходимостью исследования и решения систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, что резко ограничивает возможности применения аналитических методов и вынуждает прибегать к численным, компьютерным методам исследования. Наиболее эффективное решение задачи исследования геодезических линий и построения их компьютерных моделей возможно в системах компьютерной математики, в частности, в системе Maple. Уникальные возможности проведения вычисления тензорных операций, построения трехмерной динамической компьютерной модели геодезических линий, оснащенной динамическим цифровым, языковым и графическим сопровождением, являются несомненными достоинствами пакета Maple, позволяющими отдать ему предпочтение при решении задач компьютерного моделирования. Следует отметить, что методы визуализации геодезических на поверхностях в пакете Maple развивались и ранее в школе профессора Ю.Г.Игнатьева1. Статья посвящена разработке основных принципов оснащенной динамической визуализации теории геодезических линий на римановых поверхностях в пакете Maple.

1 См., например, [3].

Математическое моделирование геодезических линий на римановой поверхности

В геометрии тех пространств, где метрика считается заданной, геодезические линии определяют как кратчайшие линии на поверхности. Как известно, в римановом пространстве метрика задается формулой

ds2 = gjJdx'dxJ.

Метрический тензор gjj определяет символы Кристоффеля первого рода Гик и второго рода Г1к. Тогда геодезические линии определяются уравнениями

d2 x1 + г i dx1 dxk = о ds2 1 ds ds

Для нахождения геодезических линий поверхности можно интегрировать только одно из уравнений в системе, если учитывать при этом

dx' dxJ

соотношение нормировки g11--------------= const. В

1 ds ds

системе Maple, начиная с версии Maple V, имеется библиотека тензорной алгебры tensor, одной из команд которой является geo-desic_eqns(coord,param,Cf2), где coord - список имен координат, param - параметр кривой, Cf2 -символы Кристоффеля второго рода. Эта команда позволяет находить уравнение Эйлера-Лагранжа для геодезических кривых.

Получим с помощью команды geo-desic_eqns(coord,s,Cf2) уравнения геодезических линий поверхности, при этом присвоим натуральному параметру линии имя ”s”.

> Geod:=tensor[geodesic_eqns](coord,s,Cf2);

Автоматизированный ввод задачи Коши Для интегрирования системы уравнений геодезических необходимо указать точку М0(и0,Уо) поверхности, а также направление геодезической

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

в этой точке —. В Maple для решения системы

ds

дифференциальных уравнений с начальными условиями используется функция

dsolve({ODE,ICs}, options). Здесь ODE - система дифференциальных уравнений с указанием начальных условий, Ics - выражение, задающее начальные условия. В нашем случае аналитическое решение не требуется. Для решения уравнений в численном виде функцию dsolve используем с параметром numeric или type=numeric.

Проиллюстрируем это на примере интегрирования системы уравнений геодезических линий на торе: x = (2 + cosv)cosu ,

y = (2 + cosv)sinu , x = sinv.

Зададим начальные условия (V(0) - некоторое направление).

> IC1:=[u(0)=2,v(0)=2,U(0)=1,V(0)=1] ;

> SS:=dsolve({op(System)}union{op(IC1)},type= numeric, method=rkf45,output=listprocedure);

SS:=[s=(proc(s) ...end proc), U(s)=(proc(s) ...end proc), V(s)=(proc(s) ...end proc), u(s)=(proc(s)... end proc), v(s)=(proc(s) ... end proc)]

Запись и проверка решений осуществляется с помощью подстановки решения в соответствующую величину:

>u_U2:=subs(SS,u(s));v_U2:=subs(SS,v(s));

u_U2(1);v_U2(1);

v_U2: = proc(s)...end proc

3.2769080663378611

2.1055408391400818

Указанная процедура возвращает особый тип данных, позволяющих найти решение в любой точке или построить график решения (или решений).

Касательный вектор к геодезической линии

Поставим задачу нахождения касательного вектора к геодезической линии в точке М0 в указанном направлении. Опишем процедуру его нахождения.

