Минимальные условия слабой зависимости в теоремах о притяжении к устойчивым законам Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2004, вып. 14, с. 6-12

УДК 519.214.5

А.Г. Гринь

МИНИМАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ СЛАБОЙ ЗАВИСИМОСТИ В ТЕОРЕМАХ О ПРИТЯЖЕНИИ К УСТОЙЧИВЫМ ЗАКОНАМ

В статье [1] введено минимальное в некотором смысле условие слабой зависимости для стационарных последовательностей, обеспечивающее выполнение центральной предельной теоремы. В [2] аналогичные минимальные условия слабой зависимости получены для предельных теорем о сходимости к устойчивым распределениям, причем масштабная нормировка в этих теоремах такая же, что и в предельных теоремах для сумм независимых одинаково распределенных величин. В настоящей работе результаты из [2] распространены на предельные теоремы о сходимости к устойчивым распределениям порядка 0 < а < 2, в которых масштабная нормировка осуществляется произвольными, правильно меняющимися последовательностями порядка 1/а.

Пусть {<$;п} - стационарная в узком смысле последовательность и пусть

п d d d

Sn=E 6г- Как и в [1], будем писать С = Ц, Іп 1 и - г]п в случаях, когда,

соответственно, распределения и г) совпадают, {£Д сходится к р по распределению и когда последовательности {£Д и {г/п} слабо эквивалентны (см.,например, [3, § 28.1]). Слабая эквивалентность равносильна поточечной сходимости разности характеристических функций величин {£Д и {г)п} к нулю при п —> сю [3, с. 393]. Обозначим через Л/"(0,1) случайную величину, имеющую нормальное распределение с параметрами 0 и 1, а через St (а) - случайную величину, имеющую устойчивое распределение с показателем а.

Если при некотором выборе нормирующих констант Ап и Вп —> сю

то будем говорить, что для последовательности {£Д справедлива предельная теорема о сходимости к устойчивому закону с показателем а.

Следуя [4], назовем {ЪП)п = 1,2,...} правильно меняющейся последовательностью порядка р, если Ьд], х > 0 является правильно меняющейся функцией порядка р, где [х\ - целая часть х.

© 2004 А.Г. Гринь

E-mail: grin@math.omsu.omskreg.ru

Омский государственный университет

Работа поддержана грантом РФФИ 03-01-00045

k=1

О < а < 2,

Заметим, что предельные теоремы о сходимости к устойчивым законам могут иметь место при сколь угодно зависимых слагаемых, например, если £п = St (а), п = 1,2,..., в этом случае можно положить Вп = п. Вместе с тем в предельных теоремах для последовательностей с сильным перемешиванием, равномерно сильным перемешиванием, полной регулярностью устойчивое предельное распределение с показателем а может иметь место лишь в случае, когда масштабная нормировка осуществляется правильно меняющимися последовательностями порядка 1/(4 (см.,например, [5, теорема 18.1.1]) При а ф I предположение о том, что {Вп} является правильно меняющейся последовательностью порядка 1/(4, в дальнейшем понадобится нам для того, чтобы «отсеивать» последовательности, не обладающие слабой зависимостью, подобные тем, о которых говорилось выше.

Будем говорить, что распределение величины Д принадлежит области притяжения устойчивого закона с показателем <4, если

х > О, с\ > О, С2 > О, с\ + С2 > 0, 0 < а < 2, a h(x) - медленно меняющаяся функция.

Пусть h(x) - медленно меняющаяся функция из соотношений (1), а после-

следовательность существует, является правильно меняющейся порядка 1/(4, и константами вида Ъп(а) осуществляется масштабная нормировка в предельных теоремах о сходимости к устойчивым распределениям с показателем <4 для последовательностей независимых одинаково распределенных величин [6, с. 649].

Через St{(4, щ, с2) обозначим случайную величину, характеристическая функция которой равна (см. [5, теорема 2.2.2])

Далее, пусть {Вп} - правильно меняющаяся последовательность порядка 1/(4, а д{х) - медленно меняющаяся функция такая, что В% ~ пд(Вп). Положим

h{x)

(і)

довательность {Ьп(а)} такова, что nbna(a)h(bn(a)) —» 1, п —> оо. Такая по-

и

7 = 0, с = (сі + с2)Г(1 - а)

7 =

/

•оо

7Г

2

In \t\ при а = 1.

7

при 0 < а < 1 при а = 1 при 1 < а < 2.

Через обозначим независимые случайные величины такие, что ! =

С/с) ^ •••, п.

Как ив [1], символ п + т —> оо в каком-либо соотношении будет означать, что указанное соотношение выполняется при п —» сю и при любой последовательности натуральных чисел т = т(п).

Теорема 1. Пусть {£п, п = 1,2,...} - стационарная последовательность, у которой распределение величины Д удовлетворяет условиям (1) и пусть {Вп} - правильно меняющаяся последовательность порядка 1 /а.

