CC BY
63
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
46
УДК 519.688:511
В.С. Малаховский, Н.В. Малаховский
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ПРОГРАММЫ ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ВНЕШНИХ ФОРМ КАРТАНА К ИССЛЕДОВАНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ
На основе пакета программ Maple Release 4.GGa составлены компьютерные программы исследования пфаффовых систем дифференциальных уравнений и дифференцируемых многообразий Mn. Компьютерные программы устанавливают совместность или несовместность пфаффовой системы, определяют произвол ее решения, дифференциальные уравнения последовательности фундаментальных объектов дифференцируемого многообразия Mn и продолженных объектов связности.
On the basis of software package Maple Release 4.GGa computer programs of research of Pfaffian systems of differential equations and differentiable manifolds Mn are made. Computer programs establish compatibility or incompatibility of Pfaffian system, determine an arbitrariness of its solution, define differential equations of the sequence of fundamental objects of differentiable manifolds Mn and the prolongated objects of connectivity.
Созданный в начале XX века Эли Картаном эффективный метод исследования пpоизвольныx систем диффеpен:циaлъныx уравнений в полные диффеpенциaлax (систем уравнений Пфаффа) теоретически установил критерий инволютивности тaкиx систем. Система уравнений Пфаффа (к которой сводится произвольная система линейньїк диффеpе:нциaлъныx уравнений в чaстныx производные) конечным числом продолжений приводится к системе в инволюции, что позволяет не только доказать теорему существования, но и определить произвол решения, либо к противоречивой системе. В последнем случае и исxоднaя система несовместна.
Однако практическое осуществление последовательнык продолжений ж^одной системы сопряжено с громоздкими вычислениями. Поэтому математики не всегда могли аналитически доказать совместность получаемой в процессе исследования (в математическом анализе или в дифференциальной геометрии) системы уравнений Пфаффа, а следовательно, и решить поставленную задачу.
Вестник КГУ. 2GG5. Вып. 1—2. Сер. Информатика и телекоммуникации. С. 46 — 54.
Интенсивное развитие компьютерной теxники и совершенствование методов программирования содействовали внедрению компью-тернык методов вычислений в классические направления теоретической математики. Использование пакетов программ Maple V Release 4.00a позволило, например, решить ряд задач в теории чисел и в элементарной геометрии (пространственная модель натуральные чисел, определение семейства пифагоровым треугольников с заданной гипотенузой, нaxождение пpостыx чисел Мерсенна, просты* реньюнитов и др.) Однако при исследовании систем дифференциальные уравнений в частньїк пpоизводныx в извесIныx комньютеpныx нpогpaммax не использовался метод внешне форм Картана. В предлагаемой ниже программе, разработанной на основе пакета программ Maple V Release 4.00a, осуществлен процесс продолжений систем уравнений Пфаффа методом внешне форм Картана, подсчет xapaктеpов Si, чисел Q и N не только исxодной системы, но и ее продолжений. Это позволяет использовать критерий Картана, установить совместность или несовместность искодной системы, определить (в случае совместности) произвол ее решения, причем для вполне интегpиpуемыx систем программа дает решение исxодной системы уравнений Пфаффа в квaдpaтуpax. Рассмотрим, нанример, систему уравнений второго порядка в чaстныx произ-водныx
