К задаче описания обобщенных инвариантных многообразий нелинейных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 3 (2018). С. 110-120.

УДК 517.9

К ЗАДАЧЕ ОПИСАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ИНВАРИАНТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

А.Р. ХАКИМОВА

Аннотация. Обсуждается задача построения обобщенных инвариантных многообразий для нелинейных уравнений в частных производных. Обобщенным инвариантным многообразием для заданного нелинейного уравнения называется дифференциальная связь, совместная с линеаризацией этого уравнения. Фактически это понятие обобщает симметрию. Приведены примеры обобщенных инвариантных многообразий, полученных из симметрий. Однако существуют такие обобщенные инвариантные многообразия, которые не сводятся к симметриям, именно они представляют наибольший интерес. Такие обобщенные инвариантные многообразия позволяют эффективно строить пары Лакса, операторы рекурсии и частные решения интегрируемых уравнений. Изложен алгоритм построения обобщенного инвариантного многообразия для заданного уравнения. Дано полное описание обобщенных инвариантных многообразий порядка (2, 2) для уравнения Кортевега-де Фриза. Кратко изложен способ построения пары Лакса и оператора рекурсии с помощью обобщенного инвариантного многообразия. В качестве примера рассмотрено уравнение Кортевега-де Фриза.

Ключевые слова: пара Лакса, высшая симметрия, инвариантное многообразие, ре-курсионный оператор.

Mathematics Subject Classification: 35Q51; 35Q53

1. Введение

В литературе широко известен метод построения частных решений нелинейных уравнений в частных производных, основанный на понятии дифференциальной связи (или инвариантного многообразия) ([1], [2]). Идея метода состоит в том, что к заданному уравнению добавляется совместное с ним уравнение, как правило, более простое. Такой прием позволяет найти частные решения исследуемого уравнения. В работах [3]-[7] была предложена схема построения пар Лакса и рекурснонных операторов для интегрируемых уравнений в частных производных, основанная на использовании аналогичной идеи. Подходящее обобщение состоит в том, что мы накладываем дифференциальную связь не к самому уравнению, а к его линеаризации. Полученное в итоге уравнение мы называем обобщенным инвариантным многообразием. Более детально это понятие обсуждается в §2 настоящей работы, где также приводятся необходимые определения. В §3 дается полное описание класса обобщенных инвариантных многообразий порядков (2,0), (2,1) и (2,2) для уравнения Корте вега-де Фриза. Отметим, что ранее задача о полном описании таких многообразий для нелинейных уравнений не изучалась. Алгоритм построения пары Лакса и оператора рекурсии по известному нетривиальному обобщенному инвариантному многообразию иллюстрируется в §4 на примере уравнения КдФ.

A.R. Khakimova, On description of generalized invariant manifolds for nonlinear equations.

© Хакимова A.P. 2018.

Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта Российского научного фонда (проект №15-11-20007).

Поступила 15 января 2018 г.

2. Основные определения Рассмотрим нелинейное уравнение в частных производных вида

д ^ и

иг = / (Х,г,и,их,ихх ,...,ик). щ = —. (1)

Напомним, что обыкновенное дифференциальное уравнение

иг = д(х,г,и,их,ихх,... ,иг-г) (2)

называется инвариантным многообразием для уравнения (1), если оно совместно с (1), т.е. если выполняется следующее условие

Ц*f - Ад\аШ) = 0. (3)

Здесь Их и операторы полного дифференцирования по х и соответственно, по ¿. Отметим, что условие (3) равносильно некоторому уравнению в частных производных на искомую функцию д. Иногда это уравнение можно решить явно, хотя в общем случае задача отыскания функции д является весьма сложной.