> kas_vect: = proc(X1,Y1,Z1)

local X,Y,Z,R,RV,t,a,TR,u_U0,v_U0,x,TRt,Mod, tau, Tau,Tau ris;R[u]: =[diff(X1,u),diff(Y1,u),diff(Z1,u)]: R[v]:=[diff(X1,v),diff(Y1,v),diff(Z1,v)]:

RV:=[X,Y,Z]:

TR:=(t,a)->RV(u_U0(t/20),v_U0(t/20)): TR(t,5): TRt:=(t,a)->subs(x=t,diff(TR(x,a),x)): TRt(t,a): Mod:=(x)->simplify(sqrt(innerprod(x,x))): Mod(TRt(t,a)):

tau:=(t,a)->scalarmul(TRt(t,a),1/Mod(TRt(t,a))): tau(t,a): Mod(tau(t,a)):Tau:=(t,a,u)-> matadd(scalarmul(tau (t,a),u),TR(t,a),1,1):Tau(t,a,u):

Tau_ris:=(t,a)->spacecurve(Tau(t,a,u),u=0..1,color =RED, thickness=2,scaling=CONSTRAINED):end proc:

Графическое представление решений

Библиотека plots системы Maple предоставляет возможности построения трехмерной динамической компьютерной модели геодезических линий, оснащенной динамическим цифровым, языковым и графическим сопровождением. Составим программу динамической визуализации движения касательного вектора к геодезической линии на поверхности тора. С помощью команды seq([f(i/m),g(i/m),h(i/m)],i=0..n) вводим последовательности численных решений и затем представляем их в виде графика с помощью команды spacecurve библиотеки plots. Совмещение графиков производим с помощью команды display той же библиотеки.

Приведем фрагмент кодов процедуры

> graphic:=proc(X1,Y1,Z1,u0,v0,V0) local r_U0,u_U0, v_U0,

GeoU0,TVL,RV,Pov,t,a,Rep,Rep_seq; r_U0:=[seq([(2+cos(v_U0(i/20)))*cos(u_U0(i/20)), (2+cos(v_U0(i/20)))*sin(u_U0(i/20)),sin(v_U0(i/20) )],i=0..500)]: GeoU0:=plots [spacecurve](r_U0,thick ness=2,color=black):TVL: =plots[spacecurve] (RV(u _U0(i/20),v_U0(i/20)),i=0..500,numpoints=2000,col or=navy,scaling=CONSTRAINED,thickness=2):Pov :=plot3d(RV(u,v),u=0..2*Pi,v=0..2*Pi,style=WIRE FRAME,color=GREY,scaling=CONSTRAINED):plo ts [display] (TVL,Pov): Rep:=(t,a)-> dis-

play(kas_vect(X1,Y1,Z1),TVL,Pov): Rep(0,2*Pi):Rep_seq:=(a,N)->plots [display] (seq( Rep(i*2*Pi,a),i=0..N), insequence=true: Rep_seq(4,80):end proc:

Приведем пример ввода и исполнения процедуры для тора:

> graphic((2+cos(v))*cos(u),(2+cos(v))*sin(u), sin(v), 2,2,1);

Рис.1. Исполнение команды

graphic((2+cos(v))*cos(u), (2+cos(v))*sin(u),sin(v),2,2,1)

В.А.БУШКОВА

Заключение

Представленная библиотека программных процедур оснащенной динамической визуализации геодезических линий предназначена для проведения исследований в римановой геометрии средствами системы компьютерной математики Мар1е.

Автор благодарен профессору Ю.Г.Игнатьеву за постановку задачи и ее обсуждение.

1. Синг Дж. Классическая динамика. - М.: Изд-во физико-математической лит., 1963. - 448 с.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. - М., 1989. - 472 с.

3. Проблемы информационных технологий в математическом образовании: учеб. пособ. / под ред. Ю.Г.Игнатьева. - Казань: ТГППУ, 2005. - 118 с.

4. Дьяконов В. Мар1е7: учеб. курс. - СПб.: Питер, 2002. - 672 с.

5. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. - М.: Мир, 1967. - 203 с.

6. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. - М.: Иностр. лит., 1948. - 316 с.

7. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. - М.: Наука, 1967. - 664 с.

8. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. - М.: Высш. шк., 2001. - 575 с.

9. Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. - М.: Наука, 1969. - 352 с.

PROGRAM PROCEDURE LIBRARY FOR CONTROLLED EQUIPPED DYNAMIC VISUALISATION OF GEODESIC LINES

V.A.Bushkova

The library of program procedures in the Maple computer mathematical system with a view to create controlled equipped dynamic visualization of geodesic lines on arbitrary surfaces is described in the article.

Key words: mathematical modeling, computers mathematical systems, algorithms, differential geometry, geodesic lines.

Бушкова Виктория Аркадьевна - аспирант кафедры высшей математики и математического моделирования Института математики и механики Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: vbushkova@inbox.ru

Поступила в редакцию 21.11.2011

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.