32z = дz D2z = дz (1)
дx2 Dy' дy2 дx
Соответствующая ей система уравнений Пфаффа имеет вид
dz = udx + vdy, du = vdx + wdy, dv = wdx + udy, (2)
где
Dz Dz 31z
u =—, v = —, w = ■
дх ду дхду
Для исследования полученной системы уравнений Пфаффа (2) с помощью компьютерной программы необходимо задать число т независимых переменных, число г неизвестных функций, число в уравнений Пфаффа, переобозначить независимые переменные и неизвестные функции:
&= (ОДІ]) = z[2]*d(x[1])+z[3]*d(x[2]), d(z[2]) = z[3]*d(x[1])+z[4]*d(x[2]), d(z[3]) = z[4]*d(x[1])+z[2]*d(x[2])}: т:= 2: г:= 4: 8:= 3:
и запустить программу
> with(linaIg,submatrix,det,vector,matrix,- > eqns:=seq(op(k,subs({seq(d(z[k])=Z[k],k
rank,concat,genmatrix): =1..г),
> with(difforms):with(combinat,choose,pe > seq(d(x[k])=X[k],k=1..m)},
rmute): > (seq(lhs(op(k,S))-
> defform(x=0,y=0,z=0,X=1,Z=1): rhs(op(k,S)),k=1..s)})),k=1..s):
> xr:=0: > assign(S):unassign('w','S'):
47
48
> seqs:=[seq(k,k=1..s)]:
> seqr[1]:=[seq(k,k=s+1..r)]:
> seqm:=[seq(k,k=1..m)]:
> N:=r-s:rho:=r:j:=1:
> K:=0:J:=1:
> for i while i<=J
> do
> K:=K+1:
> ddz:=seq(d(d(z[k])),k=seqs):
> S[i]:=seq(d(w[k])=d(z[k]),k=seqs):
> if i>1 then print(i-1-'OE ПРОДОЛЖЕНИЕ'):
> print(subs(w=z,{S[i]}))
> fi:
> SI[i]:=select(has,subs({seq(d(z[k])=Z[k], k=1..r),
> seq(d(x[k])=X[k],k=1..m)},{ddz}),'&A');
> q:=rho-s:
> t:=r+1:
> for j from 1 to N
> do
> d(z[op(j,seqr[i])]):=sum('z[k]*d(x[k-t+1])','k'=t..t+m-1):
> t:=t+m:
> od:
> ddz:=remove(has,[ddz],0);
> ddz:=simpform(ddz);
> per:=permute(m,2):k:=1:typ:=0:
> for a while a<=nops(ddz)
> do for b while b<=nops(per)
> do e[k]:=coeff(op(a,ddz),
> l'&A''(d(x[op(1/op(b/per))]),d(x[op(2 ,op(b,per))]))):
> if
> e[k]<>0 and
> type(e[k],freeof({seq(z[i],i=1..t)}))= true
> then typ:=typ+1
> fi:k:=k+1
> od:
> od:
> if
> typ>0 then print('СИСТЕМА ПРОТИВОРЕЧИВА.'): break
> fi:
> sq:=remove(has,[seq(e[i],i=1..k-1)],0);
> n:=1:
> for a while a<=nops(sq)
> do
> sel:=select(has,op(a,sq)+f/[seq(z[i]/i=r-+1..r+(j-1)*m)]):
> eqn[n]:=sel=(op(a,sq))-sel:n:=n+1:
> od:
> sq1:=[seq(eqn[i],i=1..n-1)];
> for a while a<=nops(sq1)
> do for b from r+1 by 1 to r+(j-1)*m
> do
> coef[a,b]:=coeff(lhs(op(a,sq1)),z[b]):
> v1[a]:=rhs(op(a,sq1))
> od:
> od:
> A:=matrix(nops(sq1),(j-1)*m,
> [seq(seq(coef[k,l],l=r+1..r+(j-1)*m),k=1..a-1)]);
> V:=vector(nops(sq1),[seq(v1[k],k=1..a-1)]):
> B:=concat(A,V):rA:=rank(A):rB:=rank(
B):
> np:=(j-1)*m:
> if
> rA<rB then k1:=1:
> for a while a<=rB-rA
> do chA:=choose(np+a, rA+a):
> chB:=choose(nops(sq1),rA+a):
> for b while b<=nops(chA)
> do for c while c<=nops(chB)
> do dt:= det(submatrix
> (B,[op(op(c,chB))]/[op(op(b/chA)) ])):
> if
> se-
lect(has,{dt},{seq(z[i],i=1..r)})=true then
> S1[k1] :=op(solve(dt,{seq(z[i],i=1..