Ситуация заметно меняется, если искать обыкновенное дифференциальное уравнение, совместное не с самим нелинейным уравнением (1), ас его линеаризацией

тт д?тт + тт + тт + + ТТ (Л\

иг = ТТ" и + -— их + --ихх +-----+ -— ик. (4)

ои оих оихх оик

Перейдем к точным формулировкам. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

ит Р(х. Ь. и, их. ихх,..., ит—и. их. ихх,..., ига). (5)

где и = и(х. ¿) искомая функция, а функция и = и(х,1), являющаяся произвольным решением уравнения (1), входит в (5) в качестве функционального параметра.

Замечание 1. Предполагается, что в равенстве (5) переменные х, ^ у ^^ у ^^X У иХХ у ••• у ит-\, и, их, ихх, ..., ип являются свободными переменными, принимающими произвольные значения.

Определение 1. Уравнение (5) определяет обобщенное инвариантное многообразие, если условие

- = 0

выполняется тождественно для всех значений переменных {и^}, х, Ь, и, их, ..., ит-\.

Здесь переменные щ, иг и их производные по х заменяются в силу уравнений (1) и (4), а переменные ит. ит+\.... - в силу равенства (5), Чтобы подчеркнуть, что решение и(х, ¿) берется произвольным, мы рассматривавм переменные и, их, ихх,... как независимые, В силу этого задача отыскания функции Р(х. I. и. их. ихх,.... ит-\, и. их,ихх,.... ип) является переопределенной и эффективно решается. Данный факт подтверждается многочисленными примерами, рассмотренными в работах [3]-[7]. В перечисленных работах также было показано, что обобщенное инвариантное многообразие является эффективным инструментом для построения пары Лакса и рекурспонного оператора.

Определение 2. Пусть обобщенное инвариантное многообразие М определяется, уравнением (5). Пару чисел, (т. п) назовем, порядком многообразия, М. Многообразие М назовем, тривиальным, если произвольное решение уравнения (5) имеет вид

и = '£(х.1.и.их.... .и3). где —— = 0.

аия

Ниже мы приведем два примера тривиальных обобщенных инвариантных многообразий, Можно проверить, что уравнение

их = ^ и (6)

их

определяет обобщенное инвариантное многообразие для уравнения Кортевега-де Фриза

и^ иХхх + иих. (7)

Это следует из того, что общее решение уравнения (6) выражается через классическую симметрию ит = их уравнения КдФ в виде

и = сих

и поэтому удовлетворяет линеаризованному уравнению. Аналогично проверяется, что уравнение второго порядка

Зи^щ + щщ - и23 и3(и21 + щ) - щщ - 3щи22 дп

ихх =-■—3-их +--■—3-и, ип = 7-— и(х,г) (8)

«1^4 + щ — и2и3 щи4 + щ — и2и3 ахп

задаёт обобщенное инвариантное многообразие для уравнения (7), Его общее решение есть линейная комбинация двух симметрий ит = их и иТ1 = щ: и = с1их + с2щ.

3. Полное описание обобщенных инвариантных многообразий второго порядка для уравнения КдФ

Примеры (6) и (8) показывают, что тривиальные инвариантные многообразия легко можно построить при помощи классических и высших симметрий рассматриваемого уравнения, Однако по таким многообразиям, по-видимому, невозможно построить пары Лакса и рекурсиоппые операторы. Более интересными объектами являются нетривиальные обобщенные инвариантные многообразия.

Основным результатом настоящей работы является следующая

Теорема 1. Пусть уравнение ихх = Р(и, их,и,их,ихх) определяет обобщенное инвариантное многообразие для уравнения КдФ (7), тогда оно имеет вид

их ТТ 2 ,гг , их^Ш2х +6(и + С3)(Ц2 + М

ихх = ——■-тих - -(и + С3)и +-——■---,

2(и + С3) 3 6(и + С3)

где с3 и с4 произвольные постоянные.

Обобщенных инвариантных многообразий вида ихх = Р (и,их,и) и вида, ихх = Р(и,их,и,их,ихх), с условием, что отлично от тождественного нуля для уравнения (7), не существует.

