Мультипликативный интеграл в дифференциальной геометрии и прикладных задачах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТГГПУ. 2010. №3(21)

УДК 514

МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ ИНТЕГРАЛ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ПРИКЛА ДНЫХ ЗАДАЧАХ

© В.В.Черкасова

В статье рассматриваются основные положения теории мультипликативного интеграла. В терминах мультипликативного интеграла решены прикладные задачи дифференциальной геометрии, построена компьютерная модель задачи о качении шара вдоль кривой по двумерной поверхности.

Ключевые слова: мультипликативный интеграл, дифференциальная геометрия, компьютерная модель.

1. Введение

Инфинитезимальное исчисление Вольтерра представляет собой дифференциальное и интегральное исчисления бесконечно малых матричных функций. Основной конструкцией исчисления является мультипликативный интеграл, интерпретации которого представляют собой целые математические разделы. Все чаще интегралы этого вида возникают в дифференциальной геометрии, физике, теории вероятностей.

2. Мультипликативный интеграл: основные определения, понятия и конструкции

Пусть V - конечномерное векторное пространство, Ь(У) - банахова алгебра всех линейных операторов, действующих в пространстве V, Е - единица алгебры и А(0 - функция со значениями в пространстве -(V), где переменная [а;

Ь] действительной оси.

Построим разбиение Т = отрезка [а; Ь], такое что

а = ^ ^ < ...< 1П =Ь.

Выберем на каждом из частичных отрезков [^л; £], где 7=1, 2, ..., п, точку ^ и построим интегральное произведение

1

П( + ((А)(к -^-1 ))-

к —п

(1)

= ( + Щп )) (п ) - х(#п-1)) х

х...(Е + А(£) )( - х(&))

Определение 1. Предел интегрального произведения (1) при п^оо и тах (tk - tk-1 )^ 0, нек

зависящий от разбиения отрезка [а; Ь] и выбора точек с;к, к = 1, 2, ...,п, называется мультипликативным интегралом и обозначается Ь

і і

У — | Е + Л(і)<* .

(2)

В случае существования предела интегрального произведения с обратным порядком множителей

П(Е + А(&)(к -tk-1 )) =

к=1 (3)

(Е + А(#1) )(( - х(4о) )х

х...(Е + А(#п) )() - х(#п-1)),

Ь

и

получим обратный интеграл 2 = |Е + А^)Л,

а

связанный с У соотношением 2 = У1.

Внутренняя структура мультипликативного интеграла аналогична интегралу Римана, отличие заключается лишь в том, что интеграл Римана -это предел суммы большого числа сомножителей близких к нулю, а мультипликативный интеграл - предел произведения большого числа сомножителей близких к единице.

Вычисление значений мультипликативных интегралов вида (2) в общем случае является трудно реализуемой задачей, однако использование свойств внутренней структуры мультипликативного интеграла позволяют находить их приближенные значения [1].

3. Мультипликативный интеграл в дифференциальной геометрии и прикладных задачах

Первые упоминания о применении мультипликативного интеграла в дифференциальной геометрии можно найти в работах шведского математика Л.Шлезингера, который изучал зависимость изменения компонент векторов при их параллельном перенесении в пространстве аффинной связности и установил, что параллельный перенос можно описать с помощью новой конструкции - криволинейного мультипликативного интеграла.

Определение 2. Выражение вида

|Е + £гк хп),

V к—1

где Гк (х1,...,хп)- операторные функции со значениями в алгебре Ь(У), 7 - произвольная непрерывная спрямляемая кривая в V, называется криволинейным мультипликативным интегралом.

Основной характеристикой криволинейного мультипликативного интеграла является кривизна. Таким образом, если рассмотреть мультипли-

п

кативный интеграл | Е + Р(х, y)dx + Q(х, у^у,

7

где Р (х, у), Q (х, у) - функции двух вещественных переменных со значениями в алгебре матриц [пхп] с операцией умножения, то справедлива

Теорема: Для криволинейного мультипликативного интеграла, вычисленного вдоль бесконечно малого прямоугольника у, имеет место

формула

| Е + Р(х, у)Лх + £>(х, у)Лу ■■

7

= Е + Ка + о(а), где а - площадь поверхности,

ограниченная контуром у, о(а) - бесконечно малые величины более высокого порядка малости, чем а.

Доказательство этой теоремы приведено в работе О.В.Мантуров "Мультипликативный интеграл" [2: 181].

Основной геометрический смысл заключается в том, что структуру криволинейного мультипликативного интеграла уместно сравнивать с параллельным перенесением вектора, определенного какой-либо связностью.

