О центральной предельной теореме для симметрических функций от зависимых величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

структуры и моделирование 2017. №1(41). С. 5-11

УДК 519.214

О ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ ДЛЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОТ ЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН

А.Г. Гринь

профессор, д.ф.-м.н., e-mail: [email protected] Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского

Аннотация. Получены необходимые и достаточные условия для сходимости распределений симметрических функций от случайных величин к нормальному закону. Эти условия включают в себя и так называемые минимальные условия слабой зависимости.

Ключевые слова: Симметрические функции от случайных величин, центральная предельная теорема, минимальные условия слабой зависимости..

Пусть {£n} - стационарная в узком смысле последовательность. Будем пи-

j. d j. d j. d j.

сать £ = n, £n — П и £n ~ nn в случаях, когда, соответственно, распределения £ и n совпадают, {£n} сходится к n по распределению и когда последовательности {£n} и {nn} слабо эквивалентны (см., например, [1, § 28.1]). Слабая эквивалентность равносильна поточечной сходимости разности характеристических функций величин {£n} и {nn} к нулю при n — то [1, с. 393].

n

Пусть Sn = Е £n, E£n < то, n = 1, 2,..., an = DSn — то, а N(0,1) -к=1

случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами 0 и 1. Если

a-1 (Sn - ESn) — N(0,1), n —У то>,

то говорят, что к последовательности {£n} применима центральная предельная теорема.

Следуя [2], назовём {bn,n = 1, 2,...} правильно меняющейся последовательностью порядка р, если b[x], x > 0 является правильно меняющейся функцией порядка р, где [x] - целая часть x. Через £ь ...,£n будем обозначать независимые случайные величины такие, что £к = £к, k = 1, 2,..., n.

Будем говорить, что последовательность {£n} удовлетворяет условию (R), если при любом действительном t и при любой последовательности натуральных чисел m = m(n)

E exp{itan+_mSn+m} — E exp{itan+mSn} ■ E exp{itan+_mSm}

— 0, (R)

n — то (для краткости будем говорить, что соотношение (R) выполняется при n + m — то). В соответствии с определением слабой эквивалентности условие

можно записать так:

Б'п+т 1 Зп вт

- ~--1--, П + т —У ТО.

&п+т &п+т &п+т

В работе [3] получен следующий результат

Теорема 1. Пусть {£п,п = 1,2,...} — стационарная последовательность и пусть Е£П < то, Е£п = 0, п = 1,2,... Для того чтобы к последовательности {£п} была применима центральная предельная теорема и ап являлась правильно меняющейся функцией порядка 1/2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие и последовательность {а"2Б2п} была равномерно интегрируема.

Замечание 1. Теорема 1 интерпретировалась так: условие является минимальным условием слабой зависимости, при котором справедлива центральная предельная теорема с правильно меняющейся порядка 1 дисперсией.

В настоящей работе доказан аналогичный результат для центральной предельной теоремы, в которой вместо сумм Бп участвуют симметрические функции / (6,...,Ы .

Пусть при каждом п € N определена симметрическая вещественнозначная функция /, то есть /(жь х2,..., хп) = /(х^,..., х^п), для любых ..., хп € К для любой перестановки {¿1,...,гп} множества {1,...,п} (на самом деле определена последовательность функций, но, чтобы не загромождать рассуждений, мы не будем подчёркивать зависимость / от п какими-либо индексами и называть / последовательностью).

Пусть Хп = / (6,...,£п) , ЕХп < то, ап = ЕХп, п = 1, 2,..., -п = — то. Если

б"1 (Хп - ап) -— N(0,1), п — ТО,

то будем говорить, что к последовательности {Хп} применима центральная предельная теорема.

Скажем, что последовательность {£п} удовлетворяет условию (И*), если

Еехр{й&"+тХп+т} - Е ехр{йЬ"+ тХп} ■ Еехр{йЬ"+тХт} — 0, (И*) п + т — то. Ясно, что условие (И*) можно записать так:

Хп+т 1 Хп , Хт , / \

—-~ ---+ --, п + т — то. (1)

Ьп+т Ьп+т Ьп+т

Если Ьп является правильно меняющейся последовательностью порядка 1/2 и 7п = Ь"+т(ап+ат—ап+т) — 0, п+т — то, то будем говорить, что выполнены условия нормировки

Теорема 2. Пусть {£п,п = 1,2,...} — стационарная последовательность и пусть ЕХп < то. Для того чтобы к последовательности {Хп} была применима центральная предельная теорема и выполнялись условия нормировки необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (И*) и последовательность {Ь"2(Хп — ап)2} была равномерно интегрируема.

Доказательство теоремы приводятся ниже.