Доказательство. Для доказательства теоремы воспользуемся определением 1, Линеаризуем уравнение (7)

иг = иххх + иих + их и (9)

и будем искать обобщенное инвариантное многообразие в виде

ихх = Р (и,их,и,их) (10)

из условия

- I (7),(9),(10) =°. (И)

Перепишем равенство (11) в более развернутом виде;

(иххххх + и~иххх + Ъихихх + Ъиххих + иххх и - Ри иг

-Рихих,г - Рищ - Рих«^^(^(ю) = °. (12)

В равенстве (12) переменные щъ их$ заменяем в сил у уравнения (7), Щи их^ в силу (9), а иххх и иххххх в силу (10), В итоге получаем:

ах(и, их и,их)иххх + (и, их:,и,их)ихх

+аА(и, и х,и,их)и2хх + а5(и, их,и,их)ихх + а6(и, Их, и, их) = 0, (13)

где

а1 = 3>Рихих,

а2 = и + 3ихРиих + 3РРихих + 3ихРиих,

Р'ихихих,

= 3ихРиихих + 3Риих + 3Рихих Рих + 3РРихихих + 3ихРиихих , = 3ихРиих Рих + 3ихРии + 3и2хРииих + 3ихРихих Ри + 3Р2Рихихих + 3РРихи

+ 3ИхРиРихих + 3их Рии-их + 3Их + 3РРих Рихих + 6ПхРРиихих + 6и х Ц^х Рииих

+ бихРРихиих + 3РРих Рихих + 3ихРии — иРих + 3РРиих + 3ихРих Fиxи, а6 = 3ихР + 3Р 2Риих + 3ихРРии + 3и?Ри Риих + 3и1.РиРихи + 3ИхР2Риихих

+ 3ихР 2Рихихи + 3и2хихРиии + 3и2хРРихии + 3их РРииих + 3ихУх Риии + ШхРРии + Р 3Рихихих + их Риии + 3ихРРих Риих + ^х^Р-иРи^ + 3их(1хРи Рихи + 3ихРРих Рихи + Ц^х РРиихи — ^и Ри + ШхРРи Рихих + их Риии + 3ихРРиРихих + 3Р2Рих Рихих - ^ - 2ихихРих.

Отметим, что переменные ихх, иххх рассматриваются как независимые, поэтому (13) справедливо тогда и только тогда, когда выполняются следующие равенства

а^и,их,и,их) = 0, г = 1, 6. (14)

Исследуем систему уравнений (14), При г = 1 и г = 3 имеем наиболее простые соотношения, Из них находим

^(и, Их,и,их) = Р1 (и,их,и)их + Р2(и,их,и). (15)

Отталкиваясь от представления (15), мы можем в дальнейшем разваливать уравнения системы (14) по независимой переменной их. Сравнивая коэффнцпенты при их во втором уравнении системы (14), получим следующие два уравнения:

(Р1)и + Р1(Р1)их = 0, (16)

и + 3Р2(Р1)их + 3Их(Р1)и = 0. (17)

Далее выразим из (16) функцию (Р1)и, а го (17) функцию Р2\

ти = -Р1(Р1)их, (18)

Р2 = -и \™х(Р1)и, где (Р1)их =0. (19)

Действительно, предположим в (19), что (Р1)их = 0, тогда из (17) имеем:

и = 0 ш (Р1 (и,и))и = 0.

Это противоречит тому, что и - динамическая переменная.