Рассмотрим евклидово пространство Еп. Пусть Бт - т-мерная поверхность евклидова пространства Еп, заданная параметрическими уравнениями х = х (и1,...,ит), I = 1,..,п , независимые переменные щ, ..., ип пробегают некоторую связную область Дп. Функции хг = хг (и1,...,ит) -непрерывно дифференцируемые п раз и удовлетворяю условию регулярности поверхности.

Зададим на поверхности 8т кривую у уравнениями и1 = и1^),..., ит = ит (0, t е[а, Ь ], где

функции иа ^) п раз непрерывно дифференцируемы и йиа!Л не обращаются в ноль одновременно. Найдем касательный вектор dxi |dt к кривой у. Для этого продифференцируем функции хг = х (и1,...,ит), как сложные функции

dxl|dt = дх1 /диа dua Jdt, а = 1,...,т . Полученное уравнение имеет важный геометрический смысл, поскольку преобразует тензор duа/Л на по-

верхности £т в тензор ёх1 в пространстве Еп. Связь этих двух тензоров является инвариантной и заключается в том, что они получаются дифференцированием иа и х1 по одному и тому же параметру вдоль общей кривой и в общей точке.

Другими словами, каждый тензор Лиа/Лґ изображается некоторым вектором в касательном пространстве посредством тензора ёх1 /Л .

Зададим на Бт метрику Лъ2 — gаpdxа Лхв , а,в — 1,...,т и построим для заданной кривой у касательный вектор 4 = 4), і є [а , Ь ], принадлежащий касательному пространству в точке Р — (х0,...,хП) . Тогда коэффициенты связности,

согласованные с данной метрикой, будут находиться из соотношений

гк — V2 gks (^щ/дХ + & - дgij/^ ) .

Принадлежность дифференциала вектора 4 = 4(і) = (%\...%п) поверхности 8т будет обеспечиваться условием + г\^1Лх1 — 0 .

Построим разбиение Т — {ґі} отрезка [а,Ь] точками а — ?о,*!,..., 1п — Ь на п частей, тогда на каждом из частичных отрезков [іг-, ^+1 ], і — 0,..., п выполняется равенство

4і (іі+1) -4і (іі) + Гк (Ті )4 (Ті )Лхк (Ті) — 0, где Ті - промежуточная точка частичного отрезка [іі, іі+1 ], і — 0,..., п . С другой стороны параллельный перенос вектора 4 из точки ґа в точку ґа+1 описывается соотношением

4 (іа+1) — (#} - Г)к (Та )Ах'к (Та ))4 (іа) , где

Та є [іа, +1], а — 1,2,...,п .

Из данного равенства следует, что

4і (Ь) — П (-( (Та)Ахк (та)) (а).

а—0 у '

Полученное произведение является интегральным и при переходе к пределу при п определяет криволинейный мультипликативный интеграл. Таким образом, параллельный перенос вектора 4 = 4(0 из точки — а в точку їп — Ь за-

дается интегралом М п

|Е +ЕГ к (х1-хп )Лх

к — 1,...,т .

к—1

Отметим, что значение данного интеграла будет зависеть не только от свойств подынте-

7

гральных матричных функций Гк , но и от пути интегрирования у .

Криволинейный мультипликативный интеграл возникает не только в дифференциальной геометрии, но и во многих прикладных задачах, например, в задаче о качении шара: Пусть по некоторой поверхности S, заданной параметрическими уравнениями: г = г (и, V), или подробно х=х (и, V), у=у(и, V), z=z(u,v), где и, V принадлежат некоторой области двумерного пространства, катится шар радиуса Я с жестко прикрепленным к нему репером (в\, е2, е3). Шар катится без проскальзывания вдоль кривой у : г = г (и^), v(t)), tе [а, Ь]. В конце пути репер примет свое новое положение относительно не подвижной системы координат Oxyz. Вычислите матрицу перехода от начального положения репера к конечному.

В работе В. В.Черкасовой [3] было построено решение данной задачи при условии, что поверхность качения задана уравнением z=f(x, у). Интеграл качения имеет вид

(

y=j e-

0

A2 - Bl

1

A1

0

- B2

1

Г О -C -C О

Al = fx/H (x, y),

Bl = f )2 + ljH (x, y),

C = f’xf’y IH (x, y)

О

-C

О

C

B2

О

f'

y

1 C О

fx

О ^ О О О

О ^ О О О

dx -

где

B2 =

A2 = fy/H (x, y),

/ )2 +1/H (x, y),

H(xy)= R ((E(x y))2 + (fy(x y))2

12

1

Кроме того, было установлено, что при Дх, у)= х2+ у2 матрица перехода от начального положения репера к конечному может быть вычислена по формуле