Замечание 2. Несмотря на почти абсолютную схожесть теорем 1 и 2, между ними имеется существенное отличие. Оно заключается в том, что условие (Rf) является не только условием слабой зависимости, но и накладывает значительные ограничения на вид функции f, заключающиеся по сути в том, что распределения функций f(£i,...,£n) слабо эквивалентны распределениям сумм некоторых независимых случайных величин. Однако центральная предельная теорема с условиями нормировки (N) может иметь место только при этих ограничениях.

Пример 1. Пусть {£„} — последовательность независимых одинаково распределённых величин и = 0, а2 = E£2 < то.

Xn = f (fb.^fn) = rnax (Ci! + ... + &n_fc) =

1^11<...<гп-к ^n

= Sn - min ^ ( j + ... + j ) .

Если Yn = max £2, то

EYn = P{Yn ^ x} dx ^ Vn + n P(Ci2 ^ x} dx = o(n),

так что если k = k(n) ^ то достаточно медленно, то

e( min (j + ... + j)) ^ k2EYn = o(na2) = o (ESI) \Kjl<...<jk j1 V n>

поэтому Xn ~ Sn, n —у то, условие (Rf) (совпадающее с условием (R)) и центральная предельная теорема выполняются.

Если же, скажем, k = n — 1, Xn = max то ни при каком выборе норми-

l^i^n

рующих постоянных an и bn предельное распределение b-1 (Xn — an) не может быть нормальным (то есть, не может выполняться центральная предельная теорема и, следовательно, условие (Rf)). Это следует из известных результатов Б.В. Гнеденко о предельных распределениях максимумов независимых случайных величин (см., например [4]).

Следующая лемма доказана в [3].

Лемма 1. bn является правильно меняющейся последовательностью порядка 1/2 (а bn — правильно меняющейся последовательностью порядка 1) тогда и только тогда, когда

b2n+m ~ bn + bL n + m — ТО (2)

Доказательство. Необходимость.

Пусть к последовательности {Хп} применима центральная предельная теорема, то есть при любом £ € И.

Еехр{г£Ь"1(Хп — ап)} — ехр | — ^ , п — то (3)

и выполнены условия нормировки Так как

Ь"1(Хп — ап) —— N(0,1), Ь"2Е(Хп — ап)2 = 1 = ЕЯ2(0,1), Ь"2(Хп — ап)2 ^ 0,

то равномерная интегрируемость последовательности {Ь"2(Хп — ап)2} следует, например, из теоремы 5.4 в [5].

Пусть £ € И и т = т(п). Обозначим

Д(п) = |Е ехр{г£Ь"+тХп+т} — Е ехр{г£Ь"+т Хп}Е ехр{г£Ь"+тХт}| =

Е| •. Хп+т ап+т | т-. | •. Хп ап | т-. | •. Хт ат | г •.

ехр < гг---> — Е ехр < -г Е ехр < гг—--> ехр{гг7п}

Ьп+т Ьп+т Ьп+т

Поскольку Ьп — правильно меняющаяся последовательность порядка 1, то в силу леммы 1

Ьп+т ~ ьп+ьm, п—то,

так что для любой последовательности натуральных чисел {п1} существуют 0 ^ с ^ 1 и подпоследовательность {п2} С {п1} такая, что

ЬП2+т2 Ьп2 — С, ЬП2+т2 Ьт2 — 1 — С, п — ТО,

где т = т(п ). Если с = 0 (с = 1), то при п — то

Ьп2+т2 (Хп2 — ап2 ) — 0 (Ьп2+т2 (Хт2 — ат2 ) — 0)

по вероятности, следовательно, Д(п2) — 0, п — то. Если же 0 < с < 1, то в силу (5)

Т7 Г .,Хп2+т2 — ап2+т2 1 Г ^ 1 Г Г (1 — с)£2

Е ехр Iгг—т:+т—} ~ехр {— г}=ехр |—т}ехр { —2—

Е| •. Хп2 ап2 | т-1 | •, Хт2 ат2 | г •, т

ехр < гг—--> ■ Е ехр < гг—--> ехр{гг7п2}, п — то,

I. Ьп2 +т2 J I. Ьп2+т2 )

то есть снова Д(п2) — 0, п — то.

Таким образом, доказано, что из любой последовательности {Д(п1)} можно выделить сходящуюся к нулю подпоследовательность. Это означает, что Д(п) — 0, п — то, то есть выполнено условие

Достаточность. Пусть выполнено условие (И*) и последовательность {Ь"2(Хп — ап)2} равномерно интегрируема. В силу известной теоремы Прохорова (см., например, [5]) последовательность {Ь-1(Хп — ап)} является относительно

компактной, так что из любой последовательности натуральных чисел можно выбрать подпоследовательность {щ}, щ = n(n) такую, что при n "то

Ьщ1(Хга1 — ani ) " £, bmi (Xmi — ami) " П, b-i+mi (Xni+mi — ani+mi) " С, (4)

где m1 = m(n1), а и Z - случайные величины. При этом, поскольку последовательность {b-2(Xn — an)2} равномерно интегрируема, то