Далее, в оставшихся уравнениях системы (14) заменим все производные функции Р1 по переменной и в силу (18), исключим функцию Р2 в силу (19) и приравняем коэффициенты

при одинаковых степенях переменной их. Таким образом, в дополнение к (18) имеем ещё четыре уравнения

. _ 3 Ц^^ии ^)и(ЗЦ^и + Ц)(Р1)ихцх + (.Р1)цЦ + т 1 (^ (+ (Р1)их +их

+ Р1(Ц + 6Цх(Р\)и )(Р1 )иих = ^ (20)

№

X

2 ВДУ тАР1)и + и) (Р1)их - ЗР^ц) + Л Р1 \ ( )

2. -ТТТТэ-( ь1)ихих + 3^1\ их - ——— (Р1)ии

( ь1)их V ( ь1)их)

+ У" \7Г ^ (р1)ии* +р1 - и(р1)и - = °, (21)

V ( ь1)их ( ь1)их )

(бР^и и + 6Цх(Р1)и

(Юк (Ъ)их ,

(Т 3 6Р1Щ\ ( ) + (Р^Ц^ц + 2Ц) Цх(3Цх(Р1)и - 2Ц)\ ) V - (^)и ) (Ь1)иии + ' -Т~т?~\2---7ТГ\- I (^1)

V № (Р1)и,

)ии

, (2ихР1(2Ц + Щ^и) - и2х(3Цх(Р1)ц + и)(Р1)их\ (р )

+1 ш ;(Р1)ши-

1 (их(3их(Р1)и + и)2 2Р1(3их(Р1)и + и)(9их(Р1)и + и) \

+1 ; ^^

+ ( 2( (3Цх(Р1)ц + Ц )2 (3Цх(Р1)ц + Ц )3 N ) + V 3(Р1 )ЬХ 27(Р1)ЬХ ) ( *1)ихи*их

+ 3 и2х(5 Р1 -Цх(Р1)их )(Р1)иих (РРии и

+ № 3(Р1)их {22)

, (и2х(3их(Р1)ц + и) 3ЦхР1(ъих(Р1)и + и)^ ) ( )

Л шх ^ж )(Р1)и'и- (Е1)ии

2 и2х (33 их( Р1)и + и) ихР1(3°их(Р1)ц + 7и) \

(Р1)к (Ъ)ЬХ )

, (ЪР1(3их(Р1)и + и)(9их(Р1)и + и) их(3их(Р1)и + и)2\ . „ , , „ ,

+ -О/ 77 \4---г&\3- ( Г1)иих (*1)ихих

V 3(Ь1)их (^1)их )

(9ихР1 - 6Цхи(РРи + 18^^1)1 - 2Ц2 Р1(Р1 )и(ъи + 18Цх(Р1)и)\ )

+ V 3(Р1)Ьх (Р1)ЬХ )( 1 )ь

+ (и2(Р1)и - ЦР1 - 9и2х(Р1)Ь - 9ЦхР1(Р1)и , 3Р1(Р1)Ь(3Цх(Р1)и + и)\ ( )

+1 3^ж + ^ж )(Р1)

+ ((3их(Р1)и + и)3 Р^и(3Цх(Р1)и + и)2\ ° ----^- ) ( Ь1)ихих = °,

V 9( Рг)Ьх 3( Р1)Ч 1^1)ихих

4. С(и, их,и, Р1, (^1 )и, (Р1)их, (Р1)и, (Р1)ии,..., (Р1 )ихихихих) = °. (23)

Мы не приводим явного вида уравнения (23), поскольку оно слишком большое. Рассмотрим уравнения (20) и (21), Умножим уравнение (20) на

(3 ^ - (3 их(Р1)и + и) (Р1)их)

и вычтем из него уравнение (21), умноженное на (3их(Р]_)и + и), в результате получим:

3^1)1 3Р1( Р\)ии 3Р1(Р1)ц (Р1)ццх (Р1)их + (Р1)их (Р1?их .

3

Проинтегрируем полученное равенство по переменной и и разрешим относительно (Р1)и-

(Р1)и = (Г1)и31+ ^, ^ = Г3(их,и). (24)

Искомая функция должна удовлетворять всем уравнениям (18), (20)—(23), (24), Из условия совместности (18) и (24) вытекает следующее равенство

Ж;(Г1)и - Тч(Р1)и

= 0.