Для того чтобы B~1(Sn — Ап) Д St (a, ci, eg), n —» оо, 0 < а < 2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие утверждения а)

S,

пДгп d

3і

ryi

3і

Вп

в,,

+ р т ) тг + ш —> оо, (R-a)

)пДт -^n+m &n-\-m

б) при любом х > 0 и при любой достаточно медленно растущей последовательности к = к(п) —> оо, п —> оо

P{±(5'n -Ді) ^ %ВпД ~ /?, > хВпД, ті оо,

где п' = гг'(гг) ~ B%/h(Bn), п —> оо.

(R),

Замечание 1. Теорему 1 можно интерпретировать так: условия (RQ) и (R) являются минимальными условиями слабой зависимости, при которых выполняются предельные теоремы о сходимости к устойчивым распределениям с показателями 0 < а < 2 и в которых масштабная нормировка осуществляется правильно меняющимися последовательностями порядка 1/а.

Лемма 1. Последовательность {Л“} является правильно меняющейся последовательностью порядка 1 (а Вп - правильно меняющейся последовательностью порядка 1/а), 0 < а < 2 тогда и только тогда, когда выполнено условие

+ п + т^оо.

Доказательство, по существу, повторяет доказательство леммы 1 в [1].

Лемма 2. Пусть {Вп} - правильно меняющаяся последовательность порядка 1/а и пусть т = т(п) такова, что

Вп Вп+т 0 < а < 1.

Тогда

а) существует

lim

А — А — А

'п+т

А

и

fa(a>°t)fa(( 1 - а)П) = fa(t) exp{itA}; (2)

б) при любом натуральном к существует

О, если а ф 1,

(сі — С2) In А:, если о: = 1,

fa (Тф = /а (а) ехр (г04(А;)} . (3)

Доказательство. Утверждение а). Нетрудно проверить, что соотношение (2) имеет место при

А(к) = lim Апк Ып

Д

пк

А =

О,

если а ф 1,

и что

(сі — С2) (a In а + (1 — а) 1п(1 — а)), если а = 1,

4 _ Л _ А

^п+т ^-гг ^

----= 0 при о ф 1.

д

гг+ш

Пусть 0=1.

Медленно меняющаяся функция д(т) при любом є > 0 удовлетворяет соотношению

9(t)

sup

£X<t<X

д{х,

-1

О, х —► оо,

(4)

[4, теорема 1.1]. Из (4) следует

оВ,

п

п+т д(^х) Ґ ТЭ \ 1 Вп+т

ах ~ пд{Вп) ш ■

Вп х

ГВп+т

Вп

-Вп In а,

m

-В77

dx ~ — £>mln(l — а), п —> оо.

Отсюда

^4-n+m ^4m Cl С2)

-Ви

Ви

/*вп+т і>вп+т ^

п / -----dx + m ----dx

>п+т J-’n+m \ J Вп х JВт х

~ —(ci — C2)(alna + (1 — a) ln(l — a)), n —> oo.

Утверждение б). Нетрудно проверить, что соотношение (3) имеет место при

А =

О если а ф 1,

(сі — С2) In к если а = 1,

и что

Апк кАг,

В,

гг/с

О при о ^ 1.

Пусть 0=1. рядка 1, то Б

^4?г/с кАп ^ Впк

Так как {Вп} - правильно меняющаяся последовательность по-nk ~ кВП1 п —> оо, так что

пкд(Впк) In ^ ~ (ci - с2) In fc.

%

V^n* /

Dnk J В

Bnk

д{х)

х

dx

с і - с2

В,

пк

Лемма доказана.

9

Доказательство теоремы 1.

Необходимость. Обозначим Sn = Sn — Ап. По условию при любом І Є R

Еехр —» exp {itSt(a, Сі, eg)} = fa(t), n —> oo. (5)

Пусть t Є R и m = m(n). Обозначим

A(n) =

Eexp

itS,

B,

n+m

71+m

Eexp

itSn

B,

n-\-m

Eexp

itSn

B,

n-\-m

Выполнение соотношения А (гг) —> 0, n —> сю при любом t Є R равносильно условию Ка.

Поскольку - правильно меняющаяся последовательность порядка 1, то в силу леммы 1

Я

п+тп

Я“ + в

а

mi

П

ОС,

так что для любой последовательности натуральных чисел {/її} существуют О < а < 1 и подпоследовательность {//2} С {щ} такая, что

Б—а рек __________ I) п рек

n ^-Lm ^ ТЫ ^ ' И , ±D ^ ^ _|_ото ^ Т)

Угг2+Ш2^гг2 ' ^гг2+Ш2^Ш2 ' ^ CL) ТІ ► ОО, (6)

где m2 = 777,(77,2). Пусть сначала 0 < а < 1. В силу леммы 2 существует предел

И

И lim Я _|_ (Hn2+m2 ПШ2)

п^оо

fait) = /a(a«i)/a(( 1 - a)M) exp{-iL4}.

