О формальной интегрируемости системы дифференциальных уравнений термодинамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ПГПУ

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 517.951

О ФОРМАЛЬНОЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕРМОДИНАМИКИ

© С.Н. ТЫЧКОВ

Институт проблем управления РАН e-mail: [email protected]

Тычков С.Н. — О формальной интегрируемости системы дифференциальных уравнений термодинамики // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 263—268. — В настоящей статье исследуется формальная интегрируемость системы дифференциальных уравнений, возникающая в термодинамике. Для разрешения этого вопроса мы используем метод Кругликова-Лычагина-Майера. Ключевые слова: формальная интегрируемость, скобка Кругликова-Лычагина-Майера, дифференциальные уравнения в частных производных

Tychkov S.N. — On formal integrability of PDE system in thermodynamics // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 263—268. — In this article we discuss the formal integrability conditions of system of PDEs arising in thermodynamics. We use Kruglikov-Lychagin-Mayer bracket to obtain necessary and sufficient conditions of formal integrability.

Keywords: formal integrability, Kruglikov-Lychagin-Mayer bracket, PDE system

Постановка задачи. Формальная интегрируемость. Рассмотрим систему уравнений в частных производных, возникающую в термодинамике (см. [1]). Эта система была получена нами от Дж. Купера в личном общении.

Система имеет вид:

{ихОу иу Ох 1 —

иОх — Них — 0, (1)

иоу — тиу — 0.

Здесь х, у — независимые переменные, а и — и(х,у), V — о(х,у), т — т(х,у), Н — Н(х,у) — неизвестные функции.

Согласно обозначениям автора системы (1), и — температура, V — энтропия, х — давление, а у — объем. Функции т и Н — это Ср, теплоемкость при постоянном давлении, и Су, теплоемкость при постоянном объеме, соответственно. В работе [1] подробно изложен вывод данных уравнений.

Исходя из термодинамической интерпретации системы (1), мы рассматриваем ее на множестве:

{(х, у, и, о) |х > 0, у > 0, и > 0, V > 0} .

Задача состоит в том, чтобы найти условия на функции т и Н, при которых система (1) имеет решение. С помощью метода скобки Кругликова-Лычагина-Майера [2] мы найдем условия, при которых пространство решений системы имеет максимальную размерность (и является формальной интегрируемой), а также наметим способ отыскания условий на функции т и Н, при которых размерность пространство решений системы (1) не максимальна.

Мы используем понятие формальной интегрируемости в смысле определения, приведенном в [3]. Чтобы использовать метод скобки Кругликова-Лычагина-Майера (далее КЛМ-скобка), мы переписываем систему (1) в виде, содержащем только одну неизвестную функцию и.

А именно, выражая производные ох и оу из второго и третьего уравнений, и исключая их из первого подстановкой, мы получаем следующее уравнение на функцию и:

Помня о термодинамической интерпретации системы (1), мы считаем, что функция и не обращается в нуль ни в одной точке. Тогда из уравнения (2) следует, что т — Н, их — 0 и иу — 0.

Продифференцировав второе уравнение системы (1) по у, а третье уравнение по х, исключив из полученных соотношений функцию о и ее производные, мы получим еще одно уравнение на функцию и:

Интегрируемость изначальной системы (1) эквивалентна интегрируемости системы £, которая содержит только функцию и.

Используемый метод нахождения условия формальной интегрируемости системы £ основан на следующей теореме (см. [2]).

Теорема. Если система £ формально интегрируема, то КЛМ-скобка [^1, ^2] равна нулю в силу системы £. Обратно, если КЛМ-скобка равна нулю в силу £, а характеристический идеал (см. [3]) ^1, ^2} есть полное пересечение, то система £ формально интегрируема.

где Б — оператор полной производной, к — порядок уравнения ^\, I — порядок уравнения ^2, а, в —

С помощью написанного нами [4] в системе Maple пакета Brackets, содержащем реализацию процедуры вычисления КЛМ-скобки, мы вычисляем скобку [FuF2], чтобы получить условие формальной

интегрируемости для системы E. Программа реализующая вычисления приведена ниже.

with( Brackets ): setup([x, y], [u, m, h, k]):

E[1] := u[1, 0]*u[0, 1]*(m[0, 0]-h[0, 0])-u[0, 0]:

E[2] := numer( simplify(TotDiff(m[0, 0]*u[1, 0]/u[0, 0], [2])

- TotDiff(h[0, 0]*u[0, 1]/u[0, 0], [1])) ):

MB := factor( MayerBracket(E[1], E[2], u) ):

uxuy {m — h) — u — О.