(18), (24)

Таким образом, в силу уравнений (18) и (24) равенство (25) принимает вид:

( Р1)их (Рз)их + (Р3)и)

0,

3Р1

из которого заключаем, что Р3(их,и) = с^ где с1 - произвольная постоянная.

Далее в уравнениях (20)-(23) заменим все прозводные функции ^ по переменной и в силу (24), Тогда получаем, что уравнения (20) и (21) тождественно выполняются. Затем из уравнения (22) выразим ( Р1)ихихих:

3(Р1)ихих 3(6 р^х + и2 - 02)^1)1 9^1 )1 (Р1)их и2Р? + и2

+ 9((Рг)ихЦх -Р)(Р)ихих + 3Цх(3рЦх + Ц2 - с2)(Р)Ьх + и2 + и2Рз . ^

Пользуясь условием совместности уравнений (24) и (26), приходим к двум возможным вариантам:

3 ихЖ&)их + с,и№)их + и2^)их - = 0, (27)

либо

<2(К)к - 3их^№)1 + 3Р2(Р\)2их - 3^3(^1 )ихих = 0. (28)

Предположим, что выполняется уравнение (27), тогда

Л = £ + ^ + 6™' , ^4 = * (и,и). (29)

2 Г 4 6 Г 4

Подставляя полученное равенство (29) в уравнения (18) и (24), определяем, что

сх = 0 И Р4 = и + с2. (30)

Мы проверили, что при выполнении (30) функция (29) удовлетворяет уравнению (23), Следовательно, в случае (27), искомая функция Р имеет вид:

ЧхЦх + их^и* + 6(и + С2)Ц2 2 +

Р =7Г(—:-т +-х—:-ч--о(и + с2)и. 31)

2(и + С2) 6(и + С2) 3

Рассмотрим теперь случай (28), Перепишем его в виде:

^ ( Р1?их(с\(Р1)их - 3ЦхР1(Р1)их + 3Р2)

( ь1 )ихих = -7ТТ3-. (32)

3Р

Далее подстановка (32) в уравнение (23) даёт:

С1 = ^и 3 ИхР1 + 2ис1 + и2 = 0. (33)

1=0

1=0

Р1 = 2^ + у/их , Ъ = Р5(и,и),Р6 = Р6 (и,и). (34)

2 Гк 2Гк

Вид функций Р5 и Р6 определим при помощи уравнений (18) и (24), Подставим (34) в (18) и (24), получим:

1 2

Р5 = и + Сз, Рб = ~и2 + С4.

6

Таким образом, в случае выполнения условия (28), имеем

ихих , их^Ш2 + 6(и + Сз)(Ц2 + 6С4) 2

Р = V/—,—-—,—^--о(и + сз)и> 35)

2(и + сз) 6(и + сз) 3

где с3 и с4 произвольные постоянные. Следовательно, (31) и (35) представляют собой два нелинейных обобщенных инвариантных многообразия. Однако, заметим, что (31) является частным случаем (35), поэтому фактически уравнение (11) имеет ровно одно решение

ихЦх , их^и2х +6(и + сз)(Ц2 + 6С4) 2

ихх = V/—,—т +-Т(—,—^--о(и + сз36)

2(и + Сз) 6(и + Сз) 3

зависящее от двух произвольных постоянных сз, с4. Теорема доказана, □

Следствие 1. Обобщенное инвариантное многообразие (36) не является тривиальным,.

Предположим, что произвольное решение уравнения (36) имеет вид:

д

и = <р(х,г,и,их,...,и), где — = 0. (37)

дщ

Найдем их и ихх из уравнения (37):

их = риих + ^ихихх У-----У'и^у+х, (38)

ихх = Риии2х + Риихх У-----У <Ри,Щ+2. (39)

и их их х

2 Щх / \

'ии Щх + РиЩхх У-----У <£Щиз+2 = ---Г У^иЩх + <Рихихх У-----У )

' 2(и У сз)

их У 9 ('уЦх У 'ихЩхх У-----У 'и^из+х)2 У 6(и У Сз)('2 У 6 с4) 2

У—-6( У )--3(и У сз)'. 40)