В силу (5), (6) И (7)

Д(п2) =

Еехр

П2+Ш2

Я

— Еехр

гіД

712

712+7712

Я

а я

Е) ььит2 ехр 7

712+7712

Я.

х

712+7712

(7)

х ехр < it

А А- А —А

' ^-7719 TL,

7712

Чіг+тпг

я

712+7712

/а(7) - /а(с<+/а((1 - с)Д ехр{-гЯ4}

= 0.

Таким образом, доказано, что из любой последовательности {Д(77,1)} можно выделить сходящуюся к нулю подпоследовательность. Это означает, что Д(гг) —> 0, п —> оо. Если же с = 0 (с = 1), то при п —► оо

^712+7712^712 0 (^П2+7П2^7П2 “^ 0)

по вероятности, а из (7) легко выводится, что А = 0, так что снова

Д(тт,2) —► 0, 77, —> оо, и, следовательно, Д(гг) —► 0, п —► оо. Мы показали, что выполнено условие (Ra). Из условия (Ra) следует, что если последовательность к = /с(п) растет достаточно медленно, то

к

~ J2 п оо, (8)

3=1

10

где Xj^n)j = 1,...,/с - независимые случайные величины такие, что Х^п = B~lSn) j = 1 По предположению

(м> - \ ~ B^Snk 57(а, cj, с2), n оо.

j=i \ '

В силу теоремы 1.7.3 из [5] при любом х > О

kPlS,

> хВпк

С1

fcP S',

А,

пк

С2

__ ____ ^ У / < ч ^

7

к I ти

^ %Впк

П —> ОО.

(9)

Если к = А;(гг) -а сю растет достаточно медленно, то в силу утверждения б) леммы 2

пк \ ^

и из (9) и (10) следует теперь

ДЛ (X- - АЙ = о () = о(1), п > оо,

£;Р <! А >

Bnk ^

С1

к

кР Sn <

xv

%Bniс j-

C2

n —► oo.

(10)

(11)

Далее, пусть n' = гг7(гг) ~ B%/h(Bn). Так как (bnt(a))a /h(bnt(a)) ~ гг', гг —► сю, то Bn ~ bn/(a), ті —► сю [4, c.27]. {E>^} является правильно меняющейся

последовательностью порядка 1, так что (тг/Д B%k/h(Bnk) ~ kB%/h(Bn). С помощью этого соотношения, определения ЬДД и (1) выводим

п'кР > хВпк} ~ (пк)'Р {6 > Дп/с)'(«)} ~ Д

п'кР Кі < -хВпк} ~ (пк)'Р {Cl < -xb{nky(a)} ~ Л., (12)

что вместе с (11) дает нам условие (R).

Достаточность.

Пусть выполнены условия (Ra) и (R). Так же, как в доказательстве необходимости, из условия (Ra) выводим (8). Так как Х^п — В~^Ап = B~^Sn, j = 1,..., А;, то в силу [5, теорема 1.7.3] с учетом утверждения б) леммы 2 получаем, что для того, чтобы

к

B~kSnk ~ (Xjtn - В~1 А) - АЛ А(ск, Cl, Cg), п > оо, (13) достаточно, чтобы выполнялись соотношения (11) и

lim lim sup к

£ >0 п—

X

dP

{а<

хВ

пк

= 0.

\х\<£

(14)

11

Соотношения (11) следуют из (12) и условия (R), и в силу (11)

к J x2dp{sn<xBnk} = 0(e2-a)=o£(l),

\х\<£

и, следовательно, имеет место (14). Пусть пк < т < п(к + 1). Последовательность {Вп} является правильно меняющейся с положительным показателем, поэтому без ограничения общности ее можно считать неубывающей [4, с. 26], так что

sup

пк<т<п(к-\-1)

Вщ ^ < Вп(к+1) ^

Впк Впк

О, п —> оо,

(15)

и в силу условия (R) и (15)

±т—пк

> є В,

пк

<р{

Srn —

т—пк

д єВ(т_

У £з~А

j=nk+1

~ (т - пк)Р {І^іІ > єВ(т_пк)к} ->• 0, п > оо,

(■т—пк)к

то есть

^4 т,—

т—пк

tie»

по вероятности. Аналогично тому, как выводится утверждение а) леммы 2 при с = 0, нетрудно получить

Вместе с (13),

Вт$т St(a, CUC2),

lim

п—изо

Аг,

(15) и

А

пк

А

т—пк

Впк

(16) ЭТО

= 0.

соотношение

т —► оо. Теорема 2 доказана.

дает

нам

Литература

1. Гринь А.Г. О минимальном условии слабой зависимости в центральной предельной теореме для стационарных последовательностей // Теория вероятн. и ее примен. 2002. Т.47, N.3. С. 554-558.

2. Гринь А.Г. О минимальных условиях слабой зависимости в предельных теоремах для стационарных последовательностей // Теория вероят.и ее примен. (в печати).

3. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962.

4. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985.

5. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.

6. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. М.: Мир, 1984. 12

12