(2)

{m — h){uxy u — uxuy) + u{my ux — hxuy) — О.

(З)

F2 -- {m h){uxyu uxuy ) + u{my ux hxuy ).

Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений:

Fi = 0,

F2 = 0.

Здесь

д1alu дІв^

мультииндексы длины 2, ра

дxаl c)ya2 , дxвl c)ye2

Результат работы программы дает нам следующее выражение для КЛМ-скобки:

[^1? FУ] (Н 'т)(Нихиуу + Нииху + Ниххиу + Нииххиуу

2 г, 2 2 і 2 і

тхихиу — ихНхиу — тих иуу + гтуу и^и +

иу туих иу Нхихуи тииххиуу + ихтуихуи + (4)

Ну ихиу + ииххиу Ну иихиуу тх Нххи у и тиххиу тииху + ихуи) .

Введем обозначение для скобки ^3 = [^1,^у ], а скобку, ограниченную на систему £ обозначим ^з|е .

Мы видим, что формула (4) содержит первые и вторые производные функции и. Чтобы найти ограниченную на систему скобку, мы должны выразить функции ихх, иуу и иху, используя уравнения системы £.

В итоге мы получим выражения следующего вида:

ихх У1(и,их,иу)?

иху УУ (и,их,иу)? (5)

иуу /3(и,их,иу ).

Выражения для /і, /у и /э очень громоздкие, поэтому мы не приводим. Из первого уравнения системы £ мы можем выразить функцию и через ее производные их и иу.

и _ ихиу (т — Н). (6)

Теперь мы подставляем выражение (6) в систему (5) и получаем выражение для вторых производных

функции и только через ее первые производные.

(туих иутх) их

иу (т — Н) ’

_1_ 1 _1_ Ь Г,,

(7)

ту их + 1 + Нх иу

тН

__ (ихНу Нхиу) иу

иуу

их (т — Н)

Таким образом, у нас есть выражения для и,ихх,иху и иуу, поэтому теперь мы можем вычислить ограничение КЛМ-скобки ^э|е через их и иу:

^з|г —ихиу (т — Н) (—Нтууих + ННххиу — Нххиут + 2туих +

2 2 2 2 2 \

+ туу и-’х'т — 2Нх'и у — 2т у их — 2Нхи>у + 5*ту и>хНхи>у — иу 'тхихНу).

Теорема.

1. Система дифференциальных уравнений £ формально интегрируема тогда и только тогда, когда ^з|г — 0, где ^3|е рассматривается как функция на пространстве 1-джетов. В этом случае размерность пространства решений системы £ равна 2. Любое решение полностью определяется значениями их(хо,уо) и иу(хо,уо) в произвольной точке (хо,уо).

2. Система (1) формально интегрируема тогда и только тогда, когда ^з|е — 0, где ^3|е рассматрива-

ется как функция на пространстве 1-джетов. В этом случае размерность пространства решений

системы (1) равна 3. Любое решение полностью определяется значениями их(хо,уо), иу(хо,уо) и

у(хо,уо) в произвольной точке (хо,уо).

Доказательство. Система £ является системой конечного типа. Если скобка (8) обращается в нуль, тогда система уравнений (6, 7) задает вполне интегрируемое двумерное распределение на пространстве 1-джетов. Интегральное многообразие полностью определяется точкой (то,уо).

Соберем члены при пх и Пу в выражении ^з|е :

F3|e =(hxx(h - m) - 2h2x)(m - h)ux'u3y + (m - h)(5myhx - mxhy)u2yu2x-

(2my + myy(h - m))(m - h)u3xuy - 2hx(m - h)uxu2y + 2(m - h)myu2xuy.

(В)

Теорема. Скобка ^з|е обращается в нуль тогда и только тогда, когда функции ш(т,у) и к(т,у) удовлетворяют следующей системе уравнений в частных производных:

(9)

my О,

hx = О,

mxhy О.

Доказательство. Рассмотрим систему, состоящую из коэффициентов при ux и uy в правой части выражения (В). Мы получим систему из пяти дифференциальных уравнений на функции ux и uy. Легко проверить, что такая система эквивалентна системе (9).

Решения системы системы (9) разделяются на три случая:

1. m = f (x), h = const.