6(и У Сз) 3

Приравнивая коэффициенты при старшей производной из+2 в (40), имеем равенство

'и^ = 0,

которое противоречит предположению (37),

4. Связь между обобщенными инвариантными многообразиями, парами Лакса и рекурсионными операторами

Инвариантные многообразия задаются обыкновенными дифференциальными уравнениями, содержащими зависимость от постоянных параметров, К ним можно применить обычные способы понижения порядка, посредством отыскания интегралов либо повышение порядка путем исключения постоянных параметров. Применим одно из таких преобразований к многообразию (36), найденному выше. Исключим параметр с4 из уравнения (36)

и, их, их х

щенное инвариантное многообразие третьего порядка. Действительно, перепишем (36) в виде

ТТ ихих , 2 их^9Щ У 6(и У сз)(и2 У 6с4)

ихх -■-Г ^Ли У Сз)и = ---■-г-. 41)

2(и У Сз) 3 6(и У Сз)

Возведем в квадрат обе части равенства (41) и разрешим полученное выражение относительно постоянной с4:

Г и + сз ТТ2 + ТТ 1 тЛп 2(-и + ^ ТТТТ Л ТТ2 (Л9\

С4 = -итТхх \ зих и - ити*)Тхх - Шх + - в)и ■ (42)

Продифференцируем равенство (42) по переменной х:

2(и + сз)тт 1 гг , 4(и + сз)2 тт\ тт 2(и + сз)ихх 2 2(и + сз) т2

(Щ^з!тт, - ^тх + и)

\ их ихх 3их )

ТТ__ТТ I 4 з/ ТТ ТТ _ ^ ' з хх Т Т2 \ 1 з/ ТТ

и хх ^х I ^ о и I и ххх о ^ хх ^ и х

ихх 3их / их Зи

8(и + Сз)ихх 2(и + Сз) \ ТТ + ( 2(и + сз)ихх + 8(и + сз) - ^ тт

— I - —

Зи^х их ) V З'^х 9их

ихх , 4(и + Сз)2\ тт тт , (4(и + Сз)2 8(и + Сз)зихх

Л # +;......1Т 2=00

Упростим полученное выражение и перепишем его в следующем виде:

(

^ТТ, - -Ы х

и их х З и

х х

Тххх - —Тхх + \(и + Сз)Тх - ( 2(и + °3^ихх -их)Т) =0.

их З З их

')и )

Это уравнение распадается на следующие два уравнения:

1. Щ^тх* -Lu, = 0, (43)

их их х З их

тт иххтт 2 { ! \тт I 2(и + Сз)ихх 1 тт А

Тххх--Тхх + тЛи + Сз)Тх - ( -—--'х ) Т =0.

их З

= 0 М

Предположим, что выполняется условие (43), Тогда, с учетом (41), имеем равенство

(- - -)

их х их

- П Т у/9ТТ2 + 6(и + сз)(Ц2 + 6(4) = 0

их х их З их

которое противоречит тому, что переменные Тх, Т/, и, их, ихх, сз, с4 являются свободными переменными, принимающими произвольные значения (см. Замечание 1, §2), Следовательно, имеет место только (44), т.е.

ТТ иххи 2( , \ТТ , (2(и + Сз)ихх \ тт

Тххх = -Тхх - т, (и + Сз)Тх + I ----их) Т. (45)

их З З их

Удивительный факт состоит в том, что полученное уравнение третьего порядка оказалось линейным.

Отметим, что уравнения (36) и (45) являются различными формами записи одного и того же объекта. Переход от одной формы записи к другой заключается в простом преобразовании в классе обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, эти формы записи отличаются друг от друга с точки зрения приложения. Для построения пары Лакса удобно пользоваться формулой (36), а для построения оператора рекурсии больше подходит уравнение (45),

Напомним, что оператор рекурсии и пара Лакса являются важными атрибутами теории интегрируемости. Способы построения пары Лакса ранее обсуждались в работах [8] [15]. По поводу рекурспонного оператора см., например, обзор [16]. Обсуждаемый в данной работе способ построения этих объектов через обобщенное инвариантное многообразие был разработан в работах [3]-[7].