r)})):
> k1:=k1+1
> fi:
> od:
> od:
> od:
> fi:
> if
> rA<rB and k1=1 then print('СИСТЕМ А ПРОТИВОРЕЧИВА.'): break
> fi:
> if
> rA<rB and k1>1 then
> print('E СИСТЕМЕ УРАВНЕНИЙ ПФАФФА'):
> print(seq('d'(z[k])=d(z[k]),k=1..s)):
> print('yЧЕСТЬ СЛЕДУЮЩИЕ СВЯЗИ НА НЕИЗВЕСТНЫЕ ФУНКЦИИ:'):
> print({seq(S1[j],j=l.. k1~1)j):
> print('И ЗАПУСТИТЬ ПРОГРАММУ СНАЧАЛА.'): break
> fi:
> if
> rA=rB then
> slv:=[solve({seq(e[i],i=1..k-1)j,
> {seq(z[i],i=r+1..r+(j-1)*m)j)]:
> if nops(slv)>1 then
> print(' ВОЗМОЖНЫ СЛЕДУЮЩИЕ ПОДКЛАССЫ РЕШЕНИЙ:'):
> for a while a<=nops(slv)
> do
> print(subs(op(a,slv),{seq('d'(z[k])=d
(z[k]),
> k=seqr[i])j)):
> od:break:
> fi:
> assign(slv):
> fi:
> k:=1:rnk[0]:=0:
> for l while l<=m-1
> do Sl:=subs({seq(X[i]=X[i[l]],i=1..m)j,SI[ i]):
> dSl:=simplify(d(Sl)):
> for b while b<=nops(dSl)
> do for c while c<=nops(seqr[i])
> do
> sim-
plify(subs(d(Z[op(c,seqr[i])])=1,op(b,dSl)))
> n[k]:=simplify(subs('&^'=0,")):k:= k+1:
> od:
> od:rnk[l]:=rank(matrix(nops(SI[i])*l,n ops(seqr[i]),
> [seq(n[k],k=1..nops(seqr [i] )*nops (SI[i] )*l)])):
> sk[l]:=rnk[l]-rnk[l-1]:
> od:
> sk[l]:=q-sum('sk[k]','k'=1..l-1):
> Q:=sum('sk[k]*k','k'=1..m);
> if
> xr=0 then k:=1:
> sq2:=[seq(op(SI[j])/j=1..i)]:
> dsq2:=simplify(d(sq2)):
> for a while a<=2
> do
> if
> a=1 then sqr:=[seq(op(seqr[j]),j=1..i)
> uu:=Z: else sqr:=seqm:uu:=X
> fi:
> for b while b<=nops(sq2)
> do for c while c<=nops(sqr)
> do
> sim-
plify(subs(d(uu[op(c,sqr)])=1,op(b,dsq2))):
> sim-
plify(subs('&A'=0,")):nn[k]:=":k:=k+1:
> od:
> od:
> od:
> solv:=solve({seq(nn[k],k=1..k-1),eqns},
> {seq(X[i],i=1..m),seq(Z[i],i=1..r)}):
> k:=1:
> B:= genmatrix(solv, [seq(X[k],k=1..m), seq(Z[k],k=1..r)]):
> R:=rank(B):
> if R<rho+m then
> print('ВОЗМОЖНА РЕДУКЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ.'):
> print('ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА'):
> print('ПОЛУЧЕННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПФАФФА ИМЕЕТ ВИД:'):
> print(subs({seq(X[k]='d'(x[k]),k=1..m)
> seq(Z[k]='d'(z[k]),k=1..r)},solv)):
> fi:
> xr:=1:
> fi:
> seqs:=seqr[i]:
> k:=0:
> for a from r+1 to r+(j-1)*m
> do
> if op(z[a])=a
> then k:=k+1:ww[k]:=r+k:z[a]:=w[r+ k]
> fi
> od:N:=k:
> rho:=rho+N:
> seqr[i+1]:=[seq(ww[j],j=1..k)]:
> seq(assign('d'(z[k])=subs(w=z,simplify( d(z[k])))),k=seqs):
> seq(unassign('z[k] '),k=r+1..r+(j-1)*m);
> if
> Q=N and Q=0 then print('СИСТЕМА ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМА'):
> prints ЕЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ МНОГООБРАЗИЕ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ С ПРОИЗВОЛОМ'):
49
50
> print(s):print (' ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ:'):
> unassign('t'):
> Seq:=subs({seq(d(x[j])=x[j],j=1..m),
> seq(x[j]=x[j]*t,j=1..m)j,{seq(S[j],j=1..i)j):
> seq(T[j]=op(j,Seq),j=1..nops (Seq)): as-sign("):
> N:=nops(Seq):m:=1:
> for a while a<=N
> do
> u[m]:=op(lhs(T[a])):m:=m+1
> od:
> sub:=[seq(u[j],j=1..m-1)]:
> sys:=seq(diff(z[op(op(j,sub))](t),t)=rhs( T[j]),
> j=1..nops(sub)):
> fcns := {seq(z[op(op(j,sub))](t),j=1..nop s(sub))j:
> dsl:=dsolve({sysj, fcns):
> if
> N=1 then print(op(0,lhs(dsl))=subs(t-=1,rhs(dsl))) else
> print(seq(op(0,lhs(op(j,dsl)))=subs(t= 1,rhs(op(j,dsl))),
> j=1..nops(dsl)))
> fi:
> break
> fi:
> if
> Q=N then
> print(i-'ОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ'):
> print(subs(w=z,{seq(d(w[k])=d(z[k]),k =seqs)})):
> print('СИСТЕМА В ИНВОЛЮЦИИ^т^'И ЕЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ МНОГООБРАЗИЕ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ С ПРОИЗВОЛОМ'):
> print(seq(sk[k],k=[seq(-i,i=-l..-1)])):
> print('ФyНКЦИЙ,СООТВЕТ-СТВЕННО'):
> print(seq(-i,i=-m..-1)):
> print('АРГУМЕНТОВ И'):
> print(s):
> print('ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ.'):
> break
> fi:
> r:=r+k:
> s:=s+j-1:
> if K=i then J:=K+1 fi:
> od:
Программа дает следующее решение исxодной системні (1):
2
z = "3exP
x + y 2
" V3 (
C1 cos (x - y) - C2cos
3 + ^(x - y)
v 32
(
- C3 cos
n-^(x - y)
32
1
+ 3exp(x + y)(C1 + C2 + Cs) - C1 + C4.
