CC BY
32
УДК 514.7
А. Г. Кушнер Астраханский государственный университет
СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ МОНЖА - АМПЕРА
Введение
Настоящая работа посвящена решению проблемы классификации операторов Монжа -Ампера на двумерных многообразиях. Эта проблема восходит к работам Софуса Ли [1] и тесно связана с задачами классификации уравнений Монжа - Ампера и эффективных дифференциальных 2-форм [2]. Основной идеей работы является описание оператора Монжа - Ампера общего положения как е-структуры (абсолютного параллелизма) на гладком многобразии
1-джетов. Для уравнений Монжа - Ампера эта идея была реализована автором в [3-5].
Операторы Монжа - Ампера и е-структуры
1. Пусть М - двумерное гладкое многообразие, ю - эффективная дифференциальная
2-форма на кокасательном расслоении Т *М [2, 6], О - симплектическая структура на Т *М . Форма ю определяет поле эндоморфизмов А на Т*М по правилу
АХ ] О = X ] ю,
где X - произвольное векторное поле на Т*М. Допустим, что форма ю гиперболическая и её пфаффиан равен -1. Тогда А порождает на Т*М структуру почти произведения А2 = 1. В каждой точке а є Т *М касательное пространство Та (т *М) распадается в прямую сумму собственных У+(а) и У_(а) подпространств оператора Аа . Это разложение, в свою очередь, порождает разложение в прямую сумму комплекса де Рама:
О * (т *М )= © О р,д,
р+д=*
й = dl о © гі01 © й 2 _1 © й_12,
где Ор,д - модуль дифференциальных (р + д) -форм, состоящий из сумм всевозможных внешних произведений алР, где аєОр(Т*М), Рє Од(т*М) и 2]а = 0, Р]Р = 0 для любых векторных полей Р є в(у+ ) и 2є П(У_), а компоненты внешнего дифференциала действуют
из Ор,д в О р+1,д+1 . Компоненты й2-1 и й_12 являются тензорными полями на Т *М [3].
Определяем векторное поле Ж на Т*М : Ж](ОлО) = 2йю . Тогда Ж = Ж+ + Ж_ , где Ж± є Л(У±). Определим дифференциальные 1-формы: т+ = Ж+ ]О и т_ = Ж_ ]О .
2. Допустим сначала, что трёхмерные распределения кег т+ и кег т_ вполне интегрируемы. Тогда двумерное распределение ^ (Ж+ ,Ж_) тоже вполне интегрируемо, и мы можем определить два функциональных g + и g _ инварианта формы ю:
[Ж+ ,Ж_] = g+Ж+ + g_Ж_ .
Так как распределения кег т+ и кег т_ вполне интегрируемы, то по теореме Фробениуса т± л йц± = 0 . Тогда
т+ л (ж+ ]йц+)=ж+ ](т+ л йт+)=о,
т. е. дифференциальные 1-формы т+ и Ж+ J d|a+ линейно зависимы, и мы можем определить ещё один функциональный инвариант: Ж+ Jdm+= g0т+ . Заметим, что Ж_ Jdm_=_g0т_ . Так как
т+ е О1,0, то
й?т+ = ^,0^+ + ^дМ-+ + ^1,2М-+ .
По соображениям размерности т+ л d10т+ = 0 . Тогда т+ л dm+ = т+ л d01ц+ + т+ л d_12т+ . Так как т+ л dm+ = 0, т+ л d01т+ е о 21 и т+л d_12т+ е о1,2 , то т+л d01т+ = 0 и т+л d_12т+ = 0. А так как d_12m+еО0,2, то последнее равенство реализуется тогда и только тогда, когда d_12т+ = 0 . Тогда dm+ = d10т+ + d01т+ . Аналогично можно показать, что dm_ = d10т_ + d01т_ . Тогда получаем, что d 01т+ = т+ лу_ для некоторой однозначно определённой дифференциальной 1-формы у_ е О0,1. Аналогично, d10т_ = т_ лу+ для у+ е О10.