Найдем пару Лакеа для уравнения КдФ, воспользовавшись формулой (36), Положим с4 = 0 тогда подкоренное выражение будет квадратичной формой от и, их с коэффициентом, зависящим от и, с3. Перепишем линеаризованное уравнение (9) с учетом уравнения (36)

иххЛ/ 9Щ + 6(и + c3)U2

+

Ux

+ Ux.

(46)

6(и + сз) \2(и + сз) 3

Отметим, что пара, составленная из уравнений (36) и (46), является парой Лакса для уравнения КдФ (7), но представленной в нелинейной форме. Опыт показывает, что полученная таким образом пара Лакса линеаризуется при помощи подходящей замены пере-

U

и Ux как некоторые квадратичные формы от новых переменных m и ф, так чтобы подкоренное выражение в уравнении (36) было полным квадратом. Воспользуемся следующей леммой (см, [6])

Лемма 1. Квадратичная форма w ( Р, Q) = P2 + Q2, где

Р = ai^2 + [гтф + гу\ф2, Q = а2'-р2 + [2<рф + ъф2 (47)

может быть записана в виде Р2 + Q2 = (азт + [зф)2 тогда, и только тогда, когда, коэффициенты, формы, (47) удовлетворяют одному из следующих двух условий

1. [2 = ai = ъ = 0 [2 + 4а2Ъ = 0;

2, существует функция h такая что a2 = ha\, 72 = hji, [ = -h[2, [% + 4ai7i = 0.

Следуя Лемме 1, выберем следующую замену переменных

2 1 _

U = Ux = + °з(^2 -ф2).

Тогда вместо пары уравнений (36), (46) получим две системы уравнений

их

<Рх

-т

/и + Сз

4(и + езГ /6

их

, у/йТсз, фх = —т=—m

m

фь =

у/6 т 4(и + сз)

'3Uxxx +Ux(u - 2Сз)\ у/6

(48)

12(и + сз)

Ux

у/6^и + Сз 18

)v 6

m - -^(и - 2Сз)/и + Сзф

+ Ux(U - 2Сз)

)

(49)

Пара (48), (49) представляет собой линейную пару Лакса для уравнения КдФ (7), Приве-

их

С этой целью сделаем замену переменных <р = ар и ф = /Зд, которая приводит (48) к виду

x=

Ux

4(и + сз) a у/и + сз a

)

ax\ у/и + сз [

Р--^--Ъ

/6 [Р V 4(и + Сз)+ [

Ux

y/6 a

+ "H Q.

Потребуем выполнения равенств

ax

a

Ux

[x

Ux

4(и + сз)' [ 4(и + сз)'

x

Откуда имеем а = (и + сз)4, @ = (и + сз) 1, и, следовательно, (50) запишется в виде

1

рх = —ТБ ^

^ (51)

дх = У6(и + °з )Р.

Рхх = -1 (и + сз)р. (52)

6

В результате указанных выше преобразований система (49) перейдет к уравнению вида

11

Рг = ^(и - 2сз)рх - 6'хР. (53)

Пара уравнений (52), (53) совпадает с известной парой Лакса для уравнения КдФ (см. [17]).

Покажем теперь, как при помощи обобщенного инвариантного многообразия (45) найти рекурсионный оператор уравнения КдФ (7). Перепишем уравнение (45) в следующем виде

Uxxx - —Uxx + 2uUx - ( 2UUxx - U = -2c3uxDx\ — U) . (54)

их 3 \ ¿Ux ) 3 \Ux )

Для получения рекурсионного оператора из уравнения (54) необходимо представить его в виде КТ = ХТ. Для этого умножим уравнение (54) на оператор ихИх1 ^и после несложных преобразований получим выражение

2 1 „ Л „ _ , 2

(d2X + ¿U + ¿UxDx ^U = XU, X = - ¿ сз.