Широко используемый в современной дифференциальной геометрии метод внешних форм Картана и метод подвижного репера позволяет свести геометрическую задачу к исследованию соответствующей системы дифференциальных уравнений. Однако продолжения этой системы требуют высокого мастерства, особенно если рассматриваются многократно продолженные фундаментальные объекты, объекты связности и др. на дифференцируемых многообразиях главной расслоенной и присоединенной структуры.
С учетом пакета программ Maple V Release 4.00a приложены следующие программы, позволяющие за минимальное компьютерное время осуществлять многократные продолжения структурных форм и систем дифференциальных уравнений фундаментальных объектов и объектов связности:
1. Нахождение продолженных структурных форм и структурных уравнений дифференцируемого многообразия Mn.
2. Нахождение продолженных дифференциальных уравнений объекта связности на Мп и на главном расслоенном многообразии.
3. Определение дифференциальных уравнений последовательности фундаментальных объектов дифференцируемого отображения Мт ^ Мп (т < п).
4. Определение дифференциальных уравнений последовательности фундаментальных объектов т-мерной поверхности в п-мерных проективном и аффинном пространствах.
Например, компьютерная программа нахождения продолженных дифференциальных уравнений объекта связности на дифференцируемом многообразии Мп имеет вид:
> ш1Л(Л££огт8):
> def-
£огт(Сатта=0,от^а=1,Ст^а=1):
> dom[i[1]]:=d(omega[i[1]])=omega[i[2]]& Лomega[i[2],i[1]]:
> Сm:=Сmega[i[1],i[2]]=omega[i[1],i[2]]-
> Gamma[i [1],i [3],i[2]]*omega[i[3]]:
> for к while к<=2
> do
> ddom:=expand(d(1hs(dom[i[k]])-Ав^т^к]]))):
> seq(S[j]=op(j,ddom),j=1..nops(ddom)):a ssign("):
> N:=nops(["]):
> for 1 while l<=N
> do
> sim-
p1ify(subs({'&Л'='*','d'='*'},S[1]))*t:
> seq(op(op(j,")),j=1..nops(")):
> se1ect(has, ["], i):
> imax:=max(seq(op(op(j,")),j=1..nops(") ))+1:
simp1ify(subs('&Л'='*',S[1]))*t: se1:=se1ect(has,",d): n:=nops([op(op(se1))]): if
n<=k then
subs({seq(i[j+1]=op(j,op(se1)),j=1..n-1),i[n+1]=i [imax],
> i[1]=op(n,op(se1))},rhs(dom[i[n]])):
> subs(se1=",S[1]):
> ddom:=subs(S[1]=",ddom):
> Й:
> od:unassign('S'):
> ddom:=expand(ddom):
> seq(S[j]=op(j,ddom),j=1..nops(ddom)):a ssign("):
> N:=nops(["]):
> for 1 whi1e 1<=N
> do
> simp1ify(subs('&Л'='*',S[1])):
> se1:=se1ect(has,",omega[i[k+2]]):
> if
> type(op(se1),constant)=faIse then
> sub:=subs({op(se1)=i[k+1],i[k+1]=op( se1)},S[1]):
> ddom:=subs(S[1]=",ddom):
> fi:
> od:unassign('S'):
> ddom:=expand(ddom):