У = Е + Г КгЕ )2 М (х, у) + к§Щ (х, у)/Н (х, у)

а +

+0 (а),

где кё = Я, Я - радиус шара, КГ - гауссова кривизна поверхности S, а - площадь поверхности, ограниченной контуром у, о(а) - бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем а. Функции Щ(х, у) и М(х, у) могут быть вычислены по формулам:

M (x, y) =

N (x, y)--

2x2 - 2y2

-2x + 2 y2 О

y(H - H3

-4Hx + 4 x2)'

Hx(-1 + H2 -Sy2)

H(x(1 - 2y)2 - y) (H3 - 4xy)(x - y)

-1 - 4x2 - 4y2

1 + 4 x2 + 4 y2 О

8x2 y - 2 y(1 + 4 y2)

-2x(1 + 4x2) + Sxy2

-2 y(1 + 4 y2) 2 x(1 + 4x2) - 8xy2 0

\ /

Практическая значимость поставленной задачи заключается в том, что путем качения шара по любой поверхности через интеграл качения и его кривизну можно приближенно оценить геометрию поверхности качения.

4. Компьютерная модель задачи о качении шара

Современные системы компьютерной математики позволяют не только проводить вычисления различного уровня сложности, но и визуализировать различные объекты и задачи. Поскольку задача о качении шара имеет явную прикладную направленность, то необходимо разработать компьютерную модель, реализующую качение шара, заданного пользователем радиуса, по двумерной поверхности. В качестве среды для разработки использовалась СКМ Maple, позволяющая использовать не только встроенные стандартные библиотеки, но и создавать собственные - пользовательские. Компьютерную модель качения шара по поверхности можно реализовывать как Maple-библиотеку, например, AdaptSphere, содержащую пользовательские процедуры и функции.

Первая группа процедур позволяет построить графики заданной поверхности и кривой, принадлежащей ей, вторая - воссоздает сферу, оснащенную нормированным репером и полюсом на кривой качения. Третья группа - компонует "нулевой" кадр анимации и непосредственно реализует ее. В данной статье приведем листинг лишь основных процедур:

> restart:

> AdaptSphere:=table():

Процедуры Surface и Curve позволяют преобразовать списки уравнений, которыми заданны поверхность и кривая на ней в функцию.

> AdaptSphere[Surface]:=proc (r,u,v) local R, U,

V:

R:=(U, V)<-subs(u=U, v=V, r): R(u, v): endproc:

> AdaptSphere[Curve]:=proc (r, u, v, rho, t) local R, U, V, RHO, T:

R:=(U, V)->simplify(subs(u=U, v=V, r)):

RHO: =(T)->simplify(subs(t=T, rho)): subs({u=RHO(t)[1], v=RHO(t)[2]}, R(u, v)): end proc:

Этот метод своеобразного извлечения информации о поверхности и кривой был разработан Ю.Г.Игнатьевым [4]. Результатом исполне-

7

и

ния процедур является maple-функция, что позволяет делать подстановки и преобразования.

Процедуры GSurfase и GCurve задают графики поверхности и кривой на поверхности соответственно.

> AdaptSphere[GSurface]:=proc(r,u,v,x,y,c) local R,U,V:

R:=(U,V)->subs(u=U,v=V,r): plot3d(R(u,v),u=x[1 ]..x[2],v=y[1 ]..y[2],style=WIRE FRAME,color=c,scaling=CONSTRAINED): end proc:

> AdaptSphere[GCurve]:=proc(r, u, v, rho, t, TT, c) local R, U, V, RHO,T,GG: R:=(U,V)->simplify(subs(u=U,v=V,r)): RHO:=(T)->simplify(subs(t=T,rho)):

GG:=(t)-

>subs({u=RHO(t)[1],v=RHO(t)[2]},R(u,v)): plots[spacecurve] (GG(t),t=TT[1]..TT[2], color=c,sc aling=CONSTRAINED): end proc:

Компьютерная модель "оснащенной" сферы реализуется посредством maple-функции

SphereArm,

> AdaptSphere[Sphere_Arm]:=(r, t, t0, a, c)-> plots[display](GNatRepAdUp(r,t,t0,a,black,black,bl ack),VB_Circle(r,t,t0,a,red), VN_Circle(r,t,t0,a,red),Sphere_Ad(r,t,t0,a,c)): end proc:

где GNatReperAdUp - процедура, задающая графический образ натурального репера, параллельно перенесенного на заданный вектор, VNCircle, VB Circle - задают окружности, проходящие через векторы скорости и нормали, скорости и бинормали к кривой качения, Sphere Ad - график сферы, один из полюсов которой находится на кривой качения.

