Реализация скобки Кругликова–Лычагина–Майера в системе компьютерной алгебры Maple Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.951

С. Н. Тычков

Реализация скобки Кругликова—Лычагина—Майера в системе компьютерной алгебры Maple

Аннотация. В настоящей статье описана реализация скобки Кругликова— Лычагина—Майера на языке Мар1е. Результаты работы были анонсированы

Ключевые слова и фразы: дифференциальные уравнения, скобка Кругликова—Лычагина— Майера, Мар1е.

Введение

В работе предлагается реализация на языке Maple скобки Кру-гликова-Лычагина-Майера, которая используется для решения вопроса о формальной интегрируемости [3] системы дифференциальных уравнений. Пусть £ — система г дифференциальных уравнений в частных производных:

где х = (х1,х2,... ,хп) — вектор размерности п, и — вещественная

в [1] и И-

(1)

функция от х, Оъ = (о^1, о^2, ..., а^п), г = 1, 2,...,г — мультииндексы,

© С. Н. Тычков, 2011

© Программные системы: теория и приложения, 2011

элементы которых — неотрицательные целые числа. В этих обозначениях под д|а|и/дха мы понимаем частную производную

д|а|и дх"1дх^2... дх^п,

где а — мультииндекс, |а| = а1 + ... + ап.

Для упрощения записи введем обозначение:

д |ст|и

Ра =

дха

В координатах х, п,ра пространства джетов ЛкМ” (к = шах(|ст^))

І

система (1) запишется следующим образом:

Г (х,п, ... ,рСТ1) = 0,

( , Г2(х,п. . .. ,Ра2 )=0,

(2)

Г(х, п, ... ,раг) = 0.

Под оператором полной производной по переменной х* будем понимать оператор:

д ^ д

* = дх* + ^Рст+1г дра .

а

Определение 1. Скобкой Кругликова-Лычагина-Майера (далее КЛМ-скобка) двух функций Г Є Сто(ЛкМ”) и О Є Сто(ЛгМ”) называется функция

(3) 1г.°1'=/ е дра ^ - £ до ° г,

|а = 1а |в|=г в

где Па = Оа о ... о Оа , а = (а1, .... а”), а ОІ — оператор полной производной по переменной хІ (і = 1 ..., п).

Система (1) определяет подмногообразие £ в пространстве джетов, определенное формулой (2). Скобка КЛМ представляет собой функцию на пространстве джетов. Ограничение этой функции на подмногообразие £ будем называть скобкой в силу системы (2).

Замечание 1. Алгоритм исследования формальной интегрируемости основывается на следующем результате. Если система (2) формально интегрируема, то КЛМ-скобки

[Гі.Г] (і, і = 1,.... г, і = і)

равны нулю в силу системы E. Обратно, если все скобки Майера равны нулю в силу E, а характеристический идеал [3] {Fi, F2, .. ., Fr} есть полное пересечение [4], то система формально интегрируема. Исчерпывающее описание данного метода с доказательством можно найти в [5].

В программах для символьных вычислений Maple и Mathematica есть пакеты для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, так и в частных производных.

В частности, в Maple представлен пакет diffalg для исследования полиномиальных систем дифференциальных уравнений в частных производных. В этом пакете с помощью базисов Грёбнера можно исследовать совместность переопределенных систем.

В работе [6] проведено сравнение методов дифференциальных базисов Грёбнера и КЛМ-скобки.

Отметим, что процедура вычисления скобки Кругликова-Лыча-гина-Майера не была ранее реализована ни в одном пакете символьных вычислений.

1. Вспомогательные процедуры

Для реализации формулы (3) нам прежде всего необходима процедура вычисления полной производной по независимой переменной.

Удобно записывать частную производную функции n переменных д“//дж“ в виде координат джетов /а. Чтобы в нашей программе предусмотреть возможность записывать производные функций в таком виде, заведём два списка ivars и dvars, содержащие имена независимых и зависимых переменных соответственно. Например, пусть заданы ivars := [x, y] и dvars := [u, v]. Тогда под записью u[1, 2] мы понимаем производную uxyy.

Также объявим переменные ivarsCount и dvarsCount, хранящие количества элементов в списках ivars и dvars соответственно.

Реализация вычисления оператора полной производной опирается на обычные правила дифференцирования. Заметим, что нужно поддерживать операцию дифференцирования над записаннными в виде джетов производными зависимых переменных (dvars). Ниже представлен исходный код функции TDiff, реализующей вычисление полной производной.

TDiff := proc( expr, varIndex::integer, $ ) local m_1_,m_2_;

if varlndex <= 0 or varlndex > ivarsCount then error "Incorrect variable index: %1", varlndex; end if;

if not has( expr, dvars ) then return diff( expr, ivars[varIndex] ); elif type( expr, ’‘ + ‘’ ) then return map( procname, args ); elif type( expr, ,‘*° ) then m_1_, m_2_ := op( 1, expr ), subsop( 1 = 1, expr ); return procname( m_1_, varlndex ) * m_2_ + m_1_ * procname( m_2_, varlndex ); elif type( expr, ) then

m_1_, m_2_ := op( expr );

return expr * ( TDiff( m_2_, varlndex ) * ln( m_1_ ) +

TDiff( m_1_, varlndex ) * m_2_ / m_1_ );

elif type(expr, ‘function4) then m_1_ := 0;

for m_2_ from 1 to nops( expr ) do

m_1_ := m_1_ + D[m_2_]( op( 0, expr ) )( op( expr ) ) *

TDiff( op( m_2_, expr ), varlndex );

end do; return m_1_; elif checkJet( expr ) then m_1_ := op( 0, expr ); m_2_ := op( varlndex, expr ) + 1;

return m_1_ [op( subsop( varlndex = m_2_, [op( expr )] ) )]; else

error "Unexpected expression to find derivative of %1 by %2", expr, varlndex; end if; end proc:

В качестве первого аргумента этой функции может выступать любое выражение, содержащее независимые и зависимые переменные, второй аргумент — целое число от 1 до значения переменной ivarsCount, выражающее индекс переменной, по которой дифференцируется выражение.