2. h = g(y), m = const.

3. m = const, h = const, m = h.

Чтобы исследовать условия совместности системы £, мы добавим к ней скобку (В). Таким образом, мы получим следующую систему:

[ Fi = О,

I F2 = О, (lO)

і f3|e = °.

Дифференцируя по х и по у третье уравнение системы (lO), мы получим два дифференциальных уравнения второго порядка. Исключив из них вторые производные функции u(x,y), мы получим еще два

уравнения:

(mxhxym + mxhyhx - 9hx2my - 5mxyhxm + 7myhxxh-mx2hy - mxxhyh + mxxhym - mxhxyh - 7myhxxm+

5my hxmx + 5mxy hxh)uxuy + ( hxmyyh h mxyy

myymxh + myymxm - 4mymxyh + 4mymxym - mxyym2 +

hxmyym + 2hmxyym - 4my2mx)ux2uy + (4hx3 + hxxmxm- (ll)

5hxhxxh + 5hxhxxm — 2hxxx/mh — hxx^^xh + h2 hxxx + hxxx/m2)uy3

+ (2mymx - 2mxym + mxhy + 2mxyh - 7myhx)uxuy+

(-2myy mmy + 4my 3 + 2hmyy my )ux3 + 2hxuy + (4hxxm-4hhxx + 6hx2)uy2 - 2my2ux2 = О,

( ту НххШ Нхху т Н Нхху 4Нх Ну + 2Ьхху тН+

Ну НххН Ну Кхт + 4Нх Нху Н 4НхНху т + ту Нххк)ихиу +

(5ту Нху т — 5ту Нху Н — 7Нхтуу Н — 9ту 2Нх + тхНуу Н— тхкуу т + 5ту НхНу + 7Нх туу т + тхНу ту — тхНу 2 + тху Ну Н—

тху Ну т)их иу + (4Нх + 2НхНххт 2Нх НххН)иу + (12)

( 2Нхут тх Ну + 7ту Нх + 2Нху Н 2НхНу )ихиу +

(—5туу тту + 4ту 3 + тууу т2 + 5Нтуу ту — 2Нтууу т+

Н 'тууу — Ну туу т + Ну туу Н)их + 2*ту их+

2Нх2иу 2 + (—6ту 2 — 4Нтуу + 4туу т)их2 = 0.

Уравнения (8), (11), (12) можно рассматривать как алгебраические уравнения относительно переменных их и иу. Вычисляя результант этой системы, можно исключить их и иу этих уравнений. Тогда мы получим одно дифференциальное уравнение третьего порядка относительно функций т(х, у) и Н(х, у). Из-за громоздкости мы не приводим общий вид этого уравнения. При конкретном выборе функций т(х,у), Н(х, у) вычисления могут быть проделаны с помощью компьютера. Тогда мы получим три алгебраические уравнения относительно переменных их и иу, и для этих уравнений мы сможем записать условие совместности.

Примеры. Приведем несколько примеров функций т(х,у) и Н(х,у), полученных с помощью компьютерных вычислений, при которых система £ совместна, но размерность пространства решений не максимальна.

1

сх

1. Пусть m = cxy, h = x2y2, где c = const. Тогда ux =------------------,uy =0,

u =---------ln x + ci,

c

где ci = const.

2. Пусть m = cxy, h = x10y10, где c = const. Тогда ux = — -—, uy = 0,

u =--------ln x + ci,

9c

где ci = const.

3y

3. Пусть m = y3 + x,h = y2 + x. Тогда uy = ------- , ux = 0,

2

u = y + — ln (3y — 2) + const.

2y

4. Пусть m = y2 + x,h = y + x. Тогда uy = -------, ux = 0,

2y — 1

u = y + — ln (2y — 1) + const.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Cooper J., Russell T., On the Mathematics of Thermodynamics, http://arxiv.org/abs/1102.1540v1, 2011.

2. Kriglikov B., Lychagin V., Mayer brackets and solvability of PDEs—I // Differential Geometry and its Applications, vol. 17, 2002. pp. 251-272.

3. Алексеевский ДВ., Виноградов А М., Лычагин В. В. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии. М.:ВИНИТИ, 1988. 289 с.

4. Тычков С.Н., Реализация скобки Кругликова-Лычагина-Майера в системе компьютерной алгебры Maple // Программные системы: теория и приложения, т. 2, 2011. С. 7.