> ddom:=subs(omega[i[k+1]]=omega,"):
> expand(d(ddom)):
> simp1ify(subs(d(omega)=1,")):
> omega[i[k+2]]&Лomega[seq(i[j+1],j=1.. k+1),i[1]]-":
> so1ve(",d(omega[seq(i[j+1],j=1..k),i[1]])):
> sim:=simp1ify(subs('d'=0,"));
> dom[i[k+1]]:=d(omega[seq(i[j+1],j=1..k) ,i[1]])=sim;
> if
> k=nops(1hs(Сm)) then
> DOm:=expand(d(rhs(Om))):
> seq(S[j]=op(j,DСm),j=1..nops(DСm)):a ssign("):
> N:=nops(["]):
> for 1 whi1e 1<=N
> do
> sim-
p1ify(subs({'&Л'='*','d'='*'},S[1]))*t:
> seq(op(op(j,")),j=1..nops(")):
> se1ect(has, ["], i):
> imax:=max(seq(op(op(j,")),j=1..nops(" )))+1:
> simp1ify(subs('&Л'='*',S[1]))*t:
> A:=se1ect(has,",d):
> n:=nops([op(op(A))]):
51
52
> if
> op(0,op(A))=omega then
> subs({seq(i[j+1]=op(j,op(A)),j=1..n-1),i[n+1]=i[imax],
> i[1]=op(n,op(A))j,rhs(dom[i[n]])):
> subs(A=",S[l]):DOm:=subs(S[l]=",D-Om):
> fi:
> od:unassign('S'):
> DOm:=expand(DOm):
> om:=solve(Om,omega[seq(i[j]/j=1..k-1),i[k]]):
> OM:=solve(Om,Omega[seq(i[j]/j=1..k-1),i[k]]):
> seq(S[j]=op(j,DOm)/j=1..nops(DOm)):
> assign("):N:=nops(["]):
> for l while l<=N
> do simplify(subs({'&^'='*','d'='*'j,S[l] ))*t:
> seq(op(op(j,")),j=1..nops(")):
> select(has, ["], i):
> imax:=max(seq(op(op(j,")),j=1..nops( ")))+1:
> sim-
plify(subs({'&^'='*','d'='*'j,S[l])):
> sel:=select(has,",omega)*t:
> for m while m<=nops(sel)
> do n:=nops([op(op(m,sel))]):
> if
> op(0,op(m,sel))=omega and n=k t hen
> subs({seq(i[j]=op(j/op(m/sel)),j=1.. n-1),
> i[n+1]=i[imax],i[n]=op(n,op(m,sel ))j, om):
> subs(op(m,sel)=",S[l]):
> subs(S[l]=",DOm):DOm:=expand( "):l:=0:
> fi:
> od:unassign('S'):
> seq(S[j]=op(j,DOm)/j=1..nops(DOm)):a ssign("):
> N:=nops(DOm):
> od:unassign('S'):
> DOm:=expand(DOm);
> seq(S[j]=op(j,DOm)/j=1..nops(DOm)):a ssign("):
> N:=nops(["]):
> for l while l<=N
> do simplify(subs({'&^'='*','d'='*'j,S[l] ))*t:
> seq(op(op(j,")),j=1..nops(")):
> select(has, ["], i):
> imax:=max(seq(op(op(j,")),j=1.. nops( ")))+1:
> sim-
plify(subs({'&^'='*','d'='*'j,S[l])):
> sel:=select(has,", Omega):
> if
> nops(sel)=k and op(0,sel)=Omega then
> n:=nops([op(sel)]):
> subs({seq(i[j]=op(j,sel),j=1..n-1),
> i[n+1]=i[imax],i[n]=op(n,sel)j, OM ):
> subs(sel=",S[l]):
> DOm:=subs(S[l]=",DOm):
> fi:
> od:unassign('S'):
> DOm:=expand(DOm):
> seq(S[j]=op(j,DOm),j=1..nops(DOm)): assign("):
> N:=nops(["]):
> for l while l<=N
> do
> simplify(subs('&^'='*',S[l])):
> sel:=select(has,",omega[i[k+2]]):
> if type(op(1,sel),constant)=false then
> sub:=subs({i[op(op(op(1,sel)))]=i[k-+1],
> i[k+1]=i[op(op(op(1,sel)))]j,S[l]):
> DOm:=subs(S[l]=",DOm):