Определим векторные поля: Х+ и X_ : X± JО = у± .
Можно показать, что у_ (Ж_) = g + и у+ (Ж+) = _g_ . Кроме того, т+ л у+ л т_ л у_ = = g+g_W л О . Вследствие этого векторные поля Ж+, Ж_, Х+, Х_ линейно независимы в точке а е Т *М тогда и только тогда, когда g + (а) g_ (а) Ф 0 .
Далее полагаем, что это условие выполняется в некоторой фиксированной точке а . Тогда в некоторой её окрестности векторные поля Ж+, Ж_, Х+, Х_ образуют свободный базис модуля
векторных полей. Нормируем этот базис: Х1 = Ж+, Х2 = g_1 Х+ , Х3 = Ж_, Х4 = g+1 Х_ и построим свободный базис дифференциальных 1-форм на Т*М : 01 =_Х2 JО, 02 = Х1JО , 03 = _ Х 4 JО, 04 = Х 3 JО. Эти базисы дуальны.
Мы получаем следующее каноническое представление дифференциальных 2-форм О и ю в окрестности точки а :
О = 01 л 02 + 03 л 04,
Ю = 01 л 02 _ 03 л 04 .
В связи с этим проблема локальной симплектической эквивалентности дифференциальных
2-форм ю и ю сводится к проблеме эквивалентности е-структур (01, к, 04) и I 01, к, 04 I, кото-
рая решается известными методами.
В силу того, что эффективная дифференциальная е-форма ю определяет нелинейный дифференциальный оператор Монжа - Ампера Лю [1], мы получаем решение проблемы симплектической эквивалентности операторов Монжа - Ампера.
Приведём координатное описание инвариантов формы ю и построенной е-структуры. Можно показать, что для вполне интегрируемых распределений кег т+ и кег т_ существует симплектическое преобразование, переводящее форму ю в форму
ю1 = _2/ dq1 л dq2 + dq1 л dp1 _ dq2 л dp2.
Здесь q1, q2, р1, р2 - канонические координаты на Т *М .
Для формы ю получаем: т+ = _2/^ dq1, т_ = 2/^ dq2, а распределения У+ и У_ порож-
дены парами векторных полей
|А+/А. 1 и /А+/А ,_Э_ 1
[ ^1 Ф2 Ф1{Эq2 Эр1 Эр2
соответственно. Векторные поля Ж± имеют вид Ж+ = 2/ , Ж_ = _2/ ——. Тогда
ЭЛ р1 Эр 2
[ж+, ] = 4 ~_4.
р р Эр1 "р- "'Эрз
Мы получаем следующие функциональные инварианты:
_ = '1І'2 Р2 _ = '^f Р2 їР1Р1 _ = 2 г
&+ г ">&_ г ’<50 У Р1Р2 '
У р У р
Р2 •'А
Укажем канонический свободный базис векторных полей:
д_ др1
Х1 = 2ЇР2—,
1 Э ї їр Р2 + їд Р1 Э ї Э
2Д Э^1 2їр2 їр1 р1 ЭР1 ЭР2
X 3 =_2 ї —,
3 Р1 Эр2 ’
1 Э , ї їР1Р2 + їЪ Р2 Э , ї Э
2Д Э^2 їїр2 ЭР1 2їР1 ЭР1
Тензорные поля й2 _1 и й_12 для формы ю1 имеют следующий вид:
й2 _1 = Л (ад1лйР1 _ї лйЧі ,
ЭР 2
й_12 = їр2 ^2 л йР2 + ї л ^2 )^^^ .
2 Эр1
Следующая теорема указывает необходимые и достаточные условия локальной линеаризации операторов Монжа - Ампера.