Для непосредственных вычислений мы создадим функцию-обертку TotDiff (не следует путать со встроенной функцией TotalDiff пакета JetCalculus), первый аргумент которой дифференцируемое выражение, а второй — список целых индексов переменных дифференцирования.

TotDiff := proc( expr, vars::list )

local varIndex::integer, result; result := expr; for varIndex in vars do result := TDiff( result, varIndex ); end do;

return result; end proc;

2. Реализация

Ниже представлена реализация формулы (3) на языке Maple.

MayerBracket := proc(F, G, f::symbol) local alphas::list, betas::list, sigma::list,

orderF::integer, orderG::integer, result;

orderF := EquationOrder( F, f );

orderG := EquationOrder( G, f );

alphas := select( x -> evalb( ‘+‘( op ( x ) )= orderF ),

allSigmas( F, f ) ); betas := select( x -> evalb( ‘+‘( op ( x ) ) = orderG ), allSigmas( G, f ) );

result := 0; for sigma in alphas do result := result + diff( F, f[op( sigma )] ) *

end do;

return simplify( result ); end proc;

3. Пример

Рассмотрим переопределенную систему уравнений из работы [6]:

где c € R. Наша программа для вычисления КЛМ-скобки этой системы представлена ниже. Комментарии к инструкциям приведены в самой программе.

^импортирует нужные процедуры из пакета Brackets with(Brackets):

#задает списки независимых и зависмых переменных

TotDiff( G, sigma2vars( sigma ) );

end do;

for sigma in betas do result := result - diff( G, f[op( sigma )] )

* TotDiff( F, sigma2vars( sigma ) );

setup([x, y], [u]):

#первое уравнение

F[1] := u[0, 3] + u[3, 0]*u[1, 2] - u[2, 1]~2:

#второе уравнение

F[2] := u[2, 0]*u[0, 2] - c*u[1, 1]~2:

#вычисляем скобку Майера

F[3] := MayerBracket(F[2], F[1], u):

#продолжение системы в 4-джеты

D4 := {TotDiff(F[1], [1]), TotDiff(F[1], [2]), TotDiff(F[2], [1, 1]), TotDiff(F[2], [1, 2]), TotDiff(F[2], [2,2])}:

#выражение производных 4-го порядка через производные меньших порядков Der4 := solve(D4, {u[0, 4], u[1, 3], u[2, 2], u[3, 1], u[4, 0]}):

#продолжение системы в 3-джеты

D3 := {F[1], TotDiff(F[2], [1]), TotDiff(F[2], [2])}:

#выражение производных 4-го порядка через производные меньших порядков Der3 := solve(D3, {u[0, 3], u[1, 2], u[3, 0]}):

#исключаем из F_3 четвертые и третьи производные Fm := factor(simplify(eval(eval(F[3], Der4), Der3))):

В результате работы этой программы мы получаем КЛМ-скобку для системы (4):

[F1, F2] = (^2 - ^ (2^2 + 4cuxy- uXxU2yyuXxy) ,

где

R uyy + uxxuxxy,

s __ r 2 2 2

s Rc uxy — uxxuyy uxxy,

T _ S + Rc2uxy.

Скобка [Fi, F2] тождественно равна нулю, если и только если с _ 3. Список литературы

[1] Тычков С. Н. Вычисление скобки Кругликова-Лычагина-Майера в системе Maple // Международная конференция «Геометрия в Одессе 2009» (25—30 мая 2009). — Одесса : ВПП «Друкарьский д1м», с. 76. |[]

[2] Тычков С. Н. Реализация скобки Кругликова-Лычагина-Майера в системах символьной математики // Международная конференция «Геометрия в Астрахани 2009» (10—16 сентября 2009). — Астрахань : Издательский дом «Астраханский университет», с. 31. |[]

[3] Алексеевский Д. В., Виноградов А. М. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии. М. : ВИНИТИ, 1988.— 289 с. |[], 1

[4] Кокс Д., Литтл Д., О’Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. М. : Мир, 2000.— 687 с. |1

[5] Lychagin V., Kruglikov B. Mayer brackets and solvability of PDEs—I // Differential Geometry and its Applications, 2002. 17, p. 251—272. |1

[6] Kruglikov B. Note on two compatibilty criteria: Jacobi-Mayer bracket vs.

differential Groebner basis // Lobachevskii Journal of Mathematics, 2006. 23,

p. 57-70. TD, 3

S. N. Tychkov. Implementation of Kruglikov-Lychagin-Mayer bracket on Maple. Abstract. In this article we describe an implementation of Kruglikov—Lychagin—Mayer bracket on Maple.

Key Words and Phrases: differential equations, Kruglikov—Lychagin—Mayer bracket, Maple.

Образец ссылки на статью:

С. Н. Тычков. Реализация скобки Кругликова-Лычагина-Майера в системе компьютерной алгебры Maple // Программные системы: теория и приложения : электрон. научн. журн. 2011. №2(6), с. 97-103. URL: http://psta.psiras .ru/read/psta2011_2_97-103.pdf