> fi:
> od:unassign('S'):
> DOm:=subs(omega[i[k+1]]=omega,"):
> expand(d(DOm)):
> simplify(subs(d(omega)=1,")):
> solve("/d(Gamma[i[1]/seq(i[j+2],j=1..k-1),i[k]])):
> sub:=simplify(subs('d'=0,")):
> G:=Gamma[i[1],seq(i[j+2]/j=1..k)/i[k]]* omega[i[k+2]]-
> d(Gamma[i[1],seq(i[j+2],j=1..k-1),i[k]])+sub:
> Gamma[k+1]:=d(Gamma[i[1],seq(i[j+2 ],j=1..k-1),i[k]])=
> solve(G,d(Gamma[i[1],seq(i[j+2]/j=1..k -1),i[k]])):
> seq(S[j]=op(j,sub)/j=1..nops(sub)):as-sign("):N:=nops(["]):
> for l while l<=N
> do T[l]:=select(has,S[l],{Gamma,omeg-aj)*t:
> for m while m<= nops([op(T[l])])
> do n:=nops([op(op(m,T[1]))]):
> if п>1 then
> [seq(op(j,op(m,T[1])),j=1..n-1)],
> op(n,[op(op(m,T[1]))]):
> sub:=subs(op(m,T[1])=op(0,op(m,-T[1]))["],sub):
> Й:
> od:
> od:unassign('S'):
> print (De1ta(Gamma [[i[1],i[3]],i[2]])=
> d(Gamma[[i[1],i[3]],i[2]])-sub):
> print (De1ta(Gamma [[i[1],i[3]],i[2]])=
> Gamma[[i[1],i[3],i[4]],i[2]]*omega[i[4]] ):
> Й:
> if k>=2 then
> DG:=expand(d(G)):
> seq(S[j]=op(j,DG),j=1..nops(DG)):as-sign("):
> N:=nops(["]):m;=1:
> &>г 1 whi1e 1<=N
> do
> sim-
p1ify(subs({'&Л'='*','d'='*'},S[1]))*t:
> seq(op(op(j,")),j=1..nops(")):
> se1ect(has, ["], ^:
> imax:=max(seq(op(op(j,")),j=1..nops( ")))+1:
> s[m]:=imax:m;=m+1:
> simp1ify(subs('&Л'='*',S[1]))*t:
> A:=se1ect(has,",d):
> n:=nops([op(op(A))]):
> if
> op(0,op(A))=omega then
> subs({seq(i[j+1]=op(j,op(A)),j=1..n-1),
> i[1]=oP(n,oP(A)),
> i[n+1]=i[imax]},rhs(dom[i[n]])):
> subs(A=",S[1]):
> DG:=subs(S[1]=",DG):
> fi:
> if
> op(0,op(A))=Gamma and n<=k+1 t hen
> subs({seq(i[j]=op(j,op(A)),j=1..n-2),
> i[n-1]=op(n,op(A)),
> seq(i[n+j]=i[imax+j],j=0..1)},rhs(Ga-mma[n])):
> subs(A=",S[1]):
> DG:=subs(S[1]=",DG):
> fi:
> od:unassign('S'):DG:=expand(DG):
> M:=max(seq(s[m],m=1..m-1)):
> seq(S[j]=op(j,DG),j=1..nops(DG)):as-sign("):N:=nops(["]):
> for 1 whi1e 1<=N
> do
> simp1ify(subs('&Л'='*',S[1])):
> se1:=se1ect(has,", {seq(omega[i[j]],j=1. .М)}):
> if
> type(op(1,se1),constant)=faIse then
> sub:=subs({i[op(op(op(1,se1)))]=i[k-+2],
> i[k+2]=i[op(op(op(1,se1)))]},S[1]):
> DG:=subs(S[1]=",DG):
> fi:
> od:unassign('S'):
> DG:=expand(DG):
> DG:=subs(omega[i[k+2]]=omega,DG):
> DDG:=expand(d(DG)):
> simp1ify(subs(d(omega)=1,DDG)):
> sim:=-simp1ify(subs(' &Л'=0,")):
> G:=Gamma[i[1],seq(i[j+2],j=1..k+1),i[2 ]]*
> omega[i[k+3]]-sim:
> Gamma[k+2]:=d(Gamma[i[1],seq(i[j+2 ],j=1..k),i[2]])=
> so1ve(G,d(Gamma[i[1],seq(i[j+2],j=1..k
)Д[2]])):
> seq(S[j]=op(j,sim),j=1..nops(sim)):as-sign("):N:=nops(["]):
> &>г 1 whi1e 1<=N