E£2 = lim Eb-1 (Хщ — a„i)2 = 1, En2 = E(2 = 1, E£ = En = E( = 0. (5) Из ограниченных последовательностей

b«4 q bmi

mi

\jb2ni+bmi v/bäi+bm

выберем подпоследовательности {аП2} и {в„2} такие, что

аП2 " а, вп2 " в, n "то, а2 + в2 = 1. (6)

Тогда

Х«,2 + Xm2 — аП2 — am2 7,-1 ^ ^ ^ I О L-W ^ \ d ? I /Э^ /"7\ - = ащb-2 (ХЩ — ) + вП2 bm2 (Xm2 — am2 ) " а£ + Р^ (7)

\/bä2+bm

^ra2 V n2 ^-m; 1 rm"m2 <

^«,2 1 "m2

Понятно, что + имеет невырожденное распределение. Далее, в силу соотношений (1), (6) и (7)

Ьп2+т2 (Хп2 + Хт2 ап2+т2 ) — п — ТО (8)

где ( имеет невырожденное распределение. По теореме о сходимости типов [1, с. 216] из (9) и (10) вытекает

bJ+m л /ЬП + bm, " C, 0 < C < то.

п2+т^ у "п2 1 т2

Отсюда с помощью (9) выводим, что вместе с последовательностями {Ь"2(Хп2 — ап2)2} и {-т22(Хт2 — ат2)2} равномерно интегрируемой является последовательность {Ь"22+т2 (Хп2 + Хт2 — ап2 — ат2)2} и из (10) получаем теперь

Тп2 Ьп2+т2 (ап2+т2 ап2 ат2) ^ ЕС 0,

^ = Ь-22+т2 (-п2 + -т2) — ЕС2 = 1 п — ТО.

Таким образом, мы показали, что для всякой последовательности натуральных чисел найдётся подпоследовательность {п2} такая, что 7п2 — 0, £п2 — 1, п — то. Это означает, что 7п — 0, — 1, п — то, и в силу леммы 1 выполнены условия нормировки

Пусть теперь выполнены условия (N) и (Rf). Представим произвольное натуральное n в виде n = km + r, m < n, 0 ^ r < m, k = [n/m]. Тогда если k = k(n) ^ то достаточно медленно, то в силу (1)

k

~ X/ Y + j=i

где Yb...,Yk, Zn - независимые случайные величины, Yj = f (C(j-i)m+i,..., £jm) =

= Xm, j = 1, ..., k, Z„ = f (Cfcm+l, ...,Cfcm+r) = Xr, откуда с помощью условия (N) получаем

k

b-1(Xn - an) - ^ b-1(Yj - am) + b-1(Zn - ar). (9)

j=1

Правильно меняющаяся функция положительного порядка эквивалентна неубывающей функции [2, с.26], так что

sup max 6rbm < то,

поэтому (л/кбт) — аг) — 0, по вероятности, а если к = к(п) — то растёт достаточно медленно, то что аП ~ ка^. Из (9) следует теперь

--1(Х — а„) £ , п — то. (10)

V к—т

Для того чтобы к последовательности серий < кг йт, = 1,..., к, п =1,2,.

I ук6т

независимых случайных величин была применима центральная предельная теорема, достаточно, чтобы выполнялось условие Линдеберга: при любом е > 0 1 к

Ь„(е) = E{(Yj — ат)2, |у — ат| > е^&т} — 0, п -то.

к-т ^ = 1

Используя определение величин у и равномерную интегрируемость последовательности {Ьт2(Хт — ат)2}, получаем

т / \ т- Г (Хт — ат)2 |Хт — йт1 /г! „

Ь„(е) = ^^^--2-— ,J---1 > Ык> — 0, п -то,

I -т -т J

что вместе с (11) даёт Ь-1(ХП — ап) N(0,1), п -то.

Теорема доказана. ■

Литература

1. Лоэв М. Теория вероятностей. М. : ИЛ, 1962.

2. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М. : Наука, 1985.

3. Гринь А.Г. О минимальном условии слабой зависимости в центральной предельной теореме для стационарных последовательностей // Теория вероятн. и её примен. 2002. Т. 47, № 3. С. 554-558.

4. Галамбош Я. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик. М. : Наука, 1984.

5. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М: Наука, 1977.

ON THE CENTRAL LIMIT THEOREM FOR SYMMETRIC FUNCTIONS OF THE DEPENDENT VARIABLES

A.G. Grin

Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: [email protected] Dostoevsky Omsk State University

Abstract. The necessary and sufficient conditions for convergence of distributions of symmetric functions of random variables to the normal law are obtained in this article. These conditions include the so-called minimal conditions of the weak dependence.

Keywords: Symmetric functions of random variables, central limit theorem, minimal conditions of the weak dependence.

Дата поступления в редакцию: 02.02.2017