Одной из особенностей построенной модели является использование дополнительных пользовательских функций при построении натурального репера. Например, процедура comb_vec:

> AdaptSphere[comb_vec]: =proc(a,b,mu,nu) local N,i:

N:=nops(a):[seq(mu*a[i]+nu*b[i],i=1..N)]: end proc: - позволяет найти линейную комбинацию двух векторов, scal_prod, vec_prod,

comb_prod:

> AdaptSphere[scal_prod]:=proc(a,b) localN,i: N:=nops(a):simplify(sum(a[i]*b[i],i=1..N)): end proc:

> AdaptSphere[vec_prod]:=(a,b)-> simplify([a[2] *b[3]-a[3] *b[2],a[3]*b[1]-a[1]*b[3],a[1]*b[2]-a[2]*b[1]]):

> AdaptSphere[comb_prod]:=(a,b,c)->simplify(scal_prod(a,vec_prod(b,c))): - соответственно вычисляют скалярное, векторное и комбинированное произведения векторов. Кроме то-

го, для аналитического задания векторов натурального репера использовались функции dif, dif2, dif3, которые отличаются от стандартной функции diff тем, что позволяют находить производные функции в заданной точке:

> AdaptSphere[dif]:=proc(f,x,x0) local F,X,dF: F:=(X)->subs(x=X,f): dF:=(X)->diff(F(X),X): sim-plify(subs(X=x0,dF(X))):end proc:

> AdaptSphere[dif2]:=proc(f,x,x0) local F,X,dF: F:=(X)->subs(x=Xf): dF:=(X)->diff(F(X),X$2): simplify(subs(X=x0,dF(X))):end proc:

> AdaptSphere[dif3]:=proc(f,x,x0) local F,X,dF: F:=(X)->subs(x=X,f): dF:=(X)->diff(F(X),X$3): sim-plify(subs(X=x0,dF(X))):end proc:

Процедура CartArmSphere задает "нулевой" кадр анимации, а Cart_Arm_Spher_Anim - программирует анимацию с частотой изменения кадров N.

> AdaptSphere[Cadr_Arm_Sphere]:=proc(r, u, v, uu, vv, rho, t, t0, tt, a, cl, c2, c3) local R, R1, RHO,

T, U, V, S, L, Sp:

R:=(U,V)->subs(u=U, v=V, r): RHO:=(T)->subs(t=T, rho):

R1:=(T)->subs({U=RHO(T)[1], V=RHO(T)[2]}, R(U,V)):

S:=plot3d(R(U,V),U=uu[1]..uu[2], V=vv[1]. .vv[2],colo r=c1,style=WIREFRAME,scaling=CONSTRAINED): L:=plots[spacecurve] (R1(T),T=tt[1 ]..tt[2], thickness =2,color=c2,numpoints=1000): Sp:=(t0)->Sphere_Arm(R1 (T),T,t0,a,c3): plots[display](S,L,Sp(t0)): end proc: >AdaptSphere[Cadr_Arm_Sphere_Anim]: = proc(r,u,v,uu,vv,rho,t,tt,a,c1,c2,c3,N) local d, i, TT, CC: d:=evalf((tt[2]-tt[1])/N): TT:=(i)->tt[1]+i*d: CC:=(i)->Cadr_Arm_Sphere(r, u, v, uu, vv, rho, t, TT(i), tt, a, c1, c2, c3):

plots[display](seq(CC(i),i=0..N), insequence=true): end proc:

В заключение хотелось бы выразить благодарность доктору физико-математических наук, профессору Игнатьеву Ю.Г. за помощь в разработке компьютерной модели задачи, консультации и детальное обсуждение полученных результатов.

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988. - 552 с.

2. Мантуров О.В. Мультипликативный интеграл // Итог науки и техники. Сер. "Проблемы геометрии". - 1990. - Т.22. - С.167-215.

3. Черкасова В.В. О связностях, индуцированных качением шара по поверхности // Изв. ВУЗов: Математика. - 2009. - №11. - С.79-84.

4. Игнатьев Ю.Г. Проблемы информационных технологий в математическом образовании. - Казань: ТГГПУ, 2005. - 118 с.

THE MULTIPLICATIVE INTEGRAL IN DIFFERENTIAL GEOMETRY AND APPLIED PROBLEMS

V.V.Cherkasova

The main principles of the theory of the multiplicative integral are considered in this article. The applied problems of Geometry are solved with the help of the multiplicative integral. The computer model of the problem about rolling of a ball along a curve on a two-dimentional surface is constructed.

Key words: multiplicative integral, differential geometry, computers simulation.

Черкасова Владлена Владиславовна - старший преподаватель кафедры информатики Орловского государственного университета.

E-mail: cher_vl@orel.ru