> do T[1]:=se1ect(has,S[1],{Gamma,omeg-a})*t:
> &>г т whi1e m<=nops([op(T[1])])
> do n:=nops([op(op(m,T[1]))]):
> if п>1 ^п
> [seq(op(j,op(m,T[1])),j=1..n-1)],
> op(n,[op(op(m,T[1]))]):
> sim:=subs(op(m,T[1])=op(0,op(m, T[1]))["],sim):
> Й:
> od:
> od:unassign('S'):
> sim:=subs(d(Gamma[i[1],seq(i[j+2],j=1 ..k),i[2]])=
> d(Gamma[[i[1],seq(i[j+2],j=1..k)],i[2]]), sim):
> print(De1ta(Gamma[[i[1],seq(i[j+2],j=1. .k)],i[2]])=sim):
> print(De1ta(Gamma[[i[1],seq(i[j+2],j=1. .k)],i[2]])=
> Gamma[[i[1],seq(i[j+2],j=1..k+1)],i[2]]* omega[i[k+3]]):
> Й:
> od:
53
54
ДГ'2. — dli*2' + Гг1 ю.2 — Г‘2. ю,4 — ю,4 + Г121 Г/4 ю15 + ю.2,. ,
г1г3 ;1;3 ;1;3 ;4 ;4;3 ;1 ;1;4 ;3 ;4;3 .l.S ;1;3
ДГУ2 — dI;2 — Г;2 ю,5 — Г;2 ю.5 — Г.2 ю,6 + Г;5 щ,2 — Гг ю,6 — F^- .■ Ю,5 +
;1;5 ;3;4 ;5;3 ;1;4 161514 ;1 ;1;4 ;5;6
111514 ;3 111315 ;4
+ Г;5 ю^ + Г;6 . ю15 + Г;2 ю1^ — Г;2 Г;6 ю15 — Г;2 Г;5 ю17 — Г;5 Г12- ■ Ю17 —
■ ю,-
1113 1514 111514 16
Г ю ■1614 1114 13
1513 1716 ю171
— Г15 Г16 ю12 — Г15- Г12- ю17 + Г12- Г16 ю15 — Г12. Г15- ■ ю17 + Г12. Г16 ю15 —
1614 1114 15 1114 1517 16 1613 1115 14 1513 111617 1614 1514 11
— Г15. Г-12- ю17 — Г-12- Г15. ю17 +Г12 Г17. ю15 +Г15 Г17. ю12 +ю15 . ,
1114 1716 15 1513 1117 16 1513 1116 17 1114 1516 17 111314
ДГ12 . — Г1? ■ ■ ю15
‘—ух-1.1-1. 1 1-1.1•
ДГ12 — Г12 ю14
13
134
113Ч
113Ч
513 16
14 567
134
1345
Список литературы
1. Малаховский В.С. Введение в теорию внешних форм / Калинингр. ун-т. Калининград, 1978. 84 с.
2. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. Т. 9. 248 с.
Об авторах
В.С. Малаховский — д-р физ.-мат. наук, проф., КГу.
Н.В. Малаховский — канд. физ.-мат. наук, доц., КГу.
УДК 550.388.02
С.А. Ишанов, В.В. Медведев, Л.П. Захаров,
В А. Залесская, Ю.С. Жаркова
ЭФФЕКТЫ ВОЗМУЩЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНЫХ ВЕТРОВ
Сравниваются результаты расчетов [Ne] и влияние Vnx, Vny на него для двух гидродинамических моделей для различных индексов геомагнитной активности Kp = 0, 4, 8.
The results of calculations [Ne] and Influence Vnx, Vny on it based on two hydrodynamic models are compared for the various magnetic activity 1nd1ces Kp = 0, 4, 8.
1. Введение
В работе [1] впервые было обращено внимание на возможное влияние термосферных ветров в F-области ионосферы. Нейтральные частицы, сталкиваясь с ионами, передают им импульс в направлении геомагнитного поля, что приводит к возникновению вертикального дрейфа заряженных частиц [2]. Многочисленные результаты наблю-
Вестник КГУ. 2005. Вып. 1—2. Сер. Информатика и телекоммуникации. С. 54 — 59.