Теорема. Пусть ю - эффективная гиперболическая дифференциальная 2-форма на Т * М с пфаффианом -1. Форма ю локально симплектически эквивалентна форме
К>1 = _2(Ар1 + Вр2 + С) йд1 л йд2 + йд1 л йр1 _ йд2 л йр2
для некоторых функций А, В, С от д1, д2 тогда и только тогда, когда в этой окрестности функции g0, g+ и g_ - тождественные нули. Соответствующий форме ю1 оператор Монжа -Ампера имеет вид
ДЮ1 М = (\д2 _ А\ _ ВУЧ2 _ С) ^1 л ^2 .
Допустим, что векторные поля X1, ..., X4 образуют четырёхмерную алгебру Ли над полем вещественных чисел, т. е.
4
к. Xl\_ х С^Jx,
к
к
к =1
где /,] = 1, к,4 и Ск}- е ^ - структурные константы алгебры Ли. Тогда С13 = g + , С^ = g_
и С2 = g0, т. е. g+ , g_ и g0 - константы. Как и выше, предположим, что g+g_ Ф 0 . Мы получаем однозначно определённую алгебру Ли с точностью до константы. Ей отвечает следующая эффективная дифференциальная 2-форма:
ю = _2(р1 + к р2 )2 dq1 л dq2 + dq1 л dp1 _ dq2 л dp2.
Соответствующий оператор Монжа - Ампера имеет вид
3. Допустим теперь, что распределение ker m+ n ker m_ не является вполне интегрируемым. Тогда векторные поля W+ , W_, Q+, Q_ образуют свободный базис модуля векторных полей. Здесь Q = W+ ,W_] и Q = Q++ Q_ - естественное разложение.
Определим два функциональных инварианта формы w:
r+ =W(W+, Q) и r_ =W(W_, Q).
Из невырожденной симплектической структуры на распределениях V+ и V_ следует, что функции r+ и r_ не обращаются в нуль, поэтому мы можем определить новый свободный базис модуля векторных полей:
X! = W+ , X 2 = r+_Q+ , Xз = W_, X 4 = r__Q_
и дуальный базис дифференциальных 1-форм 0j,..., 04 . Тогда получаем следующее каноническое представление 2-форм W и w :
W = 01 Л 02 + 03 А 04 ,
w = 01 л 02 _ 03 л 04 .
Так же, как и в предыдущем случае, мы свели задачу симплектической эквивалентности операторов Монжа - Ампера к задаче эквивалентности е-структур.
Заключение
Представляет интерес распространить предложенный метод построения е-структуры на многообразия более высокой размерности. Некоторые результаты по классификации операторов Монжа - Ампера в размерности 3 получены в [6].
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Lie S. Gesamette Ahandlungen. - Leipzig - Oslo, 1922-1935. - Vol. 1-7.
2. Лычагин В. В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка. -1979. - Т. 34, № 1. - С. 101-171.
3. Кушнер А. Уравнения Монжа - Ампера и e-структуры // Докл. РАН. - 1998. - Т. 361, № 5. - С. 595-596.
4. Kushner A. Classification of Mixed Type Monge - Ampere Equations // Geometry in Partial Differential Equations. - Singapore: World Scientific, 1993. - P. 173-188.
5. Kushner A. Symplectic Geometry of Mixed Type Equations // The Interplay between Differential Geometry and Differential Equations. - Ed. V. V. Lychagin, American Math. Soc. Translation., 1996. - Ser. 2, Vol. 167. - P.131-142.
6. Kushner A., Lychagin V., Rubtsov V. Contact Geometry and Non-linear Differential Equations. - Cambridge University Press, 2007. - 496 p.
Получено 15.11.2006
SYMPLECTIC CLASSIFICATION OF HYPERBOLIC MONGE - AMPERE OPERATORS
A. G. Kushner
A solution of the problem of classification of Monge - Ampere operators on 2-dimensional smooth manifolds is presented in the paper. The problem was formulated by Sophus Lie. There exists a connection between this problem and the problem of classification of effective differential 2-forms or Monge - Ampere equations on a smooth manifold of 1-jets. The main idea is a description of Monge - Ampere operators as e-structures (absolute parallelisms).