R = D2X + -u + -UxDx1. (55)

Таким образом, искомый рекурсионный оператор представляется в виде

21

-и +—I 3 3

Построенный оператор (55) совпадает с известным рекурсионным оператором уравнения КдФ (см. [18]).

Автор выражает искреннюю признательность И. Т. Хабибуллину за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также благодарит участников семинара кафедры ВВТС УГАТУ под руководством Р. К. Газизова за полезные замечания и советы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложение в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.

2. Яненко Н.Н. Об инвариантных дифференциальных связях для гиперболических систем квазилинейных уравнений // Изв. вузов. Матем. 3, 1961. С. 185-194.

3. I.T. Habibullin, A.R. Khakimova, M.N. Poptsova On a method for constructing the Lax pairs for nonlinear integrable equations // Journal of Phvsics A: Mathematical and Theoretical 49:3, id 035202. 2016. 35p.

4. Павлова E.B., Хабибуллин И.Т., Хакимова А.Р. Об одной интегрируемой дискретной системе ¡I Дифференциальные уравнения. Математическая физика, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. об;.. ВИНИТИ РАН, \!.. 140. 2017. С. 30-42.

5. Хабибуллин И.Т., Хакимова А.Р. Инвариантные многообразия и пары Лакса для, интегрируемых нелинейных цепочек // Теоретическая и математическая физика 191:3. 2017. С. 369-388.

6. I.T. Habibullin, A.R. Khakimova On a method for constructing the Lax pairs for integrable models via a quadratic ansatz // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 50:30, id 305206 (19 pp.) (2017).

7. Хабибуллин И.Т., Хакимова А.Р. О прямом алгоритме построения рекурсионных операторов и пар Лакса для, интегрируемых моделей // ТМФ, 196:2. 2018. С. 294-312.

8. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. / // Функц. анализ и его прил. 8:3.1974. С. 43-53.

9. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. II // Функц. анализ и его прил. 13:3. 1979. С. 13-22.

10. H.D. Wahlquist, F В. Estabrook Prolongation structures of nonlinear evolution equations // Journal of Mathematical Physics 16:1. 1975. P. 1-7.

11. F.W. Nijhoff, A.J. Walker The discrete and continuous Painlevé VI hierarchy and the Gamier system // Glasgow Mathematical Journal 43:A. 2001. P. 109-123.

12. A.I. Bobenko, Yu.B. Suris Integrable systems on quad-graphs // Int. Math. Res. Notes 11. 2002. P. 573-611.

13. F.W. Nijhoff Lax pair for the Adler (lattice Krichever-Novikov) system // Physics Letters A 297:1-2. 2002. P. 49-58.

14. Ямилов Р.И. О классификации дискретных уравнений // в сб. Интегрируемые системы, ред. А. Б. Шабат (Уфа: БФАН СССР). 1982. С. 95-114.

15. P. Xenitidis Integrability and symmetries of difference equations: the Adler-Bobenko-Suris case // Proc. 4th Workshop "Group Analysis of Differential Equations and Integrable Systems" arXiv:0902.3954. 2009. P. 226-42.

16. V.V. Sokolov Algebraic structures related to integrable differential equations // arXiv:1711.10613. 2017.

17. P.D. Lax Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Commun. Pure Appl. Math. 21:5.1968. P. 67-90.

18. C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, R.M. Miura Korteweg-devries equation and generalizations. VI. methods for exact solution // Communications on pure and applied mathematics 27:1. 1974. P. 97-133.

Айгуль Ринатовна Хакимова, Башкирский государственный университет, ул.Заки Вал иди, 32, 450077, г. Уфа, Россия

Институт математики с ВЦ УФ! III РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: aigulya. khakimova@mail. ru